第21屆全國高中生物理競賽復賽精簡WORD版課件

1、題號一二三四五六七總分得分閱卷人第21屆全國中學生物理競賽復賽題試卷K3K2P1 V1 CCP0 V0EFGIHK1本卷共七題，滿分140分.一、(20分)薄膜材料氣密性能的優(yōu)劣常用其透氣系數(shù)來加以評判對于均勻薄膜材料，在一定溫度下，某種氣體通過薄膜滲透過的氣體分子數(shù)，其中t為滲透持續(xù)時間，S為薄膜的面積，d為薄膜的厚度，為薄膜兩側(cè)氣體的壓強差k稱為該薄膜材料在該溫度下對該氣體的透氣系數(shù)透氣系數(shù)愈小，材料的氣密性能愈好圖為測定薄膜材料對空氣的透氣系數(shù)的一種實驗裝置示意圖EFGI為滲透室，U形管左管上端與滲透室相通，右管上端封閉；U形管內(nèi)橫截面積A0.150cm2實驗中，首先測得薄膜的厚度d =

2、0.66mm，再將薄膜固定于圖中處，從而把滲透室分為上下兩部分，上面部分的容積，下面部分連同U形管左管水面以上部分的總?cè)莘e為V1，薄膜能夠透氣的面積S =1.00cm2打開開關(guān)K1、K2與大氣相通，大氣的壓強P11.00atm，此時U形管右管中氣柱長度，關(guān)閉K1、K2后，打開開關(guān)K3，對滲透室上部分迅速充氣至氣體壓強，關(guān)閉K3并開始計時兩小時后， U形管左管中的水面高度下降了實驗過程中，始終保持溫度為求該薄膜材料在時對空氣的透氣系數(shù)（本實驗中由于薄膜兩側(cè)的壓強差在實驗過程中不能保持恒定，在壓強差變化不太大的情況下，可用計時開始時的壓強差和計時結(jié)束時的壓強差的平均值來代替公式中的普適氣體常量R

3、= 8.31Jmol-1K-1，1.00atm = 1.013×105Pa）二、(20分) 兩顆人造衛(wèi)星繞地球沿同一橢圓軌道同向運動，它們通過軌道上同一點的時間相差半個周期已知軌道近地點離地心的距離是地球半徑R的2倍，衛(wèi)星通過近地點時的速度，式中M為地球質(zhì)量，G為引力常量衛(wèi)星上裝有同樣的角度測量儀，可測出衛(wèi)星與任意兩點的兩條連線之間的夾角試設(shè)計一種測量方案，利用這兩個測量儀測定太空中某星體與地心在某時刻的距離（最后結(jié)果要求用測得量和地球半徑R表示）三、(15分)m子在相對自身靜止的慣性參考系中的平均壽命宇宙射線與大氣在高空某處發(fā)生核反應產(chǎn)生一批m子，以v = 0.99c的速度（c為真

4、空中的光速）向下運動并衰變根據(jù)放射性衰變定律，相對給定慣性參考系，若t = 0時刻的粒子數(shù)為N(0), t時刻剩余的粒子數(shù)為N(t)，則有，式中t為相對該慣性系粒子的平均壽命若能到達地面的m子數(shù)為原來的5，試估算m子產(chǎn)生處相對于地面的高度h不考慮重力和地磁場對m子運動的影響四、(20分)目前，大功率半導體激光器的主要結(jié)構(gòu)形式是由許多發(fā)光區(qū)等距離地排列在一條直線上的長條狀，通常稱為激光二極管條但這樣的半導體激光器發(fā)出的是很多束發(fā)散光束，光能分布很不集中，不利于傳輸和應用為了解決這個問題，需要根據(jù)具體應用的要求，對光束進行必需的變換（或稱整形）如果能把一個半導體激光二極管條發(fā)出的光變換成一束很細的

5、平行光束，對半導體激光的傳輸和應用將是非常有意義的為此，有人提出了先把多束發(fā)散光會聚到一點，再變換為平行光的方案，其基本原理可通過如下所述的簡化了的情況來說明zLS1S3PaaS2ahh如圖，S1、S2、S3 是等距離（h）地排列在一直線上的三個點光源，各自向垂直于它們的連線的同一方向發(fā)出半頂角為a =arctan的圓錐形光束請使用三個完全相同的、焦距為f = 1.50h、半徑為r =0.75 h的圓形薄凸透鏡，經(jīng)加工、組裝成一個三者在同一平面內(nèi)的組合透鏡，使三束光都能全部投射到這個組合透鏡上，且經(jīng)透鏡折射后的光線能全部會聚于z軸（以S2為起點，垂直于三個點光源連線，與光束中心線方向相同的射線

6、）上距離S2為 L = 12.0 h處的P點（加工時可對透鏡進行外形的改變，但不能改變透鏡焦距）1求出組合透鏡中每個透鏡光心的位置2說明對三個透鏡應如何加工和組裝，并求出有關(guān)數(shù)據(jù)rP2P1qRAOaa五、(20分)如圖所示，接地的空心導體球殼內(nèi)半徑為R，在空腔內(nèi)一直徑上的P1和P2處，放置電量分別為q1和q2的點電荷，q1q2q，兩點電荷到球心的距離均為a由靜電感應與靜電屏蔽可知：導體空腔內(nèi)表面將出現(xiàn)感應電荷分布，感應電荷電量等于2q空腔內(nèi)部的電場是由q1、q2和兩者在空腔內(nèi)表面上的感應電荷共同產(chǎn)生的由于我們尚不知道這些感應電荷是怎樣分布的，所以很難用場強疊加原理直接求得腔內(nèi)的電勢或場強但理論

7、上可以證明，感應電荷對腔內(nèi)電場的貢獻，可用假想的位于腔外的（等效）點電荷來代替（在本題中假想(等效)點電荷應為兩個），只要假想的（等效）點電荷的位置和電量能滿足這樣的條件，即：設(shè)想將整個導體殼去掉，由q1在原空腔內(nèi)表面的感應電荷的假想（等效）點電荷與q1共同產(chǎn)生的電場在原空腔內(nèi)表面所在位置處各點的電勢皆為0；由q2在原空腔內(nèi)表面的感應電荷的假想（等效）點電荷與q2共同產(chǎn)生的電場在原空腔內(nèi)表面所在位置處各點的電勢皆為0這樣確定的假想電荷叫做感應電荷的等效電荷，而且這樣確定的等效電荷是唯一的等效電荷取代感應電荷后，可用等效電荷、和q1、q2來計算原來導體存在時空腔內(nèi)部任意點的電勢或場強1試根據(jù)上述

8、條件，確定假想等效電荷、的位置及電量2求空腔內(nèi)部任意點A的電勢UA已知A點到球心O的距離為r，與的夾角為q ABCp-aDE六、(20分)如圖所示，三個質(zhì)量都是m的剛性小球A、B、C位于光滑的水平桌面上（圖中紙面），A、B之間，B、C之間分別用剛性輕桿相連，桿與A、B、C的各連接處皆為“鉸鏈式”的（不能對小球產(chǎn)生垂直于桿方向的作用力）已知桿AB與BC的夾角為p-a ，a < p/2DE為固定在桌面上一塊擋板，它與AB連線方向垂直現(xiàn)令A、B、C一起以共同的速度v沿平行于AB連線方向向DE運動，已知在C與擋板碰撞過程中C與擋板之間無摩擦力作用，求碰撞時當C沿垂直于DE方向的速度由v變?yōu)?這一

9、極短時間內(nèi)擋板對C的沖量的大小xO yv0cabyd七、（25分）如圖所示，有二平行金屬導軌，相距l(xiāng)，位于同一水平面內(nèi)（圖中紙面），處在磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向豎直向下（垂直紙面向里）質(zhì)量均為m的兩金屬桿ab和cd放在導軌上，與導軌垂直初始時刻， 金屬桿ab和cd分別位于x = x0和x = 0處假設(shè)導軌及金屬桿的電阻都為零，由兩金屬桿與導軌構(gòu)成的回路的自感系數(shù)為L今對金屬桿ab施以沿導軌向右的瞬時沖量，使它獲得初速設(shè)導軌足夠長，也足夠大，在運動過程中，兩金屬桿之間距離的變化遠小于兩金屬桿的初始間距，因而可以認為在桿運動過程中由兩金屬桿與導軌構(gòu)成的回路的自感系數(shù)L是恒定不變的桿與導

10、軌之間摩擦可不計求任意時刻兩桿的位置xab和xcd以及由兩桿和導軌構(gòu)成的回路中的電流i三者各自隨時間t的變化關(guān)系第21屆全國中學生物理競賽復賽題參考解答一、開始時U形管右管中空氣的體積和壓強分別為 V2 = HA （1） p2= p1 經(jīng)過2小時，U形管右管中空氣的體積和壓強分別為 （2） （3）滲透室下部連同U形管左管水面以上部分氣體的總體積和壓強分別為 （4） （5）式中r 為水的密度，g為重力加速度由理想氣體狀態(tài)方程可知，經(jīng)過2小時，薄膜下部增加的空氣的摩爾數(shù) （6）在2個小時內(nèi)，通過薄膜滲透過去的分子數(shù) （7）式中NA為阿伏伽德羅常量滲透室上部空氣的摩爾數(shù)減少，壓強下降下降了Dp （8

11、）經(jīng)過2小時滲透室上部分中空氣的壓強為 （9）測試過程的平均壓強差 （10）根據(jù)定義，由以上各式和有關(guān)數(shù)據(jù)，可求得該薄膜材料在0時對空氣的透氣系數(shù) （11）評分標準：本題20分(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各1分，(6)式3分，(7)、(8)、(9)、(10) 式各2分，(11) 式4分二、如圖，衛(wèi)星繞地球運動的軌道為一橢圓，地心位于軌道橢圓的一個焦點O處，設(shè)待測量星體位于C處根據(jù)題意，當一個衛(wèi)星運動到軌道的近地點A時，另一個衛(wèi)星恰好到達遠地點B處，只要位于A點的衛(wèi)星用角度測量儀測出AO和AC的夾角a1，位于B點的衛(wèi)星用角度測量儀測出BO和BC的夾角a2，就可以計算出此時星體C與地心

12、的距離OC因衛(wèi)星橢圓軌道長軸的長度 (1)式中r近、與r遠分別表示軌道近地點和遠地點到地心的距離由角動量守恒ABOa1 (2)式中m為衛(wèi)星的質(zhì)量由機械能守恒 (3)已知C ， 得 (4)所以 (5)在ABC中用正弦定理 (6)所以 (7)地心與星體之間的距離為，在BOC中用余弦定理 (8)由式(4)、(5)、(7)得 (9)評分標準：本題20分(1)式2分，(2)、(3)式各3分，(6) 、(8)式各3分， (9) 式6分三、因m子在相對自身靜止的慣性系中的平均壽命根據(jù)時間膨脹效應，在地球上觀測到的m子平均壽命為t， (1)代入數(shù)據(jù)得 t = 1.4×105s (2)相對地面，若m子

13、到達地面所需時間為t，則在t時刻剩余的m子數(shù)為 (3)根據(jù)題意有 (4)對上式等號兩邊取e為底的對數(shù)得 (5)代入數(shù)據(jù)得 (6)根據(jù)題意，可以把m子的運動看作勻速直線運動，有 (7)代入數(shù)據(jù)得 (8) 評分標準：本題15分 (1)式或(2)式6分，(4)式或(5)式4分，(7) 式2分，(8) 式3分 zaLS1PaS2ahhS3O1O2(S2)O3圖1MMu四、1考慮到使3個點光源的3束光分別通過3個透鏡都成實像于P點的要求，組合透鏡所在的平面應垂直于z軸，三個光心O1、O2、O3的連線平行于3個光源的連線，O2位于z軸上，如圖1所示圖中表示組合透鏡的平面，、為三個光束中心光線與該平面的交點

14、 u就是物距根據(jù)透鏡成像公式 (1)可解得 因為要保證經(jīng)透鏡折射后的光線都能全部會聚于P點，來自各光源的光線在投射到透鏡之前不能交叉，必須有2utana h即u2h在上式中取“”號，代入f 和L的值，算得 1.757h (2)此解滿足上面的條件 分別作3個點光源與P點的連線為使3個點光源都能同時成像于P點，3個透鏡的光心O1、O2、O3應分別位于這3條連線上（如圖1）由幾何關(guān)系知，有 (3) 即光心O1的位置應在之下與的距離為 (4)同理，O3的位置應在之上與的距離為0.146h處由(3)式可知組合透鏡中相鄰薄透鏡中心之間距離必須等于0.854h，才能使S1、S2、S3都能成像于P點2現(xiàn)在討論

15、如何把三個透鏡L1、L2、L3加工組裝成組合透鏡因為三個透鏡的半徑r = 0.75h，將它們的光心分別放置到O1、O2、O3處時，由于0.854h<2r，透鏡必然發(fā)生相互重疊，必須對透鏡進行加工，各切去一部分，然后再將它們粘起來，才能滿足(3)式的要求由于對稱關(guān)系，我們只需討論上半部分的情況0.146h0.854h0.439h0.439hhS1O2 (S2)O1W1W2QQNNTTC1C2圓1圓2圖2x2x1K圖2畫出了L1、L2放在平面內(nèi)時相互交疊的情況（紙面為平面）圖中C1、C2表示L1、L2的邊緣，、為光束中心光線與透鏡的交點，W1、W2分別為C1、C2與O1O2的交點為圓心的圓1

16、和以（與O2重合）為圓心的圓2分別是光源S1和S2投射到L1和L2時產(chǎn)生的光斑的邊緣，其半徑均為 (5)根據(jù)題意，圓1和圓2內(nèi)的光線必須能全部進入透鏡首先，圓1的K點（見圖2）是否落在L1上？由幾何關(guān)系可知 (6)故從S1發(fā)出的光束能全部進入L1為了保證全部光束能進入透鏡組合，對L1和L2進行加工時必須保留圓1和圓2內(nèi)的透鏡部分下面舉出一種對透鏡進行加工、組裝的方法在O1和O2之間作垂直于O1O2且分別與圓1和圓2相切的切線和若沿位于和之間且與它們平行的任意直線對透鏡L1和L2進行切割，去掉兩透鏡的弓形部分，然后把它們沿此線粘合就得到符合所需組合透鏡的上半部同理，對L2的下半部和L3進行切割，

17、然后將L2的下半部和L3粘合起來，就得到符合需要的整個組合透鏡這個組合透鏡可以將S1、S2、S3發(fā)出的全部光線都會聚到P點現(xiàn)在計算和的位置以及對各個透鏡切去部分的大小應符合的條件設(shè)透鏡L1被切去部分沿O1O2方向的長度為x1，透鏡L2被切去部分沿O1O2方向的長度為x2，如圖2所示，則對任意一條切割線， x1、x2之和為 （7）由于必須在和之間，從圖2可看出，沿切割時，x1達最大值(x1M)，x2達最小值(x2m)， 代入r，r 和的值，得 (8)代入(7)式，得 (9)由圖2可看出，沿切割時，x2達最大值(x2M)，x1達最小值(x1m)， 代入r和r 的值，得 (10) （11）由對稱性，

18、對L3的加工與對L1相同，對L2下半部的加工與對上半部的加工相同評分標準：本題20分第1問10分，其中（2）式5分，（3）式5分，第2問10分，其中(5)式3分，(6)式3分，(7)式2分，(8)式、(9)式共1分，(10)式、(11)式共1分如果學生解答中沒有(7)(11)式，但說了“將圖2中三個圓錐光束照射到透鏡部分全部保留，透鏡其它部分可根據(jù)需要磨去（或切割掉）”給3分，再說明將加工后的透鏡組裝成透鏡組合時必須保證O1O2=O1O2=0.854h，再給1分，即給(7)(11)式的全分（4分） 五、1解法：B2B1P2P1OR1aaq圖1S1A1如圖1所示，S為原空腔內(nèi)表面所在位置，的位置

19、應位于的延長線上的某點B1處，的位置應位于的延長線上的某點B2處設(shè)A1為S面上的任意一點，根據(jù)題意有 (1) (2)怎樣才能使 (1) 式成立呢？下面分析圖1中與的關(guān)系若等效電荷的位置B1使下式成立，即 (3)即 (4)則 有 (5) 由 (1)式和 (5)式便可求得等效電荷 (6)由 (3) 式知，等效電荷的位置B1到原球殼中心位置O的距離 (7) 同理，B2的位置應使，用類似的方法可求得等效電荷 (8) 等效電荷的位置B2到原球殼中心O位置的距離 (9) 解法：在圖1中，設(shè)，根據(jù)題意，和兩者在A1點產(chǎn)生的電勢和為零有 （1）式中 （2） （3）由（1）、（2）、（3）式得 （4）（4）式是

20、以為變量的一次多項式，要使（4）式對任意均成立，等號兩邊的相應系數(shù)應相等，即 （5） （6）由（5）、（6）式得 （7）解得 （8）由于等效電荷位于空腔外部，由（8）式求得 （9）由（6）、（9）式有 （10）考慮到（1）式，有 （11）同理可求得 （12） （13）2A點的位置如圖2所示A的電勢由q1、q2、共同產(chǎn)生，即 (10) B2B1P2P1OR1aaqA圖2S因 代入 (10) 式得 (11)評分標準：本題20分第1問18分，解法中(1)、(2)、(6)、(7)、(8)、(9) 式各3分解法的評分可參考解法第2問2分，即(11)式2分BACp-aDEI六、令I(lǐng)表示題述極短時間Dt內(nèi)擋

21、板對C沖量的大小，因為擋板對C無摩擦力作用，可知沖量的方向垂直于DE，如圖所示；表示B、C間的桿對B或C沖量的大小，其方向沿桿方向，對B和C皆為推力；表示Dt末了時刻C沿平行于DE方向速度的大小，表示Dt末了時刻B沿平行于DE方向速度的大小，表示Dt末了時刻B沿垂直于DE方向速度的大小由動量定理，對C有 (1) (2)對B有 (3)對AB有 (4)因為B、C之間的桿不能伸、縮，因此B、C沿桿的方向的分速度必相等故有 (5)由以上五式，可解得 (6)評分標準：本題20分 (1)、(2)、(3)、(4)式各2分 (5)式7分，(6)式5分七、解法：當金屬桿ab獲得沿x軸正方向的初速v0時，因切割磁

22、力線而產(chǎn)生感應電動勢，由兩金屬桿與導軌構(gòu)成的回路中會出現(xiàn)感應電流由于回路具有自感系數(shù)，感應電流的出現(xiàn)，又會在回路中產(chǎn)生自感電動勢，自感電動勢將阻礙電流的增大，所以，雖然回路的電阻為零，但回路的電流并不會趨向無限大，當回路中一旦有了電流，磁場作用于桿ab的安培力將使ab桿減速，作用于cd桿的安培力使cd桿運動設(shè)在任意時刻t，ab桿和cd桿的速度分別為v1和v2（相對地面參考系S），當v1、v2為正時，表示速度沿x軸正方向；若規(guī)定逆時針方向為回路中電流和電動勢的正方向，則因兩桿作切割磁力線的運動而產(chǎn)生的感應電動勢 (1)當回路中的電流i隨時間的變化率為時，回路中的自感電動勢 (2)根據(jù)歐姆定律，注

23、意到回路沒有電阻，有 (3)金屬桿在導軌上運動過程中，兩桿構(gòu)成的系統(tǒng)受到的水平方向的合外力為零，系統(tǒng)的質(zhì)心作勻速直線運動設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心的速度為VC，有 (4)得 (5)VC方向與v0相同，沿x軸的正方向現(xiàn)取一新的參考系，它與質(zhì)心固連在一起，并把質(zhì)心作為坐標原點，取坐標軸與x軸平行設(shè)相對系，金屬桿ab的速度為u，cd桿的速度為，則有 (6) (7)因相對系，兩桿的總動量為零，即有 (8)由(1)、(2)、(3)、(5)、(6) 、(7) 、(8)各式，得 (9)在系中，在t時刻，金屬桿ab坐標為，在tDt時刻，它的坐標為，則由速度的定義 (10)代入 (9) 式得 (11) 若將視為i的函數(shù)，由（1

24、1）式知為常數(shù)，所以與i的關(guān)系可用一直線方程表示 (12) 式中b為常數(shù)，其值待定現(xiàn)已知在t0時刻，金屬桿ab在系中的坐標，這時i = 0，故得 (13) 或 (14) 表示t0時刻金屬桿ab的位置表示在任意時刻t，桿ab的位置，故就是桿ab在t時刻相對初始位置的位移，用X表示， (15) 當X>0時，ab桿位于其初始位置的右側(cè)；當X<0時，ab桿位于其初始位置的左側(cè)代入(14)式，得 (16) 這時作用于ab桿的安培力 (17)ab桿在初始位置右側(cè)時，安培力的方向指向左側(cè)；ab桿在初始位置左側(cè)時，安培力的方向指向右側(cè)，可知該安培力具有彈性力的性質(zhì)金屬桿ab的運動是簡諧振動，振動的

25、周期 (18) 在任意時刻t， ab桿離開其初始位置的位移 (19) A為簡諧振動的振幅，j 為初相位，都是待定的常量通過參考圓可求得ab桿的振動速度 (20) (19)、(20)式分別表示任意時刻ab桿離開初始位置的位移和運動速度現(xiàn)已知在t0時刻，ab桿位于初始位置，即 X = 0，速度 故有 解這兩式，并注意到(18)式得 (21) (22) 由此得ab桿的位移 （23）由 (15) 式可求得ab桿在系中的位置 (24) 因相對質(zhì)心，任意時刻ab桿和cd桿都在質(zhì)心兩側(cè)，到質(zhì)心的距離相等，故在系中，cd桿的位置 (25) 相對地面參考系S，質(zhì)心以的速度向右運動，并注意到（18）式，得ab桿在

26、地面參考系中的位置 (26) cd桿在S系中的位置 （27） 回路中的電流由 (16) 式得 (28) 解法：當金屬桿在磁場中運動時，因切割磁力線而產(chǎn)生感應電動勢，回路中出現(xiàn)電流時，兩金屬桿都要受到安培力的作用，安培力使ab桿的速度改變，使cd桿運動設(shè)任意時刻t，兩桿的速度分別為v1和v2（相對地面參考系S），若規(guī)定逆時針方向為回路電動勢和電流的正方向，則由兩金屬桿與導軌構(gòu)成的回路中，因桿在磁場中運動而出現(xiàn)的感應電動勢為 (1)令u表示ab桿相對于cd桿的速度，有 (2) 當回路中的電流i變化時，回路中有自感電動勢EL，其大小與電流的變化率成正比，即有 (3)根據(jù)歐姆定律，注意到回路沒有電阻，有 由式(2)、(3)兩式得 (4)設(shè)在t時刻，金屬桿ab相對于cd桿的距離為，在tDt時刻，ab相對于cd桿的距離為，則由速度的定義，有 (5)代入 () 式得 (6)若將視為i的函數(shù)