九年級數(shù)學(xué)上冊一元二次方程一元二次方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型習(xí)題無答案新版蘇科版

1、一元二次方程、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖二、具體內(nèi)容(一)、一元二次方程的概念1 .理解并掌握一元二次方程的意義未知數(shù)個(gè)數(shù)為1,未知數(shù)的最高次數(shù)為2,整式方程，可化為一般形式；2 .正確識(shí)別一元二次方程中的各項(xiàng)及各項(xiàng)的系數(shù)2(1)明確只有當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a#0時(shí)，整式萬程ax+bx+c=0才是一元二次方程。(2)各項(xiàng)的確定(包括各項(xiàng)的系數(shù)及各項(xiàng)的未知數(shù)).(3)熟練整理方程的過程3 .一元二次方程的解的定義與檢驗(yàn)一元二次方程的解4 .列出實(shí)際問題的一元二次方程(二)、一元二次方程的解法1 .明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方

2、程求解；2 .根據(jù)方程系數(shù)的特點(diǎn)，熟練地選用配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3 .體會(huì)不同解法的相互的聯(lián)系；4 .值得注意的幾個(gè)問題：22(1)開平萬法：對于形如x=n或(ax+b)=n(a#0)的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，可用開平方法求解形如x2=n的方程的解法：當(dāng)n>0時(shí)，x=土布；當(dāng)n=0時(shí)，x1=X2=0;當(dāng)n<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根。(2)配方法：通過配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為(x+m)2=門的方程，再運(yùn)用開平方法求解。配方法的一般步驟：移項(xiàng)：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，

3、常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；“系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；配方：將方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程變形為(x+m)2=n的形式；求解：若n之0時(shí)，方程的解為x=-m±JH,若n<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解。(3)公式法:元二次方程2ax+bx+c=0(a=0)的根x=-b二b2-4ac2a當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根不相等；2b當(dāng)b-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根相等，寫為X=x2=2a當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.公式法的一般步驟：把一元二次方程化為一般式；確定a,b,c的值；代入b2-4ac中計(jì)算

4、其值，判斷方程是否有實(shí)數(shù)根；若b2-4ac之0代入求根公式求值，否則，原方程無實(shí)數(shù)根。(因?yàn)檫@樣可以減少計(jì)算量。另外，求根公式對于任何一個(gè)一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。)(4)因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個(gè)因式的積等于0,那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)為0,即:若ab=0,則a=0或b=0；因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項(xiàng)，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個(gè)因式都為零，得到兩個(gè)一元一次方程；解出這兩個(gè)一元一次方程的解可得到原方程的兩個(gè)解。(5)選用適當(dāng)方法解一元二次方程對于無理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方

5、法可能要簡便的多，只不過應(yīng)注意二次根式的化簡問題。方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡便，若整理為一般式再解就較為麻煩。(6)解含有字母系數(shù)的方程(1)含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項(xiàng)系數(shù)，以確定方程的類型；(2)對于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時(shí)一定不要忘記對字母的取值進(jìn)行討論。(三)、根的判別式1.了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會(huì)用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍。1 1)A=b2_4ac(2)根的判別式定理及其逆定理：對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)一'a"

6、;0當(dāng)j。方程有實(shí)數(shù)根；/0時(shí)a#0u方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)>8寸'a#0u方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；)=0時(shí)'a#0方程無實(shí)數(shù)根;從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2 .常見的問題類型(1)利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況(2)已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍(3)應(yīng)用判別式，證明一元二次方程根的情況先計(jì)算出判別式(關(guān)鍵步驟)；用配方法將判別式恒等變形；判斷判別式的符號(hào)；總結(jié)出結(jié)論.例：求證：方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0無實(shí)數(shù)根。(4)分類討論思想的應(yīng)用：如果方程給出的時(shí)未指明

7、是二次方程，后面也未指明兩個(gè)根，那一定要對方程進(jìn)行分類討論，如果二次系數(shù)為0,方程有可能是一元一次方程；如果二次項(xiàng)系數(shù)不為0,一元二次方程可能會(huì)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根或無實(shí)數(shù)根。(5) 一元二次方程根的判別式常結(jié)合三角形、四邊形、不等式(組)等知識(shí)綜合命題，解答時(shí)要在全面分析的前提下，注意合理運(yùn)用代數(shù)式的變形技巧(6) 一元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合(7) 判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題(四)、一元二次方程的應(yīng)用1 .數(shù)字問題：解答這類問題要能正確地用代數(shù)式表示出多位數(shù)，奇偶數(shù)，連續(xù)整數(shù)等形式。2 .幾何問題：這類問題要結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)、特征、定理或法則來尋找等量關(guān)系，構(gòu)建方程，對結(jié)果要

8、結(jié)合幾何知識(shí)檢驗(yàn)。3 .增長率問題（下降率）：在此類問題中，一般有變化前的基數(shù)（a）,增長率（x）,變化的次數(shù)（n）,變化后的基數(shù)（b）,這四者之間的關(guān)系可以用公式a（1+x）n=b表示。4 .其它實(shí)際問題（都要注意檢驗(yàn)解的實(shí)際意義，若不符合實(shí)際意義，則舍去）。（五）新題型與代幾綜合題（1）有100米長的籬笆材料，想圍成一矩形倉庫，要求面積不小于600平方米，在場地的北面有一堵50米的舊墻，有人用這個(gè)籬笆圍成一個(gè)長40米、寬10米的倉庫，但面積只有400平方米，不合要求，問應(yīng)如何設(shè)計(jì)矩形的長與寬才能符合要求呢？（2）讀詩詞解題（列出方程，并估算出周瑜去世時(shí)的年齡）：大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人

9、物，而立之年督東吳，英年早逝兩位數(shù)，十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符，哪位學(xué)子算得準(zhǔn)，多少年華屬周瑜？（36歲）已知：a,b,c分別是AABC的三邊長，當(dāng)m>0時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程c（x2+m）+b（x2-m）-2<max=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求證：&ABC是直角三角形。（4）已知：a,b,c分別是AABC的三邊長，求證：方程b2x2+（b2+c2a2）x+c2=0沒有實(shí)數(shù)根。（5）當(dāng)m是什么整數(shù)時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程mx24x+4=0與x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整數(shù)？（m=1）(6)已知關(guān)于x的方程x2+2x+2m-1=。，其中m為實(shí)數(shù)，(1)當(dāng)m為

10、何值時(shí)，方程沒有實(shí)x2x-2m數(shù)根？(2)當(dāng)m為何值時(shí)，方程恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根？求出這三個(gè)實(shí)數(shù)根。答案：(1)m<-2(2)x=-1,-1±<2.(六)相關(guān)練習(xí)(一)一元二次方程的概念1.一元二次方程的項(xiàng)與各項(xiàng)系數(shù)把下列方程化為一元二次方程的一般形式，再寫出二次項(xiàng)，一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)：(1)5x2_2=3x(5x2,-3x,-2)(2)、.2-6x2-15x=0(6x2,15x,-.2)(3) 3y(y1)=7(y2)-5(3y2,-4y,-9)(4) (m、m)(m-m)(m2)2=75m(2m2,0,-3)(5) (5a-1)2-4(a-3)2(3a2,2a,-5)

11、2 .應(yīng)用一元二次方程的定義求待定系數(shù)或其它字母的值(1) m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程(m52)乂"(m+3)x=4m是一元二次方程。(m=J2)(2)若分式x-7x-8=0,則x=x-1(x=8)3 .由方程的根的定義求字母或代數(shù)式值(1)關(guān)于x的一元二次方程(a1)x2+x+a2-1=0有一個(gè)根為0,則2=(a=1)2(2)已知關(guān)于x的一兀一次萬程ax+bx+c=0(a豐0)有一個(gè)根為1,一個(gè)根為-1,則a+b+c=(0,0)a-bc=(3)已知c為實(shí)數(shù)，并且關(guān)于x的一元二次方程x23x+c=0的一個(gè)根的相反數(shù)是方程x2+3xc=0的一個(gè)根，求方程x2+3xc=0的根及c的值。(0

12、,-3,c=0)(二)一元二次方程的解法1.開平方法解下列方程：22_5622(1)5x2-125=0(x1=5,x2=-5)(2)169(x-3)2=289(x1=二，x2=22)1313(3)y2+361=0(原方程無實(shí)根)(4)(1J3)m2=0(m1=m2=0)2(3x1)2-1-2.5(5)=8(x=)532.配方法解方程：f22-51-21(1)x+2x-5=0(x=T±、6)(2)y+5y+1=0(x=)2(3)2y24y=一3(y=1±)3 .公式法解下列方程：(1) 3x2=6x2(x=31)3一2一11一(3)7y=11y(y1=,y2=0)i(5) x

13、+2=(x-2)(2x-1)-3(x=3工"5)24 .因式分解法解下列方程：,、12(1) x一9=0(x=：t6)413(3)8x+10x-3=0(x1=，x2=)42(2)p2+3=2<3p(p1=p2=V3)_2(4)9n=5n2(原方程無實(shí)數(shù)根)2(2)y+4y45=0(y1=9,y2=5)(4)J7x2-x=0(%=0,x2=4"3)23.2._.2_._(5)6x-3v3x=2v2x-v6(x1=,x2=)(6)(x-5)=2(x-5)-1(x1=x2=6)23(7)(x2+3x)2-2(x2+3)8=0(x1=-2,x2=-1,x3=4,x4=1)5.

14、解法的靈活運(yùn)用（用適當(dāng)方法解下列方程）(1)V2(2x7)2=*的(x=L±也)2222(2)2m-m+1=2(m2m)(m=(3)6x(x-2)=(x-2)(x3)(x1=2,x2=)5(4)y23y(3-2y),y(3y-1)(yi=(5)81(2x-5)2=144(x-3)227(x1=TT,x2106.解含有字母系數(shù)的方程（解關(guān)于的方程）：(1)x2-2mxm2-n2=0x1=m。n,x2=mn)(2)x23a2=4ax2a1(xi=3a-1,x2=a1)(3)(m+n)x2+2nx=mn(x1=-1,x2(4)a2(x2-x1)-a(x27)=(a2-1)x（討論a）（三）

15、一元二次方程的根的判別式1.不解方程判別方程根的情況：一,2一、,(2)3(x+2)=4x(無實(shí)數(shù)根)2（1）4xx+3=7x（有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根）（3）4x2+5=4、/5x（有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根）2 .k為何值時(shí)，關(guān)于x的二次方程kx2-6x+9=0（1）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根（k<1且k00）（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（k=1）（3）無實(shí)數(shù)根（k>1）3 .已知關(guān)于x的方程4x2-（m+2）x=1-m有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.求m的值和這個(gè)方程的根.-1_3m=2,x二x2=一或m=10,x二x2二一)224 .若方程x2+2(a+1)x+a2+4a5=0有實(shí)數(shù)根，求：正整數(shù)a,(a=1,

16、a=2,a=3)5 .對任意實(shí)數(shù)m,求證：關(guān)于x的方程（m2+1）x2-2mx+m2+4=0無實(shí)數(shù)根.6 .k為何值時(shí)，方程(k1)x2(2k+3)x+(k+3)=0有實(shí)數(shù)根.4(當(dāng)k-1=0時(shí)，原方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，x=4;5k一1二0k:1：_0時(shí)，解得2121,所以當(dāng)k之-父且k#1時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。k-214421綜上所述，當(dāng)k至一時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根.)47 .設(shè)m為整數(shù)，且4cm<40時(shí)，方程x22(2m3)x+4m214m+8=0有兩個(gè)相異整數(shù)根，求m的值及方程的根。(當(dāng)m=12時(shí)，方程的根為x1=16,x2=26；當(dāng)m=24時(shí)，方程的根為x1=38,x2=52)(四)一元二次

17、方程的應(yīng)用（3,4,5,面積為6）1 .已知直角三角形三邊長為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，求它的三邊長和面積4,2 .一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字少4,且個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個(gè)兩位數(shù)小求這個(gè)兩位數(shù).（84）3 .某印刷廠在四年中共印刷1997萬冊書，已知第一年印刷了342萬冊，第二年印刷了500萬冊，如果以后兩年的增長率相同，那么這兩年各印刷了多少萬冊?(550,605)4.某人把5000元存入銀行，定期一年到期后取出還是一年，且利率不變，到期如果全部取出，正好是300元，將剩余部分（包括利息）繼續(xù)存入銀行，定期275元，求存款的年利率？（不計(jì)利息稅）（10%）5.某商場銷售一批名牌襯衫

18、，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)降價(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場每天可多售出2件，若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？（20元）6 .已知甲乙兩人分別從正方形廣場ABCM頂點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，甲由C向D運(yùn)動(dòng)，乙由B向C運(yùn)動(dòng)，甲的速度為每分鐘1千米，乙的速度每分鐘2千米，若正方形廣場周長為40千米，問幾分鐘后，兩人相距2JT0千米？（2分鐘后）7 .某科技公司研制一種新產(chǎn)品，決定向銀行貸款200萬元資金，用于生產(chǎn)這種產(chǎn)品，簽訂的合同上約定兩年到期時(shí)一次性還本付息，利息為本金的8%,該產(chǎn)品投放市場后由于產(chǎn)銷對路，使公司在兩年到期時(shí)除還清貸款的本金和利息外，還盈余72萬元，若該公司在生產(chǎn)期間每年比上一年資金增長的百分?jǐn)?shù)相同，試求這個(gè)百分?jǐn)?shù).（20%）8 .如圖，東西和南北向兩條街道交于O點(diǎn)，甲沿東西道由西向東走，速度是每秒4米，乙沿南北道由南向北走