材料力學(xué)-扭轉(zhuǎn)1

1、5-1 扭轉(zhuǎn)概念和工程實(shí)例扭轉(zhuǎn)概念和工程實(shí)例第五章第五章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)5-2 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖5-3 純剪切純剪切5-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力5-5 扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)變形 扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度和剛度計(jì)算扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度和剛度計(jì)算5-6 5-6 扭轉(zhuǎn)靜不定問題扭轉(zhuǎn)靜不定問題5-7 矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)5-1 5-1 扭轉(zhuǎn)概念和工程實(shí)例扭轉(zhuǎn)概念和工程實(shí)例1 1、螺絲刀桿工作時(shí)受扭、螺絲刀桿工作時(shí)受扭。 Me主動(dòng)力偶主動(dòng)力偶阻抗力偶阻抗力偶一、扭轉(zhuǎn)的工程實(shí)例一、扭轉(zhuǎn)的工程實(shí)例2 2、汽車方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)軸工作時(shí)受扭。、汽車方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)軸工作時(shí)受

2、扭。2 2、汽車方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)軸工作時(shí)受扭。、汽車方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)軸工作時(shí)受扭。汽車傳動(dòng)軸汽車傳動(dòng)軸3 3、機(jī)器中的傳動(dòng)軸工作時(shí)受扭。、機(jī)器中的傳動(dòng)軸工作時(shí)受扭。4 4、汽車離合器連接時(shí)受扭。、汽車離合器連接時(shí)受扭。5 5、扳手卸輪胎、扳手卸輪胎二、扭轉(zhuǎn)的概念二、扭轉(zhuǎn)的概念受力特點(diǎn)：受力特點(diǎn)：桿兩端作用著大小相等、轉(zhuǎn)向相反的力偶，且力桿兩端作用著大小相等、轉(zhuǎn)向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于桿的軸線。偶作用面垂直于桿的軸線。Am Me主動(dòng)力偶主動(dòng)力偶阻抗力偶阻抗力偶em變形特點(diǎn)：變形特點(diǎn)：桿桿任意兩個(gè)橫截面將繞桿軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生任意兩個(gè)橫截面將繞桿軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生相對(duì)角位移。這種相對(duì)角位移稱

3、為相對(duì)角位移。這種相對(duì)角位移稱為扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角，用，用 表示表示。 軸：軸：以扭轉(zhuǎn)變形為主的桿件。以扭轉(zhuǎn)變形為主的桿件。一、一、外力偶矩計(jì)算外力偶矩計(jì)算5-25-2外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖按輸入功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算按輸入功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算電機(jī)每秒輸入功：電機(jī)每秒輸入功：外力偶外力偶所做的功所做的功：N m1000() 1(s)sWP1260eenWMM 已知已知軸轉(zhuǎn)速軸轉(zhuǎn)速n 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /分鐘分鐘輸出功率輸出功率P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩MePP已知軸所傳遞的功率和軸的轉(zhuǎn)速，則外力偶矩（Nm）nPm9549P功率，單位為千瓦（KW）n轉(zhuǎn)速，單位為rod/min P功率 ，

4、單位為馬力（PS）n轉(zhuǎn)速，單位為rod/minnPm70241PS=735.5Nm/s , 1kW=1.36PSmm0, 0mTmx T1 1、扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力（截面法）（截面法）xmmmT Tx右段：右段：0, 0TmmxmT 內(nèi)力偶矩內(nèi)力偶矩扭矩扭矩T左段：左段：二、扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力二、扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖圓軸受扭時(shí)其橫截面上的內(nèi)力偶矩稱為圓軸受扭時(shí)其橫截面上的內(nèi)力偶矩稱為扭矩扭矩，用符號(hào)，用符號(hào)T 表示。表示。2 2、扭矩的符號(hào)規(guī)定、扭矩的符號(hào)規(guī)定：按右手螺旋法則判斷按右手螺旋法則判斷。T+T-例題例題： 1、一傳動(dòng)軸作200rmin的勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，軸上裝有五個(gè)輪

5、子。主動(dòng)輪2輸入的功率為60kW，從動(dòng)輪1、3、4、5依次輸出的功率為18kW、12kW、22kW和8kW。試作出該軸的扭矩圖。3 3、內(nèi)力圖（扭矩圖）、內(nèi)力圖（扭矩圖）扭矩圖扭矩圖作法：同軸力圖：作法：同軸力圖：解：解： （一）外力偶矩（一）外力偶矩 （二）求解各段內(nèi)力（二）求解各段內(nèi)力由平衡條件可解得各段內(nèi)力為由平衡條件可解得各段內(nèi)力為 ：負(fù)號(hào)說明與假設(shè)方向相反。負(fù)號(hào)說明與假設(shè)方向相反。 112123123450.862.011.4350.385nnnnMmKN mMmmKN mMmmmKN mMmKN m （三）繪扭矩圖。（三）繪扭矩圖。 扭矩圖扭矩圖1 1、實(shí)驗(yàn)：、實(shí)驗(yàn)：5-3 純剪切

6、純剪切一、一、薄壁圓筒橫截面上的應(yīng)力薄壁圓筒橫截面上的應(yīng)力 薄壁圓筒軸的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒軸的扭轉(zhuǎn)0101rt , r0：平均半徑）(壁厚壁厚2 2、變形規(guī)律：、變形規(guī)律：圓周線圓周線形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度?？v向線縱向線傾斜了同一個(gè)角度，小方格變成了平行四邊形傾斜了同一個(gè)角度，小方格變成了平行四邊形。結(jié)論：結(jié)論：, 0000橫截面上橫截面上可認(rèn)為剪應(yīng)力沿壁厚均勻分布可認(rèn)為剪應(yīng)力沿壁厚均勻分布, , 且方向垂直于其半徑方向。且方向垂直于其半徑方向。根據(jù)對(duì)稱性可知剪應(yīng)力沿圓周均勻分布根據(jù)對(duì)稱性可知剪應(yīng)力沿圓周均勻分布

7、；,Dt Dt3 3、剪應(yīng)力的計(jì)算公式：、剪應(yīng)力的計(jì)算公式：2.2020200trtdrrdATAtrT202d薄壁圓筒橫截面上的剪應(yīng)力計(jì)算薄壁圓筒橫截面上的剪應(yīng)力計(jì)算式式從受扭的薄壁圓筒表面處截取一微小的正六面體從受扭的薄壁圓筒表面處截取一微小的正六面體單元體單元體0zMyzxxzydddddd得得1 1、剪應(yīng)力互等定理剪應(yīng)力互等定理 Lmrtm二、關(guān)于剪應(yīng)力的若干重要性質(zhì)二、關(guān)于剪應(yīng)力的若干重要性質(zhì) 在相互垂直在相互垂直的兩個(gè)平面上，的兩個(gè)平面上，剪應(yīng)力剪應(yīng)力必然成對(duì)必然成對(duì)存在，且數(shù)值相存在，且數(shù)值相等；兩者都垂直等；兩者都垂直于兩個(gè)平面的交于兩個(gè)平面的交線，方向則共同線，方向則共同指向

8、或共同背離指向或共同背離這一交線。這一交線。純剪切純剪切 各個(gè)截面上只有各個(gè)截面上只有剪剪應(yīng)應(yīng)力沒有正應(yīng)力的情況稱為力沒有正應(yīng)力的情況稱為純剪切純剪切剪剪應(yīng)力互等定理：應(yīng)力互等定理：2 2、剪切虎克定律、剪切虎克定律 在在剪剪應(yīng)力的作用下，應(yīng)力的作用下，單元體的直角將發(fā)生微小單元體的直角將發(fā)生微小的改變，這個(gè)改變量的改變，這個(gè)改變量 稱稱為為剪剪應(yīng)變。應(yīng)變。 當(dāng)當(dāng)剪應(yīng)力剪應(yīng)力不超過材料不超過材料的剪切比例極限時(shí)，的剪切比例極限時(shí)，剪剪應(yīng)應(yīng)變變 與與剪應(yīng)力剪應(yīng)力成正比，成正比，這個(gè)關(guān)系稱為這個(gè)關(guān)系稱為剪切胡克定剪切胡克定律律。 GG 剪切彈性模量剪切彈性模量(GN/m2) 各向同性材料，各向同性

9、材料，三個(gè)彈性常數(shù)之間的三個(gè)彈性常數(shù)之間的關(guān)系：關(guān)系：2(1)EG一、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力一、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力一）、幾何關(guān)系一）、幾何關(guān)系：1 1、實(shí)驗(yàn)：、實(shí)驗(yàn)：5-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力觀察變形規(guī)律：觀察變形規(guī)律：圓周線圓周線形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng) 了一個(gè)不同的角度。了一個(gè)不同的角度?？v向線縱向線傾斜了同一個(gè)角度，小方格變成了平行四邊形。傾斜了同一個(gè)角度，小方格變成了平行四邊形。扭轉(zhuǎn)平面假設(shè)扭轉(zhuǎn)平面假設(shè)：變形前的橫截面，變形后仍為平面，且形狀變形前的橫截面，變形后仍為平面，且形狀 、大

10、小、大小 以及間距不變，半徑仍為直線。以及間距不變，半徑仍為直線。定性分析橫截面上的應(yīng)力定性分析橫截面上的應(yīng)力00（1）00（2）因?yàn)橥粓A周上剪應(yīng)變相同，所以同因?yàn)橥粓A周上剪應(yīng)變相同，所以同一圓周上剪應(yīng)力大小相等，并且方向一圓周上剪應(yīng)力大小相等，并且方向垂直于其半徑方向。垂直于其半徑方向。 取楔形體取楔形體O1O2ABCD 為為研究對(duì)象研究對(duì)象微段扭轉(zhuǎn)微段扭轉(zhuǎn)變形變形 d dxRddxBBtgtgxbbdxdddxd二）物理關(guān)系二）物理關(guān)系：PmaxG GdxdG方向垂直于半徑。方向垂直于半徑。d / / dx扭轉(zhuǎn)角變化率扭轉(zhuǎn)角變化率彈性范圍內(nèi)彈性范圍內(nèi)三）靜力關(guān)系：三）靜力關(guān)系：ATdA

11、2AATdAdGdAdxdAIAp2橫截面對(duì)形心的極慣性矩橫截面對(duì)形心的極慣性矩pIdGdxpdTGIdxpTI橫截面上橫截面上 PPPWTITITmaxmaxmax抗扭截面模量抗扭截面模量，整個(gè)圓軸上整個(gè)圓軸上等直桿：等直桿：PWTmaxmax三、公式的使用條件：三、公式的使用條件：1 1、等直的圓軸，、等直的圓軸， 2 2、彈性范圍內(nèi)工作。、彈性范圍內(nèi)工作。I Ip p截面的極慣性矩截面的極慣性矩，單位：，單位：二、圓軸中二、圓軸中max的確定的確定44, mmm.,33mmm單位單位：maxpPIW PW四、圓截面的極慣性矩四、圓截面的極慣性矩 Ip 和抗扭截面系數(shù)和抗扭截面系數(shù)WpAA

12、Id2p162/3ppddIW)d2(202d324dd2dA2/04)4(2d實(shí)心圓截面：實(shí)心圓截面：Odd223pd2DdI4344pp116162/DDdDDIW空心圓截面：空心圓截面：d2dA4432dD 44132DDdDdOd1 1、強(qiáng)度條件、強(qiáng)度條件：2 2、強(qiáng)度條件應(yīng)用、強(qiáng)度條件應(yīng)用：1 1）校核強(qiáng)度）校核強(qiáng)度: : .)1 (16,16433空心空心實(shí)心實(shí)心DDWP5-5 5-5 扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)變形 扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度和剛度計(jì)算扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度和剛度計(jì)算PWTmaxmax PWmaxT2 2）設(shè)計(jì)截面尺寸）設(shè)計(jì)截面尺寸: :3 3）確定外荷載）確定外荷載: :maxTPW一、一、 扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計(jì)算扭

13、轉(zhuǎn)強(qiáng)度計(jì)算max maxpmax WT pmaxmaxWT 等截面圓軸等截面圓軸: :變截面圓軸變截面圓軸: :例例 由無縫鋼管制成的汽車傳動(dòng)軸，由無縫鋼管制成的汽車傳動(dòng)軸，外徑外徑D=89mm、壁厚壁厚 =2.5mm，材材料為料為2020號(hào)鋼，使用時(shí)的號(hào)鋼，使用時(shí)的最大扭矩最大扭矩T=1930Nm, =70MPa. .校核此軸的校核此軸的強(qiáng)度。強(qiáng)度。34340.9450.2(1)0.2 8.9 (1 0.945 )29tdDWD 6max6193066.7 10 Pa29 1066.7MPa 70MPatTW例例 如把上例中的傳動(dòng)軸改為實(shí)心如把上例中的傳動(dòng)軸改為實(shí)心軸，要求它與原來的空心軸強(qiáng)

14、度相軸，要求它與原來的空心軸強(qiáng)度相同，試確定其直徑。并比較實(shí)心軸同，試確定其直徑。并比較實(shí)心軸和空心軸的重量。和空心軸的重量。解：解：當(dāng)實(shí)心軸和空心軸的最大應(yīng)力同當(dāng)實(shí)心軸和空心軸的最大應(yīng)力同 為為 時(shí)，兩軸的許可扭矩分別為時(shí)，兩軸的許可扭矩分別為311 16tTWD34342(1) (90) (1 0.944 ) 1616TDT T1 1=T=T2 2 ，于是有于是有 3341(90) (1 0.944 )D 153.10.0531Dmmm224211(0.0531)22.2 1044DAm223232422()(90 10 )(85 10 ) 6.87 1044ADdm 在兩軸長度相等，材料

15、相同的情況下，兩軸重量之比等于橫在兩軸長度相等，材料相同的情況下，兩軸重量之比等于橫截面面積之比。截面面積之比。42416.87 100.3122.2 10AA可見在載荷相同的條件下，空心軸的重量僅為實(shí)心軸的可見在載荷相同的條件下，空心軸的重量僅為實(shí)心軸的3131% % 。實(shí)心軸和空心軸橫截面面積為實(shí)心軸和空心軸橫截面面積為例例 圖示階梯狀圓軸，AB段直徑 d1=120mm，BC段直徑 d2=100mm 。扭轉(zhuǎn)力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的許用剪應(yīng)力 = 80MPa ，試校核該軸的強(qiáng)度。解解： 1、求內(nèi)力，作出軸的扭矩圖、求內(nèi)力，作出軸的扭矩圖

16、2214T圖（kNm）MA MBMC ACBBC段段MPa3 .71mm10016mmN1014362p2max, 2WTAB段段1p1max, 1WT2 2、計(jì)算軸橫截面上的最大剪應(yīng)力并校核強(qiáng)度、計(jì)算軸橫截面上的最大剪應(yīng)力并校核強(qiáng)度MPa8 .64mm12016mmN102236MPa80即該軸滿足強(qiáng)度條件。即該軸滿足強(qiáng)度條件。2214T圖（kNm）1 1、扭轉(zhuǎn)變形：（相對(duì)扭轉(zhuǎn)角）、扭轉(zhuǎn)變形：（相對(duì)扭轉(zhuǎn)角）PGITdxddxGITLP扭轉(zhuǎn)角單位：弧度（扭轉(zhuǎn)角單位：弧度（radrad） GIP抗扭剛度抗扭剛度。dxGITdPpGITl二、二、 扭轉(zhuǎn)桿的變形計(jì)算扭轉(zhuǎn)桿的變形計(jì)算扭轉(zhuǎn)變形與內(nèi)力計(jì)算

17、式扭轉(zhuǎn)變形與內(nèi)力計(jì)算式1) 1) 扭矩不變的等直軸扭矩不變的等直軸piiiGIlT單位長度的扭轉(zhuǎn)角單位長度的扭轉(zhuǎn)角mradPGITdxd2)2)各段扭矩為不同值的階梯軸各段扭矩為不同值的階梯軸3)3)變截面軸變截面軸dxxGIxTpl)()(x( )pIx)(xT2 2、單位長度扭轉(zhuǎn)角：、單位長度扭轉(zhuǎn)角：3 3、剛度條件：、剛度條件：maxmaxpGITrad/m0/m 許用單位長度扭轉(zhuǎn)角180maxmaxpGIT4 4、剛度條件應(yīng)用：、剛度條件應(yīng)用：1)1)、校核剛度、校核剛度: : max pGTI 3)3)、確定外荷載、確定外荷載: :2)2)、設(shè)計(jì)截面尺寸、設(shè)計(jì)截面尺寸: : maxp

18、GIT max 例題例題：已知m1=1.5kN.m，m2=3kN.m，m3=9kN.m，m4=4.5kN.m；各輪的間距為l1=0.8m，l2=1.0m，l3=1.2m；材料的=80GPa， =0.3/m，G=80GPa.(1)設(shè)計(jì)軸的直徑D；(2)若軸的直徑D0=105mm，試計(jì)算全軸的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角D-A解：1）作扭矩圖 mKNT5 . 4max2）設(shè)計(jì)軸的直徑取 d 102 mmmmTd66163max由剛度條件：mmGTd0211803242max由強(qiáng)度條件：180maxmaxpGITPWTmaxmax 3）計(jì)算全軸的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角D-A。163. 0123pABpBCpCDABBCCDADG

19、IlTGIlTGIlT例題例題：一階梯形圓軸，軸上裝有三個(gè)皮帶輪。軸的直徑分別為d1=40mm，d2=70mm，已知輪3輸入的功率為N3=30kW，輪1輸出的功率為N1=13kW。軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速n=200rmin。若材料的容許剪應(yīng)力=60MPa，G=8104MPa，軸的容許單位長度扭轉(zhuǎn)角為=2m，試校核該軸的強(qiáng)度和剛度。 4)1 (42221dD2221)1 (dD例題： 已知：空心軸和實(shí)心軸材料相同，面積相同,= 0.5。試比較空心軸和實(shí)心軸的強(qiáng)度和剛度情況。解：2）比較強(qiáng)度341113342132(1)1616(1)111pxxpDWMdMWDd空心軸強(qiáng)度實(shí)心軸強(qiáng)度dd1D1面積相同1

20、）確定兩軸尺寸關(guān)系441114442142(1)3232(1)111ppppDGIIdGIIDd空心軸剛度實(shí)心軸剛度3）比較剛度44. 15015 . 0111度心軸2222實(shí)心軸強(qiáng)度強(qiáng)空67. 15 . 015 . 0111心軸2222實(shí)心軸剛度剛度空0.5由，有dd1D1例題例題：有一外徑為100mm、內(nèi)徑為80mm的空心圓軸，與一直徑為80mm的實(shí)心圓軸用鍵相連接。在A輪處由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)，輸入功率N1=150kW；在B、C輪處分別負(fù)載N2=75kW，N3=75kW。若已知軸的轉(zhuǎn)速為n=300rmin，容許剪應(yīng)力=45MPa；鍵的尺寸為10mml0mm30mm，其容許應(yīng)力為=100MPa和c

21、=280MPa。(1)校核空心軸及實(shí)心軸的強(qiáng)度（不考慮鍵槽的影響）；(2)求所需鍵數(shù)n。 P5-6 5-6 扭轉(zhuǎn)靜不定問題已知:AB 階梯軸兩端固定,C 處作用外力偶矩Me, AC抗扭剛度為G1Ip1, CB抗扭剛度為G2Ip2 。求:軸的扭矩。解:1）靜力學(xué)關(guān)系0MMM,0mBAex2）變形幾何關(guān)系0BACABC扭轉(zhuǎn)靜不定問題ABCeMMBACBMAxeMACBabeM3）物理關(guān)系1xAMM12120ABppM aM bG IG I2xBMM 解出:1121112pxeppG I bMMG I bG I a2122212pxeppG I aMMG I bG I aMBACBMAxeMACBabeM11 pACAIGaM2