專題～ 二次函數(shù)與全等三角形存在問題-2022年中考數(shù)學(xué)之二次函數(shù)重點(diǎn)題型專題（全國通用版）（解析版）

1、3專題 25二次函數(shù)與全等三角形存在問題1如圖，拋物線 C1：yx22x3 與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)，點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè)，將拋物線 C1向上平移 1個(gè)單位得到拋物線 C2，點(diǎn) Q（m，n）在拋物線 C2上，其中 m0 且 n0，過點(diǎn) P 作 PQy 軸交拋物線 C1于點(diǎn) P，點(diǎn) M 是 x 軸上一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn) P、Q、M 為頂點(diǎn)的三角形與AOQ 全等時(shí)，點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為_【答案】4【分析】此題首先需要確定全等的對(duì)應(yīng)關(guān)系，函數(shù)圖象向上平移后，兩個(gè)函數(shù)上下間距為 1，OA1，所以 AO 與 PQ對(duì)應(yīng)，AOQPQM，可確定 OQQM，AQPB，得到兩組線段相等后，設(shè)點(diǎn) M 坐標(biāo)，以兩組線段

2、相等為等量建立方程即可解決問題【詳解】解：AOQPQM，AOPQAOQPQM，AQPB，OQQMAQ2PB2，OQ2QM2設(shè) Q（m，m22m2） ，P（m，m22m3） ，M（a，0）如圖，過點(diǎn) Q 作 QHAB，垂足為 H，則在 RtOHQ 中，OQ2（m）2+（m22m2）2；在 RtMHQ 中，QM2（am）2+（m22m2）2；在 RtAHQ 中，AQ2（m+1）2+（m22m2）2；在 RtPHB 中，PB2（am）2+（m22m3）23由（m）2+（m22m2）2（am）2+（m22m2）2，解得 m2a由（m+1）2+（m22m2）2（am）2+（m22m3）2，解得 a2（舍

3、）或 a4點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為 4【點(diǎn)睛】此題是代幾綜合問題，考查了全等關(guān)系在二次函數(shù)中的應(yīng)用和二次函數(shù)中點(diǎn)坐標(biāo)與線段長的轉(zhuǎn)換，首先要確定邊角的對(duì)應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)線段相等后，利用等量建立方程，只要確定了對(duì)應(yīng)關(guān)系，此題就好解決了2 如圖， 在第一象限內(nèi)作射線 OC， 與 x 軸的夾角為 30， 在射線 OC 上取點(diǎn) A， 過點(diǎn) A 作 AHx 軸于點(diǎn) H 在拋物線 y=x2(x0)上取點(diǎn) P，在 y 軸上取點(diǎn) Q，使得以 P、O、Q 為頂點(diǎn)，且以點(diǎn) Q 為直角頂點(diǎn)的三角形與AOH 全等，則符合條件的點(diǎn) A 的坐標(biāo)是_【答案】132 2 33,32 2 33333或（ ，）或（ ，）或（ ，）【分析】此

4、題應(yīng)分四種情況考慮：POQ=OAH=60，此時(shí) A、P 重合，可聯(lián)立直線 OA 和拋物線的解析式，即可得 A 點(diǎn)坐標(biāo)；POQ=AOH=30，此時(shí)POH=60，即直線 OP：y=3x，聯(lián)立拋物線的解析式可得 P 點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求出 OQ、PQ 的長，由于POQAOH，那么 OH=OQ、AH=PQ，由此得到點(diǎn) A 的坐標(biāo)3當(dāng)OPQ=90，POQ=AOH=30時(shí)，此時(shí)QOPAOH，由此求得點(diǎn) A 的坐標(biāo)；當(dāng)OPQ=90，POQ=OAH=60，此時(shí)OQPAOH，由此求得點(diǎn) A 的坐標(biāo)；【詳解】當(dāng)POQ=OAH=60，若以 P，O，Q 為頂點(diǎn)的三角形與AOH 全等，那么 A、P 重合；由于AOH=30，

5、設(shè) A 坐標(biāo)為（a，b） ，在直角三角形 OAH 中，tanAOH=tan30=33=ba，設(shè)直線 OA 的方程為 y=kx，把 A 的坐標(biāo)代入得 k=ba=33，直線 OA 的解析式： y=33x，聯(lián)立拋物線的解析式，得：233yxyx，解得00 xy，3313xy；A（33，13） ；當(dāng)POQ=AOH=30，此時(shí)POQAOH；易知POH=60，則直線 OP：y=3x，聯(lián)立拋物線的解析式，得：23yxyx，解得00 xy，33xy；P（3，3） ，即可得 A（3，3） ；當(dāng)OPQ=90，POQ=AOH=30時(shí)，此時(shí)QOPAOH；易知POH=60，則直線 OP：y=3x，聯(lián)立拋物線的解析式，得

6、：23yxyx，解得00 xy，33xy；P（3，3） ，OP=23，QP=2，OH=OP=23，AH=QP=2，3A（23，2） ；當(dāng)OPQ=90，POQ=OAH=60，此時(shí)OQPAOH；此時(shí)直線 OP：y=33x，聯(lián)立拋物線的解析式，得：233yxyx，解得00 xy，3313xy；P（33，13） ，QP=2 33，OP=23，OH=QP=2 33，AH=OP=23，A（2 33，23） 綜上可知：符合條件的點(diǎn) A 有四個(gè)，且坐標(biāo)為： （33，13） ， （3，3） ， （2 3，2） ， （233，23） 【點(diǎn)睛】本題主要考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)以及函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法；由于全

7、等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)不明確，因此要注意分類討論思想的運(yùn)用3 （20212021陜西陜西西安市中考三模）西安市中考三模）如圖，拋物線 yax2bxc 經(jīng)過 A(3，0)，B(33，0)，C(0，3)三點(diǎn)，線段 BC 與拋物線的對(duì)稱軸 l 交于點(diǎn) D，該拋物線的頂點(diǎn)為 P，連接 PA，AD，線段 AD 與 y 軸相交于點(diǎn) E（1）求該拋物線的表達(dá)式和點(diǎn) P 的坐標(biāo)；（2）在 y 軸上是否存在一點(diǎn) Q，使以 Q，C，D 為頂點(diǎn)的三角形與ADP 全等？若存在，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】 （1）y13x22 33x3，P（3，4） ； （2）存在，點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為（0，7） 【分析】

8、3（1）已知拋物線經(jīng)過的三點(diǎn)坐標(biāo)，直接利用待定系數(shù)法求解即可（2）先求出直線 BC 的解析式，從而得點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 D（3，2） 可求出 AD 并證明 CDDP，利用三角函數(shù)及等腰三角形性質(zhì)求出ADP120，則可根據(jù)點(diǎn) Q 的位置在 y 軸上，分別從兩種情況利用 SAS判定兩三角形全等的方法來求解【詳解】解： （1）設(shè)拋物線的解析式為：ya（x3） （x33） ，將 C（0，3）代入得：a（03） （033）3，解得 a13拋物線的解析式：y13（x3） （x33）13x22 33x3y13x22 33x313（x3）24，P（3，4） （2）存在，設(shè)直線 BC 的解析式：ykxb，依題意得

9、：303kbb，解得333kb 直線 BC 的解析式為：y33x3當(dāng) x3時(shí)，y2，D（3，2） AD2233024，CD2203322PD3tanABDDFBF33， ，ABD30l 是拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn) D 在 l 上，ADBDABDBAD30ADB120ADFBDF60ADP120，QCD 和APD 中，CDPD，且點(diǎn) Q 在 y 軸上，當(dāng)點(diǎn) Q 在 CD 上方，DCQADP120，CQAD 時(shí)，QCDAPD，設(shè)點(diǎn) Q（0，y） ，則 CQy3，即 y34，解得 y7，Q（0，7） ，當(dāng)點(diǎn) Q 在 CD 下方時(shí)，CDQ120，此時(shí)點(diǎn) Q 在拋物線的對(duì)稱軸上綜上，當(dāng)QCDAPD 時(shí)，點(diǎn) Q

10、 的坐標(biāo)為（0，7） 【點(diǎn)睛】此題屬于二次函數(shù)綜合題，難度較大，涉及到：函數(shù)解析式的確定以及全等三角形的應(yīng)用等重點(diǎn)知識(shí)在解題時(shí)，一定要注意從圖中找出合適的解題思路，能否將瑣碎的知識(shí)運(yùn)用到同一題目中進(jìn)行解答，也是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握情況的重點(diǎn)考查4（20212021北京市九年級(jí)月考北京市九年級(jí)月考） 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中， 拋物線 yax2bxc 經(jīng)過點(diǎn) A(3， 0)， B(3 3，0)，C(0，3)（1）求拋物線頂點(diǎn) P 的坐標(biāo)；（2）連接 BC 與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn) D，連接 PC求證：PCD 是等邊三角形連接 AD，與 y 軸交于點(diǎn) E，連接 AP，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn) Q，

11、使以 Q，C，D 為頂點(diǎn)的三角形與ADP 全等若存在，直接寫出點(diǎn) Q 坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）在（2）的條件下，點(diǎn) M 是直線 BC 上任意一點(diǎn)，連接 ME，以點(diǎn) E 為中心，將線段 ME 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)360，得到線段 NE，點(diǎn) N 的橫坐標(biāo)是否發(fā)生改變，若不改變，直接寫出點(diǎn) N 的橫坐標(biāo)；若改變，請(qǐng)說明理由【答案】 （1）( 3, 4)P； （2）見解析；存在，( 3,2)或( 3 3, 2)； （3）不改變，N 的橫坐標(biāo)為3,理由見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式，再用配方法解題；（2）利用勾股定理求出 PC,PD,CD 的值，即可求解；存在，在對(duì)稱軸上取一點(diǎn)

12、Q，使得 DQ=AD，連接 AQ,證明()ADPQDC SAS，可解得( 3,2)Q，再根據(jù)對(duì)稱性得到，當(dāng)點(diǎn)Q與 Q 關(guān)于 A 對(duì)稱時(shí)，QCDADP，解得( 3 3, 2)Q ；（3）設(shè) EN 交 DM 于 J，利用全等三角形的性質(zhì)，證明點(diǎn) N 在對(duì)稱軸上即可【詳解】解： （1）拋物線 yax2bxc 經(jīng)過點(diǎn) A(3，0)，B(3 3，0)，C(0，3)3330273 30cabcac 132 333abc 22212 3113(2 3 )3(3)43333yxxxxx( 3, 4)P；（2）設(shè)直線 BC 的解析式為ykxb，代入 B(3 3，0)，C(0，3)，得3 303kbb 333kb

13、 直線 BC 的解析式為333yx3當(dāng)3x 時(shí)，2y ，( 3, 2)D22222,( 3)12,( 3)12PDCDPCCDPCPDPCD 是等邊三角形；存在，理由如下，在對(duì)稱軸上取一點(diǎn) Q，使得 DQ=AD，連接 AQ,3tan3OCABCOB30ABC,DADB DQAB30 ,120DABADB 60ADQBDQ 60ADQCDP ADPCDQ ,DADQ DPDC3()ADPQDC SAS4ADDQ( 3,2)Q根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)點(diǎn)Q與 Q 關(guān)于 A 對(duì)稱時(shí)，QCDADP，( 3 3, 2)Q，綜上所述，滿足條件的點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為：( 3,2)或( 3 3, 2)；（3）不改變，理由

14、如下，設(shè) EN 交 DM 于 J，60MENCED MECNED ,MENE ECED()MECNED SASEMCEND EJMDJN 60MEJJDN 60CDPCDN N在對(duì)稱軸上，N的橫坐標(biāo)為3【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正切、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，有難度，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵5如圖所示，拋物線20yaxbxc a經(jīng)過3,0A ，3 3,0B，0,3C三點(diǎn)，線段 BC 與拋物線的對(duì)稱軸l相交于點(diǎn) D設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 P，連接 PA，AD ，DP，線段 AD 與 y 軸相交于點(diǎn) E3（1）

15、求該拋物線的表達(dá)式（2）在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn) Q，使以 Q，C，D 為頂點(diǎn)的三角形與ADP 全等？若存在，求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由（3）將CED繞點(diǎn) E 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，邊 EC 旋轉(zhuǎn)后與線段 BC 相交于點(diǎn) M，邊 ED 旋轉(zhuǎn)后與對(duì)稱軸l相交于點(diǎn)N，連接 PM ，DN，若2PMDN，求點(diǎn) N 的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果） 【答案】 （1）212 3333yxx ； （2）存在，點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為3 3,4，3, 2，0,7或2 3,1； （3）點(diǎn) N 的坐標(biāo)為7133,3【分析】（1）已知拋物線經(jīng)過的三點(diǎn)坐標(biāo)，直接利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出直線BC的解析式，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

16、方法 1，設(shè)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為, x y，利用兩點(diǎn)間距離公式221212ABxxyy，再利用全等的條件可轉(zhuǎn)化為方程組22226702 34210 xyyxyxy，從而求解；方法 2，利用全等條件先確定點(diǎn) Q 的幾何位置，從而利用全等的條件得到對(duì)應(yīng)線段的長來解決問題；注意分類討論；（3）先證明CEMDEN，設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為3,33xx，可得22443433PMxx，22221433CMxxx， 根據(jù)224PMCM求出 x 的值， 然后根據(jù)131713233FNDFDN，可得結(jié)果3【詳解】解： （1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為33 3ya xx，將點(diǎn)0,3C代入后，得0303 33a，解得13a 拋物線的

17、表達(dá)式為2112 333 33333yxxxx （2）設(shè)直線 BC 的解析式為ykxb，由題意，得3 303kbb，解得333kb直線 BC 的解析式為333yx 由拋物線的表達(dá)式212 3333yxx ，得頂點(diǎn) P 的坐標(biāo)為3,4當(dāng)3x 時(shí)，3323yx ，點(diǎn) D 的坐標(biāo)為3,2方法 1：設(shè)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為, x y222220369QCxyxyy，22222322 347QDxyxyxy，222330428AP ，222330216AD ，2CDDP在QCD和APD中，CDPD，若兩個(gè)三角形全等，則有以下兩種情況當(dāng)QCAP，QDAD時(shí)，22QCAP，22QDAD，則222269282 34

18、716xyyxyxy，解得113 34xy，2232xy 點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為3 3,4，3, 23當(dāng)QCAD，QDAP時(shí)，22QCAD，22QDAP，則222269162 34728xyyxyxy，解得3307xy，442 31xy 點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為0,7，2 3,1綜上所述，點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為3 3,4，3, 2，0,7或2 3,1方法 2：點(diǎn) A 的坐標(biāo)為3,0，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為3 3,0，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為0,3，點(diǎn) F 的坐標(biāo)為3,0，2 3AF ，4AD，3 3OB ，3OC ，6BC ，2PDDFCD60BDFADFADCPDC ，120ADPCDF 如圖所示，分以下四種情況當(dāng)1Q在 y

19、 軸上，且1QCAD時(shí)，1SASADPQCD此時(shí)1Q的坐標(biāo)為0,7當(dāng)2Q在 PD 延長線上，且2Q DAD時(shí)，2SASADPQ DC此時(shí)2Q的坐標(biāo)為3, 2當(dāng)3Q在 AD 延長線上，且3Q DAD時(shí)，3SASADPQ DC連接3Q P，3ADFQ DP ，3SASADFQ DP3Q PAF此時(shí)3Q的坐標(biāo)為3 3,43當(dāng)4120Q CDADP 且4Q CAD時(shí)，4SASADPQ CD， 同理可得，4SASADPQ CE，4Q的坐標(biāo)為2 3,1綜上所述，點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為0,7，3, 2，3 3,4或2 3,1（3）如圖所示，點(diǎn) D 的坐標(biāo)為3,2，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為3 3,0，2DF ，2 3BF

20、60BDFADFCDEDCE CEO為等邊三角形在CEM和DEN中，60CEMDENECMEDNCEDE ，CEMDENCMDN，22PMCMDN，設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為3,33xx，222234434334333PMxxxx又22221433CMxxx，224PMCM，即22444344333xxx，解得313 16x（負(fù)值舍去） 313 12213 1333363CMDNx，131713233FNDFDN3點(diǎn) N 的坐標(biāo)為7133,3解后反思本題第（2）問考查“在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn) Q，使以 Q，C，D 為頂點(diǎn)的三角形與ADP全等”，這里要注意由于對(duì)應(yīng)點(diǎn)的不同，需要有分類討論的意識(shí)方法

21、 1，設(shè)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為, x y，利用兩點(diǎn)間距離公式221212ABxxyy，再利用全等的條件可轉(zhuǎn)化為方程組22226702 34210 xyyxyxy，從而求解；方法 2，利用全等條件先確定點(diǎn) Q 的幾何位置，從而利用全等的條件得到對(duì)應(yīng)線段的長來解決問題相對(duì)于以上兩種解法，因?yàn)榉椒?1 需要解復(fù)雜的二元二次方程組，所以方法 2 的幾何方法更為簡捷6如圖，拋物線23yaxbx與x軸交于( 1,0)A ，(3,0)B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)（1）求拋物線的解析式（2）點(diǎn)N是y軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，且2ON ，點(diǎn)Q在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，連接QO，QO與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，連

22、接MN，當(dāng)MN平分OMD時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)（3）直線BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)E，P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出PCE與ACD全等時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)【答案】 （1）223yxx； （2）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：1321 321(,)22Q，2113113(,)22Q； （3）若PCE與ACD全等，P點(diǎn)有四個(gè)，坐標(biāo)為1( 3, 4)P ，2( 1, 6)P ，3(2,1)P，4(4, 1)P【分析】（1）用待定系數(shù)法，直接將,A B代入解析式即可求解（2）由MN平分OMD，MD平行ON即可求出2OMON，繼而得出M點(diǎn)坐標(biāo)，由直線OM解析式即可求出與拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)Q即可（3）由,A C D三點(diǎn)的坐標(biāo)可得ACD三邊長，由CE坐

23、標(biāo)可得PCE和ACD中CDCE，則另兩組邊對(duì)應(yīng)3相等即可，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為( , )x y；利用兩點(diǎn)間距離公式即列方程求解【詳解】（1）拋物線23yaxbx經(jīng)過( 1,0)A ，(3,0)B兩點(diǎn)，309330abab ，解得：12ab ，拋物線的解析式為：223yxx（2）如圖 1，設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，MN平分OMD，OMNDMN ，又/ /DMON，DMNMNO ，MNOOMN ，2OMON在Rt OHM中，90OHM，1OH 222( 2)11HMOMOH，1(1,1)M；2(1, 1)M當(dāng)1(1,1)M時(shí)，直線OM解析式為：yx，依題意得：223xxx解得：13212x，23212x，點(diǎn)

24、Q在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，3Q點(diǎn)縱坐標(biāo)13212yx1321 321(,)22Q，當(dāng)2(1, 1)M時(shí)，直線OM解析式為：yx，同理可求：2113113(,)22Q，綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：1321 321(,)22Q，2113113(,)22Q，（3）由題意可知：( 1,0)A ，(0, 3)C，D(1, 4)，22( 10)(03)10AC ，22( 1 1)(04)2 5AD ，22(01)( 34)2CD ，直線BC經(jīng)過(3,0)B，(0, 3)C，直線BC解析式為3yx，拋物線對(duì)稱軸為1x ，而直線BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)E，E坐標(biāo)為(1, 2)；22(01)( 23)2CE ，設(shè)P點(diǎn)坐

25、標(biāo)為( , )x y，則222(0)(3)CPxy，則222(1)(2)EPxy，CECD，若PCE與ACD全等，有兩種情況，PCAC，PEAD，即PCEACD 2222(0)(3)10(1)(2)20 xyxy，解得：1134xy ，2216xy ，即P點(diǎn)坐標(biāo)為1( 3, 4)P ，2( 1, 6)P PCAD，PEAC，即PCEACD 32222(0)(3)20(1)(2)10 xyxy，解得：3321xy，4441xy ，即P點(diǎn)坐標(biāo)為3(2,1)P，4(4, 1)P故若PCE與ACD全等，P點(diǎn)有四個(gè)，坐標(biāo)為1( 3, 4)P ，2( 1, 6)P ，3(2,1)P，4(4, 1)P【點(diǎn)睛

26、】本題主要考查了二次函數(shù)與幾何圖形的綜合要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系7如圖，拋物線 y1ax2+bx+34與 x 軸交于點(diǎn) A（3，0） ，點(diǎn) B，點(diǎn) D 是拋物線 y1的頂點(diǎn)，過點(diǎn) D 作 x 軸的垂線，垂足為點(diǎn) C（1，0） （1）求拋物線 y1所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）如圖 1，點(diǎn) M 在拋物線 y1上，橫坐標(biāo)為 m，連接 MC，若MCBDAC，求 m 的值；（3）如圖 2，將拋物線 y1平移后得到頂點(diǎn)為 B 的拋物線 y2點(diǎn) P 為拋物線 y1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) P 作 y軸的平行線，交拋物線 y2于點(diǎn) Q，過

27、點(diǎn) Q 作 x 軸的平行線，交拋物線 y2于點(diǎn) R當(dāng)以點(diǎn) P，Q，R 為頂點(diǎn)的三角形與ACD 全等時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) P 的坐標(biāo)【答案】 （1）2113424yxx ； （2）m 的值為5或2+5； （3）P 點(diǎn)坐標(biāo)為（0，34）或 P（2，54） 【分析】(1)根據(jù) A、C 兩點(diǎn)的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出解析式；(2)如圖，當(dāng) M 點(diǎn)在 x 軸上方時(shí)，若M1CBDAC，則 DACM1，先求直線 AD 的解析式，由點(diǎn) C 的坐標(biāo)可求出直線 CM1的解析式，聯(lián)立直線和拋物線方程可求出點(diǎn) M1的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn) M 在 x 軸下方時(shí)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可求出直線 CM2的解析式，同理聯(lián)立直線和拋物線方程則求出點(diǎn)

28、M 的坐標(biāo)；3(3)先求出 y2的解析式，可設(shè)出點(diǎn) P 坐標(biāo)，表示 Q、R 坐標(biāo)及 PQ、QR，根據(jù)以 P，Q，R 為頂點(diǎn)的三角形與ACD 全等，分類討論對(duì)應(yīng)邊相等的可能性即可求 P 點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】(1)由題意得：3930412abba ，解得1412ab ，拋物線 y1所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為2113424yxx ；(2)當(dāng) x1 時(shí)，y113424=1，D(1，1)，設(shè)直線 AD 的解析式為 ykx+n，301knkn ，解得：1232kn，直線 AD 的解析式為 y12x+32，如圖，當(dāng) M 點(diǎn)在 x 軸上方時(shí)，M1CBDAC，DACM1，設(shè)直線 CM1的解析式為 y12x+b1，直線經(jīng)過點(diǎn)

29、 C，-12+b1=0，解得：b1=12，直線 CM1的解析式為 y12x+12，21122113424yxyxx ，解得：x=-2+5，x=-2-5(舍去)，3m2+5，當(dāng)點(diǎn) M 在 x 軸下方時(shí)，直線 CM2與直線 CM1關(guān)于 x 軸對(duì)稱，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得直線 CM2的解析式為 y-12x-12，21122113424yxyxx ，解得：x=5或 x5(舍去)，m=5，綜合以上可得 m 的值為5或2+5；(3)拋物線 y1平移后得到 y2，且頂點(diǎn)為 B(1，0)，22114yx ，即 y2=2111424xx，設(shè) P(m，2113424mm)，則 Q(m，2111424mm)，R(2m，

30、2111424mm)，當(dāng) P 在 Q 點(diǎn)上方時(shí)，PQ1m，QR22m，PQR 與ACD 全等，3當(dāng) PQDC 且 QRAC 時(shí)，m0，P(0，34)，R(2，14)，當(dāng) PQAC 且 QRDC 時(shí)，無解；當(dāng)點(diǎn) P 在 Q 點(diǎn)下方時(shí)，同理：PQm1，QR2m2，可得 P(2，54)，R(0，14)，綜合可得 P 點(diǎn)坐標(biāo)為(0，34)或 P(2，54)【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形全等的判定，應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想8如圖，拋物線2yaxbxc與x軸的交點(diǎn)分別為6,0A 和點(diǎn)4,0B，與y軸的交點(diǎn)為0,3C（1）求拋物線的解析式；3（

31、2）點(diǎn)P是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合） ，過P作平行于y軸的直線與AC交于點(diǎn)Q，點(diǎn)D、M在線段AB上，點(diǎn)N在線段AC上是否同時(shí)存在點(diǎn)D和點(diǎn)P，使得APQ和CDO全等，若存在，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；若DCBCDB ，CD是MN的垂直平分線，求點(diǎn)M的坐標(biāo)【答案】 （1）211384yxx ； （2）存在點(diǎn)D，使得APQ和CDO全等，3,02D，理由見解析；點(diǎn)3,02M【分析】（1）利用待定系數(shù)法，把 A、C、G 三點(diǎn)坐標(biāo)代入一般式，解方程組可求得拋物線解析式；（2）分 D 在線段 AO 上和在線段 OB 上兩種情況討論；由已知點(diǎn)求出 D 點(diǎn)坐標(biāo)，連接 DN,證明 DN/BC，則可

32、證 DN 為ABC 的中位線，根據(jù)題意可證 DM=DN，即可求出 M 坐標(biāo).【詳解】（1）將點(diǎn) A6,0，0,3C，4,0B代入2yaxbxc，得366016400abcabcc解得18143abc 拋物線解析式為：211384yxx （2）存在點(diǎn)D，使得APQ和CDO全等當(dāng)D在線段OA上，QAPDCO ，3APOC時(shí)，APQ和CDO全等tantanQAPDCOOCODOAOC363OD32OD3點(diǎn)D坐標(biāo)為3,02由對(duì)稱性，當(dāng)點(diǎn)D坐標(biāo)為3,02時(shí)，由點(diǎn)B坐標(biāo)為4,0此時(shí)點(diǎn)3,02D在線段OB上滿足條件3OC ，4OB 5BCDCBCDB 5BDBC1ODBDOB則點(diǎn)D坐標(biāo)為1,0且5ADBD連

33、DN，CM則DNDM，NDCMDC NDCDCB DNBC1ANADNCDB則點(diǎn)N為AC中點(diǎn)DN是ABC的中位線1522DNDMBC32OMDMOD點(diǎn)3,02M3【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，三角形全等的判定定理，銳角三角函數(shù)解三角形.能在坐標(biāo)軸中找準(zhǔn)點(diǎn)的坐標(biāo)與線段之間的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵.9 （20202020四川都江堰四川都江堰中考二模中考二模）如圖，拋物線 yax2+c（a0）與 y 軸交于點(diǎn) A，與 x 軸交于 B、C 兩點(diǎn)（點(diǎn) C 在 x 軸正半軸上） ，ABC 為等腰直角三角形，且面積為 4現(xiàn)將拋物線沿 BA 方向平移，平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn) C 時(shí)，

34、與 x 軸的另一交點(diǎn)為 E，其頂點(diǎn)為 F，對(duì)稱軸與 x 軸的交點(diǎn)為 H（1）求 a、c 的值；（2）連接 OF，求OEF 的周長；（3）現(xiàn)將一足夠大的三角板的直角頂點(diǎn) Q 放在射線 HF 上，一直角邊始終過點(diǎn) E，另一直角邊與 y 軸相交于點(diǎn) P，是否存在這樣的點(diǎn) Q，使得以點(diǎn) P、Q、E 為頂點(diǎn)的三角形與POE 全等？若存在，請(qǐng)直接寫出 Q 點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】 （1）122ac ； （2）20+45； （3）存在，點(diǎn) Q（6，221）或 Q（6，3） 【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得 B（2，0） ，A（0，2） ，C（2，0） ，將點(diǎn)代入解析式即可求 a，c 的值

35、；（2）求出 AB 的直線解析為 yx+2，設(shè) F（m，m+2） ，平移后拋物線解析式 y12（xm）2+m+2，將點(diǎn)C（2，0）代入，得平移后拋物線解析式為 y12x2+6x10，進(jìn)而求出點(diǎn) E 的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（3） 當(dāng) P 在 x 軸上方時(shí)， 由PQEPOE， 可得 QEOE10， 在 RtQHE 中， OH22QEHE221，則 Q（6，221） ；當(dāng) P 在 x 軸下方時(shí)，PQOE10，過點(diǎn) P 作 PKHF 與點(diǎn) K，可證明PKQQHE，則PKQKQHHE，則 Q（6，3） ，即可得出結(jié)論.【詳解】解： （1）ABC 為等腰直角三角形，3AO12BC，ABC 面積為 4，12

36、BCOA4，OA2，BO4，B（2，0） ，A（0，2） ，C（2，0） ，點(diǎn) A，B 在拋物線 yax2+c 上，240cac，122ac ，即 a、c 的值分別為12和 2；（2）如圖 1，連接 OF，由（1）可知：y12x2+2，B（2，0） ，A（0，2） ，AB 的直線解析為 yx+2，平移后拋物線頂點(diǎn) F 在射線 BA 上，設(shè) F（m，m+2） ，平移后拋物線解析式 y12（xm）2+m+2，將點(diǎn) C（2，0）代入 y12（xm）2+m+2，得12（2m）2+m+20，m6 或 m0（舍） ，F(xiàn)（6，8） ，平移后拋物線解析式為 y12x2+6x10，當(dāng) y0 時(shí)，12x2+6x1

37、00，x2 或 x10，E（10，0） ，OE10，3F（6，8） ，OF226810，EF22(106)845，OEF 的周長為 OE+OF+EF10+10+4520+45；（3）當(dāng) P 在 x 軸上方時(shí)，如圖 2，PQEPOE，QEOE10，在 RtQHE 中，HQ22QEHE221，Q（6，221） ，當(dāng) P 在 x 軸下方時(shí)，如圖 3，PQEEOP，PQOE10，過點(diǎn) P 作 PKHF 與點(diǎn) K，PK6，在 RtPQK 中，QK22PQPK8，PQE90，PQK+HQE90，HQE+HEQ90，PQKHEQ，PKQQHE90，PKQQHE，PKQKQHHE,684QH，QH3，Q（6，

38、3） ，綜上所述：滿足條件的點(diǎn) Q（6，221）或 Q（6，3）.3【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線平移的特點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，解題中注意分類討論的思想.10已知拋物線 y=x2+bx+c 過點(diǎn)（-6,-2） ，與 y 軸交于點(diǎn) C，且對(duì)稱軸與 x 軸交于點(diǎn) B（-2,0） ，頂點(diǎn)為 A（1）求該拋物線的解析式和 A 點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若點(diǎn) D 是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且使DBC 是以 B 為直角頂點(diǎn) BC 為腰的等腰直角三角形，求點(diǎn) D坐標(biāo)；（3）若點(diǎn) M 是第二象限內(nèi)該拋物線上的

39、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn) M 的直線 MN 與 y 軸交于點(diǎn) N，是否存在以 O、M、N 為頂點(diǎn)的三角形與OMB 全等？若存在，請(qǐng)求出直線 MN 的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由3【答案】(1)A 點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，6） ；（2）D 點(diǎn)的坐標(biāo)為： （2，2） ；（3）存在直線 MN 的解析式為 y=6 或 y=12x+2【分析】（1）首先依據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)先求出 b 的值，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）過 B 點(diǎn)作 CB 的垂線交拋物線與 D，然后過 D 點(diǎn)作 x 軸的垂線，垂足為 E，通過三角形全等即可求得點(diǎn) D 的坐標(biāo)（3）由于三角形的各邊，只有 OB=2 是確定長度的，因此可以以 OB 為基

40、準(zhǔn)進(jìn)行分類討論：OB=OM因?yàn)榈诙笙迌?nèi)點(diǎn) P 到原點(diǎn)的距離均大于 4，因此 OBOM，此種情形排除；OB=ON分析可知，只有如答圖 2 所示的情形成立；OB=MN分析可知，只有如答圖 3 所示的情形成立【詳解】（1）對(duì)稱軸與 x 軸交于點(diǎn) B（2，0） ，A 的橫坐標(biāo)為：x=2，2ba=2，解得；b=2，拋物線為 y=12x22x+c，拋物線 y=12x2+bx+c 過點(diǎn)（6，2） ，代入得2=12（6）22（6）+c，解得 c=4，該拋物線的解析式為：y=12x22x+4，3y=12x22x+4=12（x2+4x+4）+6）=12（x+2）2+6A 點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，6） ；（2）過 B 點(diǎn)

41、作 CB 的垂線交拋物線與 D，然后過 D 點(diǎn)作 x 軸的垂線，垂足為 E，CBD=90，CBO+EBD=90，BCO+CBO=90，EBD=BCO，CBO=BDE，在CBO 與BDE 中EBDBCOBCBDCBOBDE CBOBDE（ASA）DE=OB=2，BE=OC=4D 點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）或（6.2） ，把（2，2）或（6.2）分別代入 y=12x22x+4， （2，2）合適， （6，2）不合適，D 點(diǎn)的坐標(biāo)為： （2，2）圖 1（3）存在若以 O、M、N 為頂點(diǎn)的三角形與OBM 全等，可能有以下情形：（I）OB=OM由圖象可知，OM 最小值為 4，即 OMOB，故此種情形不存在3（II）OB=ON若點(diǎn) M 在 y