數學建模的基本技能與方法

1、數學建模講義之一第一講數學建模及大學生數學建模競賽近幾十年來，隨著科學技術的進步，特別是電子計算機的誕生和不斷完善，數學的應用已不再局限于物理學等傳統(tǒng)領域，生態(tài)學、環(huán)境科學、醫(yī)學、經濟學、信息科學、社會科學及一些交叉學科都提出大量有待解決的實際研究課題。要用定量分析的方法解決這些實際問題，十分關鍵而又十分困難的一步就是要建立恰當的數學模型。建立數學模型的過程需要把錯綜復雜的實際問題抽象為簡單合理的數學結構，要做到這一點，既需要豐富的想象力，又需要去尋找較合適的數學工具，從某種意義上講，它是能力與知識的綜合運用。一、什么是數學建模數學建模（Mathematical Modeling）簡單地說就是

2、建立數學模型的過程?？梢哉f數學建模是一種數學的思考方法，是“對現實的現象通過心智活動構造出能抓住其重要且有用的特征表示，常常是形象化的或符號的表示。”從科學、工程、經濟、管理等角度看數學建模就是用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻劃并“解決”實際問題的一種強有力的數學工具。顧名思義，modeling一詞在英文中有“塑造藝術”的意思，從而可以理解從不同的側面、角度去考察問題就會有不盡相同的數學模型，從而數學建模的創(chuàng)造又帶有一定的藝術的特點。而數學建模最重要的特點是要接受實踐的檢驗、多次修改模型漸趨完善的過程，這可以用如下框圖來表示：實際問題抽象、簡化、假設確定變量、參數建立數學模型并數

3、學、數值地求解、確定參數用實際問題的實測數據等來檢驗該數學模型 若不符合實際交付使用，從而產生經濟、社會效益 若符合實際下面再以流行病學中的一個例子（像流感、艾滋病等傳染病的傳播規(guī)律）為例作一個簡單說明。設發(fā)生傳染病地區(qū)的總人口N不變，用x(t)表示患病人數所占的百分比（因而總人口所占百分比為1）。（1）俗話說“一傳十，十傳百”就是一種簡化，設感染率為h，則數學模型為：由此可解得這時易見，顯然是不符合實際的。（2）實際情況應是未得病者會感染得病，設感染率為h，而得病者中由于治療，一部分人會康復，設康復率為r，則得數學模型為：解此方程將初始條件代入上式可求得：，所方程的解為：有，至少定性地看來要

4、合理得多，但用這樣的模型于實際情形就會發(fā)現仍有許多不符合實際的地方。（3）實際上應把人們分成已感染者，未感染者，已恢復者（包括已死亡者），而，于是可建立所謂的SIR模型：及相應的初始條件。這時人們會發(fā)現不容易求到顯式解了，而數學分析在一定階段是重要的。由此可見數學建模的這種迭代的性質正反映了人們運用這種方法逐步逼近、真正認識、掌握實際問題的過程，從而達到預測、預報或指導實驗以至指導生產的目的。二、數學建模的起源和發(fā)展數學建模并不是新東西（盡管過去很長時間這一術語用得很少），可以說有了數學并要用數學去解決實際問題就一定要用數學的語言、方法去近似地刻劃實際問題，而這種刻劃的數學表述就是一個數學模型

5、，其過程就數學建模過程。因而可以說有了數學并用數學去解決實際問題，就有了數學建模，而歐幾里得創(chuàng)立的歐氏幾何，牛頓、萊布尼茲發(fā)明的微積分都是很能好的數學模型。問題是當一個數學模型表達出來后，就要用一定的技術手段（例如推理證明、計算等）求解該數學問題并用實際驗證，若需要就要修改數學模型并重復上述過程。如果中間有一步完不成，整個數學建模過程就很難完成。而大量的計算又往往是建模過程中必不可少的，過去在高性能電子計算機尚未產生之前，正是由于缺乏這一技術手段而一定程度上限制了建模這一強有力方法的應用和發(fā)展。當然，由于實際應用的需要，數學建模的活動從未停止過。而電子計算機（特別是80年代超級電子計算機）的出

6、現使數學建模這一方法如虎添翼似地得到了飛速發(fā)展，掀起了一個高潮。在前面我們已經暢述了數學建模是一個需要多次反復的過程，由此可見數學建模的這種迭代的性質正反映了人們運用這種方法逐步逼近、真正認識、掌握實際問題的過程，從而達到預測、預報或指導實驗以至指導生產的目的。這里需要指出的是參數的確定常常是關鍵的一步。正是由于上述這種特點，有人指出“今天，在技術（科學）中最有用的數學研究領域是數值分析和數學建模?！痹谀撤N意義下數學建模已經發(fā)展成一個相對獨立的數學分支，而且不斷向應用數學和純粹數學提供大量的挑戰(zhàn)性問題，從而推進了數學科學的發(fā)展。特別要提到的是近年來正在迅速發(fā)展的工業(yè)數學（industrial

7、mathematics）中（工業(yè)數學首先是數學，但也不是一類新的數學，簡言之，它關心的問題是怎樣在非數學的領域中應用現有的或發(fā)展新的數學方法來解決實際問題以求得更高的經濟、社會效益），數學建模是關鍵的一步。正是由于數學建模的重要性，為了推動數學建模的研究、學術交流，從80年代起就有眾多的學術活動、國際會議以及國際性和地區(qū)性的數學建模雜志。主要的數學建模期刊有：“數學和計算機建模國際性期刊”（Mathematical and Computer ModelingAn International Journal縮寫為Math Comput. Modeling），為國際性數學建模雜志。應用數學建模（A

8、pplied Mathematical Modeling縮寫為Appl.Math.Modeling或AMMODL），也是一種國際性數學建模雜志。高校應用數學學報，名譽主編蘇步青，主編董光昌，1986年創(chuàng)刊，這是國內一個綜合性應用數學刊物?！皵祵W的實踐與認識”（中國數學會主辦，主編林群），每期都刊登一些數學建?；驊梦恼拢部俏覈髮W生參加國內外數學建模競賽的優(yōu)秀論文。數學建模及其教學國際會議有：數學與計算機建模國際會議（International Conference on Mathematical and Computer縮寫為ICMM），每隔兩年召開一次。數學建模和應用的教學國際會議（I

9、nternational Conference on the Teaching of Mathematical Modeling and Applications縮寫為ICTMA），每兩年召開一次。三、數學建模的教學與數學素質的培養(yǎng)眾所周知人才培養(yǎng)是關鍵，數學模型方法已成為科學技術中常用的非常重要的方法，它是數學和其他科學技術之間的媒介和橋梁。同時數學建模的研究有了長足的進步，又有得心應手、強有力的計算機作為工具，因而必然會有人考慮到數學教育中一個不可缺少的內容應該是數學建模等數學的應用的內容。數學建模教學要求對學生以下幾個方面的能力進行培養(yǎng)：1培養(yǎng)“翻譯”的能力，即把經過一定抽象、簡化的實際

10、問題用數學語言表達出來形成數學模型（即數學建模過程），對應用數學的方法進行推演或計算得到的結果，能用“常人”能懂的語言“翻譯”（表達）出來。2應用已學到的數學方法和思想進行綜合應用和分析，并能學習一此新的數學知識，并能理解合理的抽象和簡化，特別是進行數學分析的重要性。因為數學建模中數學終究是我們主要的武器，要在數學建模過程中靈活應用、發(fā)展使用這個武器的能力。3發(fā)展聯想能力。因為對于不少完全不同的實際問題，在一定的簡化層次下，它們的數學模型是相同的或相似的，這正是數學的應用廣泛性的表現。這就要培養(yǎng)學生有廣泛的興趣，多思考，勤奮踏實工作，通過熟能生巧而逐步達到觸類旁通的境界。4逐漸發(fā)展形成一種洞察

11、力。通俗地說就是一眼就能抓?。ɑ虿糠肿プ。┮c的能力。因為真正的實際問題的數學建模過程的參與者（特別是一開始）往往不是很懂數學的人，他們提出的問題更不是數學化的，往往是在和你交談過程中由你“提問”、“換一種方式表達”或“啟示”等等方式（這里往往表現出你的洞察力）使問題逐漸明確的。5熟練使用技術手段，在目前主要是計算機及相應的各種數學軟件包，這將幫助你節(jié)省時間，在一定階段能得到直觀形象的結果，有利于與用戶深入討論。數學建模的教育，有利于培養(yǎng)數學素質。數學素質是一種理性的思維模式，它包括歸納、演繹、數學建模等方法及人的自由創(chuàng)造本能。大學學生學習數學的理論、思想、方法，不僅是為了培養(yǎng)用所學的數學思想

12、和方法去分析處理實際問題的能力，而且要藉此培養(yǎng)起科學的理性思維模式，這正是數學素質的教育所蘊含的。因此，大學數學的教育要特別重視培養(yǎng)學生的現代數學意識，諸如數學思想及觀念、數學方法（建模方法、計算方法、數學軟件的使用方法）。數學素質的培養(yǎng)和提高是多方面的，而其中數學建模的教育，是培養(yǎng)數學素質不可缺少的環(huán)節(jié)。四、大學生數學建模競賽我國在高校中開設數學建模課程始于1982年，但當時只有少數重點院校作為選修課程來開設，可以說是自發(fā)的、民間，因而數學建模課程并未受到人們的重視。數學建模課程真正被許多高校融入主干課程，被國家教委、國家教育部重視，卻是得益于大學生數學建模競賽。可以說數學建模競賽是目前我國

13、設立的最成功的一項競賽，它促進了各高校數學建模教學和數學建?；顒拥姆瓴l(fā)展。因此我覺得有必要談一談大學生數學建模競賽。·美國大學生數學建模競賽美國大學生數學建模競賽（Mathematical Contest in Modeling,簡稱MCM）是1985年開始舉辦的通訊比賽，每年一屆，一般在2月份的一個周末（周五至周日）舉行。競賽的組織者是美國數學及其應用聯合會（Consortium for Mathematics and Its Applications,簡稱COMAP）,并得到一些單位的協(xié)助。1999年起又同時舉辦美國大學生交叉學科建模競賽（Interdisciplinary C

14、ontest in Modeling,簡稱ICM）。·MCM的宗旨、規(guī)則和獎勵MCM的宗旨是鼓勵大學師生對范圍不固定的各種實際問題予以闡明、分析并提出解法，通過這樣一種結構鼓勵師生積極參與并強調實現完整的模型構造的過程。每個參賽隊（3人）有一名指導教師，他們在比賽開始前負責對隊員的訓練和戰(zhàn)術指導；并接受考題，然后即由學生自行參賽，指導教師不得參賽。比賽于每年二月或三月的某個周末（大約三天時間進行）。每次只有兩個考題（一般是連續(xù)和離散各一題），每隊只需任選一題。考題是由在工業(yè)和政府部門工作的數學家提出建議由命題組選擇的沒有固定范圍的實際問題。在三天的持續(xù)時間內參賽隊要以有清楚定義的格式

15、寫出解法論文（包括問題的適當闡明與重新敘述；假定和假設的清楚說明；對為什么要用所述模型的分析；模型的設計；怎樣測試模型的討論；模型優(yōu)缺點的討論，包括誤差的討論；放在論文最前面的不超過一頁的論文提要等）。參賽者可以使用包括計算機、軟件包，教科書，雜志和手冊之類的外部資源，因而在某種意義下也是考核使用外部資源的能力。MCM既沒有通過、失敗這種記分，也不采用數值記分。評閱人主要感興趣的是論文的方法、論述的清晰性。評選一些論文為表揚獎，有價值的論文和優(yōu)秀論文、部分最佳論文將發(fā)表在專業(yè)性的數學雜志上，以此作為獎勵。我國大學生于1989年開始參加美國MCM，當時只有北京大學、清華大學和北京理工大學共4個隊

16、參加，到1992年已有國內12所大學24個隊參賽，并且都取得了較好的成績。在這背景下，我國不少高校教師也萌發(fā)了組織我國自己大學生數學建模競賽的想法，由中國工業(yè)與應用數學學會（CSIAM）舉辦的“1992年全國大學生數學建模聯賽”（簡稱CMCM），全國有74所大學的314個隊參加，不僅得到各級領導的關心，還得到企業(yè)界的支持，特別是宣傳部門的廣泛支持。于是CSIAM決定今后每年舉辦一次，并要更多地爭取工業(yè)、企業(yè)界的支持，更好地依靠學術界、工業(yè)界的科學家、工程師提供好的競賽題。到今年，我國已舉辦了十屆數學建模競賽，參賽的學校發(fā)展到有幾百所高校，三千多隊，從1999年開始又單獨設立了大專組競賽題，大專

17、學校單評獎?，F在我國的大學生數學建模競賽搞得紅紅火火，相應的數學建模教學和數學建?；顒右蔡岣吡艘粋€新水平。數學建模的教學作為一項重要的教改，也取得很大的成功。大家也達成了共識，通過大學生數學建模競賽，不僅僅是為了獲獎，同時也使我們的參賽選手得到了鍛煉，使他們的各方面能力都得到培養(yǎng)（邏輯思維能力、創(chuàng)新能力、一絲不茍，嚴肅認真精神、精益求精精神、拼搏精神、團隊精神、估計、猜測方法），教師的教學科研水平也得到了提高。第二講數學建模的基本技能一、數學建模過程是一個多次循環(huán)過程由上一講給出的建模流程圖可以看出，數學建模過程是一個多次反復的過程，一般來說，要反復經歷以下幾個階段：·澄清問題：現實

18、問題往往是復雜而零亂的，所以有必要認真審題。澄清什么是已知的，什么是要求的，是確定型的還是隨機型的問題等等。根據建模的對象和目的充分發(fā)掘解題的信息，如事實、數據等。在做這下步時，還要對問題進行抽象和簡化，而且這一工作往往不是一次能夠完成的，有時需要反復多次。·形成數學模型：首先是尋找最簡單的模型，比如用圖形說明。可根據建模對象、目的具體地找出所有的相關因素，抓住主要的方面進行定量研究，即參考因素間的關系，提取主要因素。確定出諸因素中哪些是變量，哪些是參量，哪些是常量，并采用適當的符號、單位來標識，如有可能或必要可收集盡可能多的數據。然后考察各信息因素的性態(tài)，以及它們之間的關系，使用數

19、學技能或應用某種“規(guī)律”建立變量、參量間的明確的數學關系。還可根據問題的要求對模型進行必要的修改。·模型的求解：選擇適當的數學方法求得數學模型的解。可以用代數方法、數值方法和分析、圖論方法等。如有可能，可以使用各種軟件包。值得注意的是許多數學模型往往是很復雜、很難的，有時往往要根據實際情況對模型作簡化，使得解析或數值求解成為可能。·解釋數學解：考察所得的數學解，是否具有應有的性質。同時把數學的表述解釋或翻譯成與實際問題相適應的通俗易懂的語言。·模型的檢驗與評價：建模是否正確還必須驗證。常常是用實驗或問題提供的信息記錄來進行檢驗；檢驗解對參數、初始數據的敏感程度；檢

20、驗你的預測是否已經達到精度的要求，是否已經達到預期的目的等。如果還想要更精確地刻劃出問題的解，是否要改進你的模型，如果是，則返回到1；否則進入6。一個成功的模型往往是一個多次循環(huán)過程。·建模報告：建模報告一般分為準備、主要部分和附錄三個部分。需要說明的是，若對模型進行了簡化，實質上是改變了原問題，簡化后的模型只能說是原問題的一種近似，怎樣才能做到正確的近似不僅需要很強的分析問題的能力，而且還需要有很強的洞察力；任何一個模型都能定義為現實系統(tǒng)的某些方面的簡化表示，一個數學模型就是用數學概念、函數、方程等建立起來的模型。二、建模的基本技能1 列出相關因素、作出合理假設數學建模往往來源于實

21、際問題，面對一個實際問題如何下手是最困難的事，特別是對初學者更是如此。數學建模的一個基本原則就是認真分析所給的問題，找出相關的因素。這里的因素可以是定量的，即可以由數量來描述，也可以是定性的，如有可能還可以找出各因素間的一些簡單關系式。定量的因素可以分為變量、參量、常量。參量是這樣的一些量，它對于一個特定的問題可以認為是常量，但對不同的問題這個常量也就不同。變量可分離散的與連續(xù)的，也可以分確定的與隨機的。在一個實際問題中，往往會有很多因素與之有關，所以在收集好這些相關因素之后，先考慮一些主要的因素，丟棄一些與問題關系不太大的次要因素，并且區(qū)分出哪些因素是輸入變量（自變量）可以影響模型，但其性狀

22、不是該模型所要研究的那些因素，哪些是輸出變量（因變量）其性狀是這個模型打算研究的那些因素，并給出適當的符號與單位。要做到這一點有時是很困難的，這不僅有賴于對問題的深刻認識而且還有賴于建模的經驗，對于有些因素雖然并非認為是無足輕重的，但還是把它略掉了，原因在于建模者不能處理它們，只能寄希望于略去之后不會使結果有太大的影響。為使建模得以進行，我們必須作一些合理的假設。假設的目的在于對給出變量的取舍，即選出主要因素，忽略次要因素，使問題簡化以便進行數學描述，又抓住問題的本質。一個模型是否成功很大程度上依賴于假設的合理性，這當然主要取決于建模工作者的經驗。一般說來，假設可以分為兩類：一類是為簡化問題的

23、需要而作的；而另一類是為了沿用某種數學方法之需要而作的。這是由于數學建模本身所決定的。數學建模就是采用或建立某種數學方法來解決具體問題，而每種理論的應用都必需滿足一定的條件，因此能否應用所需的數學方法的關鍵在于所研究的對象是否大體滿足相應的條件。在初次建模時，要選擇假設使模型盡可能簡單，把所有的假設清楚地寫下來，使得你自己知道，而且也能使別人確切地知道是在怎樣的假設下完成模型的。不同的假設就可能得到不同的模型，所以描述一種情況的最佳模型通常不止一個。在一個模型中不可能同時使普遍性、現實性、精確性都很佳。所以在建模時可根據不同情況作出合理取舍。一旦建好了第一個模型，就要著手考慮問題中的其它因素的

24、影響，對模型進行修正，一個良好的模型不但要刻劃出問題的本質，而且還要使得模型不至于太復雜而導致實際上無法求解，這就要看你能否處理好簡單與復雜、精確與普適之間的矛盾。特別需要指出的是：在作假設時千萬不要圖處理問題的方便而忽視了與所給問題的相符性，其實與所給問題的相符性才是最重要的假設準則。例1最優(yōu)捕魚策略為了保持人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源（如漁業(yè)、林業(yè)資源）的開發(fā)必須適度。一種合理、簡化的策略是，在實際可持續(xù)捕獲的前提下，追求最大產量或最佳效益。考慮對某種魚的最優(yōu)捕撈策略：假設這種魚分4個年齡組，稱1齡組魚，······，4齡組

25、魚。各年齡組每條魚的平均重量分別為5.07，11.55，17.86，22.9（克）；各年齡組魚的自然死亡均為0.8（1/年）；這種魚為季節(jié)性集中產卵繁殖，平均每條4齡魚的產卵量為1.109 ×105（個），3齡魚的產卵量為這個數的一半，2齡魚和1齡魚不產卵，產卵和孵化期為每年的最后4個月；卵孵化并成活為1齡魚，成活率（1齡魚條數與產卵總量n之比）為1.22 ×1011/（1.22 ×1011+n ）。漁業(yè)管理部門規(guī)定，每年只允許在產卵孵化期前的8個月內進行捕撈作業(yè)。如果每年投入的捕撈能力（如漁船數、下網次數等）固定不變，這時單位時間捕撈量將與各年齡組魚群條數成正比

26、，比例系數不妨稱捕撈強度系數。通常使用13mm網眼的拉網，這種網只能捕撈3齡魚和4齡魚，其兩個捕撈強度系數之比為0.4：1。漁業(yè)上稱這種方式為固定努力量捕撈。要建該問題的數學模型，必須澄清兩個問題：一是如何實現可持續(xù)捕獲（即每年開始捕撈時漁場中各年齡魚群條數不變），并且在此前提下得到最高的年收獲量（捕撈總重量）；二是該漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈業(yè)務5年，合同要求5年后魚群的生產能力不能受到太大的破壞。已知承包時各年齡組魚群的數量分別為122、29.7、10.1、3.29（×109條），如果仍用固定努力量的捕撈方式，該公司應采取怎樣的策略才能使收獲最高。分析題意不難看出與問題相關的因素有

27、漁池的環(huán)境、魚的生長、繁殖、死亡等情況，以及捕撈方式、強度等。為了使問題簡化，可以作如下的假設：（1）只考慮這一種魚的繁殖和捕撈，魚群增長過程中不考慮魚的遷入與遷出。（2）各年齡組的魚在一年內的任何時間都會發(fā)生自然死亡。（3）所有的魚都在每年最后的四個月內（后1/3年）完成產卵和孵化的過程。卵化成活的幼魚在下一年初成一齡魚進入一齡魚組。（4）產卵發(fā)生于后四個月之初，產卵期魚的自然死亡發(fā)生于產卵之后。（5）相鄰兩個年齡組的魚群在相鄰兩年之間的變化是連續(xù)的，即：第k年底第i年齡組的魚的條數等于第k+1年初第i+1年齡組魚的條數。（6）四齡以上的魚全部死亡。（7）采用固定努力量捕撈的速度正比于捕撈時

28、各年齡魚群中魚的條數，比例系數為捕撈強度系數。在以上的假設下與問題相關的主要因素可以羅列如下：時間t；t時刻i年齡組的魚群數量xi(t)；魚的平均死亡率r；i年齡組魚的產卵力fi；i年齡組魚的平均重量wi；i年齡組的捕撈強度系數qi；產卵時間t=2/3；捕撈努力量E；i年齡組的年捕撈數量Yi；年捕撈Y等。2數據的作用與收集數據意指在考察現實問題中所收集的一些量化材料，是通過測量或觀察得到的，雖然有一定的不確定性、片面性，但它們在某些方面能反映出客觀實際，在建模中有以下幾個方面的作用：（1）能幫助我們形成建模思想；（2）能確定所建模型中的參數值，即能辨識參數；（3）更重要的是能檢驗我們的模型。在

29、建模時有些數據可以是給出的，也有些數據要靠自己去收集的，在數據的收集與分析中要注意以下幾個問題：（1）要弄清什么數據是你所需的。在動手建模之前要分清哪些數據與你的問題是相關的，哪些是多余的，同時要考慮是否欠缺某些數據。（2）收集你所需的數據。收集的辦法有兩個：一是向給你問題的人去要，有些可能可以現成的收取到，還有的可以通過實驗等手段獲得；另一方面是通過查資料索取。（3）處理數據。如何處理所給資料，如果所給數據有一大堆，你就得先把它們處理能上能下你所需要的形式，方法可以通過統(tǒng)計、平均等。要建好一個模型關鍵往往還體現在對數據的處理上，特別是對一些不規(guī)則數據的處理更能體現你的建模能力和創(chuàng)造性思維。3

30、誤差與精度我們的數據常常來自經驗觀察、測量，這就不可避免引起誤差，數據的誤差常會引起模型的誤差。誤差的來源大約有以下三個方面：建模假設、近似方法求解、數據。由于有了誤差，模型的預測并不是精確的，所以有必要去估計其最大誤差，以控制模型的誤差，提高其精度。誤差的描述方式主要有兩種，即絕對誤差和相對誤差。第三講一些簡單的數學描述與建模一、比例關系在建模過程中常常要把一些語言的表達翻譯成適當的數學形式。比如，一個變量與另一個變量有正比關系（有時記為），與之對應的數學表示式可為y=kx，其中k為比例常數。若對某個特定的x可以知道y的話，則能確定出k的值。例1冷卻問題將溫度為T0=150ºC的物

31、體放在溫度為24ºC的空氣中冷卻。經10分鐘后，物體的溫度降為T1=100ºC，問t=20分鐘，物體的溫度是多少？解：問題涉及的是種必然的物理現象，這是一個確定性的數學模型，由牛頓冷卻定律可知，物體在空氣中的冷卻速度與該物體的溫度和空氣溫度之差成正比。設物體的溫度T隨著時間t的變化規(guī)律為T=T(t)，則所要建的數學模型為，其中k>0為比例常數，負號表示溫度是下降的。解此微分方程得解為：由初始條件，于是令t=20，得：T（20）40ºC+24Cº=64ºC二、函數關系熟悉一些最常見的函數，如，以及等的圖像、性態(tài)往往是重要的。在建模過程中，常

32、常會碰到需要構造一適當的函數來刻劃某個特定的事件。例2在盛夏的一天銷售冰淇淋，當氣溫最高時需求量最大，要求選取適當的函數來這一事件。初看起來似乎很困難，但仔細分析一下，我們可以假設在一天中的銷售總量是已知的，如取1000盒，銷售時間可以認為是從上午10時到下午的6時。冰淇淋的銷售過程雖然是離散的，但銷售量則可以認為是一個連續(xù)的過程。銷售量從10時的零增加到中午的高峰，然后又降到18時的零，如果用I(t)來描述到時刻t的銷售量，其中t用小時來計，則問題就轉化為：選擇怎樣的函數。如果我們選取I(t)=asinwt，這顯然有些不妥，因為對某些t,sinwt將會取負數。所以更好的形式應取為。注意到銷售

33、的時間以及在兩端的銷售量，最后我們取其中a是待定的參數。為此，我們積分下式：得a=250所以所構造的函數的最后形式為，這意味著一天中下午2時是銷售的最高峰。每小時可以銷250盒，即每分鐘4盒。三、幾何模擬方法把一個復雜析問題抽象成各種意義下的幾何問題加以解決，這種方法就叫幾何模擬法。這種方法的特點是常常在發(fā)現問題解答的同時也就論證了解答的正確性，它是數學中的一種重要的思維方法。例3椅子問題在日常生活中經常會碰到這樣一個事實：把椅子往地上一放，通常只有三只腳落地，放不穩(wěn)，但只要稍挪動幾次，就可以四只腳同時落地放穩(wěn)了。這個問題初看與數學毫不相干，怎樣才能把它抽象成一個數學問題，并且將它證實？我們可

34、借助幾何?？紤]椅子的俯視圖，其中A、B、C、D代表4條腿。今取O為坐標原點，OA，OB分另為x，y軸的直角坐標系， B并設椅子繞原點O（中心）逆時針轉動時，OA與軸（初始位置） B的夾角為 。在這里我們已經假設了椅子的四角聯線呈正方形， A椅腳與地面的接觸可視為一點。為合理地解決這個問題，我們 A還假設椅子的四條腿一樣長。地面的高度是連續(xù)變化的，沿任 C何方向都不會出現間斷。對椅子腳的的間距和椅腿的長度而言，地面是相對平坦的。使椅子在任何位置到少有三只腳同時落地。 C D稍加分析我們就會想到是否可以用椅腳與地面的距離來描述椅子著地情況，注意到這距離是由位置唯一確定，而正方形是中心對稱的，這樣椅

35、子的位置可用繞中心旋轉角來唯一確定，所距離是的函數?？梢巫佑兴闹荒_，因而有四個距離，但又因正方形的中心對稱性，所只要設兩個距離函數就行了。記A、C兩腳與地面的距離之和為f()，B、D兩腳與地面距離之和為g()。顯然f()0，g()0。由假設f和g都是連續(xù)函數，且對任意的，f()g()=0。=0時，不妨設g(0)=0，f(0)>0。這樣，這個椅子問題就歸結為證明如下的數學問題：已知f和g是的連續(xù)函數，對任意的、f()g()=0，且g(0)=0，f(0)>0。則存在0，使f(0)=g(0)=0。將椅子旋轉90，對角線AC與BD互換。由g(0)=0和f(0)>0可知g(/2)>

36、;0和f(/2)=0。令h()=f()-g()，則h(0)>0和h(/2)<0。由f和g連續(xù)性知h也是連續(xù)函數。根據連續(xù)函數的基本性質，必存在0（0<0</2）使h(0)=0，即f(0)-g(0)=0。最后，因為f()g()=0，所以f(0)=g(0)=0。結論：當地面連續(xù)時，只要把椅子繞中心逆時針轉動0角，椅子的四條腿就同時落地了。例4狗、雞、白菜過河問題一個人要把所帶的一只狗、一只雞和一顆白菜過河，而船除人外，每次只能帶一樣東西，問該如何運它們，才能使雞吃不掉菜，而狗吃不掉雞。從數學上考慮安全渡河問題，它是一個多步決策過程。每一步，即船由此岸駛向彼岸或從彼岸駛回，都

37、要對船上的東西作出決策，在保證安全的前提下，在有限步內使所運物全部過河。為此，我們把人、狗、雞和白菜依次用一個四維向量表示，當一物在此岸時，記相應的分量為1，否則記為0，如（1，0，1，0）表示人和雞都在此岸，并稱為一個狀態(tài)。由題意（1，0，1，0）是一個允許狀態(tài)，而（0，0，1，1）是一個不允許狀態(tài)。若用S來記所有允許狀態(tài)的集合，這個集合共有10個狀態(tài)，它們是：（1，1，1，1）（0，0，0，0）（1，1，1，0）（0，0，0，1）（1，1，0，1）（0，0，1，0）（1，0，1，1）（0，1，0，0）（1，0，0，1）（0，1，0，1）如果把每次運載情況也用一個四維向量來表示，如用（1，1

38、，0，0）表示人和狗在船上，而雞和白菜不在船上，這樣的允許運載狀態(tài)D有4個：（1，1，0，0）、（1，0，1，0）、（1，0，0，1）、（1，0，0，0）。規(guī)定S和D中的元素相加時按二進制法則進行，這樣一次渡河就是一個允許狀態(tài)向量與一個允許運載向量相加。于時，制定安全渡河方案歸結為：求決策dkD，使狀態(tài)skS按照運算規(guī)律，從狀態(tài)（1，1，1，1）經過多少次才能變成（0，0，0，0）。一個狀態(tài)如果是可取的就記T，否則就記F，雖然可取但已重復就記R，于是問題可用窮舉法按如下方法進行運算：，就這樣通過運算即知，經7次運載便可安全地完成。運載的過程可以描述為：去（人，雞）、回（人）；去（人，狗（或菜）

39、、回（人，雞）；去（人，菜（或狗），回（人）；去（人，雞）。四、類比分析方法類比分析方法是根據兩個系統(tǒng)的某些屬性或關系的相似，去猜想兩者的其他屬性或關系也可能相似的一種方法。在建模中若發(fā)現兩個不同的系統(tǒng)，可以用同一形式的數學模型來描述，則此兩個系統(tǒng)就可以互相類比，類比方法應用很廣。例5人體肌肉的類比模型我們分析一下人體肌肉的運動就會發(fā)現，在施加一個外力（如提一重物）時會使其拉伸，此時肌肉呈彈性機械的特點，肌肉組織的伸縮運動常常伴隨著熱量的產生和溫度的增加，這些效應表明在肌肉組織內有某種類似于摩擦機構的作用，使得肌肉運動時一部分機械能作功，而另一部分則變?yōu)闊崮堋？梢姡捎靡粋€理想的彈簧-阻尼器來

40、類比一束肌肉的物理模型，其中彈簧類比于肌肉的彈性，而阻尼器類比于肌肉的摩擦現象。這兩種情形可用下圖的(a)和(b)來表示。 D K F f(t) (a) (b)圖(b)可用如下的數學模型來描述：五、利用物理規(guī)律建模牛頓發(fā)現萬有引力定律是科學史上的偉大事件，而導出它的依據是開普勒關于得星運行的三大定律，所用的工具又僅僅是解析幾何和微積分，它是從物理現象建立數學模型的一個典范。開普勒三大定律：（1）行星繞太陽運行的軌跡是一個橢圓，太陽位于一個焦點上。 r太陽（2）從太陽到行星的矢徑在相等的時間內所掃過的面積 行星相等。（3）各行星軌道的半長軸立方與周期平方之比為定數。 如右圖所示，以太陽（一個焦點

41、）為極點，該橢圓的長軸為極軸建立極坐標，于是有橢圓方程為：，其中是該橢圓的焦參數，是該橢圓的扁率。在極坐標下，矢徑所掃過的面積A的微分為進入得到“面積速度是常數”：=常數，其中角速度為，可得：，即：設行星繞太陽運行的周期是T，該橢圓的半長軸為a，半短軸為b。于是，矢徑在一個周期內掃過的面積正是該橢圓的面積：=常數為了用牛頓第二定律得到引力，我們必須算出行星的加速度。為此需要建立兩種不同的坐標架。第一個坐標架是固定的，以太陽為坐標原點，沿隨時長軸方向的單位向量記為i，沿短軸方向的單位向量記為j，于是：進而有：以行星為坐標原點建立活動架標，其兩個正交的單位向量分別是：，由可得：為了得到的表達式，將

42、橢圓方程兩邊微分兩次，得：，將和焦參數代入，得：，即行星加速度為： 由開普勒第三定律知為常數，若記=常數，那么就導出了著名的萬有引力定律：其中M是太陽的質量，m為行星的質量，r為行星到太陽的距離，-er表示引力的方向是行星指向太陽，G=6.672×1011米/千克·秒2稱為萬有引力常數。第四講用數據直接建模經驗模型經驗模型是一種完全依靠數據而得到的模型，在這樣的模型中，變量之間的關系是通過考察所給數據的變化特點選取的一種數學形式，它既有在數學表達上的簡單性又有一定的精確性。這樣的經驗模型的明顯特點是所考察的變量之間的關系并不是來自于假設，也不是基于物理的規(guī)律或原理，而是基于

43、建模者認為數據的變化與某個數學關系式表示的關系很吻合而選取的。這樣的經驗模型常常用在一個復雜模型的子模型中或其一部分。得到經驗模型的第一步是把所給的數據畫在一個坐標圖上，通過圖表來判斷其數學形式，這是關鍵的一步，選擇數學形式的優(yōu)劣將直接影響到經驗模型的精確程度；第二步是決定數學形式中的待定參數；第三步是求得數學模型后，有時需要將實際測定的數據與用公式求出理論值進行比較，判定其誤差程度。若不合精度要求，就得對經驗模型進行修正。當然最簡單的情形是它們集中于某一條直線附近，要找出這條在某種意義上與這些點最接近的直線，可通過判斷、最小二乘法或“回歸分析”等方法，而且這些都已有標準的軟件包。一、最小二乘

44、法設有n個點（測得的n組數據）（x1，y1），（x2，y2），···，（xn，yn）,在平面直角坐標系內，作出這個n點，稱為散點圖（如下圖），若發(fā)現這些點的分布近似于一條直線l：y=ax+b（1.1）若點（xi，yi）在l上，則應有yi -axi-b=0，（xi，yi）在l上，若點（xj，yj）不在l上，則yj -axj-b=j（j=1，···，n）j表示用y=ax-b來反映xj與yj的關系時所產生的偏差。我們期望選取適當的l，即在確定a與b時應使j越小越好。為此，我們取這些偏差的平方和來刻劃，即： (1.1)則問題變成求使（a，b）

45、取最小的a及b。一旦確定了a與b也就確定了l，這就是此問題近似的模型，這種方法叫最小二乘法。根據微積分中求極值的方法，容易求得：，其中，(1.2)根據實測數據，按公式（1.2）求得的公式（1.1），稱為經驗公式，經驗公式能否真實反映問題中變量間的關系，還得靠實踐的檢驗。如果所給數據反映的不是直線關系，那么就不能再用直線近似，這時就要作一此處理，如果可以作變換，把問題分解成若干部分，其主要部分為線性部分。例6下表給出的是15個不同年齡的人的身高與重量高H/m重W/kg0.75100.86120.95151.08171.12201.26271.35351.5141高H/m重W/kg1.55481.

46、60501.63511.67541.71591.78661.8575重量W與身高H之間的關系可由散點圖（如下圖1）描述。不難看出這散點圖似乎接近于某條指數曲線。注意到點（0，0）是包含在圖中的，如果我們令x=lnH,y=lnW（這時W=0，H=0必須被排除），關于x，y的散點圖不可以由圖2來描述。 （圖1）（圖2）用最小二乘法得y=2.30x+2.84或lnW=2.30lnH+2.82于是W=16.78H2.3 二、三次樣條插值法樣條插值方法起始于60年代初，當時是由航空、造船工程設計的需要，這種方法既保留了分段低次插值的各種優(yōu)點，又提高了插值函數的光滑性，所以有廣泛的應用。三次樣條插值法的插

47、值函數是分段三次多項式，且曲線的函數值、一階導數、二階導數都是連續(xù)的，而三階導數是間斷的。定義對于給定的函數表xx0，x1，···，xnf(x)y0，y1，···，yn這里a= x0<x1<···<xn=b。若函數s(x)滿足：（1）s(x)在每個子區(qū)間xi-1，xi（I=1，2，···，n）上都是不高于三次的多項式；（2）s(x)，s(x)，s(x)在區(qū)間a，b都連續(xù)；（3）s(xi)=yi (i=1,2,···,n)。則稱s

48、(x)為函數f(x)關于節(jié)點x0，x1，···，xn的三次樣條插值函數。要確定這個三次樣條插值函數，還得給出s(x)在各節(jié)點xi處的一階、二階導數的值，分別設為：s(xi)=mi，s(xi)=Mi，(i=1,2,···,n)。(1.3)由于s(x)是分片三次多項式，在每個小區(qū)間xi-1，xi上，S(x)的二階導數都是線性函數，記hi= xi-xi-1，表示區(qū)間長度，于是：(1.4）將（1.4）式積分一次，得：（1.5）再將（1.5）式積分一次，得：（1.6）用，代入（1.6）式有：（1.7）而由（1.5）式得(1.8)注意到就有下述n

49、-1個s（x）的M連續(xù)性方程成立：（1.9）其中：(1.10)由于（1.9）式有n+1個未知數，僅n-1個方程，為了求出插值三次樣條函數s(x)還差兩個條件，一般的做法是按具體問題的要求在區(qū)間的端點給出約束條件，稱為邊界條件，邊界條件很多，較基本而又常見的有：（1）給出端點處的一階導數值：s(x0)=y0，s(xn)=yn(1.11)（2）給出端點處的二階導數值：s(x0)=y0，s(xn)=yn(1.12)作為特例，s(x0)=s(xn)=0稱為自然邊界條件，這時的s(x)就稱為自然樣條插值函數。（3）若y=f(x)是以b-a為周期的函數時，則s(x)，s(x)，s(x)都是以b-a為周期的

50、函數，即：，這里要確定的是，邊界條件就應用上述（1）的形式給出，由M連續(xù)性方程和（1.5）式，在邊界上有關系式：（1.13）把的表示代入并整理得：（1.14），則由M連續(xù)性方程(1.9)和（1.14），可得關于Mi的方程組：（1.15）例7 給定函數表X0145F(x)0-2-8-4求滿足邊界條件的三次樣條函數s(x)，并分別計算s(x)在x=0.5，3，4.5處的值。解：這是在第一邊界條件（已知兩端點的斜率）下插值問題，求解步驟如下：（1）先根據給定的函數表，邊界條件以及（1.10）求出的值。注意到h1=1-0=1，h2=4-1=3，h3=5-4=1,就可通過（1.10）算出和d0=-27,

51、 d1=0, d2=9, d3=9/2。（2）將數據代入（1.15）,即得確定Mi（i=0，1，2，3）的線性方程組，解些方程組得：（3）將Mi入s(x)的表達式（1.6）可得：，利用此表達式可得：s(0.5)=s1(0.5)=-0.15625，s(3)=s2(3)=-8.5，s(4.5)=s3(4.5)=-6.28125第五講隨機性模型與模擬方法一、隨機變量隨機變量是一個其值不可預測的變量。雖然一個隨機變量在個別實驗中其結果是不確定的，但在大量重復試驗中其結果是具有統(tǒng)計規(guī)律性的，正是隨機變量的這種規(guī)律性使我們可以利用它來建模例8利用下列數據，給出一個模型。時間t（秒）0123456789變量

52、X1022120102X是一個離散的隨機變量并取值于0，1，2，我們不可能給出X與t的關系式，但是可以通過數X的不同值出現次數來描述這隨機型的規(guī)律列表如下：X012頻數334頻率0.30.30.4這個表給出了隨機變量X的變化規(guī)律，頻率告訴某個特定的事件發(fā)生的頻繁程度，如果我們需要構造一個包含這個隨機變量的模型，可以假設這個規(guī)律總是成立的，模型的假設可以基于這幾數據之上。實際操作時可以把頻率分布當做概率函數來處理，但應注意概率是頻率的極限值，這兩者是有差異的。在處理一個簡單的理論模型是運載概率函數必須作出合適的選擇。在上述問題中的隨機變量取三個值是等可能，這樣其概率函數為：X012P（x）1/3

53、1/3這個例子說明在處理隨機變量模型時有以下兩種選擇：（1）使用一個理論模型。這在任何一本概率統(tǒng)計的書上都可以找到一些標準的理論模型如二項分布等。每一個都基于一定的假設之下成立的，所不在選用時要特別注意其假設條件。（2）使用基于實際數據的頻率表，并不去套用標準的理論模型。使用前者的好處在于能精確地敘述變量的概率，在處理問題時可以充分發(fā)揮數理統(tǒng)計的作用。但這一好處把所求模式制約在了處理簡單情形。隨著復雜性的增加，數學就變得太難。使用后者的好處在于模型基于觀測到的數據而不是基于假設之上。增加復雜性并不成為一大障礙，但我們不再能利用數理統(tǒng)計而得求助模擬以及模型的統(tǒng)計結果。在建立隨機性模型時，首先要注

54、意，將要處理的是離散的還是連續(xù)的隨機變量。1離散型隨機變量離散隨機變量的理論模型是由概率函數p(x)=P(X=x)來刻劃的。這個式子說明隨機變量X取值x時的概率。對于離散型的隨機變量下面的三種分布是重要的。（1）（01）分布設隨機變量X只可能取0與1兩個值，它的分布規(guī)律是P X =k=pk (1-p)1-k , k=0, 1(0<p<1)，則稱X服從（01）分布。對于一個隨機試驗，如果它的樣本空間只包含兩個元素，即S=e1，e2，我們總能在S上定義一個服從（01）分布的隨機變量來描述這個隨機試驗的結果。如對新生兒的性別進行登記，檢查產品的質量是否合格等都可以用（01）分布的隨機變量

55、來描述。（2）二項分布設試驗E只有兩個可能的結果，將E獨立地重復進行n次，則稱這一串重復的獨立試驗為n重貝努利試驗。它是一種很重要的數學模型，有著廣泛的應用。若用X表示n重貝努利試驗中事件A發(fā)生的次數，X是一個隨機變量，它服從如下的二項分布：，特別地當n=1時二項分布就是（01）分布。（3）泊松分布設隨機變量X所有可能的取值為0、1、2、···，而取各個值的概率為，其中>0是常數，則稱X服從參數的泊松分布?？梢宰C明當p很小時，以n、p為參數的二項分布，當n時趨于以為參數的泊松分布，其中=np。2連續(xù)的隨機變量理論模型的連續(xù)隨機變量可以由概率密度函數（pdf）

56、f（x）來描述，對所有的x存在f（x）0，且。隨機變量落在區(qū)間的概率可由來給出。在連續(xù)型隨機變量中下述兩種是重要的。（1）均勻分布設連續(xù)型隨機變量X具有概率密度，則稱X在區(qū)間（a，b）上服從均勻分布。在區(qū)間（a，b）上服從均勻分布的隨機變量X，具有下述意義的等可能性，即它落在區(qū)間(a，b)中任意等度的子區(qū)間內的可能性是相同的，或者說它落在子區(qū)間的概率只依賴于區(qū)間的長度而與子區(qū)間的位置無關。（2）正態(tài)分布設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為：，其中為常數，則稱X服從參數為的正態(tài)分布。連續(xù)型隨機變量的值如同離散的一樣可以用頻率表給出，但不同的是離散的隨機變量每個頻率對應于隨機變量的一個值，而對于連續(xù)的隨機變量每一個頻率對應于隨機變量的一個取值范圍。二、蒙特卡羅方法蒙特卡羅方法是計算機模擬的基礎，其名字來源于世界著名的賭城摩納哥的蒙特卡羅。其思想來源于著名的蒲豐投針問題。1777年法國科學家浦豐提出了下述著名問題：平面上畫有等距離a(a>0)的一些平行線，取一根