周三(1-2節(jié))第三章,剛體運(yùn)動(dòng)學(xué) (2014-3-25)

1、大學(xué)物理大學(xué)物理 College Physics 華華 中中 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 物物 理理 學(xué)學(xué) 院院傅華華傅華華主主 講講 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律iiiprLLiiiFrMM剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸上任意一點(diǎn)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸上任意一點(diǎn)的角動(dòng)量、合外力矩的角動(dòng)量、合外力矩與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)有關(guān)的與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)有關(guān)的只是它們的只是它們的Z Z分量分量zLzMzLzMLM改寫改寫2iirmJJM JL均是對(duì)轉(zhuǎn)軸的均是對(duì)轉(zhuǎn)軸的tdd mrJd2JM (Z軸軸)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸剛剛 體體OOiRiriinA回顧回顧l 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算 2iirmJd2MJrm (1) 分立的質(zhì)量元構(gòu)成的系統(tǒng)分立的質(zhì)量元構(gòu)成的

2、系統(tǒng): (2) 質(zhì)量連續(xù)分布的系統(tǒng)質(zhì)量連續(xù)分布的系統(tǒng)(如如:剛體剛體):(3) 平行軸定理平行軸定理2mdJJCAl 幾種常用的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量幾種常用的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 例例 . .一個(gè)飛輪一個(gè)飛輪m= =69kg，半徑，半徑R = =0.25m, , 正在以每分正在以每分1000轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)。 現(xiàn)在要制動(dòng)飛輪，要求在現(xiàn)在要制動(dòng)飛輪，要求在5.0秒內(nèi)秒內(nèi) 使它均勻減速而最后停下來(lái)。閘使它均勻減速而最后停下來(lái)。閘 瓦與輪子間的摩擦系數(shù)瓦與輪子間的摩擦系數(shù) = = 0.46。 求閘瓦對(duì)輪子的壓力求閘瓦對(duì)輪子的壓力N為多大？為多大？解：飛輪制動(dòng)時(shí)有角加速度解：飛輪制動(dòng)時(shí)有角加速度t0 rad/s7.

3、104min/r1000o 0s5 t2rad/s9.20 外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負(fù)值。外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負(fù)值。RfMrNR JM mR221)(3922N mR N oNfr tt0odJM 例例. 在半徑為在半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為 m，J= mR2的圓輪上掛一細(xì)繩的圓輪上掛一細(xì)繩 細(xì)繩兩端各掛兩物細(xì)繩兩端各掛兩物 m1m2。求兩物的。求兩物的 a及輪子的及輪子的 ？21m2m1解：解： m1、m2可作為質(zhì)點(diǎn)處理，可作為質(zhì)點(diǎn)處理， 輪子作剛體處理。輪子作剛體處理。各物受力情況如圖：各物受力情況如圖：m1gT1m2gT2T1T2T1T2=根據(jù)牛頓定律：根據(jù)牛頓定律：amT

4、gm111)(222amTgmy根據(jù)根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律： JRTRT21 aa R解得：解得：gmmmmma212121Rgmmmmm212121? JM 例例 . .一根長(zhǎng)為一根長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其一端有一的均勻細(xì)直棒，其一端有一 固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。 最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺 角時(shí)的角角時(shí)的角 加速度和角速度。加速度和角速度。解：棒下擺為加速過(guò)程，外解：棒下擺為加速過(guò)程，外 力矩為重力對(duì)力矩為重力對(duì)O的力矩。的力矩。 棒上取質(zhì)元棒上取質(zhì)元dm, ,當(dāng)

5、棒處在當(dāng)棒處在 下擺下擺 角時(shí)角時(shí)，重力矩為：重力矩為：mxgMdd XOgdmdmxCmgxM mxgdmmcx重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩與全部重力集中重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩與全部重力集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。 cosLxc21 mgLcos M21JM 23121mLcosmgL Lcosg23 mgC mxgMd合力矩：合力矩：JM ddt tdd dd dd dd Lcosg23 Lgcos 0023dd22123 sinLgLsing 3 又：又：即：即：mgCXOxcLcosg23 若一人突然松手，另外若一人突然松手，另外一人手上的力在這一瞬一人手上的力在

6、這一瞬間如何變化？間如何變化？問(wèn)題：?jiǎn)栴}：例例 . . 質(zhì)量為質(zhì)量為m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為L(zhǎng) L的勻質(zhì)細(xì)桿水平放置，一端為的勻質(zhì)細(xì)桿水平放置，一端為 鉸鏈，另一端用繩懸掛。求剪斷繩子瞬時(shí)，桿的鉸鏈，另一端用繩懸掛。求剪斷繩子瞬時(shí)，桿的 角加速度以及鉸鏈的支撐力。角加速度以及鉸鏈的支撐力。分析：分析：.解：解：gmF剪斷時(shí)剪斷時(shí)F = mg或或mgF21?0 0 0M剪斷時(shí)細(xì)桿繞剪斷時(shí)細(xì)桿繞O O點(diǎn)的力矩為點(diǎn)的力矩為omgLM21根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律JM 231mLJ Lg23 質(zhì)心平動(dòng)：質(zhì)心平動(dòng)：cmaFmg Lac21)(cagmFmg41問(wèn)：?jiǎn)枺喝魲U從上方轉(zhuǎn)下來(lái)到水平位置時(shí)若桿從上方轉(zhuǎn)

7、下來(lái)到水平位置時(shí)o 此時(shí)此時(shí)?F rac自己練習(xí)！自己練習(xí)！ 竿子長(zhǎng)些還是短些安全？竿子長(zhǎng)些還是短些安全？ 飛輪的質(zhì)量為什么大飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？都分布于外輪緣？轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小取決于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小取決于剛體的質(zhì)量質(zhì)量、分布及轉(zhuǎn)軸的位置分布及轉(zhuǎn)軸的位置. 幾個(gè)生活中的實(shí)際例子：幾個(gè)生活中的實(shí)際例子： 長(zhǎng)長(zhǎng)桿桿短短鉛鉛筆筆竿子長(zhǎng)些還是短些安全？竿子長(zhǎng)些還是短些安全？續(xù)上 從小傾角從小傾角 處?kù)o止釋放處?kù)o止釋放兩勻兩勻直細(xì)桿直細(xì)桿地面地面短桿的角加速度大短桿的角加速度大且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無(wú)關(guān)且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無(wú)關(guān)兩者瞬時(shí)角加速度之比兩者瞬時(shí)角加速度之比213 1 1321根據(jù)剛體

8、中任一質(zhì)元?jiǎng)傮w中任一質(zhì)元 的速率的速率該質(zhì)元的動(dòng)能該質(zhì)元的動(dòng)能對(duì)所有質(zhì)元的動(dòng)能求和對(duì)所有質(zhì)元的動(dòng)能求和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 JJ得得2iirmJ力力 的元功的元功力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功用力矩的功來(lái)計(jì)算力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功用力矩的功來(lái)計(jì)算切向切向若在某變力矩若在某變力矩 的作用下，剛體由的作用下，剛體由 轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到 ，做的做的總功為總功為力矩的瞬時(shí)功率力矩的瞬時(shí)功率回憶質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理回憶質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理由由 力矩的元功力矩的元功轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律合外力矩的功合外力矩的功轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量稱為稱為則則4、剛體的重力勢(shì)能、剛體的重力勢(shì)能yhihcxOMC mi一一個(gè)

9、質(zhì)元的勢(shì)能個(gè)質(zhì)元的勢(shì)能：iiighmE iiiPhgmE )(iiihmg 整個(gè)剛體的勢(shì)能：整個(gè)剛體的勢(shì)能：剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能 cMghMM它的全部質(zhì)量都它的全部質(zhì)量都集中在質(zhì)心時(shí)所集中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢(shì)能具有的勢(shì)能. . iicxmMx1 iicymMy1 iiczmMz1機(jī)械機(jī)械外外力力非保守內(nèi)非保守內(nèi)力矩力矩力力力矩力矩則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。外外力力力矩力矩非保守內(nèi)非保守內(nèi)力矩力矩力力若若1. 剛體的角動(dòng)量剛體的角動(dòng)量剛體上的一個(gè)質(zhì)元繞固定軸做圓周運(yùn)動(dòng)剛體上的一個(gè)質(zhì)元繞固定軸做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)相時(shí)相對(duì)于轉(zhuǎn)軸上任意一點(diǎn)對(duì)于轉(zhuǎn)軸上任意一點(diǎn)O 的的角動(dòng)量角動(dòng)量在軸上的分在

10、軸上的分量的大小均量的大小均為：為：vmrPrL質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)的角動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)的角動(dòng)量：所以，剛體對(duì)此軸的角動(dòng)量定義為：所以，剛體對(duì)此軸的角動(dòng)量定義為：iizzLLiriiiizvmrL iimr2 剛體對(duì)固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角動(dòng)量剛體對(duì)固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角動(dòng)量L,等于它對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣等于它對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量量J 和角速度和角速度 的乘積。的乘積。zim izL )(2iiirm zJ JL簡(jiǎn)寫為：簡(jiǎn)寫為：四、剛體的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律四、剛體的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律dtLdM質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理為：質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理為：對(duì)質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)系系任意一質(zhì)點(diǎn)任意一質(zhì)點(diǎn):dtLdMii內(nèi)外iiiMMM dtdLMii

11、zzdtdLMiziz定軸方向定軸方向0外iMM外izzMM dtLdiz dtdLz對(duì)質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)系系:zzdLdtM由上可得：由上可得： zzJL dLdtM簡(jiǎn)寫簡(jiǎn)寫 dtdLMzz)( zJdtdconstJz dtdJMzz zJ定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律constJz dt)J(dMzz剛體剛體繞繞定軸定軸的角動(dòng)量定理的角動(dòng)量定理LddtM2. 剛體剛體繞繞定軸定軸的角動(dòng)量定理的角動(dòng)量定理合外力矩合外力矩 對(duì)剛體對(duì)剛體繞繞定軸定軸的沖量矩為：的沖量矩為：MdLMdtotooJJ oLtLotLL PddtFotPPovmvm與動(dòng)量定與動(dòng)量定理比較：理比較：即：即：對(duì)某對(duì)某一一定軸的外力矩

12、的作用在某段時(shí)間內(nèi)的累定軸的外力矩的作用在某段時(shí)間內(nèi)的累 積效果為剛體對(duì)同一轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角動(dòng)量的增量。積效果為剛體對(duì)同一轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角動(dòng)量的增量。dLMdt( (微分形式微分形式) )剛體剛體繞繞定軸定軸的角動(dòng)量定理的角動(dòng)量定理000JJdtMt( (積積分形式分形式) )dLMdtototLL dLMdt當(dāng)合外力矩當(dāng)合外力矩0M則：則：otLL const角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒討論討論1）當(dāng)）當(dāng) L=常量，常量， 若若J=常量，常量， 則則 =常量，常量，即：剛體保持恒定的角速度即：剛體保持恒定的角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)。2）當(dāng)）當(dāng) L =常量，常量，但但J 常量，常量， J =常量，常量，則則 常量，常量

13、，1122JJJ 3) 此定律對(duì)多個(gè)剛體、質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)也成立。此定律對(duì)多個(gè)剛體、質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)也成立。 JL例：系統(tǒng)由兩個(gè)剛體組成，例：系統(tǒng)由兩個(gè)剛體組成，設(shè)初時(shí)刻，設(shè)初時(shí)刻，Lo= 0任意任意t 時(shí)刻，時(shí)刻，Lt=0系統(tǒng)無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)：系統(tǒng)無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)：21LL 0系統(tǒng)有轉(zhuǎn)動(dòng)：系統(tǒng)有轉(zhuǎn)動(dòng)：021LL21LL2211 JJ即：即：21JJ 若若則：則：21 同一轉(zhuǎn)軸同一轉(zhuǎn)軸或或J3. .角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律直升飛機(jī)防止機(jī)身旋動(dòng)的措施用兩個(gè)對(duì)轉(zhuǎn)的頂漿（支奴干 CH47)用 尾 漿（美洲豹 SA300）（ 海豚 ）角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用的應(yīng)用受合外力矩為零受合外力矩為零回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對(duì)稱分

14、布；回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對(duì)稱分布；軸摩擦及空氣阻力很小。軸摩擦及空氣阻力很小。角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒回轉(zhuǎn)儀定向原理回轉(zhuǎn)儀定向原理使其以一定的角速度高速旋轉(zhuǎn)，使其以一定的角速度高速旋轉(zhuǎn)，其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J為常量。為常量。若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向Z方向，方向，則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變，則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變，而不會(huì)受基座改向的影響。而不會(huì)受基座改向的影響。（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ）回轉(zhuǎn)體回轉(zhuǎn)體萬(wàn)萬(wàn)向向支支架架基基 座座常量常量 JL Z 例例: :如圖所示如圖所示, ,一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止的子彈以水平速度射入一靜止 懸于頂端的長(zhǎng)棒的下端懸于頂端的長(zhǎng)棒的下端, ,穿出

15、后速度損失穿出后速度損失3/ /4, ,求子彈求子彈 穿出后棒的角速度穿出后棒的角速度 . .已知棒長(zhǎng)為已知棒長(zhǎng)為L(zhǎng), ,質(zhì)量為質(zhì)量為M. .v0vmM解解: :問(wèn)問(wèn): :子彈和棒的總動(dòng)量子彈和棒的總動(dòng)量是否是否守恒守恒? ?系統(tǒng)對(duì)軸的系統(tǒng)對(duì)軸的總角動(dòng)量守恒總角動(dòng)量守恒。 JmvLLmv0 J40/mLvLmv0L LJLmv430 MLmv490 231mLJ 故：故： mgZL 陀螺在繞自身的對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)陀螺在繞自身的對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí), ,其對(duì)稱軸繞經(jīng)過(guò)其對(duì)稱軸繞經(jīng)過(guò)定點(diǎn)定點(diǎn)( (如如: :O點(diǎn)點(diǎn)) )的軸的軸( (如如: :OZ軸軸) )轉(zhuǎn)動(dòng)，這種高速自旋的物體轉(zhuǎn)動(dòng)，這種高速自旋的物

16、體的轉(zhuǎn)軸在空間轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象稱為的轉(zhuǎn)軸在空間轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象稱為進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)( (回轉(zhuǎn)效應(yīng)回轉(zhuǎn)效應(yīng)) )。p OrdL L重力對(duì)重力對(duì)O點(diǎn)的力矩始終與角動(dòng)量垂直，點(diǎn)的力矩始終與角動(dòng)量垂直，所以角動(dòng)量只改變方向而大小不變，所以角動(dòng)量只改變方向而大小不變，從而產(chǎn)生旋進(jìn)運(yùn)動(dòng)從而產(chǎn)生旋進(jìn)運(yùn)動(dòng), ,即即進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)。dL 的的方方向向與與重重力力矩矩的的相相同同。五五. 進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)tMLdd tgmrd LLLd 進(jìn)動(dòng)的角速度：進(jìn)動(dòng)的角速度：ddpt ddsinLL ddddsinLLMtt sinpL LOdL sinL p d sinsinpMMLJ 注意：注意：上述討論中上述討論中, 將高速旋轉(zhuǎn)的陀螺對(duì)將高速旋轉(zhuǎn)的陀

17、螺對(duì)O點(diǎn)的角點(diǎn)的角 動(dòng)量近似成了陀螺對(duì)本身對(duì)稱軸的角動(dòng)量動(dòng)量近似成了陀螺對(duì)本身對(duì)稱軸的角動(dòng)量?；剞D(zhuǎn)效應(yīng)（回轉(zhuǎn)效應(yīng)（進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)）的應(yīng)用舉例：）的應(yīng)用舉例：(1)來(lái)復(fù)線使槍彈、炮彈在飛行時(shí)能繞自身的對(duì)來(lái)復(fù)線使槍彈、炮彈在飛行時(shí)能繞自身的對(duì) 稱軸旋轉(zhuǎn)稱軸旋轉(zhuǎn),在空氣阻力的作用下不會(huì)翻在空氣阻力的作用下不會(huì)翻“筋斗筋斗”，而，而是產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)，使總的運(yùn)動(dòng)基本保持原方向。是產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)，使總的運(yùn)動(dòng)基本保持原方向。(3) 抗磁性的起源抗磁性的起源: 電子在外磁場(chǎng)中的進(jìn)動(dòng)。電子在外磁場(chǎng)中的進(jìn)動(dòng)。(2) 飛機(jī)的自動(dòng)駕駛，輪船的穩(wěn)定器飛機(jī)的自動(dòng)駕駛，輪船的穩(wěn)定器例例: :如圖所示，將單擺和一等長(zhǎng)的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點(diǎn)，桿

18、如圖所示，將單擺和一等長(zhǎng)的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點(diǎn)，桿的質(zhì)量的質(zhì)量m與單擺的擺錘相等。開始時(shí)直桿自然下垂，將單擺的與單擺的擺錘相等。開始時(shí)直桿自然下垂，將單擺的擺錘拉到高度擺錘拉到高度h0 ，令它自靜止?fàn)顟B(tài)下令它自靜止?fàn)顟B(tài)下落落, ,于鉛垂位置和直桿作于鉛垂位置和直桿作彈性碰撞。求碰撞后直桿下端達(dá)到的彈性碰撞。求碰撞后直桿下端達(dá)到的最大最大高度高度h. .解解: :002ghv 設(shè)碰撞后桿的角速度為設(shè)碰撞后桿的角速度為 ，擺錘的速度為擺錘的速度為v。由角動(dòng)量守恒有：由角動(dòng)量守恒有： Jvmlmlv 0碰撞過(guò)程中機(jī)械能也守恒碰撞過(guò)程中機(jī)械能也守恒: :2220212121 Jvmmv lv,vv23200 amll0h碰撞前單擺的速度為碰撞前單擺的速度為chchh b按機(jī)械能守恒，碰撞后擺錘達(dá)到