1991考研數(shù)二真習(xí)題及解析

1、1991年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、填空題(每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1) 設(shè),則.(2) 曲線的上凸區(qū)間是.(3) .(4) 質(zhì)點(diǎn)以速度米每秒作直線運(yùn)動(dòng),則從時(shí)刻秒到秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程等于米.(5) .二、選擇題(每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1) 若曲線和在點(diǎn)處相切,其中是常數(shù),則 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 設(shè)函數(shù)記,則 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,是函數(shù)的極大點(diǎn),則 ( )(A) 必是的駐點(diǎn) (B) 必是的極小點(diǎn)(C

2、) 必是的極小點(diǎn) (D) 對一切都有(4) 曲線 ( )(A) 沒有漸近線 (B) 僅有水平漸近線(C) 僅有鉛直漸近線 (D) 既有水平漸近線又有鉛直漸近線(5) 如圖,軸上有一線密度為常數(shù),長度為的細(xì)桿,有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)到桿右端的距離為,已知引力系數(shù)為,則質(zhì)點(diǎn)和細(xì)桿之間引力的大小為 ( )(A) (B) (C) (D) 三、(每小題5分,滿分25分.)(1) 設(shè),求.(2) 計(jì)算 .(3) 求 .(4) 求 .(5) 求微分方程滿足的特解.四、(本題滿分9分)利用導(dǎo)數(shù)證明：當(dāng)時(shí),有不等式成立.五、(本題滿分9分)求微分方程的通解.六、(本題滿分9分)曲線和軸圍成一平面圖形,求此平面圖形繞軸

3、旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.七、(本題滿分9分)如圖,和分別是曲線和上的點(diǎn),和均垂直軸,且,求點(diǎn)和的橫坐標(biāo),使梯形的面積最大.八、(本題滿分9分)設(shè)函數(shù)在內(nèi)滿足,且,計(jì)算.1991年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、填空題(每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1)【答案】【解析】由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,即的微分為,有.(2)【答案】【解析】求函數(shù)的凹凸區(qū)間,只需求出,若,則函數(shù)圖形為上凹,若,則函數(shù)圖形為上凸,由題可知.因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),函數(shù)圖像上凸,即時(shí), 函數(shù)圖像上凸.故曲線上凸區(qū)間為.(3)【答案】【解析】用極限法求廣義積分. .(4)【答案】【解析】這是定積分的應(yīng)用.

4、設(shè)在時(shí)刻的速度為,則在時(shí)間內(nèi)的路程為,所以從時(shí)刻秒到秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程為 .(5)【答案】【解析】這是一個(gè)型未定式,分子分母同乘以,得.為簡化計(jì)算,令,則,原式可化為.二、選擇題(每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】(D)【解析】兩函數(shù)在某點(diǎn)處相切,則在該點(diǎn)處的切線的斜率相等,即在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)相等,對兩函數(shù)分別對求導(dǎo),得 ,則該曲線在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為,即,則曲線在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為,兩導(dǎo)數(shù)相等,有,即.又因?yàn)榍€過點(diǎn),所以有.所以選項(xiàng)(D)正確.(2)【答案】(B)【解析】這是分段函數(shù)求定積分.當(dāng)時(shí),所以.當(dāng)時(shí), 所以 .所以,應(yīng)選(B).(3)【答案】(B)【解析】方法一：用排除法.由于不可導(dǎo)點(diǎn)

5、也可取極值,如,在處取極大值,但是不是的駐點(diǎn),所以(A)不正確；注意到極值的局部性,即極值不是最值,所以(D)也不正確；對于,在處取極大值,但并非是的極小值點(diǎn),所以(C)也不成立；故選(B).方法二：證明(B)是正確的,因?yàn)?不妨設(shè),則為極大值,則在的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有；函數(shù)與函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以必有,即在的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)為極小值,故(B)是正確的.(4)【答案】(D)【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?所以函數(shù)的間斷點(diǎn)為,所以為鉛直漸近線,所以為水平漸近線.所以選(D).【相關(guān)知識點(diǎn)】鉛直漸近線：如函數(shù)在其間斷點(diǎn)處有,則是函數(shù)的一條鉛直漸近線；水平漸近線：當(dāng),則為函數(shù)的水平漸近線.(5)【答案】(A)【解析】如

6、圖建立坐標(biāo)系,則中,長度的細(xì)桿的質(zhì)量為,與質(zhì)點(diǎn)的距離為,故兩點(diǎn)間的引力為,積分得,故選(A). 同理應(yīng)用微元法可知,若以的中點(diǎn)為原點(diǎn),則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為,故；若以的左端點(diǎn)為原點(diǎn),則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為,故.故(B)、(C)、(D)均不正確,應(yīng)選(A).三、(每小題5分,滿分25分.)(1)【解析】這是個(gè)函數(shù)的參數(shù)方程,.【相關(guān)知識點(diǎn)】參數(shù)方程所確定函數(shù)的微分法：如果 ,則 .(2)【解析】用換元法求定積分.令,則,則.(3)【解析】利用等價(jià)無窮小和洛必達(dá)法則.當(dāng)時(shí),有,所以.(4)【解析】用分部積分法求不定積分.(5)【解析】所給方程是一階線性方程,其標(biāo)準(zhǔn)形式為.通解為 .代入初始條件得,所以特解為.【相

7、關(guān)知識點(diǎn)】一階線性非齊次微分方程的通解為,其中為常數(shù).四、(本題滿分9分)【解析】首先應(yīng)簡化不等式,從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.當(dāng)時(shí),原不等式即,即.證法一：令,則只需證明在時(shí)即可,可利用函數(shù)的單調(diào)性證明,對于有.因,故,即,所以在上是嚴(yán)格遞增函數(shù),所以,故,所以當(dāng)時(shí),有不等式成立.證法二：當(dāng)時(shí),原不等式即,不等式左右兩端形式一致,故令,則,所以在時(shí)嚴(yán)格單調(diào)遞增,故，即.所以當(dāng)時(shí),有不等式成立.五、(本題滿分9分)【解析】微分方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為,特征根為,故對應(yīng)齊次通解為.方程必有特解為,代入方程可得.方程的右端,為特征根,必有特解,代入方程可得.由疊加原理,原方程必有特解.所以原方程的通解為.

8、【相關(guān)知識點(diǎn)】關(guān)于微分方程特解的求法:如果,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程具有形如的特解,其中與同次(次)的多項(xiàng)式,而按不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取為、或.如果,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解可設(shè)為,其中與是次多項(xiàng)式,而按(或)不是特征方程的根、或是特征方程的單根依次取為或.六、(本題滿分9分)【解析】利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積,用微元法,曲線為一拋物線,與軸的交點(diǎn)是,頂點(diǎn)坐標(biāo)為.方法一：考慮對積分,如圖中陰影部分繞軸旋轉(zhuǎn)一周,環(huán)柱體的體積為其中為的高階無窮小,故可省略,且為負(fù)的,故,即.把從積分得.方法二：考慮對的積分,如圖中陰影部分繞軸旋轉(zhuǎn)一周的體積為拋物線兩半曲線分別繞軸旋轉(zhuǎn)一周后的體積差,即 其中,為與拋物線的交點(diǎn),且,把代入拋物線方程,解得,故旋轉(zhuǎn)體體積為.把的值代入化簡,得.七、(本題滿分9分)【解析】可以利用函數(shù)的極值求解.設(shè)、的橫坐標(biāo)分別為,因?yàn)?所以.依題設(shè),所以有,兩邊同時(shí)取自然對數(shù),得而 ,所以梯形的面積為.求函數(shù),()的最值,滿足一般函數(shù)求最值的規(guī)