人教版高中數(shù)學【必修三】知識點整理及重點題型梳理_算法案例_提高

1、精品文檔用心整理人教版高中數(shù)學必修三知識點梳理重點題型（?？贾R點）鞏固練習算法案例【學習目標】1 .理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術中蘊含的數(shù)學原理，并能根據(jù)這些原理進行算法分析；2 .基本能根據(jù)算法語句與程序框圖的知識設計完整的程序框圖并寫出算法程序；3 .了解秦九韶算法的計算過程，并理解利用秦九韶算法可以減少計算次數(shù)提高計算效率的實質(zhì)；4 .了解各種進位制與十進制之間轉(zhuǎn)換的規(guī)律，會利用各種進位制與十進制之間的聯(lián)系進行各種進位制之間的轉(zhuǎn)換.【要點梳理】要點一：輾轉(zhuǎn)相除法也叫歐幾里德算法，它是由歐幾里德在公元前300年左右首先提出的.利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：第一步：用較大的數(shù)m除以較

2、小的數(shù)n得到一個商q。和一個余數(shù)r。；第二步：若。=0,則n為m,n的最大公約數(shù)；若r0w0,則用除數(shù)n除以余數(shù)r。得到一個商qi和一個余數(shù)ri；第三步：若ri=0,則為mn的最大公約數(shù)；若riW0,則用除數(shù)r除以余數(shù)ri得到一個商q2和一個余數(shù)r2；依次計算直至rn=0,此時所得到的rn1即為所求的最大公約數(shù)用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的程序框圖為：資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理程序：INPUTm;mINPUTn=”;nIFmnTHENx=mm=nn=xENDIFr=mMODnWHILEr0r=mMODnm=nn=rWENDPRINTnEND要點詮釋：輾轉(zhuǎn)相除法的基本步驟是用較大

3、的數(shù)除以較小的數(shù)，考慮到算法中的賦值語句可以對同一變量多次賦值，我們可以把較大的數(shù)用變量m表示，把較小的數(shù)用變量n表示，這樣式子m=ny+r(0Erb)；第二步，如果a#b,則執(zhí)行S3,否則轉(zhuǎn)到S5;第三步，將ab的值賦予r；第四步，若bar,則把b賦予a,把r賦予b,否則把r賦予a,重新執(zhí)行S2；第五步，輸出最大公約數(shù)b.程序：INPUTa=”,aINPUTb=”,bWHILEabIFa=ba=a-b;ELSEb=b-aWENDENDPRINTb或者INPUT請輸入兩個不相等的正整數(shù)”；a,bi=0WHILEaMOD2=0ANDbMOD2=0a=a/2b=b/2i=i+1WENDDOIFba

4、THENt=aa=bb=tENDIF資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理c=aba=bb=cLOOPUNTILa=bPRINTaAiEND要點詮釋：用輾轉(zhuǎn)相除法步驟較少，而更相減損術雖然有些步驟較長，但運算簡單要點三：秦九韶計算多項式的方法f(x)=anxn-anjxnj-anxn|(a1x-a。二(anXnanxn2an/x心-IH-a1)x-aoK(anxn，-anjxnJ3,a2)xa1)xa。=IIIIHK|IK(anxan)xanN)xIMa)xa。v0=an令vk=(|h(anx+anJL)x+an)x+|+an_CKJL)x+anJs，則有，其中v”v仆,a_nkk=1

5、,2,n.這樣，我們便可由vo依次求出vi,v2,vn；v三vxanv=vxan.v=v?xanJ3,vnxa。要點詮釋：顯然，用秦九韶算法求n次多項式的值時只需要做n次乘法和n次加法運算要點四：進位制進位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值.可使用數(shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n,即可稱n進位制，簡稱n進制.現(xiàn)在最常用的是十進制，通常使用L0個阿拉伯數(shù)字0-9進行記數(shù).對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進位制來表示.比如：十進數(shù)57,可以用二進制表示為LLL00L,也可以用八進制表示為71、用十六進制表示為39,它們所代表的數(shù)值都是一樣的.表木各種進位制數(shù)一般在數(shù)字右下角加

6、注來表不，如LLL00L(2)表不二進制數(shù)，34(5)表布5進制數(shù).L.k進制轉(zhuǎn)換為十進制的方法：anandaa2a1a0(k)=an父kn+an4父kn+a?父k2+ak+a0,把k進制數(shù)a轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)b的算法程序為：INPUT“a,k,n=；a,k,ni=Lb=0WHILEi=n資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理t=GETaib=b+t*kA(i-1)i=i+1WENDPRINTbEND2.十進制轉(zhuǎn)化為k進制數(shù)b的步驟為：第一步，將給定的十進制整數(shù)除以基數(shù)k,余數(shù)便是等值的k進制的最低位；第二步，將上一步的商再除以基數(shù)k,余數(shù)便是等值的k進制數(shù)的次低位；第三步，重復第二步，直

7、到最后所得的商等于0為止，各次所得的余數(shù)，便是k進制各位的數(shù)，最后一次余數(shù)是最高位，即除k取余法.要點詮釋：1、在k進制中，具有k個數(shù)字符號.如二進制有0,1兩個數(shù)字.2、在k進制中，由低位向高位是按“逢k進一”的規(guī)則進行計數(shù).3、非k進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)化一般應先轉(zhuǎn)化成十進制，再將這個十進制數(shù)轉(zhuǎn)化為另一種進制的數(shù)，有的也可以相互轉(zhuǎn)化.【典型例題】類型一：輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術例1.分別用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術求378與90的最大公約數(shù).【答案】18【解析】用輾轉(zhuǎn)相除法：378=90X4+18,90=18X5.378與90的最大公約數(shù)是18.用更相減損術：.378與90都是偶數(shù)，.用2約分后得189

8、和45.189-45=144,144-45=99,99-45=54,54-45=9,459=36,36-9=27,27-9=18,18-9=9.378與90的最大公約數(shù)為2X9=18.【總結升華】比較輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術的區(qū)別(1)都是求最大公約數(shù)的方法，計算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對較少，特別當兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯；(2)從結果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術則以減數(shù)與差相等而得到.由該題可以看出，輾轉(zhuǎn)相除法得最大公約數(shù)的步驟較少對比兩種方法控制好算法的結束，輾轉(zhuǎn)相除法是到達余數(shù)為

9、0,更相減損術是到達減數(shù)和差相等.舉一反三：【變式1】(1)用更相減損術求兩個正數(shù)84與72的最大公約數(shù).(2)利用輾轉(zhuǎn)相除法求3869與6497的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù).【解析】(1)因為84=21X4,72=18X4,所以21-18=3,18-3=15,15-3=12,12-3=9,93=6,資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理6-3=3.所以21和18的最大公約數(shù)等于3.所以84和72的最大公約數(shù)等于12.【總結升華】先約簡，再求21與18的最大公約數(shù)，然后乘以約簡的4得84與72的最大公約數(shù).(2) 6497=3869X1+2628,3869=2628X1+1241,2628

10、=1241X2+146,1241=146X8+73,146=73X2+0.所以3869與6497的最大公約數(shù)為73,最小公倍數(shù)為3869X6497+73=344341.例2.求三個數(shù)：168,54,264的最大公約數(shù).【思路點撥】運用更相減損術或輾轉(zhuǎn)相除法，先求168和54的最大公約數(shù)a,再求a與264的最大公約數(shù).【答案】6【解析】采用更相減損術先求168和54的最大公約數(shù).(168,54)-(114,54)-(60,54)-(6,54)-(6,48)-(6,42)-(6,36)(6,30)-(6,24)-(6,18)-(6,12)-(6,6).故168和54的最大公約數(shù)為6.采用輾轉(zhuǎn)相除法

11、求6和264的最大公約數(shù).264=44X6+0,6為264與6的最大公約數(shù)，也是這三個數(shù)的最大公約數(shù).【總結升華】求最大公約數(shù)通常有兩種方法：一是輾轉(zhuǎn)相除法；二是更相減損術，對于3個數(shù)的最大公約數(shù)的求法，則是先求其中兩個數(shù)的最大公約數(shù)m,再求m與第三個數(shù)的最大公約數(shù).同樣可推廣到求3個以上數(shù)的最大公約數(shù).舉一反三：【變式1】求三個數(shù)324,243,135的最大公約數(shù).【答案】27【解析】324=243X1+81,243=81X3+0,324與243的最大公約數(shù)為81.又135=81X1+54,81=54X1+27,54=27X2+0,81與135的最大公約數(shù)為27.三個數(shù)324,243,135

12、的最大公約數(shù)為27.更相減損術：324243=81,24381=162,16281=81,81是324和243的最大公約數(shù).又13581=54,81-54=27,資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理54-27=27,.27是81與135的最大公約數(shù).三個數(shù)324,243,135的最大公約數(shù)為27.例3.甲、乙、丙三種溶液分別重147g、343g、133g,現(xiàn)要將它們分別全部裝入小瓶中，每個小瓶裝入液體的質(zhì)量相同，問每瓶最多裝多少？【思路點撥】由題意，每個小瓶最多能裝的溶液的質(zhì)量應是三種溶液質(zhì)量的最大公約數(shù)【答案】7g【解析】先求147與343的最大公約數(shù).343-147=196,19

13、6-147=49,147-49=98,98-49=49,147與343的最大公約數(shù)是49.再求49與133的最大公約數(shù).133-49=84,84-49=35,49-35=14,35-14=21,21-14=7,14-7=7.147,343,133的最大公約數(shù)是7.故每瓶最多裝7g.【總結升華】本題關鍵是分析清楚題意，找出三個數(shù)的最大公約數(shù).求三個以上(含三個數(shù))的數(shù)的最大公約數(shù)時，可依次通過求兩個數(shù)的最大公約數(shù)與第三個數(shù)的最大公約數(shù)來求得類型二：秦九韶算法例4.(2015春河北邯鄲月考)用秦九韶算法求多項式“*)=2*5-5*4-4*3+3*2-6*+7當*=5時的值.【思路點撥】利用秦九韶算

14、法計算多項式的值，先將多項式轉(zhuǎn)化為(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7的形式，然后逐步計算v0到v5的值，即可得到答案.【答案】2677【解析】f(x)=2x5-5x4-4x33x2-6x7=(2x-5)x-4)x3)x-6)x7v1=25-5=5,v2=55-4=21,v3=2153=108,資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理v4=108x5-6=534,V5=534x5+7=2677.所以f(5)=2677.【總結升華】秦九韶算法的原理是V0-anVk=Vkxan_(kk=1,2,3，n.)在運用秦九韶算法進行計算時，應注意每一步的運算結果，像這種一環(huán)扣一環(huán)的運算，如果錯

15、一步，則下一步，一直到最后一步就會全部算錯.同學們在計算這種題時應格外小心.舉一反三：【變式1】用秦九韶算法求多項式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1當x=2時的值.【答案】1397【解析】.,、_7_6_5_4_3_2_一、一、.f(x)=8x+5x+0x+3x+0x+0x+2x+1=(8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1.vo=8,V1=8X2+5=21,V2=21X2-0=42,V3=42X2-3=87,V4=87X2+0=174,V5=174X2+0=348,V6=348X2+2=698,V7=698X2+1=1397,所以，當x=2時，多項式的值為1397

16、.【變式2】用秦九韶算法計算多項式f(x)=6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x+7在x=0.4時的值時，需做加法和乘法的次數(shù)和是()A.10B.9C.12D.8【答案】C【解析】f(x)=(k6燈)x4)x3)x2)x.1加法6次，乘法6次，6+6=12(次),故選C.類型三：進位制例5.(1)試把十進制數(shù)136轉(zhuǎn)化為二進制數(shù)；(2)試把十進制數(shù)1234轉(zhuǎn)化為七進制數(shù).【答案】(1)10001000(2)(2)3412【解析】(1)由于136=2X68+0,68=2X34+0.34=2X17+0.17=2X8+1.資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理8=2X4+0.4=2X2

17、+0.2=2X1+0.1=2X0+1.所以136=10001000(2).(2)1234=7X176+2,176=7X25+1.25=7X3+4.3=7X0+3.所以1234=3412(7).【總結升華】(1)應注意搞清每一次除法中的被除數(shù)、除數(shù)，當商為零時停止除法，把每步所得的余數(shù)倒著排成一個數(shù)，就是相應的二進制數(shù).(2)十進制數(shù)轉(zhuǎn)化為七進制數(shù)與轉(zhuǎn)化為二進制數(shù)的方法類似，要認真體會其原理.舉一反三：【變式1】(1)把十進制數(shù)89轉(zhuǎn)化為二進制數(shù)；(2)將十進制數(shù)21轉(zhuǎn)化為五進制數(shù).【解析】(1)用除2取余法：2189余激21441，2_22D211102151121100189=2X(2X(2

18、X(2X(2X(2X(2X0+1)+0)+1)+1)+0)+0)+1=2X(2X(2X(2X2X(22X0+2+0)+1)+1)+0)+0)+1=1X26+0X25+1X24+1X23+0X22X0X21+1x20=1011001(2)(2)用除5取余法，可得峭?-21=41(5).例6.(2016春湖南婁底月考)若二進制數(shù)100y011和八進制數(shù)x03相等，求x+y的值.【思路點撥】直接利用進位制運算法則化簡求解即可.【答案】1【解析】100y011=1父26+丫父23+1乂2+1=67+8y,x03=x82+3=64x+3,.-67+8y=64x+3,y=0或1,x可以取1、2、3、4、5、6、7,y=0時，x=1;y=1時，64x=72,無解；x+y=1.舉一反三：【變式1】在十進制中，2004=4父10