高中數(shù)學導數(shù)經(jīng)典題

1、高中數(shù)學導數(shù)經(jīng)典考題1.設(shè)，函數(shù)（）若是函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值；（）若函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍解：（）因為是函數(shù)的極值點，所以，即，所以經(jīng)檢驗，當時，是函數(shù)的極值點 即 6分（）由題設(shè)，又，所以，這等價于，不等式對恒成立令（），則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，所以的最小值為所以即實數(shù)的取值范圍為 13分3.已知函數(shù).（）若函數(shù)有三個零點，且，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間； （）若，試問：導函數(shù)在區(qū)間(0，2)內(nèi)是否有零點，并說明理由.（）在（）的條件下，若導函數(shù)的兩個零點之間的距離不小于，求的取值范圍.【解】（I）因為，又，則 （1分）因為x1，x3是方程的兩根，則，.即 （3分）從而：，所以

2、. 令 解得： （4分）故的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，4），單調(diào)遞增區(qū)間是 。 （6分）（）因為，所以，即.因為，所以，即. （7分）于是，. （8分）（1）當時，因為，則在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點. （9分）（2）當時，因為，則在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一零點.故導函數(shù)在區(qū)間(0，2)內(nèi)至少有一個零點. （10分）（）設(shè)m，n是導函數(shù)的兩個零點，則，.所以. 由已知，則，即.所以，即或. （12分）又，所以，即.因為，所以. 綜上分析，的取值范圍是. （14分）4.(2010屆沈陽市四校協(xié)作體高三聯(lián)考) 已知函數(shù),且.（I）討論的單調(diào)性,并求出極值點.（II）若（I）中的.求在上的最小值.解：（I）當時

3、, 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, (3分)當時, 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增. (5分)極值點(6分)（II）(12分)7.(山東省威海市2010屆高三上學期教學質(zhì)量檢測)已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間和極值;（）當時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍解：（）函數(shù)的定義域為， 2分，令，解得，列表0+單調(diào)遞減單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由表得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，;極小值為，無極大值. 6分（）因為，所以在兩邊取自然對數(shù)，即， 12分由（1）知的最小值為，所以只需，即. 14分11.（臺州中學2009-2010學年第一學期期中試題）已知，函數(shù).（1）設(shè)曲線在點處的切線為，若與圓相切，求的值；（2）求函數(shù)的單

4、調(diào)區(qū)間； （3）求函數(shù)在0，1上的最小值。解：（1）依題意有，（1分）過點的直線斜率為，所以過點的直線方程為（2分）又已知圓的圓心為，半徑為1 ，解得（3分）（2）當時，（5分）令，解得，令，解得所以的增區(qū)間為，減區(qū)間是（7分）（3）當，即時，在0，1上是減函數(shù)所以的最小值為（9分）當即時在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)所以需要比較和兩個值的大?。?1分）因為，所以 當時最小值為，當時，最小值為（12分）當，即時，在0，1上是增函數(shù)所以最小值為.綜上，當時，為最小值為當時，的最小值為（14分）2.（廣東省東華高級中學2010屆高三上學期摸底考試）1.已知在區(qū)間上是增函數(shù)（I）求實數(shù)的取值范圍；（II）

5、記實數(shù)的取值范圍為集合A，且設(shè)關(guān)于的方程的兩個非零實根為。求的最大值；試問：是否存在實數(shù)m，使得不等式對及恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由1.解：（1） 1分在上是增函數(shù)即，在恒成立 3分設(shè) ，則由得 解得 所以，的取值范圍為6分（2）由（1）可知由即得 是方程的兩個非零實根 ，又由 9分于是要使對及恒成立即即對恒成立 11分設(shè) ，則由得 解得或故存在實數(shù)滿足題設(shè)條件14分7（江西師大附中、臨川一中、南昌三中2010屆高三聯(lián)考文科）1已知函數(shù)（1）試求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)在處有極值，且圖象與直線有三個公共點，求的取值范圍.1.（1）（1分）當時，（2分）當時，方

6、程有不相等的兩根為（3分）當時，或（4分）當時，（5分）綜上：當時，在上遞增當時，在、上遞增當時，在上遞增（6分）（2）在處有極值，（7分）令（8分）在處有極大值，在處有極小值（9分）要使圖象與有三個公共點則（11分），即的取值范圍為（12分）13.（吉林一中高三第四次“教與學”質(zhì)量檢測）設(shè)函數(shù)（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍.（）, 曲線在點處的切線方程為.3分（）由，得，若，則當時，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，6分若，則當時，函數(shù)單調(diào)遞增， 當時，函數(shù)單調(diào)遞減，9分（）由（）知，若，則當且僅當，即時，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，若，

7、則當且僅當，即時，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，綜上可知，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增時，· 的取值范圍是.12分2.(長沙市一中2010屆高三第五次月考試卷) 已知函數(shù)（1）討論函數(shù)f (x)的極值情況；（2）設(shè)g (x) = ln(x + 1)，當x1>x2>0時，試比較f (x1 x2)與g (x1 x2)及g (x1) g (x2)三者的大??；并說明理由【解析】（1）當x>0時，f (x) = ex 1在(0，+)單調(diào)遞增，且f (x)>0；當x0時，若m = 0，f (x) = x20, f (x) =在(，0上單調(diào)遞增，且f (x) =又f (0) = 0，f (x)在R上是

8、增函數(shù)，無極植；若m<0，f (x) = x(x + 2m) >0，則f (x) =在(，0)單調(diào)遞增，同可知f (x)在R上也是增函數(shù)，無極值；4分若m>0，f (x)在(，2m上單調(diào)遞增，在(2m，0)單調(diào)遞減，又f (x)在(0, +)上遞增，故f (x)有極小值f (0) = 0，f (x)有極大值 6分（2）當x >0時，先比較ex 1與ln(x + 1)的大小，設(shè)h(x) = ex 1ln(x + 1) (x >0)h(x) =恒成立h(x)在(0，+)是增函數(shù)，h(x)>h (0) = 0ex 1ln(x + 1) >0即ex 1>

9、ln(x + 1)也就是f (x) > g (x) ，成立故當x1 x2>0時，f (x1 x2)> g (x1 x2)10分再比較與g (x1) g (x2) = ln(x1 + 1) ln(x2 + 1)的大小=g (x1 x2) > g (x1) g (x2)f (x1 x2)> g (x1 x2) > g (x1) g (x2) 13分3.(山東省東營市勝利一中)已知函數(shù)、為實數(shù)）有極值，且在處的切線與直線平行. （1）求實數(shù)a的取值范圍； （2）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)的極小值為1，若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由； （3）設(shè)令求證：.

10、【解析】， 2分有極值，故方程有兩個不等實根由、可得，故實數(shù)a的取值范圍是 4分 （2）存在 5分 ，+00+極大值極小值， 8分的極小值為1 9分 （3），10分證明：當n=1時，左邊=0，右邊=0，原式成立 11分 假設(shè)當n=k時結(jié)論成立，即，當n=k+1時，左邊當且僅當x=1時等號成立，即當時原式也成立 13分綜上當成立 14分4.（浙江省2010屆第一次調(diào)研卷）已知函數(shù)().(1) 當a = 0時, 求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2) 若函數(shù)在區(qū)間0, 2上的最大值為2, 求a的取值范圍. 【解析】(1): 當a = 0時, f (x)x34x25x ,>0,所以 f (x)的單調(diào)遞增

11、區(qū)間為, . (6分)(2) 解: 一方面由題意, 得 即 ;另一方面當時, f (x) = (2x39x212x4)ax34x25x ,令g(a) = (2x39x212x4)ax34x25x, 則g(a) max g(0), g() = maxx34x25x , (2x39x212x4)x34x25x = maxx34x25x , x2x2 ,f (x) = g(a) maxx34x25x , x2x2 ,又x34x25x=2, x2x2=2, 且f (2)2,所以當時, f (x)在區(qū)間0,2上的最大值是2.綜上, 所求 a的取值范圍是. (14分)10（山東省實驗中學）已知函數(shù)， （1

12、）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）令，是否存在實數(shù)，當（是自然常數(shù)）時，函數(shù)的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由；（3）當時，證明： .【解析】：（1）在上恒成立， 令 ，有 得 4分 得 5分（2）假設(shè)存在實數(shù)，使（）有最小值3， 6分 當時，在上單調(diào)遞減，（舍去），當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，滿足條件. 當時，在上單調(diào)遞減，（舍去），綜上，存在實數(shù)，使得當時有最小值3. 10分（3）令，由（2）知，.令，當時，在上單調(diào)遞增 即.14分19.（福州三中20092010學年高三第一學期半期考）已知，R，函數(shù)的圖象經(jīng)過點（）若曲線在點處的切線與直線平行，求實數(shù)的值

13、；（）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（）令，R，函數(shù)若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍【解析】（），2分則在點出的切線的斜率為=，所以4分（）函數(shù)在上為減函數(shù)，所以在上恒成立，所以在上恒成立6分令，則因為，所以，所以在為增函數(shù)，所以，所以經(jīng)檢驗，的取值范圍是9分（）若對任意，總存在，使得成立，則函數(shù)在上的值域是函數(shù)在上的值域的子集對于函數(shù)，因為，所以，又因為過點，所以，所以，定義域令，得，（舍去）當變化時，與的變化情況如下表：所以，所以的值域為12分對于函數(shù)（）當時，的最大值為，值域為，所以，即以，解得，所以（）當時，的最大值為，值域為所以，即，解得或，所以綜上所述，的取值范

14、圍是14分20.（大連24中20092010學年高三上學期期中考試） 已知函數(shù) （I）若在定義域內(nèi)的單調(diào)性； （II）若的值； （III）若上恒成立，求a的取值范圍。【解析】：（I）由題意2分上是單調(diào)遞增函數(shù) 4分 （II）由（I）可知， （1）若上為增函數(shù)，（舍去） 5分 （2）若上為減函數(shù)，（舍去） 6分 （3）若綜上所述， 8分 （III） 9分 5.(衡陽市八中2010屆高三第二次月考數(shù)學（理科）設(shè)函數(shù)， (1) 求函數(shù)的極大值與極小值；(2) 若對函數(shù)的，總存在相應(yīng)的，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍.解答(1)定義域為R -30+0極小值極大值令，且 ：極大值為，極小值為 w.w.w.

15、k.s.5.u.c.o.m (2)依題意，只需在區(qū)間上有 在，取小值或 又 當時，當時， 又在 式即為 或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解的 （無解） 6.(遼寧省東北育才學校2010屆高三第一次模擬（數(shù)學理）已知函數(shù)（）為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）當時，求函數(shù)的最大值；（）當時，且，證明：.解答：（1）， 因為對，有不存在實數(shù)使，對恒成立 2分由恒成立，而，所以經(jīng)檢驗，當時，對恒成立。當時，為定義域上的單調(diào)增函數(shù) 4分（2）當時，由，得 當時，當時，在時取得最大值，此時函數(shù)的最大值為 7分（3）由（2）得，對恒成立，當且僅當時取等號 當時，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 同理可得， 12分法二：當時（由待證命題的結(jié)構(gòu)進行猜想，輔助函數(shù)，求差得之），在上遞增令在上總有，即在上遞增當時，即令由（2）它在上遞減 即