隨機(jī)過(guò)程(4.5)第4章第5節(jié)西電宋月

1、1.相關(guān)函數(shù)的譜分解相關(guān)函數(shù)的譜分解定理定理1 (維納維納-辛欽定理辛欽定理)設(shè)設(shè)X(t), -t+ 是均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程是均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程,則則其相關(guān)函數(shù)可以表示為其相關(guān)函數(shù)可以表示為1,( )2XjXReFd （ ）020XXRF 其中在（，）上非負(fù)，有界，單調(diào)不減,右連續(xù)，且F（- ），F(xiàn)（+ ）（）5 平穩(wěn)過(guò)程的譜分解平穩(wěn)過(guò)程的譜分解證明證明( )(0)XXRR(0)0( )0,( )0.XXXRRF若，則則取即可(0)0XR若，則令( )( )(0)XXRfR( )( )(0)1fff則連續(xù)，非負(fù)定，且.( )XR連續(xù)，非負(fù)定.所以所以f()是某個(gè)隨機(jī)變量是某個(gè)隨機(jī)變量W的特征函數(shù)

2、的特征函數(shù),即存在即存在分布函數(shù)分布函數(shù)G(),使使( )( )=E( )(0)j WjXXRfeedGR( )(0)( )jXXRRedG2(0) ( )1()2jXedRG( )2(0) ( )XXRGF取1( ),2jXXRedF 即得（ ）2(0)()XXRGF容易驗(yàn)證滿足定理中各條件.稱函數(shù)稱函數(shù)FX() )為平穩(wěn)過(guò)程為平穩(wěn)過(guò)程X(tX(t),),-t+ 的的譜函數(shù)譜函數(shù). .1( )2,jXXRedF ）稱（為平穩(wěn)過(guò)程為平穩(wěn)過(guò)程X(t), -t+ 相關(guān)函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的譜展開(kāi)式譜展開(kāi)式,或或譜分解式譜分解式.定義定義 如果存在函數(shù)如果存在函數(shù)SX(),使得使得),(XXFSd （ ）

3、容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證SX()為平穩(wěn)過(guò)程為平穩(wěn)過(guò)程X(t), -t+ 的的譜密度譜密度.舉例舉例1設(shè)設(shè)X(t), -t+ 是平穩(wěn)過(guò)程是平穩(wěn)過(guò)程,其相關(guān)函數(shù)為其相關(guān)函數(shù)為2( ),0,XRe求求X(t), -t+ 的譜密度和譜函數(shù)的譜密度和譜函數(shù)224( )4XS譜密度解解( )( )XXFSd譜函數(shù)2242arctan42d-22244e即F對(duì)確定信號(hào)對(duì)確定信號(hào)x(t),滿足滿足Dirichlet條件且絕對(duì)可積條件且絕對(duì)可積,則則x(t)存在頻譜存在頻譜:( )( )j txFex t dt1( )( )2j txx teFdt則說(shuō)明說(shuō)明 x(t) 可分解為一些復(fù)諧波的無(wú)限疊加可分解為一些復(fù)諧波的無(wú)

4、限疊加本節(jié)將給出在很一般的條件下平穩(wěn)過(guò)程也可以表示本節(jié)將給出在很一般的條件下平穩(wěn)過(guò)程也可以表示為無(wú)窮多個(gè)復(fù)諧波的疊加為無(wú)窮多個(gè)復(fù)諧波的疊加.不失一般性不失一般性,本節(jié)總假定本節(jié)總假定 mX=0 定理定理1(復(fù)平穩(wěn)過(guò)程的譜分解復(fù)平穩(wěn)過(guò)程的譜分解)設(shè)設(shè)X(t), -t+ 是零均值均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程是零均值均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程,其其譜函數(shù)為譜函數(shù)為FX(),則則X(t)可以表示為可以表示為( )( ),j tX tedZt 其中其中11( )l.i.m( ),2j tTTTeZX t dtjt 稱之為稱之為X(t), -t+ 的的隨機(jī)譜函數(shù)隨機(jī)譜函數(shù). 且具有性質(zhì)且具有性質(zhì):(1) E ( )0Z12

5、342143(2), ( ()()( ()()0E ZZZZ21221211(3), ()() ()()2XXE ZZFF定理的實(shí)際意義定理的實(shí)際意義( )( )j tX tedZ由( )l.i.m( )Tj tTTX tedZ即TT將，等分為2N個(gè)子區(qū)間，由均方積分定義1(1)( )l.i.ml.i.m ()()kNjtTNTNKNkTkTX teZZNN即即 平穩(wěn)過(guò)程可看成是振幅為平穩(wěn)過(guò)程可看成是振幅為(1)()()kTkTZZNN角頻率為角頻率為kTN的諧波分量的的有限疊加和的均方極限的諧波分量的的有限疊加和的均方極限.X(t) 是諧波分量諧波分量( ),()j tedZ 無(wú)限疊加和無(wú)限

6、疊加和.定理定理2 (實(shí)平穩(wěn)過(guò)程的譜分解實(shí)平穩(wěn)過(guò)程的譜分解)設(shè)設(shè)X(t), -t+ 是零均值均方連續(xù)的是零均值均方連續(xù)的實(shí)實(shí)平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程,其其譜函數(shù)為譜函數(shù)為FX(),則則X(t)可以表示為可以表示為1200( )cos( )sin( ),X ttdZtdZt 其中其中11sin( )l.i.m( ),TTTtZX t dtt 211 cos( )l.i.m( ),2TTTtZX t dtt 稱為實(shí)平穩(wěn)過(guò)程稱為實(shí)平穩(wěn)過(guò)程X(t), -t+ 的的隨機(jī)譜函數(shù)隨機(jī)譜函數(shù).且具有性質(zhì)且具有性質(zhì):12(1) E( )E( )0ZZ12342143(2),()()()()0,1,2iijjijjiE

7、ZZZZi j若或則有122212112221(3),()()()()E ZZE ZZ211()()XXFF(ijij時(shí)，獨(dú)立增量；時(shí)，正交增量）定理定理3 (復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)序列的譜分解復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)序列的譜分解)設(shè)設(shè)Xn, n=0, 1, 2,是零均值的平穩(wěn)時(shí)間序列是零均值的平穩(wěn)時(shí)間序列,其其譜函數(shù)為譜函數(shù)為FX(),則則Xn可以表示為可以表示為( ),0, 1, 2,j nnXedZn 其中其中0011( )(),2j nnneZXXjn稱為平穩(wěn)時(shí)間序列稱為平穩(wěn)時(shí)間序列Xn, n=0, 1, 的的隨機(jī)譜函數(shù)隨機(jī)譜函數(shù).且具有性質(zhì)且具有性質(zhì):(1) E ( )0Z12342143(2), ( ()(

8、)( ()()0E ZZZZ21221211(3), ()() ()()2XXE ZZFF定理定理4 (實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)序列的譜分解實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)序列的譜分解)設(shè)設(shè)Xn, n=0, 1, 2,是零均值的實(shí)平穩(wěn)時(shí)間序列是零均值的實(shí)平穩(wěn)時(shí)間序列,其其譜函數(shù)為譜函數(shù)為FX(),則則Xn可以表示為可以表示為1200cos( )sin( ),0, 1, 2,nXndZndZn 其中其中1001sin( )(),nnnZXXn2011 cos( ),nnnZXn稱為實(shí)平穩(wěn)時(shí)間序列稱為實(shí)平穩(wěn)時(shí)間序列Xn, n=0, 1, 的的隨機(jī)譜函數(shù)隨機(jī)譜函數(shù).且具有性質(zhì)且具有性質(zhì):12(1) E( )E( )0ZZ12342143(2),()()()()0,1,2iijjijjiE ZZZZi j若或則有122212112221(3),()()()()E ZZE ZZ211()()XXFF本章作業(yè)本章作業(yè):1, 2, 4, 6, 13, 14, 18(1),(3), 19.(2),(4), 例例1：設(shè)：設(shè)X(t)是實(shí)平穩(wěn)過(guò)程，其相關(guān)函數(shù)是是實(shí)平穩(wěn)過(guò)程，其相關(guān)函數(shù)是RX(),試證試證22()( )(0)( )XXP X tX tRRt解：由于解：由于X(t)是實(shí)平穩(wěn)過(guò)程，故其相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，是實(shí)平穩(wěn)過(guò)程，故其相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，于是由馬爾科夫不等式，得