數(shù)學(xué)模型姜啟源

1、數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 模模 型型 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編 課 程 名 稱學(xué) 時(shí) 36數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模Mathematical Modeling學(xué) 分3課程類別專業(yè)選修課先 修 課 程微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課 程 簡(jiǎn) 介本課程是計(jì)算機(jī)及管理專業(yè)的一門專業(yè)選修課。也是本科生參加數(shù)學(xué)建本課程是計(jì)算機(jī)及管理專業(yè)的一門專業(yè)選修課。也是本科生參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的輔導(dǎo)課程。數(shù)學(xué)模型是架于數(shù)學(xué)理論和實(shí)際問(wèn)題之間的橋梁。模競(jìng)賽的輔導(dǎo)課程。數(shù)學(xué)模型是架于數(shù)學(xué)理論和實(shí)際問(wèn)題之間的橋梁。數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的重要手段和途徑。本書介紹數(shù)學(xué)建數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的重

2、要手段和途徑。本書介紹數(shù)學(xué)建模中常用的一些基本概念、理論和典型的數(shù)學(xué)模型，包括：數(shù)據(jù)擬合，模中常用的一些基本概念、理論和典型的數(shù)學(xué)模型，包括：數(shù)據(jù)擬合，網(wǎng)絡(luò)模型，優(yōu)化模型，離散模型、隨機(jī)模型，時(shí)間序列預(yù)報(bào)模型，回歸網(wǎng)絡(luò)模型，優(yōu)化模型，離散模型、隨機(jī)模型，時(shí)間序列預(yù)報(bào)模型，回歸分析及其試驗(yàn)設(shè)計(jì)。通過(guò)數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模有關(guān)問(wèn)題的論述和模型實(shí)分析及其試驗(yàn)設(shè)計(jì)。通過(guò)數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模有關(guān)問(wèn)題的論述和模型實(shí)例的介紹，使學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力有所提高。例的介紹，使學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力有所提高。教 材 及 參 考 書 目數(shù)學(xué)模型，姜啟源主編， 高等教育出版社 課課 程程 簡(jiǎn)簡(jiǎn) 介介 數(shù)學(xué)模

3、型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編第一章第一章 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型第二章第二章 初等模型初等模型第三章第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型 第五章第五章 微分方程模型微分方程模型第六章第六章 穩(wěn)定性模型穩(wěn)定性模型第七章第七章 差分方程模型差分方程模型第八章第八章 離散模型離散模型第九章第九章 概率模型概率模型第十章第十章 統(tǒng)計(jì)回歸模型統(tǒng)計(jì)回歸模型附錄附錄: : 數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)周次節(jié)次教學(xué)內(nèi)容課時(shí)作業(yè)執(zhí)行情況1五 56 1.1-1.5數(shù)學(xué)模型的介紹 1.6數(shù)學(xué)模型的基本

4、方法步驟、特點(diǎn)和分類22五 562.1公平的席位分配(討論課)2.2錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途2.3雙層玻璃的功效23五 562.7實(shí)物交換3.2生豬的出售時(shí)機(jī)24五 563.3森林救火(討論課)3.4最優(yōu)價(jià)格25五 563.6消費(fèi)者的選擇4.3汽車生產(chǎn)與原油采購(gòu)26五 564.5飲料廠的生產(chǎn)與檢修5.1傳染病模型(討論課)27五 56 5.2經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型 5.6人口的預(yù)測(cè)和控制 28五 56 6.1捕魚業(yè)的持續(xù)收獲 6.2軍備競(jìng)賽(討論課)2 教教 學(xué)學(xué) 進(jìn)進(jìn) 度度 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編9五 56 6.4種群的相互依存 7.1市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型2 10五 56

5、7.2減肥計(jì)劃-節(jié)食與運(yùn)動(dòng) 8.3層次分析模型212五 56 8.4效益的合理分配 9.2報(bào)童的訣竅(討論課)213五 56 9.5隨機(jī)人口模型 9.6航空公司的預(yù)定票策略214五五 56 10.1牙膏的銷售量牙膏的銷售量2評(píng)估周評(píng)估周15五 56 Mtlab,Mathematcia數(shù)學(xué)軟件學(xué)習(xí)(上機(jī))216五 56 數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)(上機(jī))217五 56 數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)(上機(jī))218 考試 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編第第一一章章 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型1.2 數(shù)

6、學(xué)建模的重要意義數(shù)學(xué)建模的重要意義1.3 數(shù)學(xué)建模示例數(shù)學(xué)建模示例1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.5 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類1.6 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型 實(shí)物模型實(shí)物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī) 物理模型物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 符號(hào)模型符號(hào)模型模型模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型原型的替代物的替代物模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人

7、們需要的那一部分特征中人們需要的那一部分特征1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型我們常見(jiàn)的模型我們常見(jiàn)的模型 第一章第一章 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型“航行問(wèn)題航行問(wèn)題”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每小時(shí)答：船速每小時(shí)20千米千米/ /小時(shí)小時(shí). .甲乙兩地相距甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行枨?，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，小時(shí)，從乙到甲逆水航行需從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問(wèn)船的速度是多少小時(shí)，問(wèn)船的速

8、度是多少?x =20y =5求解求解 第一章第一章 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編航行問(wèn)題航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟 作出簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；作出簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）； 用符號(hào)表示有關(guān)量（用符號(hào)表示有關(guān)量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以 時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）； 求解得到數(shù)學(xué)解答（求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5）；）； 回答原問(wèn)題（船速每小時(shí)回答原問(wèn)題（船速每小時(shí)20千米千

9、米/小時(shí)）。小時(shí)）。 第一章第一章 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model) 和和數(shù)學(xué)建模（數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling)對(duì)于一個(gè)對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)，為了一個(gè)特定目的特定目的，根據(jù)其根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律內(nèi)在規(guī)律，作出必要的，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模建模 第一章第一章 建

10、立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義數(shù)學(xué)建模的重要意義 電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展； 數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的第一步，數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的第一步，越來(lái)越受到人們的重視。越來(lái)越受到人們的重視。 在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地； 在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具； 數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女

11、地。數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地。 第一章第一章 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用 分析與設(shè)計(jì)分析與設(shè)計(jì) 預(yù)報(bào)與決策預(yù)報(bào)與決策 控制與優(yōu)化控制與優(yōu)化 規(guī)劃與管理規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)知識(shí)經(jīng)濟(jì)知識(shí)經(jīng)濟(jì)如虎添翼如虎添翼 第一章第一章 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編1.3 數(shù)學(xué)建模示例數(shù)學(xué)建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問(wèn)題分析問(wèn)題分析模模型型假假設(shè)設(shè)通常通常 三只腳著地三只腳著地放穩(wěn)放穩(wěn) 四只腳著地四只腳著地 四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面

12、點(diǎn)接觸，四腳四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形連線呈正方形; 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面曲面; 地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。只腳同時(shí)著地。 第一章第一章 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編模型構(gòu)成模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái) 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅腳連線椅腳連線)的對(duì)稱性的對(duì)稱性xBADCOD C B A 用用 (對(duì)角線與對(duì)角線與x軸的夾角軸的夾角)表示椅

13、子位置表示椅子位置 四只腳著地四只腳著地距離是距離是 的函數(shù)的函數(shù)四個(gè)距離四個(gè)距離(四只腳四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 f( )B,D 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 g( )兩個(gè)距離兩個(gè)距離 椅腳與地面距離為零椅腳與地面距離為零正方形正方形ABCD繞繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形正方形對(duì)稱性對(duì)稱性 第一章第一章 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)對(duì)任意對(duì)任意 , f( ), g( )至少一個(gè)為至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)

14、數(shù)學(xué)問(wèn)題問(wèn)題已知：已知： f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) ; 對(duì)任意對(duì)任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在證明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.模型構(gòu)成模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只腳著地至少三只腳著地 第一章第一章 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編模型求解模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法將椅子將椅子旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線，對(duì)角線AC和和BD互換?；Q。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)

15、=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 則則h(0)0和和h( /2) p2/n2 ，對(duì)，對(duì) 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5 第二章第二章 初等模型初等模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編公平分配方案應(yīng)公平分配方案應(yīng)使使 rA , rB 盡量小盡量小設(shè)設(shè)A, B已分別有已分別有n1, n2 席，若增加席，若增加1席，問(wèn)應(yīng)分給席，問(wèn)應(yīng)分給A, 還是還是B不妨設(shè)分配開始時(shí)不妨設(shè)分配開始時(shí) p1/n1 p2/n2 ，即對(duì)，即對(duì)A不公平不公平),(/21222211nnrnpnpnpA 對(duì)對(duì)A的的相對(duì)不公平度相對(duì)不公平度將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量將絕對(duì)度量改為相對(duì)

16、度量類似地定義類似地定義 rB(n1,n2) 將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的席位分配將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的席位分配, 即即“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/n1 p2/n2 ，定義，定義 第二章第二章 初等模型初等模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編1）若）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 則這席應(yīng)給則這席應(yīng)給 A2）若）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，應(yīng)計(jì)算應(yīng)計(jì)算rB(n1+1, n2)應(yīng)計(jì)算應(yīng)計(jì)算rA(n1, n2+1)若若rB(n1+1, n2) p2/n2 問(wèn)：?jiǎn)枺?p1/n1rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給則這席應(yīng)給 B 第二章第二章 初

17、等模型初等模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編當(dāng)當(dāng) rB(n1+1, n2) 640g=0.1 第三章第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編敏感性分析敏感性分析研究研究 r, g變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響 估計(jì)估計(jì)r=2， g=0.1rggrt2404 設(shè)設(shè)g=0.1不變不變 5 . 1,6040rrrtt 對(duì)對(duì)r 的（相對(duì)）敏感度的（相對(duì)）敏感度 rrttrtS/),(trdrdt3604060),(rrtS生豬每天體重增加量生豬每天體重增加量r 增加增加1%，出售時(shí)間推遲，出售時(shí)間推遲3%。 1.522.5305101520r

18、t 第三章第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編敏感性分析敏感性分析估計(jì)估計(jì)r=2， g=0.1rggrt2404研究研究 r, g變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響 設(shè)設(shè)r=2不變不變 15. 00,203gggtt 對(duì)對(duì)g的（相對(duì)）敏感度的（相對(duì)）敏感度 tgdgdtggttgtS/),(32033),(ggtS生豬價(jià)格每天的降低量生豬價(jià)格每天的降低量g增加增加1%，出售時(shí)間提前，出售時(shí)間提前3%。 0.060.080.10.120.140.160102030gt 第三章第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編

19、主編強(qiáng)健性分析強(qiáng)健性分析保留生豬直到利潤(rùn)的增值等于每天的費(fèi)用時(shí)出售保留生豬直到利潤(rùn)的增值等于每天的費(fèi)用時(shí)出售由由 S(t,r)=3建議過(guò)一周后建議過(guò)一周后(t=7)重新估計(jì)重新估計(jì) , 再作計(jì)算。再作計(jì)算。wwpp,研究研究 r, g不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響 w=80+rt w = w(t)4)()()()(twtptwtpp=8-gt p =p(t) 若若 (10%), 則則 （30%） 2 . 28 . 1 w137 t0)( tQ每天利潤(rùn)的增值每天利潤(rùn)的增值 每天投入的資金每天投入的資金 ttwtptQ4)()()( 第三章第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型

20、數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編3.3 森林救火森林救火森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。問(wèn)題問(wèn)題分析分析問(wèn)題問(wèn)題記隊(duì)員人數(shù)記隊(duì)員人數(shù)x, 失火時(shí)刻失火時(shí)刻t=0, 開始救火時(shí)刻開始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻滅火時(shí)刻t2, 時(shí)刻時(shí)刻t森林燒毀面積森林燒毀面積B(t). 損失費(fèi)損失費(fèi)f1(x)是是x的減函數(shù)的減函數(shù), 由燒毀面積由燒毀面積B(t2)

21、決定決定. 救援費(fèi)救援費(fèi)f2(x)是是x的增函數(shù)的增函數(shù), 由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定決定.存在恰當(dāng)?shù)拇嬖谇‘?dāng)?shù)膞，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小 第三章第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編 關(guān)鍵是對(duì)關(guān)鍵是對(duì)B(t)作出合理的簡(jiǎn)化假設(shè)作出合理的簡(jiǎn)化假設(shè).問(wèn)題問(wèn)題分析分析失火時(shí)刻失火時(shí)刻t=0, 開始救火時(shí)刻開始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻滅火時(shí)刻t2, 畫出時(shí)刻畫出時(shí)刻 t 森林燒毀面積森林燒毀面積B(t)的大致圖形的大致圖形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比較困難比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度速度d

22、B/dt. 第三章第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編模型假設(shè)模型假設(shè) 3）f1(x)與與B(t2)成正比，系數(shù)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費(fèi)）燒毀單位面積損失費(fèi)） 1）0 t t1, dB/dt 與與 t成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) (火勢(shì)蔓延速度）火勢(shì)蔓延速度） 2）t1 t t2, 降為降為 - x ( 為隊(duì)員的平均滅火為隊(duì)員的平均滅火速度）速度） 4）每個(gè)）每個(gè)隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用c2, 一次性費(fèi)用一次性費(fèi)用c3假設(shè)假設(shè)1）的解釋的解釋 rB火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，均勻向四周呈圓形

23、蔓延，半徑半徑 r與與 t 成正比成正比面積面積 B與與 t2成正比，成正比， dB/dt與與 t成正比成正比. 第三章第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編xbtt12202)()(tdttBtB模型建立模型建立dtdBb0t1tt2x假設(shè)假設(shè)1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用總費(fèi)用)()()(21xfxfxC假設(shè)假設(shè)3）4）xttt112假設(shè)假設(shè)2）)(222212212xttbt 第三章第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編0dxdCxcxxtcxtct

24、cxC3122121211)(22)(模型建立模型建立目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用總費(fèi)用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx結(jié)果解釋結(jié)果解釋 / 是火勢(shì)不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù)是火勢(shì)不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù)dtdBb0t1t2tx其中其中 c1,c2,c3, t1, , 為已知參數(shù)為已知參數(shù) 第三章第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編模型模型應(yīng)用應(yīng)用c1,c2,c3已知已知, t1可估計(jì)可估計(jì), c2 x c1, t1, x c3 , x 結(jié)果結(jié)果解釋解釋231221122ctctcxc1燒毀單位面積損失費(fèi)燒毀單位面積損失費(fèi)

25、, c2每個(gè)每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi), c3每個(gè)每個(gè)隊(duì)員一次性費(fèi)用隊(duì)員一次性費(fèi)用, t1開始救火時(shí)刻開始救火時(shí)刻, 火火勢(shì)蔓延速度勢(shì)蔓延速度, 每個(gè)每個(gè)隊(duì)員平均滅火隊(duì)員平均滅火速度速度.為什么為什么? ? , 可可設(shè)置一系列數(shù)值設(shè)置一系列數(shù)值由模型決定隊(duì)員數(shù)量由模型決定隊(duì)員數(shù)量x 第三章第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編3.4 最優(yōu)價(jià)格最優(yōu)價(jià)格問(wèn)題問(wèn)題根據(jù)產(chǎn)品成本和市場(chǎng)需求，在產(chǎn)銷平根據(jù)產(chǎn)品成本和市場(chǎng)需求，在產(chǎn)銷平衡條件下確定商品價(jià)格，使利潤(rùn)最大衡條件下確定商品價(jià)格，使利潤(rùn)最大假設(shè)假設(shè)1）產(chǎn)量等于銷量，記作）產(chǎn)量等于銷量，記作 x2）收

26、入與銷量）收入與銷量 x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) p 即價(jià)格即價(jià)格3）支出與產(chǎn)量）支出與產(chǎn)量 x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) q 即成本即成本4）銷量）銷量 x 依賴于價(jià)格依賴于價(jià)格 p, x(p)是減函數(shù)是減函數(shù) 建模建模與求解與求解pxpI)(收入收入qxpC)(支出支出)()()(pCpIpU利潤(rùn)利潤(rùn)進(jìn)一步設(shè)進(jìn)一步設(shè)0,)(babpapx求求p使使U(p)最大最大 第三章第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編0* ppdpdU使利潤(rùn)使利潤(rùn) U(p)最大的最優(yōu)價(jià)格最大的最優(yōu)價(jià)格 p*滿足滿足*ppppdpdCdpdI最大利潤(rùn)在邊際收入等于邊際支出時(shí)達(dá)到

27、最大利潤(rùn)在邊際收入等于邊際支出時(shí)達(dá)到pxpI)(qxpC)(bpapx)()(bpaqp)()()(pCpIpUbaqp22* 建模建模與求解與求解邊際收入邊際收入邊際支出邊際支出 第三章第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編結(jié)果結(jié)果解釋解釋baqp22*0,)(babpapx q / 2 成本的一半成本的一半 b 價(jià)格上升價(jià)格上升1單位時(shí)銷量的下降單位時(shí)銷量的下降 幅度（需求對(duì)價(jià)格的敏感度）幅度（需求對(duì)價(jià)格的敏感度） a 絕對(duì)需求絕對(duì)需求( p很小時(shí)的需求很小時(shí)的需求)b p* a p* 思考：如何得到參數(shù)思考：如何得到參數(shù)a, b? 第三章第三章 簡(jiǎn)單

28、的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編q2U(q1,q2) = cq101l2l3l3.6 消費(fèi)者均衡消費(fèi)者均衡問(wèn)題問(wèn)題消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛(ài)程度用無(wú)差別消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛(ài)程度用無(wú)差別曲線族表示，問(wèn)他如何分配一定數(shù)量的錢，曲線族表示，問(wèn)他如何分配一定數(shù)量的錢，購(gòu)買這兩種商品，以達(dá)到最大的滿意度。購(gòu)買這兩種商品，以達(dá)到最大的滿意度。設(shè)甲乙數(shù)量為設(shè)甲乙數(shù)量為q1,q2, 消消費(fèi)者的無(wú)差別曲線族費(fèi)者的無(wú)差別曲線族(單調(diào)減、下凸、不相單調(diào)減、下凸、不相交），記作交），記作 U(q1,q2)=cU(q1,q2) 效用函數(shù)效用函數(shù)已知甲乙價(jià)格已知甲乙價(jià)格 p1,p2,

29、 有錢有錢s，試分配，試分配s,購(gòu)買甲乙數(shù)量購(gòu)買甲乙數(shù)量 q1,q2,使使 U(q1,q2)最大最大.第三章第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編s/p2s/p1q2U(q1,q2) = cq101l2l3l模型模型及及求解求解已知價(jià)格已知價(jià)格 p1,p2,錢錢 s, 求求q1,q2,或或 p1q1 / p2q2, 使使 U(q1,q2)最大最大sqpqptsqqUZ221121. .),(max),(2211qpqpUL) 2 , 1(0iqLi2121ppqUqU122dqdqKl幾幾何何解解釋釋sqpqp2211直線直線MN: 最優(yōu)解最優(yōu)解Q: MN

30、與與 l2切點(diǎn)切點(diǎn)21/ ppKMN斜率斜率MQN21/qUqU第三章第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編0, 0, 0, 0, 0.B21222221221qqUqUqUqUqU2121ppqUqU結(jié)果結(jié)果解釋解釋21,qUqU邊際效用邊際效用消費(fèi)者均衡狀態(tài)在兩種商品消費(fèi)者均衡狀態(tài)在兩種商品的邊際效用之比恰等于它們的邊際效用之比恰等于它們價(jià)格之比時(shí)達(dá)到。價(jià)格之比時(shí)達(dá)到。效用函數(shù)效用函數(shù)U(q1,q2) 應(yīng)滿足的條件應(yīng)滿足的條件A. U(q1,q2) =c 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù) q2=q2(q1)單調(diào)減、下凸單調(diào)減、下凸 解釋解釋 B的實(shí)際意義的實(shí)際

31、意義AB 第三章第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編0,)(. 1121qqU效用函數(shù)效用函數(shù)U(q1,q2) 幾種常用幾種常用的形式的形式2121ppqUqU212211ppqpqp 消費(fèi)者均衡狀態(tài)下購(gòu)買兩種商品費(fèi)用之比消費(fèi)者均衡狀態(tài)下購(gòu)買兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)格之比的平方根成正比。與二者價(jià)格之比的平方根成正比。 U(q1,q2)中參數(shù)中參數(shù) , 分別表示消費(fèi)者對(duì)甲乙分別表示消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛(ài)程度。兩種商品的偏愛(ài)程度。第三章第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編1,0,. 221qqU0,)(. 3221

32、baqbqaU2121ppqUqU2211qpqp 購(gòu)買兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)格無(wú)關(guān)。購(gòu)買兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)格無(wú)關(guān)。 U(q1,q2)中參數(shù)中參數(shù) , 分別表示對(duì)甲乙分別表示對(duì)甲乙的偏愛(ài)程度。的偏愛(ài)程度。思考：如何推廣到思考：如何推廣到 m ( 2) 種商品的情況種商品的情況效用函數(shù)效用函數(shù)U(q1,q2) 幾種常用幾種常用的形式的形式第三章第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型 4.3 汽車生產(chǎn)與原油采購(gòu)汽車生產(chǎn)與原油采購(gòu)4.5 飲料廠的生產(chǎn)與檢修飲料廠的生產(chǎn)與檢修 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜

33、啟源 主編主編數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型 實(shí)際問(wèn)題中實(shí)際問(wèn)題中的優(yōu)化模型的優(yōu)化模型mixgtsxxxxfzMaxMiniTn, 2 , 1, 0)(. .),(),()(1或x決策變量決策變量f(x)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)gi(x) 0約束條件約束條件多元函數(shù)多元函數(shù)條件極值條件極值 決策變量個(gè)數(shù)決策變量個(gè)數(shù)n和和約束條件個(gè)數(shù)約束條件個(gè)數(shù)m較大較大 最優(yōu)解在可行域最優(yōu)解在可行域的邊界上取得的邊界上取得 數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)規(guī)規(guī)劃劃線性規(guī)劃線性規(guī)劃非線性規(guī)劃非線性規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃重點(diǎn)在模型的建立和結(jié)果的分析重點(diǎn)在模型的建立和結(jié)果的分析第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編

34、 如果生產(chǎn)某一類型汽車，則至少要生產(chǎn)如果生產(chǎn)某一類型汽車，則至少要生產(chǎn)8080輛，輛， 那么最優(yōu)的生產(chǎn)計(jì)劃應(yīng)作何改變？那么最優(yōu)的生產(chǎn)計(jì)劃應(yīng)作何改變？例例1 汽車廠生產(chǎn)計(jì)劃汽車廠生產(chǎn)計(jì)劃 汽車廠生產(chǎn)三種類型的汽車，已知各類型每輛車對(duì)鋼汽車廠生產(chǎn)三種類型的汽車，已知各類型每輛車對(duì)鋼材、勞動(dòng)時(shí)間的需求，利潤(rùn)及工廠每月的現(xiàn)有量。材、勞動(dòng)時(shí)間的需求，利潤(rùn)及工廠每月的現(xiàn)有量。 小型小型 中型中型 大型大型 現(xiàn)有量現(xiàn)有量鋼材（噸）鋼材（噸） 1.5 3 5 600勞動(dòng)時(shí)間（小時(shí)）勞動(dòng)時(shí)間（小時(shí)） 280 250 400 60000利潤(rùn)（萬(wàn)元）利潤(rùn)（萬(wàn)元） 2 3 4 制訂月生產(chǎn)計(jì)劃，使工廠的利潤(rùn)最大。制訂月

35、生產(chǎn)計(jì)劃，使工廠的利潤(rùn)最大。4.3 汽車生產(chǎn)與原油采購(gòu)汽車生產(chǎn)與原油采購(gòu)第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編設(shè)每月生產(chǎn)小、中、大型設(shè)每月生產(chǎn)小、中、大型汽車的數(shù)量分別為汽車的數(shù)量分別為x1, x2, x3321432xxxzMax600535 . 1.321xxxts60000400250280321xxx0,321xxx汽車廠生產(chǎn)計(jì)劃汽車廠生產(chǎn)計(jì)劃 模型建立模型建立 小型小型 中型中型 大型大型 現(xiàn)有量現(xiàn)有量鋼材鋼材 1.5 3 5 600時(shí)間時(shí)間 280 250 400 60000利潤(rùn)利潤(rùn) 2 3 4 線性線性規(guī)劃規(guī)劃模型模型(LP)第四章第四章

36、數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編模型模型求解求解 3） 模型中增加條件：模型中增加條件：x1, x2, x3 均為整數(shù)，重新求解。均為整數(shù)，重新求解。 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.2581VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.731183 3) 0.000000 0.003226結(jié)果為小

37、數(shù)，結(jié)果為小數(shù)，怎么辦？怎么辦？1）舍去小數(shù)：?。┥崛バ?shù)：取x1=64，x2=167，算出目標(biāo)函數(shù)值，算出目標(biāo)函數(shù)值z(mì)=629，與，與LP最優(yōu)值最優(yōu)值632.2581相差不大。相差不大。2）試探：如?。┰囂剑喝缛1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，計(jì)算函數(shù)等，計(jì)算函數(shù)值值z(mì)，通過(guò)比較可能得到更優(yōu)的解。，通過(guò)比較可能得到更優(yōu)的解。 但必須檢驗(yàn)它們是否滿足約束條件。為什么？但必須檢驗(yàn)它們是否滿足約束條件。為什么？第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編IP可用可用LINDO直接求解直接求解整數(shù)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃( (Integer Program

38、ming, ,簡(jiǎn)記簡(jiǎn)記IP) )“gin 3”表示表示“前前3個(gè)變量個(gè)變量為整數(shù)為整數(shù)”，等價(jià)于：，等價(jià)于：gin x1gin x2gin x3 IP 的最優(yōu)解的最優(yōu)解x1=64，x2=168，x3=0，最優(yōu)值，最優(yōu)值z(mì)=632 max 2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+5x3600280 x1+250 x2+400 x360000endgin 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.0000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.000000 -2.000000 X2 168.000000 -3.000000 X3 0.00

39、0000 -4.000000 321432xxxzMax600535 . 1.321xxxts60000400250280321xxx為非負(fù)整數(shù)321,xxx模型求解模型求解 IP 結(jié)果輸出結(jié)果輸出第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編其中其中3個(gè)個(gè)子模型應(yīng)子模型應(yīng)去掉，然后去掉，然后逐一求解，比較目標(biāo)函數(shù)值，逐一求解，比較目標(biāo)函數(shù)值，再加上整數(shù)約束，得最優(yōu)解：再加上整數(shù)約束，得最優(yōu)解：80, 0, 0321xxx0,80, 0321xxx80,80, 0321xxx0, 0,80321xxx0,80,80321xxx80, 0,80321xxx80,8

40、0,80321xxx0,321xxx方法方法1：分解為：分解為8個(gè)個(gè)LP子模型子模型 汽車廠生產(chǎn)計(jì)劃汽車廠生產(chǎn)計(jì)劃 若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)8080輛，求生產(chǎn)計(jì)劃。輛，求生產(chǎn)計(jì)劃。321432xxxzMax600535 . 1.321xxxts60000400250280321xxxx1, ,x2, x3=0 或或 80 x1=80，x2= 150，x3=0，最優(yōu)值，最優(yōu)值z(mì)=610第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編LINDO中對(duì)中對(duì)0-1變量的限定：變量的限定：int y1int y2int y3 方法方法2：引入引入0

41、-1變量，化為整數(shù)規(guī)劃變量，化為整數(shù)規(guī)劃 M為大的正數(shù)，為大的正數(shù)，可取可取1000 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 610.0000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 80.000000 -2.000000 X2 150.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000 若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)8080輛，求生產(chǎn)計(jì)劃。輛，求生產(chǎn)計(jì)劃。x1=0 或 80 x2=0

42、或 80 x3=0 或 801 , 0,80,11111yyxMyx1 , 0,80,22222yyxMyx1 , 0,80,33333yyxMyx最優(yōu)解同前最優(yōu)解同前 第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編NLP雖然可用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)軟件求解雖然可用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)軟件求解( (如如LINGO, , MATLAB) )，但是其結(jié)果常依賴于初值的選擇。，但是其結(jié)果常依賴于初值的選擇。 方法方法3：化為非線性規(guī)劃化為非線性規(guī)劃 非線性規(guī)劃（非線性規(guī)劃（Non- Linear Programming，簡(jiǎn)記，簡(jiǎn)記NLP） 實(shí)踐表明，本例僅當(dāng)初值非常接近上面方法算出實(shí)踐表

43、明，本例僅當(dāng)初值非常接近上面方法算出的最優(yōu)解時(shí)，才能得到正確的結(jié)果。的最優(yōu)解時(shí)，才能得到正確的結(jié)果。 若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)8080輛，求生產(chǎn)計(jì)劃。輛，求生產(chǎn)計(jì)劃。 x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 800)80(11xx0)80(22xx0)80(33xx第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編應(yīng)如何安排原油的采購(gòu)和加工應(yīng)如何安排原油的采購(gòu)和加工 ？ 例例2 原油采購(gòu)與加工原油采購(gòu)與加工 市場(chǎng)上可買到不超過(guò)市場(chǎng)上可買到不超過(guò)1500噸的原油噸的原油A： 購(gòu)買量不超過(guò)購(gòu)買量不超過(guò)500噸時(shí)的單價(jià)為噸時(shí)的單價(jià)

44、為10000元元/ /噸；噸； 購(gòu)買量超過(guò)購(gòu)買量超過(guò)500噸但不超過(guò)噸但不超過(guò)1000噸時(shí)，超過(guò)噸時(shí)，超過(guò)500噸的噸的 部分部分8000元元/ /噸；噸； 購(gòu)買量超過(guò)購(gòu)買量超過(guò)1000噸時(shí)，超過(guò)噸時(shí)，超過(guò)1000噸的部分噸的部分6000元元/ /噸。噸。 售價(jià)售價(jià)4800元元/噸噸 售價(jià)售價(jià)5600元元/噸噸庫(kù)存庫(kù)存500噸噸 庫(kù)存庫(kù)存1000噸噸 汽油甲汽油甲(A 50%) 原油原油A 原油原油B 汽油乙汽油乙 (A 60%) 第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編決策決策變量變量 目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)函數(shù)問(wèn)題問(wèn)題分析分析 利潤(rùn)：銷售汽油的收入利潤(rùn)：銷售汽油

45、的收入 - - 購(gòu)買原油購(gòu)買原油A的支出的支出 難點(diǎn)：原油難點(diǎn)：原油A的購(gòu)價(jià)與購(gòu)買量的關(guān)系較復(fù)雜的購(gòu)價(jià)與購(gòu)買量的關(guān)系較復(fù)雜)()(6 . 5)( 8 . 422122111xcxxxxzMax甲甲(A 50%) A B 乙乙(A 60%) 購(gòu)買購(gòu)買xx11x12x21x224.8千元千元/噸噸 5.6千元千元/噸噸原油原油A的購(gòu)買量的購(gòu)買量, ,原油原油A, B生產(chǎn)生產(chǎn)汽油汽油甲甲,乙的數(shù)量乙的數(shù)量c(x) 購(gòu)買原油購(gòu)買原油A的支出的支出利潤(rùn)利潤(rùn)(千元千元)c(x)如何表述？如何表述？第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編原油供應(yīng)原油供應(yīng) 約束約束條件條

46、件xxx500121110002221 xx1500 x500)1(1000 300061000)(500 1000 8500)(0 10)(xxxxxxxc x 500噸單價(jià)為噸單價(jià)為10千千元元/ /噸；噸； 500噸噸 x 1000噸，超過(guò)噸，超過(guò)500噸的噸的8千千元元/ /噸；噸；1000噸噸 x 1500噸，超過(guò)噸，超過(guò)1000噸的噸的6千千元元/ /噸。噸。 目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)函數(shù)購(gòu)買購(gòu)買x A B x11x12x21x22庫(kù)存庫(kù)存500噸噸 庫(kù)存庫(kù)存1000噸噸 第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編 目標(biāo)函數(shù)中目標(biāo)函數(shù)中c(x)不是線性函數(shù)，

47、是非線性規(guī)劃；不是線性函數(shù)，是非線性規(guī)劃； 對(duì)于用分段函數(shù)定義的對(duì)于用分段函數(shù)定義的c(x)，一般的非線性規(guī)劃軟，一般的非線性規(guī)劃軟件也難以輸入和求解；件也難以輸入和求解； 想辦法將模型化簡(jiǎn)，用現(xiàn)成的軟件求解。想辦法將模型化簡(jiǎn)，用現(xiàn)成的軟件求解。 汽油含原油汽油含原油A的比例限制的比例限制 5 . 0211111 xxx6 . 0221212 xxx2111xx 221232xx 約束約束條件條件甲甲(A 50%) A B 乙乙(A 60%) x11x12x21x22第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編x1 , x2 , x3 以價(jià)格以價(jià)格10, 8,

48、 6(千元千元/ /噸噸) )采購(gòu)采購(gòu)A的噸數(shù)的噸數(shù)目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)函數(shù) 只有當(dāng)以只有當(dāng)以10千元千元/噸的價(jià)格購(gòu)買噸的價(jià)格購(gòu)買x1=500( (噸噸) )時(shí)，才能以時(shí)，才能以8千元千元/噸的價(jià)格購(gòu)買噸的價(jià)格購(gòu)買x2方法方法1 )6810()( 6 . 5)( 8 . 432122122111xxxxxxxzMax0)500(32xx500,0321xxx非線性規(guī)劃模型非線性規(guī)劃模型，可以用，可以用LINGO求解求解模型求解模型求解x= x1+x2+x3, c(x) = 10 x1+8x2+6x3 500噸噸 x 1000噸，超過(guò)噸，超過(guò)500噸的噸的8千千元元/ /噸噸增加約束增加約束0)500

49、(21xxx= x1+x2+x3, c(x) = 10 x1+8x2+6x3 第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編方法方法1：LINGO求解求解Model:Max= 4.8*x11 + 4.8*x21 + 5.6*x12 + 5.6*x22 - 10*x1 - 8*x2 - 6*x3;x11+x12 x + 500;x21+x22 0; 2*x12 - 3*x22 0;x=x1+x2+x3; (x1 - 500) * x2=0; (x2 - 500) * x3=0; x1 500;x2 500;x3 0;x11 0;x12 0;x21 0;x22 0;

50、x1 0;x2 0;x3 0;end Objective value: 4800.000Variable Value Reduced CostX11 500.0000 0.0000000E+00X21 500.0000 0.0000000E+00X12 0.0000000E+00 0.0000000E+00X22 0.0000000E+00 0.0000000E+00 X1 0.1021405E-13 10.00000 X2 0.0000000E+00 8.000000 X3 0.0000000E+00 6.000000 X 0.0000000E+00 0.0000000E+00 LINGO得

51、到的是局部最優(yōu)解，還得到的是局部最優(yōu)解，還能得到更好的解嗎？能得到更好的解嗎？ 用庫(kù)存的用庫(kù)存的500噸原油噸原油A、500噸原油噸原油B生產(chǎn)汽油甲，不購(gòu)買新的原油生產(chǎn)汽油甲，不購(gòu)買新的原油A，利潤(rùn)為利潤(rùn)為4,800千千元。元。 第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編y1, y2 , y3=1 以價(jià)格以價(jià)格10, 8, 6(千元千元/ /噸噸) )采購(gòu)采購(gòu)A增增加加約約束束方法方法2 0-1線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型，可，可用用LINDO求解求解112500500yxy223500500yxy33500yx y1, ,y2, ,y3 =0或或1 OBJEC

52、TIVE FUNCTION VALUE 1) 5000.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 2200.000000 Y3 1.000000 1200.000000 X11 0.000000 0.800000 X21 0.000000 0.800000 X12 1500.000000 0.000000 X22 1000.000000 0.000000 X1 500.000000 0.000000 X2 500.000000 0.000000 X3 0.000000 0.400000 X 1000.000

53、000 0.000000 購(gòu)買購(gòu)買1000噸原油噸原油A，與，與庫(kù)存的庫(kù)存的500噸原油噸原油A和和1000噸原油噸原油B一起，生一起，生產(chǎn)汽油乙，利潤(rùn)為產(chǎn)汽油乙，利潤(rùn)為5,000千元千元 。x1 , x2 , x3 以價(jià)格以價(jià)格10, 8, 6(千元千元/ /噸噸) )采購(gòu)采購(gòu)A的噸數(shù)的噸數(shù)y=0 x=0 x0 y=1優(yōu)于方法優(yōu)于方法1的結(jié)果的結(jié)果第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編b1 b2 b3 b4方法方法3 b1 x b2，x= z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1, z2 0, c(x)= z1c(b1)+z2c(b2).c(x)x12

54、00090005000050010001500b2 x b3，x= z2b2+z3b3， z2+z3=1，z2, z3 0, c(x)= z2c(b2)+z3c(b3). b3 x b4，x= z3b3+z4b4，z3+z4=1，z3, z4 0, c(x)= z3c(b3)+z4c(b4). 500)1(1000 300061000)(500 1000 8500)(0 10)(xxxxxxxc 直接處理處理分段線性函數(shù)直接處理處理分段線性函數(shù)c(x) 第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編IP模型，模型，LINDO求求解，得到的結(jié)果與解，得到的結(jié)果與方

55、法方法2相同相同. .處理分段線性函數(shù)，方法處理分段線性函數(shù)，方法3更具一般性更具一般性44332211bzbzbzbzx)()()()()(44332211bczbczbczbczxcbk x bk+1yk=1, ,否則否則, ,yk=03432321211,yzyyzyyzyz)4 , 3 , 2 , 1(0, 14321kzzzzzk10, 1321321或yyyyyy方法方法3 bk x bk+1 , ,x= zkbk+z k+1 bk+1zk+zk+1 =1，zk, zk+1 0, c(x)= zkc(bk)+zk+1 c(bk+1 ).c(x)x120009000500005001

56、0001500b1 b2 b3 b4對(duì)于對(duì)于k=1,2,3第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編4.5 飲料廠的生產(chǎn)與檢修飲料廠的生產(chǎn)與檢修單階段生產(chǎn)計(jì)劃單階段生產(chǎn)計(jì)劃多階段生產(chǎn)計(jì)劃多階段生產(chǎn)計(jì)劃 生產(chǎn)批量問(wèn)題生產(chǎn)批量問(wèn)題 企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃考慮與產(chǎn)量無(wú)關(guān)的固定費(fèi)用考慮與產(chǎn)量無(wú)關(guān)的固定費(fèi)用給優(yōu)化模型求解帶來(lái)新的困難給優(yōu)化模型求解帶來(lái)新的困難外部需求和內(nèi)部外部需求和內(nèi)部資源隨時(shí)間變化資源隨時(shí)間變化第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編 安排生產(chǎn)計(jì)劃安排生產(chǎn)計(jì)劃, 滿足每周的需求滿足每周的需求, 使使4周總費(fèi)用最

57、小。周總費(fèi)用最小。存貯費(fèi)存貯費(fèi): :每周每千箱飲料每周每千箱飲料 0.2千元。千元。 例例1 飲料廠的生產(chǎn)與檢修計(jì)劃飲料廠的生產(chǎn)與檢修計(jì)劃 在在4周內(nèi)安排一次設(shè)備檢修，占用當(dāng)周周內(nèi)安排一次設(shè)備檢修，占用當(dāng)周15千箱生產(chǎn)能千箱生產(chǎn)能力，能使檢修后每周增產(chǎn)力，能使檢修后每周增產(chǎn)5千箱，檢修應(yīng)排在哪一周千箱，檢修應(yīng)排在哪一周? ? 周次周次需求量需求量(千箱千箱)生產(chǎn)能力生產(chǎn)能力(千箱千箱)成本成本(千元千元/千箱千箱)115305.0225405.1335455.4425205.5合計(jì)合計(jì)100135 某種飲料某種飲料4周的需求量、生產(chǎn)能力和成本周的需求量、生產(chǎn)能力和成本第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型

58、數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編問(wèn)題分析問(wèn)題分析 除第除第4周外每周的生產(chǎn)周外每周的生產(chǎn)能力超過(guò)每周的需求；能力超過(guò)每周的需求； 生產(chǎn)成本逐周上升；生產(chǎn)成本逐周上升；前幾周應(yīng)多生產(chǎn)一些。前幾周應(yīng)多生產(chǎn)一些。 周次周次需求需求能力能力11530225403354542520合計(jì)合計(jì)100135成本成本5.05.15.45.5 飲料廠在第飲料廠在第1周開始時(shí)沒(méi)有庫(kù)存；周開始時(shí)沒(méi)有庫(kù)存； 從費(fèi)用最小考慮從費(fèi)用最小考慮, , 第第4周末不能有庫(kù)存；周末不能有庫(kù)存； 周末有庫(kù)存時(shí)需支出一周的存貯費(fèi)；周末有庫(kù)存時(shí)需支出一周的存貯費(fèi)； 每周末的庫(kù)存量等于下周初的庫(kù)存量。每周末的庫(kù)存量等于

59、下周初的庫(kù)存量。 模模型型假假設(shè)設(shè) 第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)函數(shù)約束約束條件條件產(chǎn)量、庫(kù)存與需求平衡產(chǎn)量、庫(kù)存與需求平衡 決策變量決策變量 )( 2 . 05 . 54 . 51 . 50 . 53214321yyyxxxxzMin1511 yx25212yyx35323yyx2534 yx20,4540,304321xxxx能力限制能力限制 非負(fù)限制非負(fù)限制 0,3214321yyyxxxx模型建立模型建立x1 x4：第：第14周周的生產(chǎn)量的生產(chǎn)量y1 y3：第：第13周末周末庫(kù)存量庫(kù)存量周次周次需求需求能力能力1153022

60、5403354542520成本成本5.05.15.45.5存貯費(fèi)存貯費(fèi): :0.2 ( (千元千元/ /周周千箱千箱) ) 第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編模型求解模型求解 4周生產(chǎn)計(jì)劃的總費(fèi)用為周生產(chǎn)計(jì)劃的總費(fèi)用為528 (千元千元) 最優(yōu)解：最優(yōu)解： x1 x4：15，40，25，20； y1 y3： 0，15，5 .周次周次需求需求能力能力11530225403354542520成本成本5.05.15.45.5產(chǎn)量產(chǎn)量15402520庫(kù)存庫(kù)存01550LINDO求解求解第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編