高中數(shù)學推理與證明

1、推理與證明要點1：合情推理例1：（2010福建高考文科）觀察下列等式： cos2a=2-1; cos4a=8- 8+ 1; cos6a=32- 48+ 18- 1; cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1; cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1.可以推測，m n + p = .【規(guī)范解答】觀察得：式子中所有項的系數(shù)和為1，又， 【答案】962要點2：演繹推理例2：（2010浙江高考理科14）設，將的最小值記為，則其中=_ .【規(guī)范解答】觀察表達式的特點可以看出，當為偶數(shù)時，；，當為奇數(shù)時，【答案】要點3：直接證明與間接證明例3：（2010北京高考文科20）

2、已知集合對于，定義A與B的差為A與B之間的距離為（）當n=5時，設，求，；（）證明：，且;() 證明：三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)【思路點撥】（I）（）直接按定義證明即可；() “至少”問題可采用反證法證明【規(guī)范解答】（）（1,0,1,0,1） 3()設因為，所以,從而,由題意知,當時，,當時， ,所以()證明：設,記由（）可知,所以中1的個數(shù)為k,中1的個數(shù)為,設是使成立的的個數(shù)。則由此可知，三個數(shù)不可能都是奇數(shù)，即三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù) 注：有關否定性結論的證明常用反證法或舉出一個結論不成立的例子即可；要點4：數(shù)學歸納法例4：等比數(shù)列的前n項和為， 已知對任意的 ，點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的

3、圖像上.（1）求r的值;（11）當b=2時，記 證明：對任意的 ，不等式成立【解析】因為對任意的,點，均在函數(shù)且均為常數(shù)的圖像上.所以得,當時,當時,又因為為等比數(shù)列,所以,公比為,（2）當b=2時，, ,則,所以 . 下面用數(shù)學歸納法證明不等式成立. 當時,左邊=,右邊=,因為,所以不等式成立. 假設當時不等式成立,即成立.則當時,左邊=所以當時,不等式也成立.由、可得不等式恒成立.注：（1）用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關的一些等式，命題關鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關，由n=k到n=k+1時等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項。（2

4、）在本例證明過程中，考慮“n取第一個值的命題形式”時，需認真對待，一般情況是把第一個值供稿通項，判斷命題的真假，在由n=k到n=k+1的遞推過程中，必須用歸納假設，不用歸納假設的證明就不是數(shù)學歸納法。（3）在用數(shù)學歸納法證明的第2個步驟中，突出了兩個湊字，一“湊”假設，二“湊”結論，關鍵是明確n=k+1時證明的目標，充分考慮由n=k到n=k+1時，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系。【高考真題探究】1（2010山東高考文科）觀察，由歸納推理可得：若定義在上的函數(shù)滿足，記為的導函數(shù)，則=（ ）（A） (B) (C) (D)【規(guī)范解答】選D通過觀察所給的結論可知，若是偶函數(shù)，則導函數(shù)是奇函數(shù)，故選D2（20

5、10陜西高考理科）觀察下列等式：,，根據(jù)上述規(guī)律，第五個等式為 _.【規(guī)范解答】由所給等式可得：等式兩邊的冪式指數(shù)規(guī)律明顯，底數(shù)關系如下：即左邊底數(shù)的和等于右邊的底數(shù)。故第五個等式為：【答案】 3（2010北京高考理科20）已知集合對于，定義A與B的差為 A與B之間的距離為；（）證明：，且;（）證明：三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)() 設P，P中有m(m2)個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為(P).證明：（P）.【思路點撥】（I）直接按定義證明即可；（）“至少”問題可采用反證法證明；()把表示出來，再利用均值不等式證明【規(guī)范解答】（I）設， 因為，所以, ,從而 又,由題意知，.,當時，;,當

6、時，,所以 ,(II)設， ，. 記，由（I）可知, ， , ,所以中1的個數(shù)為，中1的 個數(shù)為 設是使成立的的個數(shù)，則 由此可知，三個數(shù)不可能都是奇數(shù)，即,三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)（III）,其中表示中所有兩個元素間距離的總和，設中所有元素的第個位置的數(shù)字中共有個1，個0 則,由于 所以,從而【方法技巧】（1）證明“至少有一個”的時，一般采用反證法；（2）證明不等式時要多觀察形式，適當變形轉化為基本不等式4（2010江蘇高考23）已知ABC的三邊長都是有理數(shù)。（1） 求證：cosA是有理數(shù)；（2）求證：對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)?！舅悸伏c撥】（1）利用余弦定理表示cosA，由三邊是有

7、理數(shù)，求得結論；（2）可利用數(shù)學歸納法證明.【規(guī)范解答】方法一：（1）設三邊長分別為，是有理數(shù)，是有理數(shù)，分母為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對于除法的具有封閉性，必為有理數(shù)，cosA是有理數(shù)。（2）當時，顯然cosA是有理數(shù)；當時，因為cosA是有理數(shù)， 也是有理數(shù)；假設當時，結論成立，即coskA、均是有理數(shù)。當時，解得：cosA，均是有理數(shù)，是有理數(shù)，是有理數(shù)即當時，結論成立。綜上所述，對于任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。方法二：（1）由AB、BC、AC為有理數(shù)及余弦定理知是有理數(shù)。（2）用數(shù)學歸納法證明cosnA和都是有理數(shù)。當時，由（1）知是有理數(shù)，從而有也是有理數(shù)。假設當時，和都是有理數(shù)。

8、當時，由，及和歸納假設，知和都是有理數(shù)。即當時，結論成立。綜合、可知，對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。5（2009江蘇高考）設0,求證：.【解析】本小題主要考查比較法證明不等式的常見方法，考查代數(shù)式的變形能力。滿分10分。證明：因為0,所以0，0，從而0，即.6（2008安徽高考）設數(shù)列滿足為實數(shù)（）證明：對任意成立的充分必要條件是；（）設，證明：;（）設，證明：【解析】（）必要性：，又，即.充分性：設，對任意用數(shù)學歸納法證明.當時，. 假設當時，則，且，. 由數(shù)學歸納法知，對任意成立.() 設，當時，結論成立；當時，.，由（）知，且，.()設,當時，結論成立；當時，由()知，.【跟蹤模擬

9、訓練】一、選擇題（每小題6分，共36分）1已知是的充分不必要條件，則是的（ ）（） 充分不必要條件 （） 必要不充分條件（） 充要條件 （） 既不充分也不必要條件2設a、b、c都是正數(shù)，則,三個數(shù)（ ）A、都大于2 B、至少有一個大于2 C、至少有一個不大于2 D、至少有一個不小于23在中，所對的邊分別為，且，則一定是（ ）（） 等腰三角形 （） 直角三角形 （）等邊三角形 （） 等腰直角三角形4已知函數(shù)的定義域為，若對于任意的，都有，則稱為上的凹函數(shù).由此可得下列函數(shù)中的凹函數(shù)為 （ ） （） （B） （C） （D）5.給定正整數(shù)n(n2)按下圖方式構成三角形數(shù)表；第一行依次寫上數(shù)1，2，3

10、，n，在下面一行的每相鄰兩個數(shù)的正中間上方寫上這兩個數(shù)之和，得到上面一行的數(shù)（比下一行少一個數(shù)），依次類推，最后一行（第n行）只有一個數(shù).例如n=6時數(shù)表如圖所示，則當n=2 007時最后一行的數(shù)是（ ）(A)25122 007 (B)2 00722 006 (C)25122 008 (D)2 00722 0056.如圖，坐標紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：1，2，3，4，5，6的橫、縱坐標分別對應數(shù)列an(nN*)的前12項（即橫坐標為奇數(shù)項，縱坐標為偶數(shù)項），按如此規(guī)律下去,則a2 009+a2 010+a2 011等于( )(A)1 003(B)1 005 (C)1 006

11、(D)2 011二、填空題（每小題6分，共18分）7對于等差數(shù)列有如下命題：“若是等差數(shù)列，是互不相等的正整數(shù)，則有”。類比此命題，給出等比數(shù)列相應的一個正確命題是：“_”。8如果A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則A1B1C1是 三角形，A2B2C2是 三角形.（用“銳角”、“鈍角”或“直角”填空）9(2010漢沽模擬)在直角三角形中，兩直角邊分別為，設為斜邊上的高，則，由此類比：三棱錐的三個側棱兩兩垂直，且長分別為，設棱錐底面上的高為，則 . 三、解答題（10、11題每題15分，12題16分，共46分）10.觀察下表：1，2，34，5，6，78，9，10

12、，11，12，13，14，15，問：（1）此表第n行的最后一個數(shù)是多少？（2）此表第n行的各個數(shù)之和是多少？（3）2010是第幾行的第幾個數(shù)?（4）是否存在nN*，使得第n行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和為227-213-120？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由.11已知數(shù)列：，（是正整數(shù)），與數(shù)列：，（是正整數(shù)）記（1）若，求的值；（2）求證：當是正整數(shù)時，；（3）已知，且存在正整數(shù)，使得在，中有4項為100求的值，并指出哪4項為10012已知數(shù)列，記求證：當時，（）；（）；（）。參考答案一、選擇題1【解析】選.反證法的原理：“原命題”與“逆否命題”同真假，即：若則.2【解析】選D.3【

13、解析】選A.，又因為，；4【解析】選C.可以根據(jù)圖像直觀觀察；對于（C）證明如下：欲證，即證，即證，即證，顯然，這個不等式是成立的，且每一步可逆，故原不等式得證；5【解析】選C.由題意知，112=724,48=623，20=522，故n行時，最后一行數(shù)為(n+1)2n-2，所以當n=2 007時，最后一行數(shù)為2 00822 005=25122 008.二、填空題6【解析】選B.觀察點坐標的規(guī)律可知，偶數(shù)項的值等于其序號的一半.a4n-3=n,a4n-1=-n,又2 009=4503-3,2 011=4503-1,a2 009=503,a2 011=-503,a2 010=1 005,a2 00

14、9+a2 010+a2 011=1 005.7【解析】這是一個從等差數(shù)列到等比數(shù)列的平行類比，等差數(shù)列中類比到等比數(shù)列經(jīng)常是，類比方法的關鍵在于善于發(fā)現(xiàn)不同對象之間的“相似”，“相似”是類比的基礎。 .答案：若是等比數(shù)列，是互不相等的正整數(shù)，則有。8答案：銳角 鈍角 9答案：三、解答題10【解析】（1）第n+1行的第1個數(shù)是2n，第n行的最后一個數(shù)是2n-1.（2）2n-1+（2n-1+1）+(2n-1+2)+（2n-1）=322n-3-2n-2.（3）210=1 024,211=2 048,1 0242 0102 048，2 010在第11行，該行第1個數(shù)是210=1 024，由2 010-

15、1024+1=987，知2 010是第11行的第987個數(shù).（4）設第n行的所有數(shù)之和為an，第n行起連續(xù)10行的所有數(shù)之和為Sn.則an=322n-3-2n-2,an+1=322n-1-2n-1，an+2=322n+1-2n，an+9=322n+15-2n+7,Sn=3(22n-3+22n-1+22n+15)-(2n-2+2n-1+2n+7)=22n+17-22n-3-2n+8+2n-2，n=5時，S5=227-128-213+8=227-213-120.存在n=5使得第5行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和為227-213-120.11【解析】（1） （2）用數(shù)學歸納法證明：當 當n=1時，等式成立 假設n=k時等式成立，即那么當時， 等式也成立.根據(jù)和可以斷定：當 （3） 4m+1是奇數(shù)，均為負數(shù)， 這些項均不可能取到100. 此時，為100. 12【解析】（）證明：用數(shù)學歸納法證明當時，因為是方程的正根，所以假設當時，因為，所以即當時，也成立根據(jù)和，可知對任何都成立（）證明：由，（），得因為，