現(xiàn)代數(shù)學(xué)文化及美學(xué)欣賞

1、 數(shù)學(xué)是光彩照人的科學(xué)女王，而不是X光下面的骷髏！ 正 整 數(shù) 的 美 學(xué) 審 視 對 無 理 數(shù) 的 品 味 無 限 世 界 的 美 妙 數(shù) 學(xué) 方 法 的 優(yōu) 美 數(shù) 學(xué) 美 的 不 同 類 型 數(shù) 學(xué) 史 上 的 幾 大 奇 觀 數(shù)學(xué)與人的發(fā)展 數(shù)學(xué)與思維的發(fā)展 正整數(shù)的美學(xué)審視你對正整數(shù)有感覺嗎？你喜歡哪個（些）正整數(shù)？你知道數(shù)論嗎？正整數(shù)優(yōu)美嗎？因 數(shù):素 數(shù):完美數(shù)：| ,1, . 1iix a inxa 1 1nnnn 的因數(shù)之和恰好為 即121naxxx 如6的所有真約數(shù)是1、2、3，而且6=123。像這樣，一個數(shù)所有真約數(shù)的和正好等于這個數(shù)，通常把這個數(shù)叫做完美數(shù) 素數(shù)就是質(zhì)

2、數(shù)。它除了能表示為它自己和1的乘積以外，不能表示為任何其它兩個整數(shù)的乘積。 當(dāng)除數(shù)可以整除被除數(shù)(意即被除數(shù)=除數(shù)*商)，則除數(shù)叫做被除數(shù)的因數(shù) 任何一個自然數(shù)的約數(shù)中都有1和它本身,我們把小于它本身的因數(shù)叫做這個自然數(shù)的真約數(shù) 完美數(shù)有多少? 61,2,3 6123的因數(shù)為2 81, 2 , 4 , 7 12 81247144的 因 數(shù) 為，4961,2,4,8,18,31,62,124,244961 248 1831 62 1242488 的因數(shù)為8,12 (18 000)第四個完美數(shù)是多年前33,550,336(1538)第五個完美數(shù)是年8,589,869,056(1588)第六個完美數(shù)

3、是年完美數(shù)有許多有趣的性質(zhì)：1. 它們都能寫成連續(xù)自然數(shù)之和：6=1+2+3, 28=1+2+3+4+5+6+7, 496=1+2+3+4+.+31, 8128=1+2+3+4+.+1272.它們的尾數(shù)都是6或8A.完美數(shù)3.它們的全部因數(shù)的倒數(shù)之和都是2。1/1+1/2+1/3+1/6=2 1/1+1/2+1/4+1/7+1/(14)+1/(28)=2 1/1+1/2+1/4+1/8+1/(16)+1/(31)+1/(62)+1/(124)+1/(248)+1/(496)=2 物以稀為貴。雖然未找到實際中的特別用途，但完美數(shù)的奇異和美麗吸引了許多人Euclid（歐幾里得）在探尋完美數(shù)的時候發(fā)

4、現(xiàn)：完美數(shù)可能的公式：12(21)nnnC 21 ,. 18nnnC并猜想當(dāng)和都是素數(shù)時是完美數(shù) 此猜想被世紀(jì)的一位數(shù)學(xué)家所證明.2,3,5,7,13,17,.nnC當(dāng)時確實是前6個完美數(shù)21, 2 1 nnnMersenM 形如的素數(shù)稱為素數(shù)記為28:2, 3, 5, 7,13,17,19, 31, 61, 89107,127, 521, 607,1279, 22032281, 3217, 4253, 4423, 96899941,11213,19937, 21701,23209, 44497, 86243M ersenn 共 有個素 數(shù) 被 發(fā) 現(xiàn)形如2p1的正整數(shù)，其中p是素數(shù)，常記為M

5、p 。若Mp是素數(shù)，則稱為梅森素數(shù)。p2，3，5，7時，Mp都是素數(shù)，但M1120472389不是素數(shù) 。已發(fā)現(xiàn)的最大梅森素數(shù)是p24036583的情形，此時 Mp 是一個7235733位數(shù)。是否有無窮多個梅森素數(shù)是數(shù)論中未解決的難題之一。862432125000 是一個多位的數(shù),需要用30頁A4紙. 是通過高性能計算機(jī)來檢驗它是一個素數(shù)的.Mersenne在代數(shù)編碼（密碼學(xué)）中有用。C.回文素數(shù)回文詩：晚秋即景煙霞映水碧迢迢，暮色秋聲一雁遙，前芩落輝殘照晚，邊城古樹冷蕭蕭。倒過來念為：蕭蕭冷樹古城邊，晚照殘輝落芩前，遙雁一聲秋色暮，迢迢碧水映霞煙。 芩（qn） 數(shù)學(xué)中的回文素數(shù)或回文質(zhì)數(shù)：例

6、如：2位數(shù)的回文素數(shù)有4對：1331；1771；3773；9779三位數(shù)的回文素數(shù)共13對；四位數(shù)的回文素數(shù)共102對；五位數(shù)共684對有趣的是=3.1415926前兩位數(shù)：31-13前六位數(shù)：314159-951413試著找一對吧D：其它有趣的現(xiàn)象：n自守數(shù)：所謂自守數(shù)就是自已和自己相乘以后得到的數(shù)，尾數(shù)不變。在自然數(shù)中凡末尾數(shù)是1、5和6的數(shù)，不論自乘多少次，尾數(shù)仍然是1、5、6。 例如：2121=421 212121=9261325325=1056256666=1296 n末尾是25和76的數(shù)也是自守數(shù)，三位數(shù)以上也有。自然數(shù)中的奇數(shù)和偶數(shù)。 奇數(shù)：偶數(shù)：2=122+4=6=232+4+

7、6=12=342+4+6+8=20=45 2+4+6+8+ +2n = n（n+1） 對所有的自然數(shù)，下面的規(guī)律也成立并且十分有趣： 在自然數(shù)中還有一些數(shù)，看起來貌不驚人，但卻十分特別，令人百思不得其解。6174就是其中之一。 7641-1467=6174 有趣的是，不僅6174本身，就是任意一四位數(shù)字，只要4個數(shù)字不完全相同，用上述辦法重復(fù)多次，最后終能得到6174這個數(shù)。 例如1234這個數(shù)，我們用下列步聚運算：4321-1234=30878730-0378=83528532-2358=6174 區(qū)間素數(shù)個數(shù)1-10025100-20021200-30016300-40016400-500

8、17500-60014600-70016區(qū)間比例1-1001/41-10001/61-100001/81-1000001/1019世紀(jì)有一位數(shù)學(xué)愛好者觀察了600000內(nèi)的素數(shù)，發(fā)現(xiàn)在n和2n之間至少有1個素數(shù)。9年后一位俄國數(shù)學(xué)家證明了猜想的正確性。1-n的區(qū)間 素數(shù)個數(shù)(n)(n)/nn100251/4n10001661/6n1000012291/8n10000095921/10n101001000100001000001000000n/(n)2.545.958.1410.4212.05ln n2.34.66.99.211.513.1lnlim1/( )nnnn1800年一位德國數(shù)學(xué)家猜想

9、這一等式成立，96年后，兩位法國數(shù)學(xué)家同時獨立地證明了猜想的正確性。 ( )lnnnn獵奇審美，它們之間是相通的。 在雜亂無章的素數(shù)分布上，人們發(fā)現(xiàn)了許多奇特的規(guī)律，猶如萬樹叢中的鳥語花香2.對無理數(shù)的品位古希臘數(shù)學(xué)十分繁榮，與藝術(shù)和哲學(xué)緊密相連的。古希臘哲學(xué)（畢達(dá)哥拉斯流派）對數(shù)（正整數(shù)）和對世界的思考是不可分割的。他們認(rèn)為：萬物皆數(shù)，數(shù)生萬物，1最神圣古中國：一生二、二生三、三生萬物2.對無理數(shù)的品位無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)打破了古希臘數(shù)學(xué)與哲學(xué)的和諧，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)（也是哲學(xué)）的第一次危機(jī)2 51 2： 正方形對角線長與其邊長之比： 正五邊形對角線長與其邊長之比2.1 黃金分割A(yù)BCACABCBBC問題

10、：在直線上找一點 ，使得11 (510.6118.1)2ABAxCxxxx若，那么于是2.1 黃金分割2.1 黃金分割212110512512xxxx 方程（）等價于它的兩個根為正五邊形對角線長與邊長之比正五邊形邊長與對角線長之比C點稱為黃金分割2.1 黃金分割人體: 軀干部分的寬與長之比 肚臍、膝蓋植物：相鄰兩葉在與莖垂直的平面上的投影的兩夾角的比 利于通風(fēng)采光 在研究黃金分割與人體關(guān)系時，發(fā)現(xiàn)了人體結(jié)構(gòu)中有14個“黃金點”（物體短段與長段之比值為 0.618），12個“黃金矩形”（寬與長比值為 0.618的長方形）和2個“黃金指數(shù)”（兩物體間的比例關(guān)系為 0.618）。 黃金點：(1)肚臍

11、：頭頂足底之分割點；(2)咽喉：頭頂肚臍之分割點；(3)、(4)膝關(guān)節(jié)：肚臍足底之分割點；(5)、(6)肘關(guān)節(jié)：肩關(guān)節(jié)中指尖之分割點；(7)、(8)乳頭：軀干乳頭縱軸上這分割點；(9)眉間點：發(fā)際頦底間距上1/3與中下2/3之分割點；(10)鼻下點：發(fā)際頦底間距下1/3與上中2/3之分割點；(11)唇珠點：鼻底頦底間距上1/3與中下2/3之分割點；(12)頦唇溝正路點：鼻底頦底間距下1/3與上中2/3之分割點；(13)左口角點：口裂水平線左1/3與右2/3之分割點；(14) 右口角點：口裂水平線右1/3與左2/3之分割點。面部黃金分割律 面部三庭五眼 黃金矩形：(1)軀體輪廓：肩寬與臀寬的平均

12、數(shù)為寬，肩峰至臀底的高度為長；(2)面部輪廓：眼水平線的面寬為寬，發(fā)際至頦底間距為長；(3)鼻部輪廓：鼻翼為寬，鼻根至鼻底間距為長；(4)唇部輪廓：靜止?fàn)顟B(tài)時上下唇峰間距為寬，口角間距為長；(5)、(6)手部輪廓：手的橫徑為寬，五指并攏時取平均數(shù)為長；(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上頜切牙、側(cè)切牙、尖牙（左右各三個）輪廓：最大的近遠(yuǎn)中徑為寬，齒齦徑為長。 黃金指數(shù)：(1)反映鼻口關(guān)系的鼻唇指數(shù)：鼻翼寬與口角間距之比近似黃金數(shù)；(2)反映眼口關(guān)系的目唇指數(shù)：口角間距與兩眼外眥間距之比近似黃金數(shù)。 2.1 黃金分割名曲: 高潮出現(xiàn)在全曲的黃金分割點名畫：充分利用了0.618建

13、筑: 如建筑物的特征點、門窗等黃金分割點體現(xiàn)了美與實用，溝通了人與自然2.2 e與無理數(shù)分類代數(shù)無理數(shù)：整系數(shù)多項式的根超越無理數(shù)：代數(shù)無理數(shù)以外的無理數(shù) 證明它們是超越無理數(shù)是相當(dāng)困難的。25110.2xx 如是的根, e如2.2 e與e與幾何有關(guān)與物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)等有關(guān)。它可以刻畫天體運動、衰變和利率、生物繁殖2.2 e與無理數(shù)的定義說明它們不可以用有限個有理數(shù)來表示。微積分的無窮級數(shù)提供了無理數(shù)的有理數(shù)的無限和表示。例如11141357111112 !3 !4 !e2.2 e與446333 33 36.1 1565 5882222. 18 81828 5 0 55279499749

14、e猜測：1.每隔10位數(shù)就會出現(xiàn)同樣的數(shù)字; 2. 的數(shù)字中必有e的前n位數(shù)字, e的數(shù)字中必有的前n位數(shù)字。2.2 e與456.10. iee 數(shù)學(xué)美的象征1：實數(shù)單位i：虛數(shù)單位0：唯一中性數(shù)i：來源于幾何 ：來源于分析2.2 e與cossiniie乘法運算形式一致246357234111c o s12 !4 !6 !111s in3 !5 !7 !11112 !3 !4 !c o ss inxixxxxxxxxxxexxxxexix得 到2.2 e與cossin. iieLeibniz因此與具有同樣的結(jié)構(gòu)，我們認(rèn)為它們是的。這種思想來源于法國偉大的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家這種思想在代數(shù)、幾何等領(lǐng)域

15、得到了許多發(fā)展。在同構(gòu)的觀點下，人們能看到不同現(xiàn)象的同一本質(zhì)（規(guī)律），并能從已有的規(guī)律去推斷其他領(lǐng)域或事實的類似物。這是多么美妙相等的方法?。∪R布尼茲3無限世界的美妙有限無限生命、財產(chǎn)、人口、金錢、距離直線上的點一尺之椎，日取其半，萬世不竭。正整數(shù)個數(shù)12 3n， ， ，1123nnn正整數(shù)有限個嗎？回答是 .若是，設(shè)為個： ， ， ， .那么是一否個新的正整數(shù).3: 是什么? 代表什么?實際上3就是一個符號, 與a, f(x) 是一樣的!其含義就是表示若干不同表現(xiàn)形式的共性:相同的數(shù)量或不同的專一屬性-編碼.如:3個蘋果,3支鋼筆,3個人,3分錢.實際上, 脫離實際情況,3本身是沒有實際意義

16、的.但作為媒介，3包含了上述情況的共性 在數(shù)量上一樣多。雖然世界各地的讀音不同。( )nxf n數(shù)列abab線段 上的點與線段 上的點一樣多！12OO圓上的點與上圓的點一樣多！1O2Oxx這個運動表明：當(dāng)x沿直線趨于正無窮大時，圓周上對應(yīng)的點按逆時針方向趨于頂點這個運動表明：當(dāng)x沿直線趨于負(fù)無窮大時，圓周上對應(yīng)的點按順時針方向趨于頂點演示表明：在直線上無論x是趨于 ,還是趨于 ，反映在圓周上顯示的是，點沿著圓周分別按逆時針和順時針都趨于一個共同的點頂點！集合A與B稱為基數(shù)相等，如果A，B之間存在1-1對應(yīng)關(guān)系（1-1映射）。記為顯然基數(shù)概念推廣了個數(shù)概念。AB1、有理數(shù)與自然數(shù)一樣多11213

17、1411222324213233343這個集合的基這個集合的基數(shù)不超過自然數(shù)不超過自然數(shù)的基數(shù)，而數(shù)的基數(shù)，而自然數(shù)是其子自然數(shù)是其子集，所以這兩集，所以這兩個集合的基數(shù)個集合的基數(shù)相等。同樣的相等。同樣的理由知道有理理由知道有理數(shù)與自然數(shù)一數(shù)與自然數(shù)一樣多。樣多。2、（0，1）與（0，+）的點一樣多,(0,1)1xyxx3、（0，1）的點比自然數(shù)多5、自然數(shù)是基數(shù)最小的無窮集合。4、自然數(shù)的所有子集所成的集合與（0，1）的基數(shù)一樣。6、一個集合的基數(shù)（?）小于其子集所成的集合的基數(shù)（2 ? ）? 2 ? 由此人們給出了處理無窮多（自然數(shù)）的一個方法數(shù)學(xué)歸納法：如果與自然數(shù)k有關(guān)的命題P(k)

18、滿足條件（1） P(1)成立；（2）若P(n)成立，則P(n+1)也成立,則P(k)對所有的自然數(shù)成立。 觀點和方法是數(shù)學(xué)的兩個方面：既緊密聯(lián)系，又有所區(qū)別。但方法影響觀點。 我們來看看數(shù)學(xué)方法的美?！安荒懿弧?反證法通常的證明方法：“對”“不對”矛盾例12.是無理數(shù)反證法：2, ,p q不假設(shè)是有理數(shù) 那么存在的正整數(shù)可約使得2222.qpqqp為偶數(shù)222 ,2,.qmpmp設(shè)則于是為偶數(shù)矛盾也177.是有理數(shù)至多 步就可以找到規(guī)律例2（抽屜原理）3個蘋果放進(jìn)2個抽屜中，至少有1個抽屜中有兩個蘋果。（反證法易得）10本書，共3類（抽屜），文學(xué)類（A）、史學(xué)類（B）和數(shù)學(xué)類（C），證明至少有

19、一類有4本或4本以上。10本書，共3類（抽屜），文學(xué)類（x）、史學(xué)類（y）和數(shù)學(xué)類（z），證明x,y,z至少有一個大于或等于4。抽象為一個純數(shù)學(xué)問題：, ,10,4,4,4.x y zxyzxyz假設(shè)是非負(fù)整數(shù),且則或或或此即為不定方程的非負(fù)解的下界估計問題.假設(shè)人類的頭發(fā)最多為200萬根，那么南平市至少有2人的頭發(fā)根數(shù)一樣多。（南平市人口超過200萬） 在任意6人中，一定可以找到3個相互認(rèn)識，或3個相互不認(rèn)識的人。RMI：R-relation, M-mapping, I-inversion. 即關(guān)系、映射和取逆。它屬于形式邏輯范疇。如“三段式”給人以邏輯美。RMI方法體現(xiàn)了辨證思想的方法。例

20、111101134422 22 1024204822228 16 168 2562048 顯得容易。例21112?等于多少11110.3010,lg2lg20.02731111很難 但是11:21.065.從反對數(shù)表得到lg1lg0 xxxx運算數(shù)值曲折：化難為易曲折：創(chuàng)造、發(fā)明曲折：實現(xiàn)的根據(jù)是對數(shù)Galileo(伽利略)：給我空間、時間和對數(shù)，我即可創(chuàng)造一個宇宙。RMI的體現(xiàn)：R：21/11（關(guān)系） ，M：lgx （映射）,I:10lgx（取逆）例3: 求和11111(1)35721nyn35721( )(1)35721nnxxxxy xxnRM,逐項微分246221( )1(1)1nny

21、xxxxxx201( )arctan ,(1).14xy xdxx yyxI,積分?jǐn)?shù)學(xué)上互逆的運算很多:如0的作用是+項與-項;1的作用是乘項與除項. 抽象=枯燥乏味?語言學(xué)抽象嗎? 美、神、好文學(xué)抽象嗎？詩歌藝術(shù)抽象嗎？繪畫、舞蹈音樂抽象嗎？高山流水、悲歡離和數(shù)學(xué)的抽象美的表現(xiàn)形式不同，它給人帶來的是簡潔、明快和高效的美例1（七橋問題）如圖，能否從某個橋出發(fā)，走過所有的橋，但每座橋只經(jīng)過一次？ABCD？ ？BACDBACD24213313335點線圖拓?fù)鋵W(xué)topology:不注重數(shù)量關(guān)系和形狀特征，而注重點與點的連接方式！如：建立校園網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。從網(wǎng)絡(luò)中心到各辦公樓、教學(xué)樓、學(xué)生宿舍樓，到各辦

22、公室、教室和寢室。你如何設(shè)計呢？你需要建立一個網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)鋱D即可。實際上如果兩個圖的點與連接方式一致，它們實際上就是拓?fù)湟饬x下的一張圖。拓?fù)鋵W(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展進(jìn)一步表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的抽象程度，起抽象的美與實際是如此的協(xié)調(diào)，展示了數(shù)學(xué)的優(yōu)美！ 拓?fù)鋵W(xué)的產(chǎn)生極大沖擊了直觀性原則！ 1 人的認(rèn)知能力(直觀，抽象飛躍) 2 直觀與抽象在認(rèn)識上的統(tǒng)一受年齡和知識的接受方式的限制. 3 直觀可能造成錯覺. 思辯的作用越來越大.直觀具有較大的局限性. 物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)等學(xué)科中許多重大發(fā)現(xiàn)和突破是由想象力開導(dǎo)的。 善于抽象不僅只限于數(shù)學(xué)，人文科學(xué)、社會科學(xué)，更越來越抽象，只不過給人的感覺不象數(shù)學(xué)強烈而已。 美的不同表

23、現(xiàn)形式有不同的形容： 壯美、俊美、秀美、柔美、優(yōu)美數(shù)學(xué)美也呈現(xiàn)多樣性，我們分為：簡潔美、對稱美、和諧美和奇異美。簡潔美是人們最欣賞的一種美，在藝術(shù)、建筑、徽標(biāo)等的設(shè)計中最為常見。中國畫更是體現(xiàn)了簡潔美。數(shù)學(xué)以簡潔而著稱！大數(shù)和小數(shù)的表示：10221，286243 ，10-900數(shù)的表示：所有數(shù)均可由1,2,3,5,6,7,8,9,0表示.(稱為阿拉伯?dāng)?shù)字,但是由印度人發(fā)明的.由阿拉伯人傳到西方.)形式上和位置上意義非凡, 絕妙非常.實際上, 0的出現(xiàn)大約要晚好幾百年.23 6 236 2306簡潔美的發(fā)展過程: 2354=940羅馬人的算法:CCXXXV IVCCCCCCCCXXXXXXXXX

24、XXXVVVVDCCC CXX XX CMXL表示900表示40十進(jìn)制與二進(jìn)制:十進(jìn)制:8989= 1 26+0 25 + 1 24 + 1 23 + 0 22 + 0 21 + 1 20二進(jìn)制:1011001十進(jìn)制:符號多(10),表示上簡潔,方便人工運算,但系統(tǒng)復(fù)雜.二進(jìn)制:符號少(2), 表示上麻煩,方便機(jī)器運算,但系統(tǒng)簡單.二進(jìn)制與最簡單的自然現(xiàn)象二進(jìn)制與最簡單的自然現(xiàn)象(信號的信號的兩極兩極)結(jié)合結(jié)合,造就了計算機(jī)！造就了計算機(jī)！其它符號的簡潔美：未知量：x,y,z已知量：,e, a,b,c函數(shù)關(guān)系：f(x)形狀符號：其它符號的簡潔美：運算符號：函數(shù)與邏輯：函數(shù)與邏輯：, d， ，

25、，sin,cos,dx1220,(),FvcdFmvdtm mFkr牛頓第一定律牛頓第二定律，萬有引力定律幾何：點對稱、線對稱、面對稱、球?qū)ΨQ。球面被認(rèn)為最完美！代數(shù)與函數(shù)論：共軛數(shù)（共軛復(fù)數(shù)、共軛空間）。運算：交換律、分配律，函數(shù)與反函數(shù)運算。二項式定理的展開式中的系數(shù)構(gòu)成二項式定理的展開式中的系數(shù)構(gòu)成的楊輝三角形：的楊輝三角形：11 2 13 3 11 4 6 4 11 1 5 10 5 1命題變換中：命題變換中：命題命題 逆命題逆命題 否命題否命題 逆否命題逆否命題統(tǒng)一與和諧美是數(shù)學(xué)美的又一側(cè)面，統(tǒng)一與和諧美是數(shù)學(xué)美的又一側(cè)面，它比對稱美具有廣泛性。以幾何與它比對稱美具有廣泛性。以幾何與

26、代數(shù)的和諧與統(tǒng)一的表現(xiàn)為例：代數(shù)的和諧與統(tǒng)一的表現(xiàn)為例：行行列式與矩陣列式與矩陣平面上平面上過點過點(x1, y1),(x2, y2)的直線方程的直線方程:11221101xyxyxy平面上過點平面上過點(x1, y1),(x2, y2), (x3, y3)的圓方程的圓方程:2222111122222222333311011xyxyxyxyxyxyxyxy22020axbycaxbxycydxeyf平面上所有直線一般形式：平面上所有二次曲線一般形式：,ahbdbcedeacfabbc ， 是平移其性質(zhì)和類型取決三和旋轉(zhuǎn)變換下不個量：變的量。1.0,0,;0,0,;0為橢圓為雙曲線;=0為拋物線

27、.2.=0,為橢圓為相交兩直線;=0平行或重合兩直線,ahbdbcedea cfa bbc ， 是平移其性質(zhì)和類型取決三和旋轉(zhuǎn)變換下不個量：變的量。奇異：稀罕、出乎意料但卻引人入勝！10.166666666666666666666610.142857 142857 142857 142857 79876543218.72966339123456789 6036849 5493532699 0000000 000 00 114702300090331010100310100:9876543219812345678912345678999919 10123456789109110987654321

28、9189 1012345678910nnnn而且而所以2222222333:,2,xyzxabyab zababxyz勾股定理有非零的正整數(shù)解:3,4,5;5,12,13. 其一般解為:其中為一奇一偶的正整數(shù).那么,3次不定方程:有沒有非零的正整數(shù)解?:2!,.300.nnnxyzn此即為著名的當(dāng)時沒有正整數(shù)解費馬在一本書的邊上寫道 他已經(jīng)解決了這個問題但是沒有留下證明在此后的年一直是一馬猜想個懸念費18世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)證明了n=3,4時費馬定理成立；后來，有人證明當(dāng)n105是定理成立。20世紀(jì)80年代以來，取得了突破性的進(jìn)展。1995年英國數(shù)學(xué)家Andrew Wiles（

29、安德魯懷爾斯，普林斯頓大學(xué)教授）的108頁論文解決了費馬定理。他1996年獲wolf獎，1998年獲Fielz獎。(伍爾佛基金會獎(Wolf Foundation Prizes) 宗旨:成立于1978年,為前古巴派駐以色列外交家、發(fā)明家、慈善家Dr. Ricardo Wolf發(fā)起,為獎勵杰出科學(xué)家、藝術(shù)家對人類的貢獻(xiàn),不論國籍、種族、性別、政治信念。 獎賞以下列領(lǐng)域為主:農(nóng)業(yè)、化學(xué)、）. 121:4?nnnnnnnxxxx推廣時不定方程是否有非平凡整數(shù)解 數(shù)學(xué)史的發(fā)展和其它學(xué)科有著許多相同的地方，即存在許多奇異的想法或追求完美的理想，其原因在于或者理論知識發(fā)展的局限性，或者社會制度、宗教等的因

30、素。但是這些思想的出現(xiàn)對于推動數(shù)學(xué)的進(jìn)步是積極的。在中學(xué)我們就知道，幾何作圖嚴(yán)格局限于圓規(guī)和無刻度直尺。這種限制從古希臘一直延續(xù)至今。為什么？古希臘認(rèn)為，所有圖形都是由直線和圓弧構(gòu)成的，圓是最完美的圖形。他們確信僅靠圓規(guī)和直尺就可以繪出圖形來。他們還認(rèn)為，依據(jù)少量假設(shè)，通過邏輯把握的東西最可靠。如求線段AB的中點步驟為：1、以A為圓心，以一適當(dāng)?shù)拈L度為半徑畫??；2、以B為圓心，以同樣長度的半徑畫??；3、兩弧交于兩點，作兩點連線，其與AB的交點即為AB的中點。ABC人們很快找到了正三、四、五、六邊形的尺規(guī)作圖的方法，然而在正七邊形的尺規(guī)作圖時，一直研究了2000多年！17世紀(jì)，法國業(yè)余數(shù)學(xué)家費馬

31、提出了猜想：形如Fi=22i+1是素數(shù)！i=0,1,2,3,4時Fi是的確如此。而i=5時F5 是不是素數(shù)則在差不多100年后才由偉大的歐拉證明它不是素數(shù)！F F5 5=641=6416700417.6700417.看來，驗證一個大數(shù)是否為素數(shù)看來，驗證一個大數(shù)是否為素數(shù)是一個多么困難的事啊！是一個多么困難的事?。∑駷橹?，人們只知道F1,F2,F3, F4,是素數(shù)。人們又猜想費馬素數(shù)只有有限個，但仍是一個未解問題。在歐拉之后60年，德國數(shù)學(xué)家高斯20歲時發(fā)現(xiàn)了正多邊形的邊數(shù)是費馬素數(shù)時是可以用尺規(guī)作圖的，并且得到一般性結(jié)論：正n邊形可尺規(guī)作圖的充分必要條件是：由此我們知道正7邊形是不可以尺規(guī)

32、作圖的！因為7不是費馬素數(shù)。121222kkssnnpppppp或其中 ， ， ， 是費馬素數(shù)。 而正17邊形（屬于高斯，80多頁），正257邊形（200多頁）是可以用尺規(guī)作圖的。高斯的墓碑上刻著一個正17邊形。 大家可以驗證3，5，17，257是否為費馬素數(shù)。古希臘流傳下來的還有三大幾何作圖難題：1、化圓為方： =2、倍立方問題 ： =3、三等分角問題。它們的解決實際上都促進(jìn)了幾何與代數(shù)，也就是現(xiàn)在的解析幾何的產(chǎn)生與發(fā)展。上述三個問題都是不可能的！1、化圓為方，因為是超越無理數(shù)。是不可作幾何量。2、倍立方問題。因為 是不可作幾何量。3、三等分角問題。以60度角為例，可得到代數(shù)方程323143

33、0,2yyy是不可作幾何量。前面已經(jīng)提到，古希臘的幾大幾何難題都是借助于代數(shù)方法得到解決的。實際上，從公元前到公元16世紀(jì)，幾何與代數(shù)各自并行發(fā)展著。表面上看，幾何似乎是關(guān)于形的科學(xué)而與數(shù)無關(guān)，代數(shù)似乎是關(guān)于數(shù)的科學(xué)而與形無關(guān)。代數(shù)與幾何難以聯(lián)系的原因是：人們心目中的數(shù)是相互孤立的，難以從數(shù)想到由無窮多個點構(gòu)成的線等圖形。而對于形來說，例如線段或封閉圖形，它們與數(shù)的聯(lián)系也只限于長度與面積，難以從圖形想到數(shù)的能力。人們從“運動”的角度來聯(lián)系數(shù)與形的：決定性的工具是建立了坐標(biāo)系，點 數(shù)。點的運動形成了線，線的運動形成了體.。 數(shù)與形的充分結(jié)合才產(chǎn)生了解析幾何。解析幾何的主要創(chuàng)始人是笛卡兒！在笛卡兒

34、之前，就已經(jīng)出現(xiàn)了代數(shù)與幾何的結(jié)合，即解析幾何的萌芽.我們來看一個例子。求比例中項問題。求給定長度AB與AC的比例中項。若AB=AC，那么他們本身就是比例中項，否則，可設(shè)ABAC.將AB置于AC上,以AC為直徑畫圓,過B點作AC的垂線交圓于D,連接AD,AD即為所求比例中項.AD FHBCEG1x ABDACDaABADADAC即： 接著,我們依次作出E、F、G、H、.使得ABADACADACAFAFAEAEAH232341xxxxxxx即：因為AD=x時,AF=x3,AF=AD+DF,故當(dāng)DF=a時,我們得到X3=x+a結(jié)論:從幾何得到了一個代數(shù)方程.另一方面,若a是已知數(shù),那么AD=x作為

35、方程的根可以在幾何上表示出來(尺規(guī)作圖).反過來,笛卡兒對幾何問題應(yīng)用了代數(shù)方法:研究幾何軌跡問題.解析幾何的精華在于把幾何曲線用代數(shù)方程來表示,同時又用代數(shù)的研究方法來研究幾何.這種方法顯示了其強大的生命力:代數(shù)是純演算的和推理的,它只需要邏輯的和技巧的,而不需要面對千變?nèi)f化的幾何曲線的表面現(xiàn)象得到其本質(zhì)性的東西.即幾何曲線(曲面)的分類.222222222112xyabxyabypx標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓：雙曲線：拋物線：2220axbxycydxeyf一般方程：通過代數(shù)方法(平移和旋轉(zhuǎn))我們可以把一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.而且還有三個不變量.它們是二次曲線的本質(zhì)三類:橢圓、雙曲線和拋物線。 難以想象,

36、沒有代數(shù)的參與,在眾多曲線中我們能看到這些本質(zhì)性的東西.解析幾何出現(xiàn)后不久，微積分也被發(fā)現(xiàn)了。可以說，微積分不僅是數(shù)學(xué)的偉大發(fā)現(xiàn)，也為近代科學(xué)開辟了光明的道路；微積分不僅是17世紀(jì)的偉大發(fā)現(xiàn)，而且是世界人類文明史上最為光輝燦爛的發(fā)現(xiàn)。微積分的來源是科學(xué)發(fā)展對數(shù)學(xué)要求的必然：速度、距離、重心；切線、長度、面積、體積；極值問題等等。微積分的創(chuàng)立是以發(fā)現(xiàn)微分與積分互為逆運算為標(biāo)志的，即我們所說的微積分學(xué)基本定理：()()()() ,()()()xad fxfxd xFxfxftd tFxFa微分形式：積分形式：若微積分的偉大意義在于：1、微積分改變了數(shù)學(xué)的研究對象、方式和方法，帶來了數(shù)學(xué)空前和持久的

37、繁榮昌盛！顯示了數(shù)學(xué)內(nèi)部的辨證統(tǒng)一的深刻哲理。2、推動了自然科學(xué)、工程技術(shù)、社會科學(xué)的發(fā)展。有了微積分，它就成為了物理學(xué)的基本語言。其他如力學(xué)、天文學(xué)、化學(xué)等學(xué)科都得到了無限的推動力。近代的生物學(xué)、地理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會科學(xué)等都離不開數(shù)學(xué)。3、對人類物質(zhì)文明作出了巨大貢獻(xiàn)。數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用和更新，通過其他學(xué)科對人類的進(jìn)步產(chǎn)生了前所未有的作用：工業(yè)革命、人造衛(wèi)星、新星的發(fā)現(xiàn)、經(jīng)濟(jì)規(guī)律、金融運作等等。4、對人類文化產(chǎn)生了革命性的影響。只要研究變化規(guī)律就要用到微積分，在人文、社會科學(xué)領(lǐng)域也是如此。哲學(xué)（馬克思、恩格斯）、經(jīng)濟(jì)學(xué)、考古學(xué)、社會學(xué)、心理學(xué)、語言學(xué)、法學(xué).它們直接影響著人們的世界觀和文化結(jié)構(gòu)。

38、一個遺憾的事：幾乎所有的大學(xué)生不知道非歐幾何，甚至數(shù)學(xué)類專業(yè)的本科生也是如此。今天我們試圖來彌補這個遺憾，來了解影響和改變世界的非歐幾何。歐氏幾何在公元前300年就已產(chǎn)生，起始特征是建立了公理化方法：即從幾個概念和幾個命題，演繹出本學(xué)科其它所有概念和命題，從而構(gòu)成這一學(xué)科的全貌。運用這種方法的學(xué)科被認(rèn)為是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)和成熟的科學(xué)。歐氏幾何的公理體系出現(xiàn)在歐幾里德的集合原本中，在其之后的2200年后，希爾伯特在幾何基礎(chǔ)上加以完善。其間，許多數(shù)學(xué)家作了許多公理體系的完備性工作。然而，令人放心不下的是該公理體系中的第五公理，即平行公理的獨立性問題。因為人們發(fā)現(xiàn)即使歐幾里德本人也盡量避免使用它。所以人們

39、開始從三個方面研究平行公理。1、試圖給出新的平行線定義以繞開這個困難；2、試圖用比平行公理缺點更少的其他公理取代它；（等價或包含）3、試圖用其他公里推出它。第三個問題得到的最多的研究，但是毫無結(jié)果。在用反證法研究第三個問題時，試圖推出矛盾，但是沒有。實際上，反證法就是假設(shè)與第五公理不成立。第五公理是說：過已知直線外一點，可作一條也只可作一條直線與已知直線平行。19世紀(jì)初，俄羅斯人羅巴切夫斯基在否定第五公理的同時，假設(shè)其反面之一：“過已知直線外一點，可作多于一條的直線與已知直線平行”，得到了一系列定理，并且認(rèn)為他得到了一門新的幾何學(xué)。這是過去2000年以來的重大突破。羅巴切夫斯基1826年2月1

40、1日宣布自己建立了新的幾何學(xué)之后，得到了許多數(shù)學(xué)大家的嘲笑、諷刺，德國詩人歌德也出來諷刺他。實際上，羅巴切夫斯基的理論得到世界的認(rèn)可是在他去世幾十年后的事了. 在羅氏幾何產(chǎn)生后的1854年，德國數(shù)學(xué)家黎曼把歐氏第五公理改為：“過已知直線外一點，沒有與其平行之直線”，得到的一種新的幾何學(xué)黎曼幾何，為非歐幾何的另一翼。絕對幾何歐氏幾何羅氏幾何黎曼幾何聯(lián)系公理迭合公理順序公理連續(xù)公理 非歐幾何的產(chǎn)生具有三個重大意義:1、解決了平行公理的獨立性問題。推動了一般公理體系的獨立性、相容性、完備性問題的研究，促進(jìn)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這一更為深刻的數(shù)學(xué)分支的形成與發(fā)展。 2、證明了對公理方法本身的研究能推動數(shù)學(xué)的發(fā)展，

41、理性思維和對嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯和完美的追求，推動了科學(xué)，從而推動了社會的發(fā)展和進(jìn)步。在數(shù)學(xué)內(nèi)部，各分支紛紛建立了自己的公理體系，包括被公認(rèn)為最困難的概率論也在20世紀(jì)30年代 建立自己的公理體系。實際上公理化的研究又孕育了元數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展。3、非歐幾何實際上預(yù)示了相對論的產(chǎn)生，就象微積分預(yù)示了人造衛(wèi)星一樣。非歐幾何與相對論的匯合是科學(xué)史上劃時代的事件。人們都認(rèn)為是愛因斯坦創(chuàng)立了相對論，但是，也許愛因斯坦更清楚，是他和一批數(shù)學(xué)家Poincare龐加萊 ,Minkouski閔柯夫斯基 , Hilbert希爾伯特等共同的工作。出現(xiàn)動鐘延緩，動尺縮短，時空彎曲等現(xiàn)象。這些都是非歐幾何與相對論的科學(xué)發(fā)現(xiàn)。非歐

42、幾何的模型。復(fù)變函數(shù)理論。 | 1z 非歐平面:|z|=1,無窮遠(yuǎn)非歐直線非歐距離、非歐角、非歐圓、非歐三角形.，非歐三角形內(nèi)角和小于180度；不存在非歐矩形。7、數(shù)學(xué)與人的發(fā)展 數(shù)學(xué)作為一門課程進(jìn)入學(xué)校在公元前2400年時就開始了。柏拉圖規(guī)定，不懂幾何學(xué)不得進(jìn)入他的哲學(xué)學(xué)校。這說明那時就把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教育和做人聯(lián)系起來了。 現(xiàn)在全世界最普遍開設(shè)的教育課程就是數(shù)學(xué)，開設(shè)的時間是所有課程中最長的！ 人類是如何達(dá)成這一共識？又是如何確立了數(shù)學(xué)如此重要地位的呢？ 中國數(shù)學(xué)歷史悠久，也曾達(dá)到過很中國數(shù)學(xué)歷史悠久，也曾達(dá)到過很高的水平，但中國的古代數(shù)學(xué)偏向于應(yīng)用高的水平，但中國的古代數(shù)學(xué)偏向于應(yīng)用與使用。

43、與使用。 與中國古代數(shù)學(xué)形成鮮明對照的是與中國古代數(shù)學(xué)形成鮮明對照的是古希臘數(shù)學(xué)所具有的強烈的理性色彩。古古希臘數(shù)學(xué)所具有的強烈的理性色彩。古希臘數(shù)學(xué)更接近于世界觀，接近哲學(xué)，接希臘數(shù)學(xué)更接近于世界觀，接近哲學(xué)，接近人生，因而也更接近人文學(xué)。所以數(shù)學(xué)近人生，因而也更接近人文學(xué)。所以數(shù)學(xué)作為人類的思想產(chǎn)品，獲得了極高的地位。作為人類的思想產(chǎn)品，獲得了極高的地位。數(shù)學(xué)對人的發(fā)展的影響 近代中國的教育觀念中，還承繼著老祖近代中國的教育觀念中，還承繼著老祖宗的某些傳統(tǒng)。過分強調(diào)感性、實用性和目的宗的某些傳統(tǒng)。過分強調(diào)感性、實用性和目的性。數(shù)學(xué)只作為一種工具來學(xué)習(xí)和掌握。所謂性。數(shù)學(xué)只作為一種工具來學(xué)習(xí)

44、和掌握。所謂“有沒有用有沒有用”的的“用用”，其含義更多的是對某，其含義更多的是對某個學(xué)科專業(yè)的個學(xué)科專業(yè)的實用性實用性，而不包含對，而不包含對人的發(fā)展的人的發(fā)展的作用作用。 實際上，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的相互促進(jìn)，實際上，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的相互促進(jìn)，使得數(shù)學(xué)的發(fā)展異常迅猛，用途的廣泛性已經(jīng)使得數(shù)學(xué)的發(fā)展異常迅猛，用途的廣泛性已經(jīng)超出了人們的想象。超出了人們的想象。實用主義實用主義降低了數(shù)學(xué)的作降低了數(shù)學(xué)的作用，由于過分的強調(diào)，而使數(shù)學(xué)的人文作用處用，由于過分的強調(diào)，而使數(shù)學(xué)的人文作用處于一個幾乎被忽略的地位。于一個幾乎被忽略的地位。 世界觀的形成是后天的。它與人的成長世界觀的形成是后天的。它與人的成

45、長過程密切相關(guān)。世界觀左右人的認(rèn)識、觀點與過程密切相關(guān)。世界觀左右人的認(rèn)識、觀點與方法。其共性表現(xiàn)為：方法。其共性表現(xiàn)為：符合邏輯的、辨證統(tǒng)一符合邏輯的、辨證統(tǒng)一的和純理性的的和純理性的。 數(shù)學(xué)家也不例外，他們在從事數(shù)學(xué)研究數(shù)學(xué)家也不例外，他們在從事數(shù)學(xué)研究的同時，必定通過數(shù)學(xué)來看世界。反過來，他的同時，必定通過數(shù)學(xué)來看世界。反過來，他們對世界的看法也影響著其數(shù)學(xué)工作。從畢達(dá)們對世界的看法也影響著其數(shù)學(xué)工作。從畢達(dá)格拉斯直到近代的伽利略、笛卡兒、開普勒一格拉斯直到近代的伽利略、笛卡兒、開普勒一直認(rèn)為直認(rèn)為世界是數(shù)的體現(xiàn)，世界是按數(shù)學(xué)公式運世界是數(shù)的體現(xiàn)，世界是按數(shù)學(xué)公式運行的，宇宙的書本是按數(shù)

46、學(xué)寫成的。數(shù)與世界行的，宇宙的書本是按數(shù)學(xué)寫成的。數(shù)與世界密不可分密不可分。不少數(shù)學(xué)家都是哲學(xué)家。不少數(shù)學(xué)家都是哲學(xué)家。 20 20世紀(jì)的數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家龐加萊說：世紀(jì)的數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家龐加萊說：“沒有數(shù)學(xué)這沒有數(shù)學(xué)這門語言，事物間大多數(shù)密切的類似關(guān)系將永遠(yuǎn)不會被我門語言，事物間大多數(shù)密切的類似關(guān)系將永遠(yuǎn)不會被我們發(fā)現(xiàn)；我們也無從發(fā)現(xiàn)世界內(nèi)部的和諧，而這種和諧們發(fā)現(xiàn)；我們也無從發(fā)現(xiàn)世界內(nèi)部的和諧，而這種和諧正是惟一真正的客觀現(xiàn)實正是惟一真正的客觀現(xiàn)實.是我們所能達(dá)到的惟一是我們所能達(dá)到的惟一真理真理?！?實際上，出現(xiàn)的問題是數(shù)學(xué)與世界和諧的關(guān)系。實際上，出現(xiàn)的問題是數(shù)學(xué)與世界和諧的關(guān)系。如果說是數(shù)

47、學(xué)發(fā)現(xiàn)了世界的和諧，則數(shù)學(xué)優(yōu)先于世界觀；如果說是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)了世界的和諧，則數(shù)學(xué)優(yōu)先于世界觀；如果說，世界的和諧是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的，則世界觀優(yōu)先于數(shù)如果說，世界的和諧是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的，則世界觀優(yōu)先于數(shù)學(xué)。學(xué)。 數(shù)學(xué)對世界觀起到了作用數(shù)學(xué)對世界觀起到了作用。 1 1、數(shù)學(xué)影響人們的邏輯思維、數(shù)學(xué)影響人們的邏輯思維 數(shù)學(xué)的突出特點是講究普遍聯(lián)系的，最大數(shù)學(xué)的突出特點是講究普遍聯(lián)系的，最大特征是抽象，因而數(shù)學(xué)廣泛存在于眾多的事物特征是抽象，因而數(shù)學(xué)廣泛存在于眾多的事物中。中。 事物與事物的聯(lián)系多少靠什么來判斷事物與事物的聯(lián)系多少靠什么來判斷呢？靠的是共性與個性，或者稱為內(nèi)涵與外延。呢？靠的是共性與個性，或者稱為內(nèi)

48、涵與外延。表面的東西通常反映的是個性，它會掩蓋共性。表面的東西通常反映的是個性，它會掩蓋共性。數(shù)學(xué)抽象性的主要特征就是從個性中發(fā)現(xiàn)共性。數(shù)學(xué)抽象性的主要特征就是從個性中發(fā)現(xiàn)共性。 個性個性“抽抽”的越多，就越在的越多，就越在內(nèi)涵內(nèi)涵的共同處的共同處考慮，就越能發(fā)現(xiàn)事物間的考慮，就越能發(fā)現(xiàn)事物間的共性共性。內(nèi)涵越少，。內(nèi)涵越少，外延越大。外延越大。這是基本的邏輯結(jié)論這是基本的邏輯結(jié)論. .例如：例如：速度、切線速度、切線導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)邊際、變化率邊際、變化率.例如例如：黃金分割：黃金分割0.618: 0.618: 廣泛存在于人體、植物、廣泛存在于人體、植物、動物繁殖、建筑、藝術(shù)、音樂動物繁殖、建筑、藝

49、術(shù)、音樂. 問題是問題是0.6180.618是不是世界和諧的標(biāo)志呢是不是世界和諧的標(biāo)志呢? ? 人們發(fā)現(xiàn)了優(yōu)選法. 0 0.382 0.618 1 實驗點 原則:去劣存優(yōu) 第一步:若在0.382點優(yōu),則在0,0.618繼續(xù)實驗;否則,在0.382,1上繼續(xù)實驗.共性:區(qū)間長度為0.618. 第二步:在第一步的區(qū)間上用0.6180.618和(1-0.618)0.618作實驗點,繼續(xù)選擇原則. 共性區(qū)間長度為0.6182. 如此繼續(xù)下去,得到一個”區(qū)間套”:112200,0.6180.,.nnnnnnna ba ba bbaa bxx就是最優(yōu)點。 那么,為什么非得選擇0.618呢.實際上,我們可以

50、從任何兩點出發(fā)也能得到x0. 如果xn是第n次黃金分割實驗后的點, 而xn是任何其他優(yōu)選方法第n次實驗后的點,那么|xn-x0|N時,有|意-A|0,0是變的是變的. .但但是我們要說明數(shù)列以是我們要說明數(shù)列以A A為極限為極限, ,只需要對每個只需要對每個00驗驗證證”存在存在.”.”這段話是對的就可以這段話是對的就可以, ,而而”每個每個”又又意味著意味著00在驗證的過程中是在驗證的過程中是不變不變的的. . 如代數(shù)中的“恒等變換”，恒等意味著不變，變換意味著變化。這就是辯證法!其意義之重大已使數(shù)學(xué)與世界觀的核心部分的關(guān)系越來越緊密，與對世界本身的看法緊密相連。3 3、數(shù)學(xué)的純理性是辯證唯

51、物主義認(rèn)識世界和、數(shù)學(xué)的純理性是辯證唯物主義認(rèn)識世界和預(yù)知世界的強大思想。預(yù)知世界的強大思想。 唯物論的觀點已經(jīng)被有意或無意地曲解了。唯物論的觀點已經(jīng)被有意或無意地曲解了。一個極端是認(rèn)為認(rèn)識必定來源于物質(zhì)世界而且一個極端是認(rèn)為認(rèn)識必定來源于物質(zhì)世界而且必定直接來自于物質(zhì)世界；另一個極端是沒有必定直接來自于物質(zhì)世界；另一個極端是沒有實踐基礎(chǔ)就要求人民解決思想問題，認(rèn)為解決實踐基礎(chǔ)就要求人民解決思想問題，認(rèn)為解決思想認(rèn)識問題就解決了一切。思想認(rèn)識問題就解決了一切。 數(shù)學(xué)科學(xué)的事實與發(fā)展排除了這兩種極端。數(shù)學(xué)科學(xué)的事實與發(fā)展排除了這兩種極端。經(jīng)典數(shù)學(xué)：數(shù)與形（物質(zhì)世界）近代數(shù)學(xué)：物質(zhì)世界（工業(yè)、經(jīng)濟(jì)

52、、社會.）理性思維：公理化體系（歐氏幾何）產(chǎn)生了新幾何；解析幾何；各數(shù)學(xué)分支的建立。走向高度思維。 高度思維在某個時候又走到現(xiàn)實生活中來，更是唯物主義的體現(xiàn)。符合黑格爾所說被列寧所贊賞的“自己運動”的意義。海王星的發(fā)現(xiàn)是由數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的。這是數(shù)學(xué)理性的一海王星的發(fā)現(xiàn)是由數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的。這是數(shù)學(xué)理性的一大勝利。大勝利。18711871年英國科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了天王星，發(fā)現(xiàn)它的運行有年英國科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了天王星，發(fā)現(xiàn)它的運行有些失常，與計算結(jié)果不符。問題的出現(xiàn)產(chǎn)生兩種猜些失常，與計算結(jié)果不符。問題的出現(xiàn)產(chǎn)生兩種猜測：一是牛頓的萬有引力定律有問題；一是還有其測：一是牛頓的萬有引力定律有問題；一是還有其他因素在發(fā)揮作用（

53、其它星的作用產(chǎn)生了他因素在發(fā)揮作用（其它星的作用產(chǎn)生了“攝攝動動”）。）。18421842年，劍橋大學(xué)學(xué)生亞當(dāng)斯按照第二種假設(shè)經(jīng)過年，劍橋大學(xué)學(xué)生亞當(dāng)斯按照第二種假設(shè)經(jīng)過由運動軌道為由運動軌道為“圓圓”到到“橢圓橢圓”的理性思考，進(jìn)行的理性思考，進(jìn)行了大量的復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算，于了大量的復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算，于18451845年年1010月月2121日將研日將研究結(jié)果寄給格林威治天文臺究結(jié)果寄給格林威治天文臺臺長，艾里被不屑一顧。艾里又寄給了巴黎天文臺的加勒，告訴他在計算得到的位置觀察。加勒當(dāng)天（1846、9、23）果然發(fā)現(xiàn)了這顆新星海王星。 但水星的發(fā)現(xiàn)是在有了相對論之后才成功的。因為萬有引力定律是近

54、似的，越靠近太陽，其誤差就越大。數(shù)學(xué)的純理性顯示了計算的重要性，但容易偏向于理性主義方面，而忽視了認(rèn)識的本源；而數(shù)學(xué)的理論結(jié)果無法在實際中看到時，就容易偏向于依賴直感的直接反映論方面，而忽略了理論的能動作用。8、數(shù)學(xué)與思維發(fā)展的關(guān)系 人類的思維是后天形成的，思維受到各種因素的影響，并表現(xiàn)出多面性。但符合邏輯的、精密的、深刻的、聰慧的思維是每個人希望達(dá)到的最高境界之一。 數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育如此受重視，不完全是因為其廣泛的用途，也不能完全從應(yīng)用的角度來看待數(shù)學(xué)。在前面我們說明了數(shù)學(xué)能提供觀察世界的一般觀念和方法外，實際上數(shù)學(xué)對人的其他發(fā)展，尤其是對人的思維發(fā)展有不可或缺的作用和價值，數(shù)學(xué)是為人的更完美發(fā)展提供了良好訓(xùn)練。數(shù)學(xué)與思維發(fā)展的關(guān)系 人們常把數(shù)學(xué)形容為思維的體操。培根說過，哲理使人深刻，詩歌使人聰慧，演算使人精密。其實數(shù)學(xué)不單單使人精密，數(shù)學(xué)同樣也使人深刻，使人聰慧！ 哲學(xué)、詩歌不要求每人都會 數(shù)學(xué)每人必須會 1、歸納與完全歸納 思維的一種形式是歸納。那么歸納性質(zhì)的表征是什么呢？所謂歸納，是指通過對有限多個同類對象的觀察分析，猜測一種共性或規(guī)律，并證明這種共性的確是正確的一種思維方法。 當(dāng)“同類對象”為有限多個時，我們將對象一一驗證就可獲得結(jié)論（對或錯）；但當(dāng)“同類