第2(1)章軸向拉伸與壓縮a

1、軸向拉壓桿的概念軸向拉壓桿的概念軸向拉壓桿的內(nèi)力軸向拉壓桿的內(nèi)力 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形胡克定律胡克定律材料在拉壓時的力學(xué)性質(zhì)材料在拉壓時的力學(xué)性質(zhì)強度條件、安全系數(shù)、許用應(yīng)力強度條件、安全系數(shù)、許用應(yīng)力拉壓桿的超靜定問題拉壓桿的超靜定問題軸向拉壓桿的應(yīng)力軸向拉壓桿的應(yīng)力拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)變能拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)變能應(yīng)力集中的概念應(yīng)力集中的概念比較比較分類法分類法第第2章軸向拉壓章軸向拉壓知識點知識點軸向拉壓的概念軸向拉壓的概念(工程和生活實例工程和生活實例圖片介紹）圖片介紹）軸向拉壓的應(yīng)力軸向拉壓的應(yīng)力（橫截面和斜截面（橫截面和斜截面應(yīng)力公式）應(yīng)力公式）軸向拉壓的力學(xué)性軸向拉壓的力學(xué)性質(zhì)

2、質(zhì)(視頻講解）、視頻講解）、應(yīng)變能、應(yīng)力集中應(yīng)變能、應(yīng)力集中概念概念內(nèi)力、截面法的概念、內(nèi)力、截面法的概念、軸力概念和求法、軸軸力概念和求法、軸力圖的概念和畫法力圖的概念和畫法軸向拉壓的強度條件軸向拉壓的強度條件及其解決的三問題及其解決的三問題軸向拉壓的變形（軸向拉壓的變形（胡克定律、變形計胡克定律、變形計算、泊松比概念）算、泊松比概念）拉壓超靜定問題的拉壓超靜定問題的概念及其解題方法概念及其解題方法比較分析法、幾何比較分析法、幾何分析法分析法軸向拉伸軸向拉伸 線方向伸長線方向伸長 的變形形式的變形形式FFFF 載荷的作用線與桿的軸線重合，使桿產(chǎn)生沿軸載荷的作用線與桿的軸線重合，使桿產(chǎn)生沿軸（

3、軸向壓縮）（軸向壓縮）（縮短）（縮短）木壓桿木壓桿 2. .2 軸向拉壓桿的內(nèi)力軸向拉壓桿的內(nèi)力一一. 內(nèi)力的概念內(nèi)力的概念材料力學(xué)中內(nèi)力指的是：材料力學(xué)中內(nèi)力指的是：物體受到物體受到外力外力作用而產(chǎn)生作用而產(chǎn)生變形變形，所引起的物體內(nèi)部，所引起的物體內(nèi)部各質(zhì)點之間各質(zhì)點之間相互作用力改變量相互作用力改變量的的合力（附近內(nèi)力）合力（附近內(nèi)力）。材料力學(xué)求桿截面內(nèi)力的基本方法是：材料力學(xué)求桿截面內(nèi)力的基本方法是：截面法，截面法，即：截開即：截開 代替代替 平衡平衡。二二. .橫截面上的內(nèi)力和軸力圖橫截面上的內(nèi)力和軸力圖由由 Fx = 0：得到得到FFmmIII0N FFFF NmmIFFNmmF

4、FN1、截面法截面法 軸力的符號規(guī)定：軸力的符號規(guī)定：作用線與桿的軸線重合的內(nèi)力，單位：作用線與桿的軸線重合的內(nèi)力，單位：N、kN。背離截面為背離截面為 + + ，指向截面為，指向截面為 - - ；即軸力為拉力為；即軸力為拉力為正，軸力為壓力為負。正，軸力為壓力為負。FFmmIIImmIFFN2、橫截面上的內(nèi)力（軸力）和內(nèi)力圖（軸力圖）、橫截面上的內(nèi)力（軸力）和內(nèi)力圖（軸力圖）mmFFN（1）軸向拉壓的內(nèi)力）軸向拉壓的內(nèi)力（2 2）軸力圖的概念及其畫法）軸力圖的概念及其畫法軸力圖軸力圖桿的桿的軸力沿軸線變化的圖形。軸力沿軸線變化的圖形。軸力圖的畫法：軸力圖的畫法： 水平桿軸力圖的畫法：水平桿軸

5、力圖的畫法：取縱橫坐標(biāo)軸，橫軸與桿軸線平取縱橫坐標(biāo)軸，橫軸與桿軸線平行，表示桿各截面的位置；縱軸與橫軸垂直，表示桿各截行，表示桿各截面的位置；縱軸與橫軸垂直，表示桿各截面軸力的大??；規(guī)定正軸力畫在橫軸上方，負軸力畫在橫面軸力的大??；規(guī)定正軸力畫在橫軸上方，負軸力畫在橫軸下方。軸下方。 豎直桿軸力圖的畫法：豎直桿軸力圖的畫法：取縱橫坐標(biāo)軸，縱軸與桿軸線平取縱橫坐標(biāo)軸，縱軸與桿軸線平行，表示桿各截面的位置；橫軸表示桿各截面軸力大?。恍校硎緱U各截面的位置；橫軸表示桿各截面軸力大?。徽撦S力畫在桿的那一側(cè)由自己定。正負軸力畫在桿的那一側(cè)由自己定。內(nèi)力圖內(nèi)力圖桿的桿的內(nèi)力沿軸線變化的圖形內(nèi)力沿軸線變化

6、的圖形（軸力圖、扭矩圖、（軸力圖、扭矩圖、彎矩圖、剪力圖）彎矩圖、剪力圖）。注意：畫內(nèi)力圖要標(biāo)（圖名、控制點注意：畫內(nèi)力圖要標(biāo)（圖名、控制點數(shù)值、正負號、單位）數(shù)值、正負號、單位）例例 1 畫出圖畫出圖示直桿示直桿（多力桿多力桿）的的軸力圖。軸力圖。解解：F =18kN1F =4kN3F =8kN21- -1截面：截面：03211N FFFF求得：求得：1. .求軸力求軸力由由 Fx= 0：F 1F 3F 2FN1kN63211N FFFF11注意：用截面法求軸力前，先假定所求截面上的軸力注意：用截面法求軸力前，先假定所求截面上的軸力為拉力，其目的便于畫出桿的正確軸力圖。為拉力，其目的便于畫出

7、桿的正確軸力圖。F 3F 2FN2kN12322N FFFkN61N F2- -2截面：截面：0322N FFF求得：求得：由由 Fx = 0：F =18kN1F =4kN3F =8kN211解解：1- -1截面：截面：1. .求軸力求軸力22F 3FN3kN433N FF03N3N FF求得：求得：由由 Fx = 0：kN122N F3- -3截面：截面：F =18kN1F =4kN3F =8kN23311222- -2截面：截面：解解：1- -1截面：截面：1. .求軸力求軸力kN61N FkN43N FF =18kN1F =4kN3F =8kN21133223- -3截面：截面：2- -

8、2截面：截面：解解：1- -1截面：截面：1. .求軸力求軸力kN122N FkN61N F討論：討論： 1在求內(nèi)力時，能否將外力進行平移在求內(nèi)力時，能否將外力進行平移 ？注意：注意： 1在用截面法求內(nèi)力時不能隨意進行力的平移；在用截面法求內(nèi)力時不能隨意進行力的平移； 2用截面法一次只能求出一個截面上的內(nèi)力。用截面法一次只能求出一個截面上的內(nèi)力。 2能否一次求出兩個截面上的內(nèi)力能否一次求出兩個截面上的內(nèi)力 ？kN43N F 軸力圖不僅能顯示出各段的軸力大小，軸力圖不僅能顯示出各段的軸力大小，而且能顯示而且能顯示出各段的變形是拉伸還是壓縮。出各段的變形是拉伸還是壓縮。2. .作軸力圖作軸力圖FO

9、xN6kN4kN12kNF =18kN1F =4kN3F =8kN21133223- -3截面：截面：2- -2截面：截面：解解：1- -1截面：截面：1. .求軸力求軸力kN122N FkN61N F試作圖試作圖a所示桿的軸力圖。所示桿的軸力圖。練習(xí)練習(xí)1. 用截面法分別求各段桿的軸力。用截面法分別求各段桿的軸力。為求軸力方為求軸力方便，先求出便，先求出約束力約束力 FR=10 kN。在在AB段用段用1-1截面將桿截面將桿截開，以左端桿為分截開，以左端桿為分離體（圖離體（圖c），由），由S SFx=0 得得FN1=10 kN(拉力拉力)10kN練習(xí)練習(xí)解解:以圖以圖d為分離體，由為分離體，由

10、S SFx=0，得，得FN2=50 kN(拉力拉力)10kN40kN練習(xí)練習(xí)取截面取截面33右邊為分離體（圖右邊為分離體（圖e e），假設(shè)軸力為），假設(shè)軸力為拉力。拉力。同理，同理，F(xiàn)N4=20 kN ( (拉力拉力) )由由S SFx=0，得，得FN3= -5 kN （壓力）。（壓力）。 (e)25kN20kN練習(xí)練習(xí)由軸力圖可見由軸力圖可見kN502NmaxN, FF2. 以橫坐標(biāo)表示橫截面位置，縱坐標(biāo)表示軸力以橫坐標(biāo)表示橫截面位置，縱坐標(biāo)表示軸力的大小，由以上結(jié)果作軸力圖如圖所示。的大小，由以上結(jié)果作軸力圖如圖所示。練習(xí)練習(xí)例例2 2 桿受力如圖，容重桿受力如圖，容重 , ,橫截面面積為

11、橫截面面積為A,畫出軸力圖。畫出軸力圖。解解:(:(1 1）求軸力）求軸力F FN N（x x）x 0:0NAxPxFFxAxPxF )(N( (2 2）畫軸力圖）畫軸力圖xPPxFN（X） FNxP+ALP2.3 2.3 軸向拉壓桿的應(yīng)力軸向拉壓桿的應(yīng)力一一. . 研究應(yīng)力的意義研究應(yīng)力的意義 在求出截面上的內(nèi)力后，并不能判斷構(gòu)件是否破壞。在求出截面上的內(nèi)力后，并不能判斷構(gòu)件是否破壞。 構(gòu)件的破壞與構(gòu)件的破壞與單位面積上的內(nèi)力單位面積上的內(nèi)力有關(guān)有關(guān)FFAFF2A下面兩根材料相同的桿件哪一根容易破壞？下面兩根材料相同的桿件哪一根容易破壞？ 應(yīng)力應(yīng)力 單位面積（單位面積（1 1m2 2）上的內(nèi)

12、力（即內(nèi)力的集度）。）上的內(nèi)力（即內(nèi)力的集度）。MAFMpAFp 平平均均應(yīng)應(yīng)力力AdFdAFplim0A 一點的應(yīng)力一點的應(yīng)力壓為負；壓為負；拉為正,拉為正, 定：定：與截面垂直的應(yīng)力，規(guī)與截面垂直的應(yīng)力，規(guī)正應(yīng)力正應(yīng)力： .MPa10GPa1Pa,10GPa1,N/mm1MPa1Pa,10MPa1Pa,101kPaPa,11mN1392632 : :單位單位產(chǎn)生逆時針力矩為負。產(chǎn)生逆時針力矩為負。 生順時針力矩為正,生順時針力矩為正,產(chǎn)產(chǎn) 定：定：與截面相切的應(yīng)力；規(guī)與截面相切的應(yīng)力；規(guī)切（剪）應(yīng)力切（剪）應(yīng)力： 二、應(yīng)力的概念二、應(yīng)力的概念三、拉壓桿橫截面上的應(yīng)力三、拉壓桿橫截面上的應(yīng)力

13、1、幾何分析、幾何分析 變形現(xiàn)象：變形現(xiàn)象： 推知：推知： （1）橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于軸線橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于軸線 平面假設(shè)平面假設(shè) （2）兩橫截面間的縱向線段伸長相同兩橫截面間的縱向線段伸長相同( (均勻變形），均勻變形），即橫截面上各點的變形都相等。即橫截面上各點的變形都相等。 兩橫向線相對平移兩橫向線相對平移adcbFFadcb （2）應(yīng)力的方向與軸應(yīng)力的方向與軸力相同。力相同。 （1）橫截面上各點橫截面上各點的的內(nèi)力都相等，即橫截面上內(nèi)力都相等，即橫截面上各點的正應(yīng)力都相等，或：各點的正應(yīng)力都相等，或：橫截面上應(yīng)力均勻分布。橫截面上應(yīng)力均勻分布。 FF N 結(jié)論

14、：結(jié)論：2. .物理分析物理分析adcbFFadcb3. 靜力平衡靜力平衡由由 積分得積分得AdFd NAA dF N正應(yīng)力公式正應(yīng)力公式正應(yīng)力的符號規(guī)定：正應(yīng)力的符號規(guī)定： 拉應(yīng)力為拉應(yīng)力為 + +，壓應(yīng)力為，壓應(yīng)力為 - -。 拉應(yīng)力拉應(yīng)力背離截面的應(yīng)力背離截面的應(yīng)力 壓應(yīng)力壓應(yīng)力指向截面的應(yīng)力指向截面的應(yīng)力AFN adcbFFadcbFF N 當(dāng)?shù)戎睏U受幾個軸向外力作用時，由軸力圖可求當(dāng)?shù)戎睏U受幾個軸向外力作用時，由軸力圖可求得其最大軸力得其最大軸力FN,max，代入上述公式，即得桿的最大，代入上述公式，即得桿的最大正應(yīng)力：正應(yīng)力：AFmaxN,max最大軸力所在的橫截面稱為最大軸力所在

15、的橫截面稱為危險截面危險截面，危險截面上的，危險截面上的正應(yīng)力稱為正應(yīng)力稱為最大工作應(yīng)力（危險應(yīng)力）最大工作應(yīng)力（危險應(yīng)力）。注意：注意： (1) 上述正應(yīng)力計算公式來自于平截面假設(shè)；上述正應(yīng)力計算公式來自于平截面假設(shè)；對于某些特定桿件對于某些特定桿件,例如鍥形變截面桿，受拉伸例如鍥形變截面桿，受拉伸(壓縮壓縮)時，平截面假設(shè)不成立，故原則上不宜用上式計算其時，平截面假設(shè)不成立，故原則上不宜用上式計算其橫截面上的正應(yīng)力；若截面沿軸線變化緩慢，正應(yīng)力橫截面上的正應(yīng)力；若截面沿軸線變化緩慢，正應(yīng)力公式可近似用。公式可近似用。 (2) 即使是等直桿，在外力作用點附近，橫截面上即使是等直桿，在外力作用

16、點附近，橫截面上的應(yīng)力情況復(fù)雜，實際上也不能應(yīng)用上述公式。的應(yīng)力情況復(fù)雜，實際上也不能應(yīng)用上述公式。 (3) 圣維南圣維南(Saint-Venant)原理：原理：“力作用于桿端力作用于桿端方式的不同，只會使與桿端距離不大于桿的橫向尺方式的不同，只會使與桿端距離不大于桿的橫向尺寸的范圍內(nèi)受到影響寸的范圍內(nèi)受到影響”。適用范圍適用范圍 （1）載荷的作用線必須與軸線重合）載荷的作用線必須與軸線重合 （2）不適應(yīng)于集中力作用點附近的區(qū)域不適應(yīng)于集中力作用點附近的區(qū)域 （圣文南原理）（圣文南原理）) )( () )( () )( (即：即：xAxFxN 作用于彈性體上某一局部區(qū)域內(nèi)的外力系，可作用于彈性

17、體上某一局部區(qū)域內(nèi)的外力系，可以用與它靜力等效的力系來代替。經(jīng)過代替，只對以用與它靜力等效的力系來代替。經(jīng)過代替，只對原力系作用區(qū)域附近有顯著影響，但對較遠處，其原力系作用區(qū)域附近有顯著影響，但對較遠處，其影響即可不計。影響即可不計。 由圣維南原理可知：由圣維南原理可知：下圖中的下圖中的(b)、(c)、(d)都可以用同一計算簡圖（都可以用同一計算簡圖（a）來代替，從而圖形得）來代替，從而圖形得到很大程度的簡化。到很大程度的簡化。圣維南原理或者這樣說：圣維南原理或者這樣說：圣維南原理運用圣維南原理運用例例3 3 懸臂吊車，斜桿懸臂吊車，斜桿ABAB為直徑為直徑d=20mm的鋼桿，起吊的鋼桿，起吊

18、重物重物Q=15KN，求，求AB的最大工作應(yīng)力。的最大工作應(yīng)力。CL2TU1QBC C1.9m0.8mA例例3 3 懸臂吊車，斜桿懸臂吊車，斜桿ABAB為直徑為直徑d=20mm的鋼桿，起吊的鋼桿，起吊重物重物Q=15KN，求，求AB的最大工作應(yīng)力。的最大工作應(yīng)力。（1 1）分析）分析AB受力、并求受力、并求其內(nèi)力其內(nèi)力: :當(dāng)當(dāng)Q移到移到A點時點時AB桿受力桿受力最大，取結(jié)點最大，取結(jié)點A研究研究解：解：CL2TU1QBC C1.9m0.8mAABFNACFN:0yF)kN(7 .38)N(107 .38388. 01015388. 09 . 18 . 08 . 033N22sinABF0si

19、nNQFABsin/NQFAB不計變形帶來的結(jié)構(gòu)尺寸變化，仍不計變形帶來的結(jié)構(gòu)尺寸變化，仍按未變形尺寸計算。按未變形尺寸計算。QABCAQBCBC1.9m0.8m(2)(2)求求ABAB桿的最大工作應(yīng)力桿的最大工作應(yīng)力MPa 123Pa101234/)1020(107 .386323NAFAB 試求圖試求圖a所示正方形所示正方形磚柱由于荷載引起的橫磚柱由于荷載引起的橫截面上的最大工作應(yīng)力。截面上的最大工作應(yīng)力。已知已知F = 50 kN。 例例 41. .作軸力圖如圖所示。分別求各段柱的作軸力圖如圖所示。分別求各段柱的工作應(yīng)力。工作應(yīng)力。段柱橫截面上的正應(yīng)力段柱橫截面上的正應(yīng)力 段柱橫截面上的

20、正應(yīng)力段柱橫截面上的正應(yīng)力 MPa87. 0Pa1087. 0 )m24. 0()m24. 0(N10506311N1 AF ( (壓應(yīng)力壓應(yīng)力) ) MPa1 . 1Pa101 . 1 m37. 0m37. 0N101506322N2 AF ( (壓應(yīng)力壓應(yīng)力) )例例 4 試求薄壁圓環(huán)在內(nèi)壓力作用下徑向截面上的試求薄壁圓環(huán)在內(nèi)壓力作用下徑向截面上的拉應(yīng)力。已知：拉應(yīng)力。已知：d = 200 mm，d d= 5 mm，p = 2 MPa。 例例 5 薄壁圓環(huán)薄壁圓環(huán)(d )在內(nèi)壓力作用下，徑向截面在內(nèi)壓力作用下，徑向截面上的拉應(yīng)力可認為沿壁厚均勻分布，故在求出徑上的拉應(yīng)力可認為沿壁厚均勻分布

21、，故在求出徑向截面上的法向力向截面上的法向力FN后，用式后，用式 FN/(b)求拉應(yīng)力。求拉應(yīng)力。 例例 5解解: :用徑向截面將薄壁圓環(huán)截開，取其上半部分為分離用徑向截面將薄壁圓環(huán)截開，取其上半部分為分離體，如圖體，如圖b所示。分布力的合力為所示。分布力的合力為pbddpbF )sind2(0RMPa 40Pa 1040 m) 102(5m) Pa)(0.2 102(2)2(163-6N d dd d pdpbdbAF由由S SFy=0，得，得22RNpbaFF 徑向截面上的拉應(yīng)力徑向截面上的拉應(yīng)力為為例例 5實驗表明：實驗表明： 有些構(gòu)件是沿橫截面破壞的有些構(gòu)件是沿橫截面破壞的 有些構(gòu)件則

22、是沿斜截面破壞的有些構(gòu)件則是沿斜截面破壞的四、拉壓桿四、拉壓桿斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力低碳鋼軸向拉伸低碳鋼軸向拉伸鑄鐵軸向壓縮鑄鐵軸向壓縮1. .斜截面上的內(nèi)力斜截面上的內(nèi)力 斜截面上：斜截面上：FF NFFN 橫截面上：橫截面上：FFkkN N 即：即：NNFFFFkk mn橫截面上：橫截面上：斜截面上：斜截面上：全應(yīng)力全應(yīng)力AFAFNcosAAAFpN2. .斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力FFkkN N p FFkk mA A cosAFNcos 正應(yīng)力和切應(yīng)力：正應(yīng)力和切應(yīng)力：cospcospsinp結(jié)論：結(jié)論： 和和 是是 的函數(shù)。的函數(shù)。2. .斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力2sin

23、2 Fkkp nt FFkk mA ApFFkkN N 2cos1. .橫截面橫截面 = = 0 0 ，max0 2. .縱截面縱截面 = = 90 0 ，09090 3. .斜截面斜截面 = = 45 ， ,245 4. .斜截面斜截面 = = - -45 ， ,245 F 0 ,0 max452 min452 2cos 2sin2 幾個特殊截面上的應(yīng)力幾個特殊截面上的應(yīng)力思考思考：1. 寫出圖示拉桿其斜截面寫出圖示拉桿其斜截面k-k上的正應(yīng)力上的正應(yīng)力 和切應(yīng)力和切應(yīng)力 與橫截面上正應(yīng)力與橫截面上正應(yīng)力 0的關(guān)系。并示出它的關(guān)系。并示出它們在圖示分離體的斜截面?zhèn)冊趫D示分離體的斜截面k-k上

24、的指向。上的指向。 2. 拉桿內(nèi)不同方位截面上的正應(yīng)力其最大值出拉桿內(nèi)不同方位截面上的正應(yīng)力其最大值出現(xiàn)在什么截面上？絕對值最大的切應(yīng)力又出現(xiàn)在現(xiàn)在什么截面上？絕對值最大的切應(yīng)力又出現(xiàn)在什么樣的截面上？什么樣的截面上？ FF45Fkk 3. 對于拉對于拉(壓壓)桿知道了其橫截面上一點處正應(yīng)力桿知道了其橫截面上一點處正應(yīng)力 0(其上的其上的切應(yīng)力切應(yīng)力 0= 0)，是否就可求出所有方位的截面上該點處的應(yīng)，是否就可求出所有方位的截面上該點處的應(yīng)力，從而確定該點處所有不同方位截面上應(yīng)力的全部情況力，從而確定該點處所有不同方位截面上應(yīng)力的全部情況該點處的該點處的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)(state of st

25、ress)？ 單元體：圍繞某點所取的微小正方體，單元體是代表某一個點單元體：圍繞某點所取的微小正方體，單元體是代表某一個點的。的。單元體的特點單元體的特點：（1）單元體每個面上各點的應(yīng)力均勻分布；）單元體每個面上各點的應(yīng)力均勻分布；（2）單元體上相互平行面上的應(yīng)力相等。）單元體上相互平行面上的應(yīng)力相等。PPAP/A A對于軸向拉壓桿，一點處的應(yīng)力狀態(tài)由橫截面上的正應(yīng)力即可對于軸向拉壓桿，一點處的應(yīng)力狀態(tài)由橫截面上的正應(yīng)力即可完全確定，這樣的應(yīng)力狀態(tài)稱為完全確定，這樣的應(yīng)力狀態(tài)稱為單軸（向）應(yīng)力狀態(tài)單軸（向）應(yīng)力狀態(tài)。2. .4 4 軸向拉壓桿的變形、胡克定律軸向拉壓桿的變形、胡克定律一、縱向變

26、形和橫向變形一、縱向變形和橫向變形二、胡克定律二、胡克定律三、縱向變形和橫向變形關(guān)系三、縱向變形和橫向變形關(guān)系四、公式的應(yīng)用范圍與注意事項四、公式的應(yīng)用范圍與注意事項一、縱向變形和橫向變形一、縱向變形和橫向變形 縱向線應(yīng)變：縱向線應(yīng)變：1. .縱向變形縱向變形lll 1ll 符號：伸長為符號：伸長為 +，縮短為，縮短為 l 縱向伸長：縱向伸長：Flll 1F 線應(yīng)變無量綱線應(yīng)變無量綱注意：上式所表達的是在長度注意：上式所表達的是在長度l 內(nèi)的平均內(nèi)的平均線應(yīng)變，當(dāng)沿桿長度均勻變形時，就等于線應(yīng)變，當(dāng)沿桿長度均勻變形時，就等于沿長度各點處的縱向線應(yīng)變。當(dāng)沿桿長度沿長度各點處的縱向線應(yīng)變。當(dāng)沿桿長

27、度為非均勻變形時（如桿在自重作用下的變?yōu)榉蔷鶆蜃冃螘r（如桿在自重作用下的變形），上式并不代表沿長度各點處的縱向形），上式并不代表沿長度各點處的縱向線應(yīng)變，為了研究一點處的線應(yīng)變，可圍線應(yīng)變，為了研究一點處的線應(yīng)變，可圍繞該點取一個單元體：繞該點取一個單元體：x 截面處沿截面處沿x方向的縱向平均線應(yīng)變?yōu)榉较虻目v向平均線應(yīng)變?yōu)?xxd d 圖示一般情況下在不同截面處桿的橫截面上的圖示一般情況下在不同截面處桿的橫截面上的軸力不同，故不同截面的變形不同。軸力不同，故不同截面的變形不同。lxf沿桿長均勻分布沿桿長均勻分布的荷載集度為的荷載集度為 ffl軸力圖軸力圖)(xxffxxxd微段的分離體微段的分

28、離體線應(yīng)變的正負規(guī)定：伸長時為正，縮短時為負。線應(yīng)變的正負規(guī)定：伸長時為正，縮短時為負。 一般情況下，桿沿一般情況下，桿沿x方向的總變形方向的總變形 lxxl0d x截面處沿截面處沿x方向的縱向線應(yīng)變?yōu)榉较虻目v向線應(yīng)變?yōu)?xxxxxxddlim0d dd d lxf沿桿長均勻分布沿桿長均勻分布的荷載集度為的荷載集度為 ffl軸力圖軸力圖)(xxffxxxd微段的分離體微段的分離體 橫向線應(yīng)變：橫向線應(yīng)變： 橫向縮短：橫向縮短：橫向變形與縱向變形反號橫向變形與縱向變形反號bbb 1bb bbb 2b 212. .橫向變形橫向變形Flll 1F二、胡克定律二、胡克定律( (英國科學(xué)家英國科學(xué)家 H

29、ookeHooke，16761676年發(fā)現(xiàn)年發(fā)現(xiàn)) )1. . 第一種形式第一種形式實驗表明：當(dāng)載荷小于某一數(shù)值時實驗表明：當(dāng)載荷小于某一數(shù)值時引入比例常數(shù)引入比例常數(shù)E，因，因F=FN，有，有AFll EAlFlN Flll 1F E材料的彈性模量。材料的彈性模量。反映材料抵抗彈性變形的能力，反映材料抵抗彈性變形的能力，單位：單位：Pa EA桿的抗拉桿的抗拉( (壓壓) )剛度。剛度。表明桿抵抗縱向彈性變形的能力表明桿抵抗縱向彈性變形的能力2. .第二種形式第二種形式 將第一種形式改寫成將第一種形式改寫成即即llEAF N E 稱為應(yīng)力稱為應(yīng)力應(yīng)變應(yīng)變關(guān)系關(guān)系Flll 1FEAlFlN 三三

30、. .縱向變形和橫向變形關(guān)系縱向變形和橫向變形關(guān)系實驗表明：當(dāng)載荷小于某一數(shù)值時實驗表明：當(dāng)載荷小于某一數(shù)值時式中式中 泊松比泊松比，為，為無量綱量，無量綱量， ( (Poisson, 法國科學(xué)家法國科學(xué)家) )即即 為材料常數(shù)為材料常數(shù) bbb 2b 21Flll 1F2 2）構(gòu)件的工作應(yīng)力）構(gòu)件的工作應(yīng)力p（線彈性范圍內(nèi)）；3 3）軸力）軸力FN、橫截面面積、橫截面面積A為常量為常量等直桿兩端等直桿兩端受軸向力；受軸向力；討論討論：1.1.軸力變化時軸力變化時1）l為為“+ +”時伸長，為時伸長，為“- -”時縮短，符號規(guī)定與時縮短，符號規(guī)定與軸力一致。拉為軸力一致。拉為“+ +”，壓為，

31、壓為“- -”，算變形，算變形l 時，時，公式中的軸力公式中的軸力FN要考慮正負號要考慮正負號 。BCABlllEAlFEAlFBCAB2N1N2.2.橫截面變化時：橫截面變化時：BCABlll四四. . 公式的應(yīng)用范圍與注意事項公式的應(yīng)用范圍與注意事項3P1PBC1l2l2PACAB階梯狀桿AElFlxxEAxFld)()(dNlxxEAxFld)()(N徐變截面桿：xdxdx)(xFN)(NxF錐角錐角較度小，如較度小，如 10lFF 例例6 圖示桿，圖示桿，1段為直徑段為直徑 d1=20mm的圓桿，的圓桿，2段為段為邊長邊長a=25mm的方桿，的方桿，3段為直徑段為直徑d3=12mm的圓

32、桿。的圓桿。已知已知2段桿內(nèi)的應(yīng)力段桿內(nèi)的應(yīng)力2=-30MPa，E=210GPa，求整個，求整個桿的伸長桿的伸長l解解: :KN75.182530222AF33N322N211N1AElFAElFAElFl4012. 02 . 0025. 04 . 0402. 02 . 010210187502229l縮縮短短）( mm272. 0123FFm2 . 0m2 . 0m4 . 0例7 求受拉錐度桿的總伸長量求受拉錐度桿的總伸長量FF2d1dLxdxx xFN xFN xA解解：徐變截面桿取徐變截面桿取dxdx微段研究微段研究： )1 (222122122LxddddxLdddxtgdxdLddt

33、g221故： FxFLxddddxdxAN2221222)1 (44由由xxEAxFld)()()d(N210224)(4)(4)(dEdFLdxxdEFlxdEdxFldL 圖示桿系中，荷載圖示桿系中，荷載 P = 100 kN。試求結(jié)點試求結(jié)點A的位的位移移 A。已知：。已知： = 30 ，l = 2 m，兩桿直徑均為，兩桿直徑均為d = 25 mm，材料的彈性模，材料的彈性模量為量為 E = 210 GPa。 例題例題 求拉（壓）桿系節(jié)點位移的關(guān)鍵在于確定變形后節(jié)求拉（壓）桿系節(jié)點位移的關(guān)鍵在于確定變形后節(jié)點的位置。本例中，解除鉸鏈點的位置。本例中，解除鉸鏈A 的約束，設(shè)的約束，設(shè)1，2

34、 桿的伸長量分別為桿的伸長量分別為 l1和和 l2， 分別以分別以B和和C為圓心，以為圓心，以l1 + l1 和和l2 + l2為半徑畫圓弧，為半徑畫圓弧， 兩圓弧的交點兩圓弧的交點A為變形后為變形后A點點 的精確位置。但在小變形時，的精確位置。但在小變形時， l1l1， l2l2，可近似用，可近似用A1B和和A2C的垂線代替圓弧，得到交點的垂線代替圓弧，得到交點A作為變形后作為變形后A點的點的位置。再根據(jù)位移圖所示的幾何關(guān)系求位置。再根據(jù)位移圖所示的幾何關(guān)系求A的位移。的位移。 l1 l2(b)例題例題由胡克定律得由胡克定律得 cos22N1N21EAPlEAlFEAlFll 其中其中 24

35、dA 解解: 1. 分別求分別求1，2兩桿的軸力及伸長兩桿的軸力及伸長 cos22N1NPFF 2N1NFF 0- coscos2N1N PFF 由結(jié)點由結(jié)點A 的平衡方程得的平衡方程得 例題例題2. 求求A點的位移點的位移 由圖由圖b可見可見因為因為 l1= l2，所以，所以 Ax=0 21cos2cosEAPllAAAy )(1.293mmm10293. 130cos)m1025(4)Pa10210(2)m2)(N10100(322393 Ay l1 l2(b)例題例題在小變形情況下，確定桿系變形后的位置時，在小變形情況下，確定桿系變形后的位置時，用桿端垂線代替圓弧線是本題的重點也是難點，

36、用桿端垂線代替圓弧線是本題的重點也是難點，一定要掌握。一定要掌握。2. 桿系節(jié)點桿系節(jié)點A的位移是因桿件變形所引起，但兩的位移是因桿件變形所引起，但兩者雖有聯(lián)系但又有區(qū)別。變形是指桿件幾何尺者雖有聯(lián)系但又有區(qū)別。變形是指桿件幾何尺寸的改變，是個標(biāo)量；位移是指結(jié)點位置的移寸的改變，是個標(biāo)量；位移是指結(jié)點位置的移動，是個矢量，它除了與桿件的變形有關(guān)以外，動，是個矢量，它除了與桿件的變形有關(guān)以外，還與各桿件所受約束有關(guān)。還與各桿件所受約束有關(guān)。 注意：注意：解:cos221PFFNNcos2121EAPlEAlFllNEAPll2cos1d解:0,21NNFPFlPlEAl120,1NF2NFP例例

37、9 9 求圖示結(jié)構(gòu)結(jié)點求圖示結(jié)構(gòu)結(jié)點A A的垂的垂直位移和水平位移。直位移和水平位移。AxddctgEAPlctglx1ydEAPlly1dBDC4m3mBCBC桿為圓鋼，直徑桿為圓鋼，直徑d=20mmd=20mm，BDBD桿為桿為8 8號槽鋼。號槽鋼。 =160MPa=160MPa，E=200GPaE=200GPa，P=60KNP=60KN，試求，試求B B點的位移。點的位移。解解：（1）分析構(gòu)件受力：取B點研究P1NF2NFPkNPFkNPFNN7545454321（“-”表示2NF與圖示方向相反，為壓力）B例例10 10 簡單托架如圖，簡單托架如圖，BDC3mP1NF2NFP4m（2）分

38、析計算B點的位移：假想把B節(jié)點松開，BB1B2B222222111111BBAELFlBBAELFlNN受力后B點移到B其位移2121BBBBBB3B4Bsin231lBBctgBBBB3231232cosllBBBBBBBB33111l2lmBBAELFcmAmBBAELFNN349322222222362931111111083.11024.10102005107524.101015.2102041020031045查查型型鋼鋼表表得得mctgBBBBBB31223311109.3)cos(sinmBBBBBB321211045.4解：1）求軸力FN（x）0)(:0AxFxFFNxAxFx

39、FN)(2）求變形： 取微段dx研究dxxAFEEAdxxFdxN)(1)()(FNxF+ALFFFxxxdxFN（x）例例11 11 求考慮自重影響的等直桿變形。已知求考慮自重影響的等直桿變形。已知P P、桿、桿長長L L、A A、E E、容重、容重 。dxFN（x）+d FN（x）FN（x）ELEAFLdxxAFElL2)(120 求例題求例題2-4中所示薄壁圓環(huán)的直徑改變量中所示薄壁圓環(huán)的直徑改變量 d。已。已知知E=210GPa，d=200mm，d d=5mm，p=2MPa。例例 12解解: 1. 由例題由例題2-4已求出圓環(huán)徑向截面上的正應(yīng)力為已求出圓環(huán)徑向截面上的正應(yīng)力為MPa40

40、2pdbFN例例 122. 因為因為p ，所以在計算變形時可忽略內(nèi)壓力的，所以在計算變形時可忽略內(nèi)壓力的影響，則薄壁圓環(huán)沿圓環(huán)切向的線應(yīng)變影響，則薄壁圓環(huán)沿圓環(huán)切向的線應(yīng)變 （周向應(yīng)（周向應(yīng)變）與徑向截面上的正應(yīng)力變）與徑向截面上的正應(yīng)力 的關(guān)系符合單軸應(yīng)的關(guān)系符合單軸應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律，即力狀態(tài)下的胡克定律，即 496109 . 1Pa10210Pa1040- E 例例 12mm038. 0m108 . 3m2 . 0109 . 154- -ddd 圓環(huán)直徑的改變量圓環(huán)直徑的改變量( (增大增大) )為為ddddddd -)(3. 圓環(huán)的周向應(yīng)變圓環(huán)的周向應(yīng)變 與圓環(huán)直徑的相對改變量與圓環(huán)

41、直徑的相對改變量 d 有如下關(guān)系：有如下關(guān)系：例例 12 (2)橫截面橫截面B,C及端面及端面D的縱向位移與各段桿的縱向的縱向位移與各段桿的縱向總變形是什么關(guān)系？總變形是什么關(guān)系？思考：等直桿受力如圖，已知桿的橫截面面積思考：等直桿受力如圖，已知桿的橫截面面積A和和材料的彈性模量材料的彈性模量E。 (1)列出各段桿的縱向總變形列出各段桿的縱向總變形lAB，lBC，lCD以以及整個桿縱向變形的表達式。及整個桿縱向變形的表達式。 FFFN 圖F+-+EAlFlEAlFllBCCDAB)3/( )3/( EAlFllllBCCDAB)3/( )3/( 0 )3/(EAlFllllllEAlFlCDB

42、CABDBCABCABB d dd dd d位移：位移：變形：變形：2-5 拉拉(壓壓)桿內(nèi)的應(yīng)變能桿內(nèi)的應(yīng)變能 應(yīng)變能應(yīng)變能(strain energy)彈性體受力而變彈性體受力而變形時所積蓄的能量。形時所積蓄的能量。 功能原理功能原理：積蓄在彈性體內(nèi)的應(yīng)變能：積蓄在彈性體內(nèi)的應(yīng)變能V 在數(shù)值上等于在數(shù)值上等于外力所作功外力所作功W： V = W。 應(yīng)變能的單位為應(yīng)變能的單位為 J（1J=1Nm）。）。 彈性體受力發(fā)生變形后會積蓄能量。彈性體受力發(fā)生變形后會積蓄能量。把伴隨彈性體變形量增減而變化的能量稱為變形能。把伴隨彈性體變形量增減而變化的能量稱為變形能。拉桿拉桿(壓桿壓桿)在線彈性范圍內(nèi)

43、的應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)的應(yīng)變能 或或EAlFEAlFFlFV221212NNNN EAlFEAFlFlFV221212 外力外力F所作功：所作功： lFW21 WV 桿內(nèi)應(yīng)變能：桿內(nèi)應(yīng)變能：lFV 21亦可寫作亦可寫作 22)(22llEAEAlFV 2121 AllFVVvEv22 22 Ev 或或或或應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度 v 單位體積內(nèi)的應(yīng)變能單位體積內(nèi)的應(yīng)變能。 應(yīng)變能密度的單位為應(yīng)變能密度的單位為 J/m3。fxxF )(NEAxxFV2d)(d2N llEAxxFVV02N2d)(dlxf沿桿長均勻分布沿桿長均勻分布的荷載集度為的荷載集度為 ffl軸力圖軸力圖)(xxffxxxd微段的分離體微段的分離體討論：