九年級上幾何證明典型題帶解析

1、九年級上幾何典型題型九年級上幾何典型題型例1.如圖，在矩形ABCN,對角線AGBD交于O,P為線段AD上一動點，過P作PE_LAC于E,PF_BDF,AB=3cmBC=4cm求PE+PE解析：將PE+P限化為高線和，再轉(zhuǎn)化為面積和利用面積公式求解解答：丁四邊形ABCD為矩形AC=BD1AO=AC2-1ODBD2AO=ODPE_ACPF_BDAG_BDS.AOP1-AOPE2ODPFSAOD二ODAG又'S.Aod=S.AOPS.DOP1八一1-1八ODAG=一AOPEODPF222ODAG=AOPEODPFAO-ODAG=PEPF'S.ABD=S.ABD1 1BDAG=ABAD

2、2 2BDAG=ABAD九年級上幾何典型題型5AG=3412AG=PEPF125變式：如圖，在矩形ABCM,對角線AGBD交于O,P為線段AD上一動點，過P作PELAC于E,PF_LBDF,過A做AG1BD于G,求證：AG=PE+PFFD£C證明：過P作PH_LAG于GPE_ACPF_BD二四邊形HGFP為矩形HG=PFPH/BD.APH=ADO丁四邊形ABCD為矩形AC-BD1AOAC2-1ODBD2AO=ODDAO=ADOAPH=DAO九年級上幾何典型題型又PE_ACPH_AGAEP=PHA又AP=AP.AEP三.PHAPE=AH又HG=PFAHHG=PEPF即AG=PEPFpB

3、CAB=4cm.例1.如圖，在菱形ABC邛，對角線AGBD交于O,E、F分別為線段DCBC上兩點,ABC=60。(1)求菱形ABCM面積；(2)若/EAF=60,求證AEF為等邊三角形；(3)若FC=1,P為線段BD上一動點，求PC+PF的最小值；(4)若P、G分別為線段BQBC上一動點，求PF+PG勺最小值。解析：(1)利用菱形面積等于對角線乘積的一半或特殊四邊形面積公式求解(2)證等邊轉(zhuǎn)化為證等腰，再轉(zhuǎn)化為證全等(3)“將軍飲馬”問題，利用對稱轉(zhuǎn)化為求AF長度，利用勾股定理求AF(4)先利用對稱轉(zhuǎn)化為求AG長度，再利用垂線段最短確定AG解答：(1)法一：九年級上幾何典型題型一:四邊形ABC

4、D為菱形AB=BC=4又.ABC=60AABC為等邊三角形,AC=AB=4丁四邊形ABCD為菱形AC_BD一1一.ABDABC=302BD=2BO.BO=2.3BD=2BO=431S菱形ABCD=2BDAC14.34=8，：/32法二：過A做AG_LBC于G丁四邊形ABCD為菱形AB=BC=4又.ABC=60AG_BC.AG=2.3S菱形abcd=BCAG=42.3=8.3九年級上幾何典型題型丁四邊形ABCD為菱形AB=BC=CD=DA.ABC=ADC又.ABC=60.ADC=60ABC、AADC為等邊三角形CA-DA.BCA=/CDAu/CAD=60又.EAF=60即FACCAE=CAEEA

5、DFAC=EADFAC=EAD,AF=AE又.EAF=60AEAF為等邊三角形(3)過A彳AG_LBC于G丁四邊形ABCD是菱形BC=AB=4點C關于BD的對稱點為點A二PC+PF的最小值即為AF長度易證，ABC為等邊三角形AGBC1CG=-BC=22又FC=1GF=1;&ABC為等邊三角形AB=AC=4AG=2.3AF=VaG2GF2=；-121=：Jl3,PC+PF的最小值為忑3九年級上幾何典型題型(4)過A彳AG_LBCTG丁四邊形ABCD是菱形BC=AB=4點C關于BD的對稱點為點A.PC-PG的最小值即為AG長度丁G為線段BC上一動點二AG1BC時AG最短易證，ABC為等邊三

6、角形AB=BC=4AG=2.3.PC-PG的最小值為23例3.如圖，在菱形ABCD43,點E為對角線BD上一點，連接AECE,延長CE交BA延長線與點F,交AD與。(1)求證：AE=EC;(2)求證：.eaf=/eha(3)若/ABC=60,AB=4cm當CFAD時，求線段CE的長度。解析：(1)證線段相等轉(zhuǎn)化為證兩線段所在的兩個三角形全等(2)利用外角和分角轉(zhuǎn)化為證.DAEtAFE,再利用全等、平行等量代換證明(3)利用菱形性質(zhì)和垂直得等腰，然后勾股方程求解解答：(1)九年級上幾何典型題型一:四邊形ABCD為菱形AD=DC.ADE=.CDE又DE=DE.ADE三.CDEAE=EC丫四邊形AB

7、CD為菱形.AB/DCAFH=DCE由(1)彳導ADE三；CDE.EAH=.DCE.AFH=.EAH又：EAF=.FAH.EAH.EHA"FAH.AFH.EAF"EHA(3)九年級上幾何典型題型丁四邊形ABCD為菱形ABC=ADC一1一.BDC=.ADC2又.ABC=60.ADC=60.BDC=30又CF_AD.DCH=30.CE-DE設CE=x,則DE=x,CH_AD.ADC=60DC=AB=4CH=23DH=2.HE=2.3-x_2_22DHHE=ED.22(23-x)2=x2412-4,3xx2=x2412-4.3x=043x=164.3CE二3例4.如圖，四邊形AB

8、CDCEF劭正方形，H為AF連線的中點，連接CH,AB=1,CE=3求CH的長度。九年級上幾何典型題型解：連接AC、CF丁四邊形ABCD、CEFG為正方形ACD=.FCD=45ACF=90又1H為AF的中點-1CH=1AF2AB=1CE=3二易得AC2=22CF2=18.AF2=AC2CF2=20AF=2.5CH7變式：如圖，四邊形ABCDCEF的菱形，H為AF連線的中點，連接CHAB=2CE=4,/ABC=60,求CH的長度。九年級上幾何典型題型解：連接AC、CF丁四邊形ABCD、CEFG為菱形八1八ACD=1BCD2八1八.FCDDCE2又ACDFCD=180ACF=90又1H為AF的中點

9、-1CH=1AF2AB=2CE=4二易得AC=2CF=43222,AF2uAC2CF2=448-52.AF=2.13CH=513例5.如圖，四邊形ABCDCEFG正方形，連接BDDF、BF,AB=2,求S作DF解:10九年級上幾何典型題型連接CF過/CH_LBD于H過D作DM_LCF于M丁四邊形ABCD、CEFG為正方形DBC=FCE=45.BD/CF又CH_BDDM_CF.CH=DM1_又SBDF=-BDDMSBDC1八-BDCH2S.BDF=SBDC=2S-BDFS.bdc11T2、2.1s-cS正萬形ABCD2變式：如圖，四邊形ABCDCEF助菱形，連接BDDF、BF,.ABC=60,A

10、B=2求SBDF九年級上幾何典型題型連接CF過C作CH_LBD于H過D作DM_LCF于M丁四邊形ABCD、CEFG為菱形.ABC=60一1一.DBC=.ABC2一1一.FCE=DCE2.DBC=/FCE=30.BD/CF又CH_BDDM_CF.CH=DM又'S.bdf1BDDM21二-BDCH2DF=S,BDC易得BD=23CH=1S.BDC1-BDCH2S.BDF=.3例6.如圖，四邊形ABC型正方形，以BC為邊在正方形內(nèi)部做等邊三角形BCE延長BE交AD于F,AB=4(1)求AEB/DEF的度數(shù)；(2)求S&BF、SDEF。12九年級上幾何典型題型解（1）丫四邊形ABCD為

11、正方形AB=BC.ABC=90;三角形BCE為等邊三角形BC-BE.EBC=.BEC=60AB=BE.BAE二，BEA.ABE=30二75180-30ZAEB二2.BEC=60易得DEC=，AEB=75DEF=180-DEC-BEC=45(3)過E作EG_LCD于G由(1)得.ABF=30又AB=4.BAF=90設AF=x,則BF=2xAB2AF2=BF242224x=(2x)23x2=413九年級上幾何典型題型43x二3S.RBF114.38.3二一ABAF二一4-二丁ABCE是等邊三角形,BC=AB=4易得Sbce=4.3.DCE-30DC=CE=BC=4EG=2c1一1八.SdecDCE

12、G42=422S.,DEF=S正方形ABCD-S.ABF-S.BCE-SDEC=16-8,33-4,3-4二12-2033變式1:如圖，四邊形ABCM正方形，以DC為邊在正方形外部做等邊三角形DCEAEBD交于點G,AE與DC交于點F,AB=4(1)求/DFG/DGF的度數(shù)；求S&DE、S&BG。14九年級上幾何典型題型解：(1)丁四邊形ABCD為正方形.ADC=90AD=DC又丫ADCE為等邊三角形.CDE=60DC=DE.ADE=150AD=DE.AED=/DAE=15又.CDE=60.DFG=.AED.CDE=75一:四邊形ABCD為正方形BD為對角線.ADG=45又：D

13、AE=15DGF=/ADGDAE=60過百作且財_L小艇長線于M過工作為與W易得Z.EDM=知。DSA.SM=2：.S=-AD-EM=-4-2=A22易得45°又二用N，80AB=4AM=B£=2屈vZBAS=15°£3AG=75&又二乜期方三45口./尸月M=30=又一;AN=2在二*尊二丈石515九年級上幾何典型題型BF=BNNF=24i+-二S"=，囪7達加=g。,加十竽2應=4433變式2:如圖，四邊形ABCM正方形，點E、F分別在DCBC上，且(1)求NAFB的度數(shù)；(2)若EF=2,求正方形ABCD勺面積；(3)求線段BF的

14、長度。EAF為等邊三角形。£F燈解：(1)丁AEAF為等邊三角形.AE=AFEAF=60又丫四邊形ABCD為正方形.AB=ADB=D=90ABF三ADEBAF»DAE又EAF=60BAF=15AFB=75(2)16九年級上幾何典型題型將MDE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90喇AABG,過G作GH_LAF于H一:四邊形ABCD為正方形EAF為等邊三角形易得Seaf=、3EC=FC.C=90EF=2.EC-FCi/2.Sfce=ECFC=-,2,2=1F22由(1)得.BAF=.DAE=15GAH=BAF.BAG=/BAF.DAE=30又AG=AE=2.HG=111Sfag=-AFGH=3

15、21-1S正方形ABCD-sfag-sFCE'sEAF=2，(3)由(1)得BF=EDCF"，2設BF=x，則ED=x,BC=x+d5AB2BF2:AF2(x-.2)2x2=222x22.2x-2=017九年級上幾何典型題型x22x-1=0解得x=一、226-2BF二2例7.如圖，四邊形ABCM正方形，點E、F分別在DCBC上，且NEAF=45°,求線段DEEF、BF的數(shù)量關系。解：將MDE繞點AW時針旋轉(zhuǎn)90口到AABGWIDE=BG丁四邊形ABCD是正方形.BAD=90又EAF=45.DAE.BAF=45GABBAF=45即GAF=45GAF=EAF又AE=AGAF=AFEAF三GAF.GF=EF即GBBF=EF.EDBF=EF18九年級上幾何典型題型例8.如圖，四邊形ABC的正方形，對角線AGBD交于QEG_LHF于Q(1)求證：HF=EG1(2)求證%邊形qfcg-二S正萬形abcD4(1)證明19過E作EN_LDC于N,過H作HM_LBC于M易得EN_