221橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、用一個垂直于圓錐用一個垂直于圓錐的軸的平面截圓錐的軸的平面截圓錐,得到的截面是一個得到的截面是一個圓圓.如果改變平面與如果改變平面與圓錐軸線的夾角圓錐軸線的夾角,會會得到橢圓、拋物線、得到橢圓、拋物線、雙曲線的圖形雙曲線的圖形. 把橢圓、雙曲線、把橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為拋物線統(tǒng)稱為圓錐圓錐曲線曲線.2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程哈爾濱市第哈爾濱市第7373中學(xué)中學(xué) 任學(xué)宇任學(xué)宇平面內(nèi)到兩個定點平面內(nèi)到兩個定點F F1 1、F F2 2的距離的和等于常數(shù)的距離的和等于常數(shù)（大于大于F F1 1F F2 2）的點的軌跡叫橢圓）的點的軌跡叫橢圓定點定點F F1 1、F F2 2叫做橢

2、圓的焦點叫做橢圓的焦點F1F2P橢圓上的點到兩個焦點的距離之和記為橢圓上的點到兩個焦點的距離之和記為2a 2a ；兩焦點之間的距離：焦距，記為兩焦點之間的距離：焦距，記為2c,2c,即即:F:F1 1F F2 22c.2c.說明說明注意注意a c 0橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系 列等式列等式求橢圓的方程可分為哪幾步？求橢圓的方程可分為哪幾步？設(shè)點坐標(biāo)設(shè)點坐標(biāo)列方程列方程化簡方程化簡方程如何建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系？如何建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系？原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單； ( (一般利用對稱軸或已有的互相垂直的

3、線段所在的直線一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線 作為坐標(biāo)軸。作為坐標(biāo)軸。) )yxoF1F2P建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系aPFPF221 yxoF1F2P以直線以直線F1F2為為x軸，線段軸，線段F1F2的垂直平分線為的垂直平分線為y軸，軸，建立如圖坐標(biāo)系。建立如圖坐標(biāo)系。化簡方程化簡方程建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系設(shè)點坐標(biāo)設(shè)點坐標(biāo)代入坐標(biāo)代入坐標(biāo)列等式列等式F1F2 2caycxycx2)()(2222 aPFPF221 yxoF1F2P設(shè)設(shè)P(x,yP(x,y) )為橢圓上的任意一點，為橢圓上的任意一點，F(xiàn)F1 1F F2 22c(c0),2c(c0),則：則：F F1 1

4、(-c,0)(-c,0)、F F2 2(c,0)(c,0)以直線以直線F1F2為為x軸，線段軸，線段F1F2的垂直平分線為的垂直平分線為y軸，軸，建立如圖坐標(biāo)系。建立如圖坐標(biāo)系。化簡方程化簡方程建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系設(shè)點坐標(biāo)設(shè)點坐標(biāo)代入坐標(biāo)代入坐標(biāo)列等式列等式2222)(2)(ycxaycx )ca(ayax)ca(22222222 22242222xccxa2a)yccx2x(a cx4a4y) cx(a4222 ,bca222 0b 0 ca0ca22 222222bayaxb 1byax2222 化簡方程化簡方程建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系設(shè)點坐標(biāo)設(shè)點坐標(biāo)代入坐標(biāo)代入坐標(biāo)列等式列等

5、式方程的推導(dǎo)PF2F1以直線以直線F F1 1F F2 2為為y y軸，線段軸，線段F F1 1F F2 2的垂直平分線為的垂直平分線為x x軸，軸，建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系。方程的推導(dǎo)PF2F1。aPFPF221 a2x) cy(x) cy(2222 a2y) cx(y) cx(2222 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程xOyF1F2P)0(12222 babxayF1(0 ,-c)、F2(0, c)下的分母大下的分母大2x下的分母大下的分母大2yxOyF1F2PF1(-c,0)、F2(c,0)0(12222 babyax222cab 最大最大中中、acba1 1、已知橢圓的方程為：、已知橢圓的方程為：則則a_，

6、b_，c_， 焦點焦點坐標(biāo)為：坐標(biāo)為：_ ，焦距等，焦距等于于_。該橢圓上一點。該橢圓上一點P到焦點到焦點F1的距的距離為離為8，則點，則點P到另一個焦點到另一個焦點F2的距離的距離等于等于_。11003622 yx2 2、若橢圓滿足、若橢圓滿足: : a5 , c3 , , 求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。1162522 yx1251622 yx焦點在焦點在x x軸上軸上例例 寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;, 3, 5. 1軸上焦點在xba192522yx192522yx變式變式兩個焦點的坐標(biāo)分別是兩個焦點的坐標(biāo)分別是(-4-4，0 0),(4 4，0),

7、0),橢圓橢圓上一點到兩焦點距離之和等于上一點到兩焦點距離之和等于1010； 變式變式焦點在焦點在x x軸，焦距為軸，焦距為8 8，橢圓上一點到兩焦，橢圓上一點到兩焦點距離之和等于點距離之和等于1010；變式遷移變式遷移化簡方程：化簡方程：10442222yxyx192522yx125922yx或192522yx例例2.2.已知橢圓兩個焦點的坐標(biāo)分別是已知橢圓兩個焦點的坐標(biāo)分別是(-2 (-2 ，0 ),0 ),(2 (2 ，0),0),并且經(jīng)過點并且經(jīng)過點 ，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程. .2325，16106104123)25().0( 122222222222222yxbababab

8、abyaxx因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以）（由已知得：所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為軸上，解：因為橢圓的焦點在1610621010223)2-25(23)225(2).0( 12222222222222yxcabcaababyaxx因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以又因為所以）（）（由橢圓的定義知方程為軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)解：因為橢圓的焦點在1.1.口答口答: :已知橢圓的方程為：已知橢圓的方程為：則則a a_，b b_，c c_，焦點坐標(biāo)為焦點坐標(biāo)為_ ，焦距等于，焦距等于_._.該橢圓上一點該橢圓上一點P P到焦點到焦點F F1 1的距離為的距離為8 8，則點，則點P P到另一個焦到另一個焦點點F F2 2的距離

9、等于的距離等于_. .11003622yx10106 6(0 (0 ，-8),(0 -8),(0 ，8),8),8 81212161636003610022yx鞏固鞏固練習(xí)：練習(xí)：15c2.2.寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)a = 4,b = 1(1)a = 4,b = 1，焦點在，焦點在x x軸上；軸上；(3)(3)(2)a = 4, (2)a = 4, ,焦點在焦點在y y軸上軸上;:2:1,6a bc鞏固鞏固練習(xí)：練習(xí)：4.4.已知已知 ABCABC的一邊的一邊BCBC長為長為8 8，周長為，周長為1818，求頂點求頂點A A的軌跡方程的軌跡方

10、程. .鞏固鞏固練習(xí)：練習(xí)：3.3.已知橢圓已知橢圓 上一點上一點P P到左焦點到左焦點F F1 1的距離等于的距離等于6 6，則，則 (1)(1)點點P P到右焦點的距離是到右焦點的距離是 ； (2)(2)若若CDCD為過左焦點為過左焦點F F1 1的弦，則的弦，則C CF F1 1F F2 2的的周長為周長為_ ,_ ,CDFCDF2 2的周為的周為 . .13610022yxCxyF1DF2xOy例例1 1、已知一個運油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線、已知一個運油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一個橢圓，它的焦距為是一個橢圓，它的焦距為2.4 m2.4 m，外輪廓線上的點到兩，外輪廓線上的點

11、到兩個焦點的距離和為個焦點的距離和為3 m3 m，求這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程F1F2P解：以兩個焦點解：以兩個焦點F F1 1，F(xiàn) F2 2所在的直線為所在的直線為x x軸，以軸，以線段線段F F1 1F F2 2的垂直平分線為的垂直平分線為y y軸，建立直角坐標(biāo)軸，建立直角坐標(biāo)系，則這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為系，則這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為)0( 12222 babyax根據(jù)題意知，根據(jù)題意知，2a=32a=3，2c=2.42c=2.4，即，即a=1.5a=1.5，c=1.2c=1.2。所以。所以b b2 2=a=a2 2-c -c2 2=1.5=1.52 2-1.2-1.22 2=0.

12、81=0.81，因此，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為181. 025. 222 yx例例2 2、將圓、將圓x x2 2+y+y2 2=4=4上的點的橫坐標(biāo)上的點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊槐３植蛔儯v坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，求所得曲線的方程，并說明半，求所得曲線的方程，并說明它是什么曲線它是什么曲線因為因為xx2 2+y+y2 2=4,=4,所以所以x x2 2+4y+4y2 2=4,=4,即即1422 yx yyxx2這就是變換后所得曲線的方程這就是變換后所得曲線的方程, ,它表示一個橢圓它表示一個橢圓oxy解：設(shè)所得曲線上任一點解：設(shè)所得曲線上任一點P坐標(biāo)為（坐標(biāo)為（x x，y y），圓），圓x x2 2+y+y2 2=4=4上上的對應(yīng)點的對應(yīng)點PP的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（x,