幾何五大模型教師版

1、.word格式.幾何五大模型一、五大模型簡介(1)等積變換模型1、等底等高的兩個三角形面積相等；2、兩個三角形高相等，面積之比等于底之比，如圖所示，Si： S2=a:b ;3、兩個三角形底相等，面積在之比等于高之比，如圖所示， Si: S2=a:b ;4、在一組平行線之間的等積變形，如圖所示，Sa acd=S a bcd； 反之，如果 SA ACD=S A BCD,則可知直線AB平行于CD。例、如圖，三角形ABC的面積是24, D、E、F分別是BC、AC、AD的中點，求三角形DEF的面積。【詳解】根據(jù)等積變換知，5CD上皿一鼻。上必一不 ，一一 ，=-x 6 = 3（2）鳥頭（共角）定理模型1

2、、兩個三角形中有一個角相等或互補(bǔ)，這兩個三角形叫共角三角 形；2、共角三角形的面積之比等于對應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比。如圖下圖三角形 ABC中，D、E分別是AB、AC上或AB、AC延長線 上的點B則有：Saabc： Sa ade= (ABX AC) :( ADX AE)我們現(xiàn)在以互補(bǔ)為例來簡單證明一下共角定理！DBC如圖連接BE,根據(jù)等積變化模型知，SA ade： Sa abE=AD : AB、SA ABE： Sa cbe=AE : CE,所以 SA ABE： SA ABC=S ABE： (Sa abe+S CBE)=AE: AC,因此 Sa ade： Sa abC= ( Sa

3、ade： $ abe) 乂 (Sa abe： Sa abc) = (AD:AB) X (AE: AC)。例、如圖在 AABC中，D在BA的延長線上，E在AC上，且AB :AD=5:2 , AE: EC=3:2 , ADE的面積為12平方厘米，求 ABC勺面積。工詳解】根據(jù)鳥頭模型可知：又處;又所以皿=豢蛋”=抬35。（平方厘米）.（3）蝴蝶模型1、梯形中比例關(guān)系（梯形蝴蝶定理”） $ =凡（因為 S&UC = 33況 , 所以 _ S&Q5C = OBC）S：凡= T ： &用；S?二 Sj S# = 口。;/：口方：&in梯形5的對應(yīng)份數(shù)為g+與 例、如圖，梯形ABCD , AB與CD平行，

4、對角線AC、BD交于點O, 已知AOB ABOC 的面積分別為25平方厘米、35平方厘米，求梯 形ABCD的面積。詳解】由梯形蝴蝶定理的性質(zhì)知.CD）25:35t所以 皿土 CD=5:7*所以5即 ：5皿c = .必，。9 = 5建7 = ：5 一49,即S3M 平方厘 米，而S*也=5皿=35平三厘米，所以梯形ABCD的面積為工25+35+35+49=144（平方厘米12、任意四邊形中的比例關(guān)系（蝴蝶定理”）： $: 5： = 5/ Sm或者 xS, 二 5尸 5二;皿 CC =(S4 sMs4 + S3)例、如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O,如果三角形ABD的面積等于三角形

5、BCD面積的1/3 ,且AO=2、DO=3 ,求CO 的長度是DO長度的幾倍。BC【詳解】由任意四邊形蝴蝶定理的性質(zhì)知， AO: OC = S3D:Sqg = 1 ： 3,所以 0C二3Ao=3X2=6,所以 OC： 0D=6:3二2:屋蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑 通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的 三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān) 系。(4)相似模型1、相似三角形：形狀相同，大小不相等的兩個三角形相似；2、尋找相似模型的大前提是平行線：平行于三角形一邊的直線和 其他兩邊或兩邊延長線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角

6、形相似。3、相似三角形性質(zhì):相似三角形的一切對應(yīng)線段（對應(yīng)高、對應(yīng)邊）的比等于相似 比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方 。相似模型大致分為金字塔模型、沙漏模型這兩大類，注意這兩大類 中都含有BC平行DE這樣的一對平行線！AA/I &G金字塔蚓G HQ 昱E DE AF AB AC BC AG S: AF，： AG2 o例、如圖，已知在平行四邊形那么FC的長度是多少？木 /WCR14 CABCD 中，AB=16、AD=10、BE=4 ,【詳解】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知，平行于CD.所以由沙漏模型知, BF:FC = BE CD = 6 = 1 4,所以 FC=10

7、k= 8(5)燕尾模型由于陰影部分的形狀像一只燕子的尾巴，所以在數(shù)學(xué)上把這樣的幾何圖形叫做燕尾模型，看一下它都有哪些性質(zhì)：SA ABG： SA ACG=S BGE： SA CGE=BE - CESA BGA： SA BGC=S GAF： SA gcf=AF ： CFSA AGC- SA BGC=S A AGD)- SA bgd=AD : BD例、如圖，E、D分別在AC、BC上，且AE: EC=2:3 , BD:DC=1:2 , AD與BE交于點F,四邊形DFEC的面積等于22平方厘米， 求三角形ABC的面積?！驹斀狻咳鐖D所示，連接仃構(gòu)造燕尾模型.根據(jù)燕尾模型性質(zhì)可知，5、由 _ BD _ 工、

8、，、心f _ HE 2S “亡首 DC 2 Sc EH JLll- JruJJLJlJr現(xiàn)設(shè)份,則邑8尸2 份、S2 份 Shcf=4 份、 = 4x=1. 6份、5式疔=4x=2. 4 粉, 所以加/2+工 4=4. 4 份、$ 二2+3+4=9 份.“會二22I4XQ45 (平方厘米)。二、五大模型經(jīng)典例題詳解(1)等積變換模型例1、圖中的E、F、G分別是正方形ABCD三條邊的三等分點，如果正方形的邊長是12,那么陰影部分的面積是多少？K詳解】把另外三個三等分點標(biāo)出之后,正方形的3條邊而、BC、CD就被分成 了相等的三段。把點H和這些分點、正方形的頂點連接，這樣就把整個正方形分 割成了 9

9、個形狀各不相同的三角形，同時我們把空白部分的6個三角形按順時針 標(biāo)記6.這9個三角形的底邊都是正方形邊長的三分之一，陰影部分被分割成了其巾 的3個=角形。根據(jù)等質(zhì)變換模型可知，CD邊上的陰影三角形的面積與第1、2個三角形相 等；BC邊上的陰影三角形與第3、4個三角形相等；AB邊上的陰影三角形與第5、 &個三角形相等,因此，陰影面積是空白面積的二分之一，是正方形面積的三分 之一，即！ 12X12-3=48.例2、如圖所示，Q、E、P、M分別為直角梯形 ABCD兩邊AB、CD上的點，且DQ、CP、ME彼此平行，已知AD=5、BC=7、AE=5、EB=3 ,求陰影部分三角形PQM的面積。專業(yè)資料.學(xué)

10、習(xí)參考PPt詳解】如圖所示，連接CE、DE,由于DQ% ME平行，根據(jù)同底等高知，邑科f = 5皿皿同理根據(jù)長、HE平行，有邑網(wǎng)所以由于四邊形四為直角梯形，所以5“小=$靠8-5皿-5“=!（5 + 7）（5 + 3）-：*5乂5-1乂3力=25,即陰影三 角形PQM的面積為25。（2）鳥頭（共角）定理模型例1、如圖所示，平行四邊形ABCD, BE=AB、CF=2CB、GD=3DC、HA=4AD ,平行四邊形ABCD的面積為2,求平行四邊形 ABCD與四 邊形EFGH的面積比。【詳解】如圖所示.連接AC、BD,由于在ABC、GEBF巾，乙鉗C與/EEF互補(bǔ)，所以根據(jù)鳥頭定理有區(qū)生=理匹=婦=!

11、|因為S3F BEBF 1x3 35亡=工,平仔匹之辱abcd = 1，所以S江ef = 3 ;同理可得51的=4 = H、S3gcf = 42 =g、SiiwG = 5乂3 = 15Q所以 s- =：=A =J_O8 +8 + 15 + 3 + 2 36 18Ui-L Jfr例2、如圖所示，AABC的面積為1, BC=5BD、AC=4EC、DG=GS=SE、AF=FG ,求 FGS的面積。所以【詳解】首先根據(jù)等積變換模型知，5加廣路的、福=5,_UGE。根據(jù)鳥頭定理有沁=票售=衿=2,所以七班二行 5父以 CEDE 1x353 =年專=等=2,所以儂=25由所以S mGs FGf SG 1x

12、1二黑 黑二二；，所以 $ajD3 = ZSaFM * 所以5AjSt?=105M8 AD DC 1x4 4(3)蝴蝶模型例1、如圖，正六邊形面積為1,那么陰影部分面積為多少？K詳解】如圖所示，連接陰影四邊形的對角線，此時正六邊形被平分成兩半。設(shè) 州的面積為1份，根據(jù)正六邊形的特殊性質(zhì)知，BC=2AD,再根據(jù)梯形蝴蝶定 理，標(biāo)出各個三角形所占份數(shù)，所以整個正六邊形被分成了 18份，陰影部分站 其中的8份，即陰影部分面積為：=189例2、如圖，長方形ABCD被CE、DF分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，求余下的四邊形OFBC的面積。t詳解】如圖所示，連接DE、CF。在梯形ED

13、CF中，根據(jù)梯形蝴蝶定理知,$iE1白D - S 50C r乂 型穴 、或0F X 5 iDOC =28 = 16 ）即 $ 江8 511rat = 4，所以 S莊8 = 8+4 = 12,=12x2 = 24 與邊嚕qfsc =24-5-2-8 = 9。例3、如圖，已知正方形ABCD的邊長為10厘米，E為AD的中點，F(xiàn)為CE的中點，G為BF的中點，求三角形BDG的面積。S而5油ER - 7 S三方號NECD所以【詳解】設(shè)BD與CE的交點為0,連接明、DFc在梯形BCDE中，由梯形蝴蝶定理知,EO:CO = 1:2-又因為F為CE的中點，所以EO:尸0 = 2:1*在四邊形BFDE中，由蝴蝶定

14、理知，EO-.FOS,Sl-A,所以弋 _u _uaBFD 一斤口3即 _ g 3三萬“JCZ）o所以=彳S說口 = 染點號zsuD _ 77x 10 = 6.23 （平方厘米）2 Io10(4)相似模型例1、如圖，正方形的面積為1, E、F分別為AB、BD的中點,GC=1/3FC,求陰影部分的面積。工詳解】如圖所示，作FH垂直BC于點H, GI垂直BC于點I,根據(jù)金字塔模型 知,CI ： CH=CGi CF=1:3；因為 F 是 BD 的申點，所以 CH=BH, CI. CB=1:6,即BI： BC=（6-1）： 6=5：6t 所以115 5-X - Xo2 2 6 24例2、如圖，長方形A

15、BCD, E為AD的中點，AF與BD、BE分別交于G和H , OE垂直于AD ,交AD于E點，交AF于。點，已知AH=5,HF=3,求 AG 的長。AEd【詳解】根據(jù)長方形的性質(zhì)知，AB平行于DF,再根據(jù)沙漏模型知AB .DF = AH .HF = 5.3 又因為后為金O的中點 ：.OE FD = 12AB,OE = 5:- = W:3 2利用相似三角形性質(zhì)可得;AG:DO=AB-OE = W:3r: AO = -xAF = -(5+3) = 422AG-4x-_4013(5)燕尾模型例1、如圖，正方形ABCD的面積是120平方厘米，是人8的中點，F(xiàn)是BC的中點，求四邊形BGHF的面積。工詳解

16、勘口圖,連接BE由于BE與CD平行,根據(jù)沙漏模型知，BG工GD=BE：CD=1:2O 現(xiàn)設(shè)5片礎(chǔ)二1份，根據(jù)燕尾模型知，二2份、加=2份。因此整個正方形1 17ABCD 就是.（1+2+2）X2=10（份）.四邊形 BGHF 占：-xl + -x2=-（份所2 36以工弓把取=120910*工=14 （平方厘米） 例 2、如圖，在4ABC 中，BD=2DA、CE=2EB、AF=2FC ,那么 ABC的面積是陰影 GHI面積的幾倍？【詳解】如圖，連接AI.根據(jù)燕星模型知，SC!:Ss/=FC-AF = V.2 .Sg。: Sjacr = BD : DA = 211,所以 Sjq : Sscz: 53山=1:2:4,那么ECI1+2+4AB