數(shù)學(xué)建模的基本技能與方法

1、數(shù)學(xué)建模講義之一第一講數(shù)學(xué)建模及大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽近幾十年來，隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，特別是電子計(jì)算機(jī)的誕生和不斷完善，數(shù)學(xué)的應(yīng)用已不再局限于物理學(xué)等傳統(tǒng)領(lǐng)域，生態(tài)學(xué)、環(huán)境科學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、信息科學(xué)、社會科學(xué)及一些交叉學(xué)科都提出大量有待解決的實(shí)際研究課題。要用定量分析的方法解決這些實(shí)際問題，十分關(guān)鍵而又十分困難的一步就是要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型的過程需要把錯綜復(fù)雜的實(shí)際問題抽象為簡單合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，要做到這一點(diǎn)，既需要豐富的想象力，又需要去尋找較合適的數(shù)學(xué)工具，從某種意義上講，它是能力與知識的綜合運(yùn)用。一、什么是數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling）簡單地說就是

2、建立數(shù)學(xué)模型的過程。可以說數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是“對現(xiàn)實(shí)的現(xiàn)象通過心智活動構(gòu)造出能抓住其重要且有用的特征表示，常常是形象化的或符號的表示?！睆目茖W(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)、管理等角度看數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻劃并“解決”實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。顧名思義，modeling一詞在英文中有“塑造藝術(shù)”的意思，從而可以理解從不同的側(cè)面、角度去考察問題就會有不盡相同的數(shù)學(xué)模型，從而數(shù)學(xué)建模的創(chuàng)造又帶有一定的藝術(shù)的特點(diǎn)。而數(shù)學(xué)建模最重要的特點(diǎn)是要接受實(shí)踐的檢驗(yàn)、多次修改模型漸趨完善的過程，這可以用如下框圖來表示：實(shí)際問題抽象、簡化、假設(shè)確定變量、參數(shù)建立數(shù)學(xué)模型并數(shù)

3、學(xué)、數(shù)值地求解、確定參數(shù)用實(shí)際問題的實(shí)測數(shù)據(jù)等來檢驗(yàn)該數(shù)學(xué)模型 若不符合實(shí)際交付使用，從而產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)、社會效益 若符合實(shí)際下面再以流行病學(xué)中的一個例子（像流感、艾滋病等傳染病的傳播規(guī)律）為例作一個簡單說明。設(shè)發(fā)生傳染病地區(qū)的總?cè)丝贜不變，用x(t)表示患病人數(shù)所占的百分比（因而總?cè)丝谒及俜直葹?）。（1）俗話說“一傳十，十傳百”就是一種簡化，設(shè)感染率為h，則數(shù)學(xué)模型為：由此可解得這時易見，顯然是不符合實(shí)際的。（2）實(shí)際情況應(yīng)是未得病者會感染得病，設(shè)感染率為h，而得病者中由于治療，一部分人會康復(fù)，設(shè)康復(fù)率為r，則得數(shù)學(xué)模型為：解此方程將初始條件代入上式可求得：，所方程的解為：有，至少定性地看來要

4、合理得多，但用這樣的模型于實(shí)際情形就會發(fā)現(xiàn)仍有許多不符合實(shí)際的地方。（3）實(shí)際上應(yīng)把人們分成已感染者，未感染者，已恢復(fù)者（包括已死亡者），而，于是可建立所謂的SIR模型：及相應(yīng)的初始條件。這時人們會發(fā)現(xiàn)不容易求到顯式解了，而數(shù)學(xué)分析在一定階段是重要的。由此可見數(shù)學(xué)建模的這種迭代的性質(zhì)正反映了人們運(yùn)用這種方法逐步逼近、真正認(rèn)識、掌握實(shí)際問題的過程，從而達(dá)到預(yù)測、預(yù)報(bào)或指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)以至指導(dǎo)生產(chǎn)的目的。二、數(shù)學(xué)建模的起源和發(fā)展數(shù)學(xué)建模并不是新東西（盡管過去很長時間這一術(shù)語用得很少），可以說有了數(shù)學(xué)并要用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際問題就一定要用數(shù)學(xué)的語言、方法去近似地刻劃實(shí)際問題，而這種刻劃的數(shù)學(xué)表述就是一個數(shù)學(xué)模型

5、，其過程就數(shù)學(xué)建模過程。因而可以說有了數(shù)學(xué)并用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際問題，就有了數(shù)學(xué)建模，而歐幾里得創(chuàng)立的歐氏幾何，牛頓、萊布尼茲發(fā)明的微積分都是很能好的數(shù)學(xué)模型。問題是當(dāng)一個數(shù)學(xué)模型表達(dá)出來后，就要用一定的技術(shù)手段（例如推理證明、計(jì)算等）求解該數(shù)學(xué)問題并用實(shí)際驗(yàn)證，若需要就要修改數(shù)學(xué)模型并重復(fù)上述過程。如果中間有一步完不成，整個數(shù)學(xué)建模過程就很難完成。而大量的計(jì)算又往往是建模過程中必不可少的，過去在高性能電子計(jì)算機(jī)尚未產(chǎn)生之前，正是由于缺乏這一技術(shù)手段而一定程度上限制了建模這一強(qiáng)有力方法的應(yīng)用和發(fā)展。當(dāng)然，由于實(shí)際應(yīng)用的需要，數(shù)學(xué)建模的活動從未停止過。而電子計(jì)算機(jī)（特別是80年代超級電子計(jì)算機(jī)）的出

6、現(xiàn)使數(shù)學(xué)建模這一方法如虎添翼似地得到了飛速發(fā)展，掀起了一個高潮。在前面我們已經(jīng)暢述了數(shù)學(xué)建模是一個需要多次反復(fù)的過程，由此可見數(shù)學(xué)建模的這種迭代的性質(zhì)正反映了人們運(yùn)用這種方法逐步逼近、真正認(rèn)識、掌握實(shí)際問題的過程，從而達(dá)到預(yù)測、預(yù)報(bào)或指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)以至指導(dǎo)生產(chǎn)的目的。這里需要指出的是參數(shù)的確定常常是關(guān)鍵的一步。正是由于上述這種特點(diǎn)，有人指出“今天，在技術(shù)（科學(xué)）中最有用的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域是數(shù)值分析和數(shù)學(xué)建模?！痹谀撤N意義下數(shù)學(xué)建模已經(jīng)發(fā)展成一個相對獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支，而且不斷向應(yīng)用數(shù)學(xué)和純粹數(shù)學(xué)提供大量的挑戰(zhàn)性問題，從而推進(jìn)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展。特別要提到的是近年來正在迅速發(fā)展的工業(yè)數(shù)學(xué)（industrial

7、mathematics）中（工業(yè)數(shù)學(xué)首先是數(shù)學(xué)，但也不是一類新的數(shù)學(xué)，簡言之，它關(guān)心的問題是怎樣在非數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中應(yīng)用現(xiàn)有的或發(fā)展新的數(shù)學(xué)方法來解決實(shí)際問題以求得更高的經(jīng)濟(jì)、社會效益），數(shù)學(xué)建模是關(guān)鍵的一步。正是由于數(shù)學(xué)建模的重要性，為了推動數(shù)學(xué)建模的研究、學(xué)術(shù)交流，從80年代起就有眾多的學(xué)術(shù)活動、國際會議以及國際性和地區(qū)性的數(shù)學(xué)建模雜志。主要的數(shù)學(xué)建模期刊有：“數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)建模國際性期刊”（Mathematical and Computer ModelingAn International Journal縮寫為Math Comput. Modeling），為國際性數(shù)學(xué)建模雜志。應(yīng)用數(shù)學(xué)建模（A

8、pplied Mathematical Modeling縮寫為Appl.Math.Modeling或AMMODL），也是一種國際性數(shù)學(xué)建模雜志。高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，名譽(yù)主編蘇步青，主編董光昌，1986年創(chuàng)刊，這是國內(nèi)一個綜合性應(yīng)用數(shù)學(xué)刊物。“數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識”（中國數(shù)學(xué)會主辦，主編林群），每期都刊登一些數(shù)學(xué)建模或應(yīng)用文章，也刊登我國大學(xué)生參加國內(nèi)外數(shù)學(xué)建模競賽的優(yōu)秀論文。數(shù)學(xué)建模及其教學(xué)國際會議有：數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)建模國際會議（International Conference on Mathematical and Computer縮寫為ICMM），每隔兩年召開一次。數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用的教學(xué)國際會議（I

9、nternational Conference on the Teaching of Mathematical Modeling and Applications縮寫為ICTMA），每兩年召開一次。三、數(shù)學(xué)建模的教學(xué)與數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)眾所周知人才培養(yǎng)是關(guān)鍵，數(shù)學(xué)模型方法已成為科學(xué)技術(shù)中常用的非常重要的方法，它是數(shù)學(xué)和其他科學(xué)技術(shù)之間的媒介和橋梁。同時數(shù)學(xué)建模的研究有了長足的進(jìn)步，又有得心應(yīng)手、強(qiáng)有力的計(jì)算機(jī)作為工具，因而必然會有人考慮到數(shù)學(xué)教育中一個不可缺少的內(nèi)容應(yīng)該是數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)的應(yīng)用的內(nèi)容。數(shù)學(xué)建模教學(xué)要求對學(xué)生以下幾個方面的能力進(jìn)行培養(yǎng)：1培養(yǎng)“翻譯”的能力，即把經(jīng)過一定抽象、簡化的實(shí)際

10、問題用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來形成數(shù)學(xué)模型（即數(shù)學(xué)建模過程），對應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行推演或計(jì)算得到的結(jié)果，能用“常人”能懂的語言“翻譯”（表達(dá)）出來。2應(yīng)用已學(xué)到的數(shù)學(xué)方法和思想進(jìn)行綜合應(yīng)用和分析，并能學(xué)習(xí)一此新的數(shù)學(xué)知識，并能理解合理的抽象和簡化，特別是進(jìn)行數(shù)學(xué)分析的重要性。因?yàn)閿?shù)學(xué)建模中數(shù)學(xué)終究是我們主要的武器，要在數(shù)學(xué)建模過程中靈活應(yīng)用、發(fā)展使用這個武器的能力。3發(fā)展聯(lián)想能力。因?yàn)閷τ诓簧偻耆煌膶?shí)際問題，在一定的簡化層次下，它們的數(shù)學(xué)模型是相同的或相似的，這正是數(shù)學(xué)的應(yīng)用廣泛性的表現(xiàn)。這就要培養(yǎng)學(xué)生有廣泛的興趣，多思考，勤奮踏實(shí)工作，通過熟能生巧而逐步達(dá)到觸類旁通的境界。4逐漸發(fā)展形成一種洞察

11、力。通俗地說就是一眼就能抓?。ɑ虿糠肿プ。┮c(diǎn)的能力。因?yàn)檎嬲膶?shí)際問題的數(shù)學(xué)建模過程的參與者（特別是一開始）往往不是很懂?dāng)?shù)學(xué)的人，他們提出的問題更不是數(shù)學(xué)化的，往往是在和你交談過程中由你“提問”、“換一種方式表達(dá)”或“啟示”等等方式（這里往往表現(xiàn)出你的洞察力）使問題逐漸明確的。5熟練使用技術(shù)手段，在目前主要是計(jì)算機(jī)及相應(yīng)的各種數(shù)學(xué)軟件包，這將幫助你節(jié)省時間，在一定階段能得到直觀形象的結(jié)果，有利于與用戶深入討論。數(shù)學(xué)建模的教育，有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)素質(zhì)。數(shù)學(xué)素質(zhì)是一種理性的思維模式，它包括歸納、演繹、數(shù)學(xué)建模等方法及人的自由創(chuàng)造本能。大學(xué)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理論、思想、方法，不僅是為了培養(yǎng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)思想

12、和方法去分析處理實(shí)際問題的能力，而且要藉此培養(yǎng)起科學(xué)的理性思維模式，這正是數(shù)學(xué)素質(zhì)的教育所蘊(yùn)含的。因此，大學(xué)數(shù)學(xué)的教育要特別重視培養(yǎng)學(xué)生的現(xiàn)代數(shù)學(xué)意識，諸如數(shù)學(xué)思想及觀念、數(shù)學(xué)方法（建模方法、計(jì)算方法、數(shù)學(xué)軟件的使用方法）。數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)和提高是多方面的，而其中數(shù)學(xué)建模的教育，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)素質(zhì)不可缺少的環(huán)節(jié)。四、大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽我國在高校中開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程始于1982年，但當(dāng)時只有少數(shù)重點(diǎn)院校作為選修課程來開設(shè)，可以說是自發(fā)的、民間，因而數(shù)學(xué)建模課程并未受到人們的重視。數(shù)學(xué)建模課程真正被許多高校融入主干課程，被國家教委、國家教育部重視，卻是得益于大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽。可以說數(shù)學(xué)建模競賽是目前我國

13、設(shè)立的最成功的一項(xiàng)競賽，它促進(jìn)了各高校數(shù)學(xué)建模教學(xué)和數(shù)學(xué)建?；顒拥姆瓴l(fā)展。因此我覺得有必要談一談大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽。·美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（Mathematical Contest in Modeling,簡稱MCM）是1985年開始舉辦的通訊比賽，每年一屆，一般在2月份的一個周末（周五至周日）舉行。競賽的組織者是美國數(shù)學(xué)及其應(yīng)用聯(lián)合會（Consortium for Mathematics and Its Applications,簡稱COMAP）,并得到一些單位的協(xié)助。1999年起又同時舉辦美國大學(xué)生交叉學(xué)科建模競賽（Interdisciplinary C

14、ontest in Modeling,簡稱ICM）。·MCM的宗旨、規(guī)則和獎勵MCM的宗旨是鼓勵大學(xué)師生對范圍不固定的各種實(shí)際問題予以闡明、分析并提出解法，通過這樣一種結(jié)構(gòu)鼓勵師生積極參與并強(qiáng)調(diào)實(shí)現(xiàn)完整的模型構(gòu)造的過程。每個參賽隊(duì)（3人）有一名指導(dǎo)教師，他們在比賽開始前負(fù)責(zé)對隊(duì)員的訓(xùn)練和戰(zhàn)術(shù)指導(dǎo)；并接受考題，然后即由學(xué)生自行參賽，指導(dǎo)教師不得參賽。比賽于每年二月或三月的某個周末（大約三天時間進(jìn)行）。每次只有兩個考題（一般是連續(xù)和離散各一題），每隊(duì)只需任選一題。考題是由在工業(yè)和政府部門工作的數(shù)學(xué)家提出建議由命題組選擇的沒有固定范圍的實(shí)際問題。在三天的持續(xù)時間內(nèi)參賽隊(duì)要以有清楚定義的格式

15、寫出解法論文（包括問題的適當(dāng)闡明與重新敘述；假定和假設(shè)的清楚說明；對為什么要用所述模型的分析；模型的設(shè)計(jì)；怎樣測試模型的討論；模型優(yōu)缺點(diǎn)的討論，包括誤差的討論；放在論文最前面的不超過一頁的論文提要等）。參賽者可以使用包括計(jì)算機(jī)、軟件包，教科書，雜志和手冊之類的外部資源，因而在某種意義下也是考核使用外部資源的能力。MCM既沒有通過、失敗這種記分，也不采用數(shù)值記分。評閱人主要感興趣的是論文的方法、論述的清晰性。評選一些論文為表揚(yáng)獎，有價值的論文和優(yōu)秀論文、部分最佳論文將發(fā)表在專業(yè)性的數(shù)學(xué)雜志上，以此作為獎勵。我國大學(xué)生于1989年開始參加美國MCM，當(dāng)時只有北京大學(xué)、清華大學(xué)和北京理工大學(xué)共4個隊(duì)

16、參加，到1992年已有國內(nèi)12所大學(xué)24個隊(duì)參賽，并且都取得了較好的成績。在這背景下，我國不少高校教師也萌發(fā)了組織我國自己大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的想法，由中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會（CSIAM）舉辦的“1992年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽”（簡稱CMCM），全國有74所大學(xué)的314個隊(duì)參加，不僅得到各級領(lǐng)導(dǎo)的關(guān)心，還得到企業(yè)界的支持，特別是宣傳部門的廣泛支持。于是CSIAM決定今后每年舉辦一次，并要更多地爭取工業(yè)、企業(yè)界的支持，更好地依靠學(xué)術(shù)界、工業(yè)界的科學(xué)家、工程師提供好的競賽題。到今年，我國已舉辦了十屆數(shù)學(xué)建模競賽，參賽的學(xué)校發(fā)展到有幾百所高校，三千多隊(duì)，從1999年開始又單獨(dú)設(shè)立了大專組競賽題，大專

17、學(xué)校單評獎?，F(xiàn)在我國的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽搞得紅紅火火，相應(yīng)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)和數(shù)學(xué)建?；顒右蔡岣吡艘粋€新水平。數(shù)學(xué)建模的教學(xué)作為一項(xiàng)重要的教改，也取得很大的成功。大家也達(dá)成了共識，通過大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，不僅僅是為了獲獎，同時也使我們的參賽選手得到了鍛煉，使他們的各方面能力都得到培養(yǎng)（邏輯思維能力、創(chuàng)新能力、一絲不茍，嚴(yán)肅認(rèn)真精神、精益求精精神、拼搏精神、團(tuán)隊(duì)精神、估計(jì)、猜測方法），教師的教學(xué)科研水平也得到了提高。第二講數(shù)學(xué)建模的基本技能一、數(shù)學(xué)建模過程是一個多次循環(huán)過程由上一講給出的建模流程圖可以看出，數(shù)學(xué)建模過程是一個多次反復(fù)的過程，一般來說，要反復(fù)經(jīng)歷以下幾個階段：·澄清問題：現(xiàn)實(shí)

18、問題往往是復(fù)雜而零亂的，所以有必要認(rèn)真審題。澄清什么是已知的，什么是要求的，是確定型的還是隨機(jī)型的問題等等。根據(jù)建模的對象和目的充分發(fā)掘解題的信息，如事實(shí)、數(shù)據(jù)等。在做這下步時，還要對問題進(jìn)行抽象和簡化，而且這一工作往往不是一次能夠完成的，有時需要反復(fù)多次。·形成數(shù)學(xué)模型：首先是尋找最簡單的模型，比如用圖形說明?？筛鶕?jù)建模對象、目的具體地找出所有的相關(guān)因素，抓住主要的方面進(jìn)行定量研究，即參考因素間的關(guān)系，提取主要因素。確定出諸因素中哪些是變量，哪些是參量，哪些是常量，并采用適當(dāng)?shù)姆?、單位來?biāo)識，如有可能或必要可收集盡可能多的數(shù)據(jù)。然后考察各信息因素的性態(tài)，以及它們之間的關(guān)系，使用數(shù)

19、學(xué)技能或應(yīng)用某種“規(guī)律”建立變量、參量間的明確的數(shù)學(xué)關(guān)系。還可根據(jù)問題的要求對模型進(jìn)行必要的修改。·模型的求解：選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解?？梢杂么鷶?shù)方法、數(shù)值方法和分析、圖論方法等。如有可能，可以使用各種軟件包。值得注意的是許多數(shù)學(xué)模型往往是很復(fù)雜、很難的，有時往往要根據(jù)實(shí)際情況對模型作簡化，使得解析或數(shù)值求解成為可能。·解釋數(shù)學(xué)解：考察所得的數(shù)學(xué)解，是否具有應(yīng)有的性質(zhì)。同時把數(shù)學(xué)的表述解釋或翻譯成與實(shí)際問題相適應(yīng)的通俗易懂的語言。·模型的檢驗(yàn)與評價：建模是否正確還必須驗(yàn)證。常常是用實(shí)驗(yàn)或問題提供的信息記錄來進(jìn)行檢驗(yàn)；檢驗(yàn)解對參數(shù)、初始數(shù)據(jù)的敏感程度；檢

20、驗(yàn)?zāi)愕念A(yù)測是否已經(jīng)達(dá)到精度的要求，是否已經(jīng)達(dá)到預(yù)期的目的等。如果還想要更精確地刻劃出問題的解，是否要改進(jìn)你的模型，如果是，則返回到1；否則進(jìn)入6。一個成功的模型往往是一個多次循環(huán)過程。·建模報(bào)告：建模報(bào)告一般分為準(zhǔn)備、主要部分和附錄三個部分。需要說明的是，若對模型進(jìn)行了簡化，實(shí)質(zhì)上是改變了原問題，簡化后的模型只能說是原問題的一種近似，怎樣才能做到正確的近似不僅需要很強(qiáng)的分析問題的能力，而且還需要有很強(qiáng)的洞察力；任何一個模型都能定義為現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的某些方面的簡化表示，一個數(shù)學(xué)模型就是用數(shù)學(xué)概念、函數(shù)、方程等建立起來的模型。二、建模的基本技能1 列出相關(guān)因素、作出合理假設(shè)數(shù)學(xué)建模往往來源于實(shí)

21、際問題，面對一個實(shí)際問題如何下手是最困難的事，特別是對初學(xué)者更是如此。數(shù)學(xué)建模的一個基本原則就是認(rèn)真分析所給的問題，找出相關(guān)的因素。這里的因素可以是定量的，即可以由數(shù)量來描述，也可以是定性的，如有可能還可以找出各因素間的一些簡單關(guān)系式。定量的因素可以分為變量、參量、常量。參量是這樣的一些量，它對于一個特定的問題可以認(rèn)為是常量，但對不同的問題這個常量也就不同。變量可分離散的與連續(xù)的，也可以分確定的與隨機(jī)的。在一個實(shí)際問題中，往往會有很多因素與之有關(guān)，所以在收集好這些相關(guān)因素之后，先考慮一些主要的因素，丟棄一些與問題關(guān)系不太大的次要因素，并且區(qū)分出哪些因素是輸入變量（自變量）可以影響模型，但其性狀

22、不是該模型所要研究的那些因素，哪些是輸出變量（因變量）其性狀是這個模型打算研究的那些因素，并給出適當(dāng)?shù)姆柵c單位。要做到這一點(diǎn)有時是很困難的，這不僅有賴于對問題的深刻認(rèn)識而且還有賴于建模的經(jīng)驗(yàn)，對于有些因素雖然并非認(rèn)為是無足輕重的，但還是把它略掉了，原因在于建模者不能處理它們，只能寄希望于略去之后不會使結(jié)果有太大的影響。為使建模得以進(jìn)行，我們必須作一些合理的假設(shè)。假設(shè)的目的在于對給出變量的取舍，即選出主要因素，忽略次要因素，使問題簡化以便進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，又抓住問題的本質(zhì)。一個模型是否成功很大程度上依賴于假設(shè)的合理性，這當(dāng)然主要取決于建模工作者的經(jīng)驗(yàn)。一般說來，假設(shè)可以分為兩類：一類是為簡化問題的

23、需要而作的；而另一類是為了沿用某種數(shù)學(xué)方法之需要而作的。這是由于數(shù)學(xué)建模本身所決定的。數(shù)學(xué)建模就是采用或建立某種數(shù)學(xué)方法來解決具體問題，而每種理論的應(yīng)用都必需滿足一定的條件，因此能否應(yīng)用所需的數(shù)學(xué)方法的關(guān)鍵在于所研究的對象是否大體滿足相應(yīng)的條件。在初次建模時，要選擇假設(shè)使模型盡可能簡單，把所有的假設(shè)清楚地寫下來，使得你自己知道，而且也能使別人確切地知道是在怎樣的假設(shè)下完成模型的。不同的假設(shè)就可能得到不同的模型，所以描述一種情況的最佳模型通常不止一個。在一個模型中不可能同時使普遍性、現(xiàn)實(shí)性、精確性都很佳。所以在建模時可根據(jù)不同情況作出合理取舍。一旦建好了第一個模型，就要著手考慮問題中的其它因素的

24、影響，對模型進(jìn)行修正，一個良好的模型不但要刻劃出問題的本質(zhì)，而且還要使得模型不至于太復(fù)雜而導(dǎo)致實(shí)際上無法求解，這就要看你能否處理好簡單與復(fù)雜、精確與普適之間的矛盾。特別需要指出的是：在作假設(shè)時千萬不要圖處理問題的方便而忽視了與所給問題的相符性，其實(shí)與所給問題的相符性才是最重要的假設(shè)準(zhǔn)則。例1最優(yōu)捕魚策略為了保持人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源（如漁業(yè)、林業(yè)資源）的開發(fā)必須適度。一種合理、簡化的策略是，在實(shí)際可持續(xù)捕獲的前提下，追求最大產(chǎn)量或最佳效益。考慮對某種魚的最優(yōu)捕撈策略：假設(shè)這種魚分4個年齡組，稱1齡組魚，······，4齡組

25、魚。各年齡組每條魚的平均重量分別為5.07，11.55，17.86，22.9（克）；各年齡組魚的自然死亡均為0.8（1/年）；這種魚為季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖，平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為1.109 ×105（個），3齡魚的產(chǎn)卵量為這個數(shù)的一半，2齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵，產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4個月；卵孵化并成活為1齡魚，成活率（1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總量n之比）為1.22 ×1011/（1.22 ×1011+n ）。漁業(yè)管理部門規(guī)定，每年只允許在產(chǎn)卵孵化期前的8個月內(nèi)進(jìn)行捕撈作業(yè)。如果每年投入的捕撈能力（如漁船數(shù)、下網(wǎng)次數(shù)等）固定不變，這時單位時間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正比

26、，比例系數(shù)不妨稱捕撈強(qiáng)度系數(shù)。通常使用13mm網(wǎng)眼的拉網(wǎng)，這種網(wǎng)只能捕撈3齡魚和4齡魚，其兩個捕撈強(qiáng)度系數(shù)之比為0.4：1。漁業(yè)上稱這種方式為固定努力量捕撈。要建該問題的數(shù)學(xué)模型，必須澄清兩個問題：一是如何實(shí)現(xiàn)可持續(xù)捕獲（即每年開始捕撈時漁場中各年齡魚群條數(shù)不變），并且在此前提下得到最高的年收獲量（捕撈總重量）；二是該漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈業(yè)務(wù)5年，合同要求5年后魚群的生產(chǎn)能力不能受到太大的破壞。已知承包時各年齡組魚群的數(shù)量分別為122、29.7、10.1、3.29（×109條），如果仍用固定努力量的捕撈方式，該公司應(yīng)采取怎樣的策略才能使收獲最高。分析題意不難看出與問題相關(guān)的因素有

27、漁池的環(huán)境、魚的生長、繁殖、死亡等情況，以及捕撈方式、強(qiáng)度等。為了使問題簡化，可以作如下的假設(shè)：（1）只考慮這一種魚的繁殖和捕撈，魚群增長過程中不考慮魚的遷入與遷出。（2）各年齡組的魚在一年內(nèi)的任何時間都會發(fā)生自然死亡。（3）所有的魚都在每年最后的四個月內(nèi)（后1/3年）完成產(chǎn)卵和孵化的過程。卵化成活的幼魚在下一年初成一齡魚進(jìn)入一齡魚組。（4）產(chǎn)卵發(fā)生于后四個月之初，產(chǎn)卵期魚的自然死亡發(fā)生于產(chǎn)卵之后。（5）相鄰兩個年齡組的魚群在相鄰兩年之間的變化是連續(xù)的，即：第k年底第i年齡組的魚的條數(shù)等于第k+1年初第i+1年齡組魚的條數(shù)。（6）四齡以上的魚全部死亡。（7）采用固定努力量捕撈的速度正比于捕撈時

28、各年齡魚群中魚的條數(shù)，比例系數(shù)為捕撈強(qiáng)度系數(shù)。在以上的假設(shè)下與問題相關(guān)的主要因素可以羅列如下：時間t；t時刻i年齡組的魚群數(shù)量xi(t)；魚的平均死亡率r；i年齡組魚的產(chǎn)卵力fi；i年齡組魚的平均重量wi；i年齡組的捕撈強(qiáng)度系數(shù)qi；產(chǎn)卵時間t=2/3；捕撈努力量E；i年齡組的年捕撈數(shù)量Yi；年捕撈Y等。2數(shù)據(jù)的作用與收集數(shù)據(jù)意指在考察現(xiàn)實(shí)問題中所收集的一些量化材料，是通過測量或觀察得到的，雖然有一定的不確定性、片面性，但它們在某些方面能反映出客觀實(shí)際，在建模中有以下幾個方面的作用：（1）能幫助我們形成建模思想；（2）能確定所建模型中的參數(shù)值，即能辨識參數(shù)；（3）更重要的是能檢驗(yàn)我們的模型。在

29、建模時有些數(shù)據(jù)可以是給出的，也有些數(shù)據(jù)要靠自己去收集的，在數(shù)據(jù)的收集與分析中要注意以下幾個問題：（1）要弄清什么數(shù)據(jù)是你所需的。在動手建模之前要分清哪些數(shù)據(jù)與你的問題是相關(guān)的，哪些是多余的，同時要考慮是否欠缺某些數(shù)據(jù)。（2）收集你所需的數(shù)據(jù)。收集的辦法有兩個：一是向給你問題的人去要，有些可能可以現(xiàn)成的收取到，還有的可以通過實(shí)驗(yàn)等手段獲得；另一方面是通過查資料索取。（3）處理數(shù)據(jù)。如何處理所給資料，如果所給數(shù)據(jù)有一大堆，你就得先把它們處理能上能下你所需要的形式，方法可以通過統(tǒng)計(jì)、平均等。要建好一個模型關(guān)鍵往往還體現(xiàn)在對數(shù)據(jù)的處理上，特別是對一些不規(guī)則數(shù)據(jù)的處理更能體現(xiàn)你的建模能力和創(chuàng)造性思維。3

30、誤差與精度我們的數(shù)據(jù)常常來自經(jīng)驗(yàn)觀察、測量，這就不可避免引起誤差，數(shù)據(jù)的誤差常會引起模型的誤差。誤差的來源大約有以下三個方面：建模假設(shè)、近似方法求解、數(shù)據(jù)。由于有了誤差，模型的預(yù)測并不是精確的，所以有必要去估計(jì)其最大誤差，以控制模型的誤差，提高其精度。誤差的描述方式主要有兩種，即絕對誤差和相對誤差。第三講一些簡單的數(shù)學(xué)描述與建模一、比例關(guān)系在建模過程中常常要把一些語言的表達(dá)翻譯成適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)形式。比如，一個變量與另一個變量有正比關(guān)系（有時記為），與之對應(yīng)的數(shù)學(xué)表示式可為y=kx，其中k為比例常數(shù)。若對某個特定的x可以知道y的話，則能確定出k的值。例1冷卻問題將溫度為T0=150ºC的物

31、體放在溫度為24ºC的空氣中冷卻。經(jīng)10分鐘后，物體的溫度降為T1=100ºC，問t=20分鐘，物體的溫度是多少？解：問題涉及的是種必然的物理現(xiàn)象，這是一個確定性的數(shù)學(xué)模型，由牛頓冷卻定律可知，物體在空氣中的冷卻速度與該物體的溫度和空氣溫度之差成正比。設(shè)物體的溫度T隨著時間t的變化規(guī)律為T=T(t)，則所要建的數(shù)學(xué)模型為，其中k>0為比例常數(shù)，負(fù)號表示溫度是下降的。解此微分方程得解為：由初始條件，于是令t=20，得：T（20）40ºC+24Cº=64ºC二、函數(shù)關(guān)系熟悉一些最常見的函數(shù)，如，以及等的圖像、性態(tài)往往是重要的。在建模過程中，常

32、常會碰到需要構(gòu)造一適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)來刻劃某個特定的事件。例2在盛夏的一天銷售冰淇淋，當(dāng)氣溫最高時需求量最大，要求選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)來這一事件。初看起來似乎很困難，但仔細(xì)分析一下，我們可以假設(shè)在一天中的銷售總量是已知的，如取1000盒，銷售時間可以認(rèn)為是從上午10時到下午的6時。冰淇淋的銷售過程雖然是離散的，但銷售量則可以認(rèn)為是一個連續(xù)的過程。銷售量從10時的零增加到中午的高峰，然后又降到18時的零，如果用I(t)來描述到時刻t的銷售量，其中t用小時來計(jì)，則問題就轉(zhuǎn)化為：選擇怎樣的函數(shù)。如果我們選取I(t)=asinwt，這顯然有些不妥，因?yàn)閷δ承﹖,sinwt將會取負(fù)數(shù)。所以更好的形式應(yīng)取為。注意到銷售

33、的時間以及在兩端的銷售量，最后我們?nèi)∑渲衋是待定的參數(shù)。為此，我們積分下式：得a=250所以所構(gòu)造的函數(shù)的最后形式為，這意味著一天中下午2時是銷售的最高峰。每小時可以銷250盒，即每分鐘4盒。三、幾何模擬方法把一個復(fù)雜析問題抽象成各種意義下的幾何問題加以解決，這種方法就叫幾何模擬法。這種方法的特點(diǎn)是常常在發(fā)現(xiàn)問題解答的同時也就論證了解答的正確性，它是數(shù)學(xué)中的一種重要的思維方法。例3椅子問題在日常生活中經(jīng)常會碰到這樣一個事實(shí)：把椅子往地上一放，通常只有三只腳落地，放不穩(wěn)，但只要稍挪動幾次，就可以四只腳同時落地放穩(wěn)了。這個問題初看與數(shù)學(xué)毫不相干，怎樣才能把它抽象成一個數(shù)學(xué)問題，并且將它證實(shí)？我們可

34、借助幾何?？紤]椅子的俯視圖，其中A、B、C、D代表4條腿。今取O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB分另為x，y軸的直角坐標(biāo)系， B并設(shè)椅子繞原點(diǎn)O（中心）逆時針轉(zhuǎn)動時，OA與軸（初始位置） B的夾角為 。在這里我們已經(jīng)假設(shè)了椅子的四角聯(lián)線呈正方形， A椅腳與地面的接觸可視為一點(diǎn)。為合理地解決這個問題，我們 A還假設(shè)椅子的四條腿一樣長。地面的高度是連續(xù)變化的，沿任 C何方向都不會出現(xiàn)間斷。對椅子腳的的間距和椅腿的長度而言，地面是相對平坦的。使椅子在任何位置到少有三只腳同時落地。 C D稍加分析我們就會想到是否可以用椅腳與地面的距離來描述椅子著地情況，注意到這距離是由位置唯一確定，而正方形是中心對稱的，這樣椅

35、子的位置可用繞中心旋轉(zhuǎn)角來唯一確定，所距離是的函數(shù)?？梢巫佑兴闹荒_，因而有四個距離，但又因正方形的中心對稱性，所只要設(shè)兩個距離函數(shù)就行了。記A、C兩腳與地面的距離之和為f()，B、D兩腳與地面距離之和為g()。顯然f()0，g()0。由假設(shè)f和g都是連續(xù)函數(shù)，且對任意的，f()g()=0。=0時，不妨設(shè)g(0)=0，f(0)>0。這樣，這個椅子問題就歸結(jié)為證明如下的數(shù)學(xué)問題：已知f和g是的連續(xù)函數(shù)，對任意的、f()g()=0，且g(0)=0，f(0)>0。則存在0，使f(0)=g(0)=0。將椅子旋轉(zhuǎn)90，對角線AC與BD互換。由g(0)=0和f(0)>0可知g(/2)>

36、;0和f(/2)=0。令h()=f()-g()，則h(0)>0和h(/2)<0。由f和g連續(xù)性知h也是連續(xù)函數(shù)。根據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)，必存在0（0<0</2）使h(0)=0，即f(0)-g(0)=0。最后，因?yàn)閒()g()=0，所以f(0)=g(0)=0。結(jié)論：當(dāng)?shù)孛孢B續(xù)時，只要把椅子繞中心逆時針轉(zhuǎn)動0角，椅子的四條腿就同時落地了。例4狗、雞、白菜過河問題一個人要把所帶的一只狗、一只雞和一顆白菜過河，而船除人外，每次只能帶一樣?xùn)|西，問該如何運(yùn)它們，才能使雞吃不掉菜，而狗吃不掉雞。從數(shù)學(xué)上考慮安全渡河問題，它是一個多步?jīng)Q策過程。每一步，即船由此岸駛向彼岸或從彼岸駛回，都

37、要對船上的東西作出決策，在保證安全的前提下，在有限步內(nèi)使所運(yùn)物全部過河。為此，我們把人、狗、雞和白菜依次用一個四維向量表示，當(dāng)一物在此岸時，記相應(yīng)的分量為1，否則記為0，如（1，0，1，0）表示人和雞都在此岸，并稱為一個狀態(tài)。由題意（1，0，1，0）是一個允許狀態(tài)，而（0，0，1，1）是一個不允許狀態(tài)。若用S來記所有允許狀態(tài)的集合，這個集合共有10個狀態(tài)，它們是：（1，1，1，1）（0，0，0，0）（1，1，1，0）（0，0，0，1）（1，1，0，1）（0，0，1，0）（1，0，1，1）（0，1，0，0）（1，0，0，1）（0，1，0，1）如果把每次運(yùn)載情況也用一個四維向量來表示，如用（1，1

38、，0，0）表示人和狗在船上，而雞和白菜不在船上，這樣的允許運(yùn)載狀態(tài)D有4個：（1，1，0，0）、（1，0，1，0）、（1，0，0，1）、（1，0，0，0）。規(guī)定S和D中的元素相加時按二進(jìn)制法則進(jìn)行，這樣一次渡河就是一個允許狀態(tài)向量與一個允許運(yùn)載向量相加。于時，制定安全渡河方案歸結(jié)為：求決策dkD，使?fàn)顟B(tài)skS按照運(yùn)算規(guī)律，從狀態(tài)（1，1，1，1）經(jīng)過多少次才能變成（0，0，0，0）。一個狀態(tài)如果是可取的就記T，否則就記F，雖然可取但已重復(fù)就記R，于是問題可用窮舉法按如下方法進(jìn)行運(yùn)算：，就這樣通過運(yùn)算即知，經(jīng)7次運(yùn)載便可安全地完成。運(yùn)載的過程可以描述為：去（人，雞）、回（人）；去（人，狗（或菜）

39、、回（人，雞）；去（人，菜（或狗），回（人）；去（人，雞）。四、類比分析方法類比分析方法是根據(jù)兩個系統(tǒng)的某些屬性或關(guān)系的相似，去猜想兩者的其他屬性或關(guān)系也可能相似的一種方法。在建模中若發(fā)現(xiàn)兩個不同的系統(tǒng)，可以用同一形式的數(shù)學(xué)模型來描述，則此兩個系統(tǒng)就可以互相類比，類比方法應(yīng)用很廣。例5人體肌肉的類比模型我們分析一下人體肌肉的運(yùn)動就會發(fā)現(xiàn)，在施加一個外力（如提一重物）時會使其拉伸，此時肌肉呈彈性機(jī)械的特點(diǎn)，肌肉組織的伸縮運(yùn)動常常伴隨著熱量的產(chǎn)生和溫度的增加，這些效應(yīng)表明在肌肉組織內(nèi)有某種類似于摩擦機(jī)構(gòu)的作用，使得肌肉運(yùn)動時一部分機(jī)械能作功，而另一部分則變?yōu)闊崮??？梢?，可用一個理想的彈簧-阻尼器來

40、類比一束肌肉的物理模型，其中彈簧類比于肌肉的彈性，而阻尼器類比于肌肉的摩擦現(xiàn)象。這兩種情形可用下圖的(a)和(b)來表示。 D K F f(t) (a) (b)圖(b)可用如下的數(shù)學(xué)模型來描述：五、利用物理規(guī)律建模牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律是科學(xué)史上的偉大事件，而導(dǎo)出它的依據(jù)是開普勒關(guān)于得星運(yùn)行的三大定律，所用的工具又僅僅是解析幾何和微積分，它是從物理現(xiàn)象建立數(shù)學(xué)模型的一個典范。開普勒三大定律：（1）行星繞太陽運(yùn)行的軌跡是一個橢圓，太陽位于一個焦點(diǎn)上。 r太陽（2）從太陽到行星的矢徑在相等的時間內(nèi)所掃過的面積 行星相等。（3）各行星軌道的半長軸立方與周期平方之比為定數(shù)。 如右圖所示，以太陽（一個焦點(diǎn)

41、）為極點(diǎn)，該橢圓的長軸為極軸建立極坐標(biāo)，于是有橢圓方程為：，其中是該橢圓的焦參數(shù)，是該橢圓的扁率。在極坐標(biāo)下，矢徑所掃過的面積A的微分為進(jìn)入得到“面積速度是常數(shù)”：=常數(shù)，其中角速度為，可得：，即：設(shè)行星繞太陽運(yùn)行的周期是T，該橢圓的半長軸為a，半短軸為b。于是，矢徑在一個周期內(nèi)掃過的面積正是該橢圓的面積：=常數(shù)為了用牛頓第二定律得到引力，我們必須算出行星的加速度。為此需要建立兩種不同的坐標(biāo)架。第一個坐標(biāo)架是固定的，以太陽為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿隨時長軸方向的單位向量記為i，沿短軸方向的單位向量記為j，于是：進(jìn)而有：以行星為坐標(biāo)原點(diǎn)建立活動架標(biāo)，其兩個正交的單位向量分別是：，由可得：為了得到的表達(dá)式，將

42、橢圓方程兩邊微分兩次，得：，將和焦參數(shù)代入，得：，即行星加速度為： 由開普勒第三定律知為常數(shù)，若記=常數(shù)，那么就導(dǎo)出了著名的萬有引力定律：其中M是太陽的質(zhì)量，m為行星的質(zhì)量，r為行星到太陽的距離，-er表示引力的方向是行星指向太陽，G=6.672×1011米/千克·秒2稱為萬有引力常數(shù)。第四講用數(shù)據(jù)直接建模經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ徒?jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ褪且环N完全依靠數(shù)據(jù)而得到的模型，在這樣的模型中，變量之間的關(guān)系是通過考察所給數(shù)據(jù)的變化特點(diǎn)選取的一種數(shù)學(xué)形式，它既有在數(shù)學(xué)表達(dá)上的簡單性又有一定的精確性。這樣的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷拿黠@特點(diǎn)是所考察的變量之間的關(guān)系并不是來自于假設(shè)，也不是基于物理的規(guī)律或原理，而是基于

43、建模者認(rèn)為數(shù)據(jù)的變化與某個數(shù)學(xué)關(guān)系式表示的關(guān)系很吻合而選取的。這樣的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ统３Ｓ迷谝粋€復(fù)雜模型的子模型中或其一部分。得到經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷牡谝徊绞前阉o的數(shù)據(jù)畫在一個坐標(biāo)圖上，通過圖表來判斷其數(shù)學(xué)形式，這是關(guān)鍵的一步，選擇數(shù)學(xué)形式的優(yōu)劣將直接影響到經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木_程度；第二步是決定數(shù)學(xué)形式中的待定參數(shù)；第三步是求得數(shù)學(xué)模型后，有時需要將實(shí)際測定的數(shù)據(jù)與用公式求出理論值進(jìn)行比較，判定其誤差程度。若不合精度要求，就得對經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行修正。當(dāng)然最簡單的情形是它們集中于某一條直線附近，要找出這條在某種意義上與這些點(diǎn)最接近的直線，可通過判斷、最小二乘法或“回歸分析”等方法，而且這些都已有標(biāo)準(zhǔn)的軟件包。一、最小二乘

44、法設(shè)有n個點(diǎn)（測得的n組數(shù)據(jù)）（x1，y1），（x2，y2），···，（xn，yn）,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，作出這個n點(diǎn)，稱為散點(diǎn)圖（如下圖），若發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)的分布近似于一條直線l：y=ax+b（1.1）若點(diǎn)（xi，yi）在l上，則應(yīng)有yi -axi-b=0，（xi，yi）在l上，若點(diǎn)（xj，yj）不在l上，則yj -axj-b=j（j=1，···，n）j表示用y=ax-b來反映xj與yj的關(guān)系時所產(chǎn)生的偏差。我們期望選取適當(dāng)?shù)膌，即在確定a與b時應(yīng)使j越小越好。為此，我們?nèi)∵@些偏差的平方和來刻劃，即： (1.1)則問題變成求使（a，b）

45、取最小的a及b。一旦確定了a與b也就確定了l，這就是此問題近似的模型，這種方法叫最小二乘法。根據(jù)微積分中求極值的方法，容易求得：，其中，(1.2)根據(jù)實(shí)測數(shù)據(jù)，按公式（1.2）求得的公式（1.1），稱為經(jīng)驗(yàn)公式，經(jīng)驗(yàn)公式能否真實(shí)反映問題中變量間的關(guān)系，還得靠實(shí)踐的檢驗(yàn)。如果所給數(shù)據(jù)反映的不是直線關(guān)系，那么就不能再用直線近似，這時就要作一此處理，如果可以作變換，把問題分解成若干部分，其主要部分為線性部分。例6下表給出的是15個不同年齡的人的身高與重量高H/m重W/kg0.75100.86120.95151.08171.12201.26271.35351.5141高H/m重W/kg1.55481.

46、60501.63511.67541.71591.78661.8575重量W與身高H之間的關(guān)系可由散點(diǎn)圖（如下圖1）描述。不難看出這散點(diǎn)圖似乎接近于某條指數(shù)曲線。注意到點(diǎn)（0，0）是包含在圖中的，如果我們令x=lnH,y=lnW（這時W=0，H=0必須被排除），關(guān)于x，y的散點(diǎn)圖不可以由圖2來描述。 （圖1）（圖2）用最小二乘法得y=2.30x+2.84或lnW=2.30lnH+2.82于是W=16.78H2.3 二、三次樣條插值法樣條插值方法起始于60年代初，當(dāng)時是由航空、造船工程設(shè)計(jì)的需要，這種方法既保留了分段低次插值的各種優(yōu)點(diǎn)，又提高了插值函數(shù)的光滑性，所以有廣泛的應(yīng)用。三次樣條插值法的插

47、值函數(shù)是分段三次多項(xiàng)式，且曲線的函數(shù)值、一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的，而三階導(dǎo)數(shù)是間斷的。定義對于給定的函數(shù)表xx0，x1，···，xnf(x)y0，y1，···，yn這里a= x0<x1<···<xn=b。若函數(shù)s(x)滿足：（1）s(x)在每個子區(qū)間xi-1，xi（I=1，2，···，n）上都是不高于三次的多項(xiàng)式；（2）s(x)，s(x)，s(x)在區(qū)間a，b都連續(xù)；（3）s(xi)=yi (i=1,2,···,n)。則稱s

48、(x)為函數(shù)f(x)關(guān)于節(jié)點(diǎn)x0，x1，···，xn的三次樣條插值函數(shù)。要確定這個三次樣條插值函數(shù)，還得給出s(x)在各節(jié)點(diǎn)xi處的一階、二階導(dǎo)數(shù)的值，分別設(shè)為：s(xi)=mi，s(xi)=Mi，(i=1,2,···,n)。(1.3)由于s(x)是分片三次多項(xiàng)式，在每個小區(qū)間xi-1，xi上，S(x)的二階導(dǎo)數(shù)都是線性函數(shù)，記hi= xi-xi-1，表示區(qū)間長度，于是：(1.4）將（1.4）式積分一次，得：（1.5）再將（1.5）式積分一次，得：（1.6）用，代入（1.6）式有：（1.7）而由（1.5）式得(1.8)注意到就有下述n

49、-1個s（x）的M連續(xù)性方程成立：（1.9）其中：(1.10)由于（1.9）式有n+1個未知數(shù)，僅n-1個方程，為了求出插值三次樣條函數(shù)s(x)還差兩個條件，一般的做法是按具體問題的要求在區(qū)間的端點(diǎn)給出約束條件，稱為邊界條件，邊界條件很多，較基本而又常見的有：（1）給出端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值：s(x0)=y0，s(xn)=yn(1.11)（2）給出端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)值：s(x0)=y0，s(xn)=yn(1.12)作為特例，s(x0)=s(xn)=0稱為自然邊界條件，這時的s(x)就稱為自然樣條插值函數(shù)。（3）若y=f(x)是以b-a為周期的函數(shù)時，則s(x)，s(x)，s(x)都是以b-a為周期的

50、函數(shù)，即：，這里要確定的是，邊界條件就應(yīng)用上述（1）的形式給出，由M連續(xù)性方程和（1.5）式，在邊界上有關(guān)系式：（1.13）把的表示代入并整理得：（1.14），則由M連續(xù)性方程(1.9)和（1.14），可得關(guān)于Mi的方程組：（1.15）例7 給定函數(shù)表X0145F(x)0-2-8-4求滿足邊界條件的三次樣條函數(shù)s(x)，并分別計(jì)算s(x)在x=0.5，3，4.5處的值。解：這是在第一邊界條件（已知兩端點(diǎn)的斜率）下插值問題，求解步驟如下：（1）先根據(jù)給定的函數(shù)表，邊界條件以及（1.10）求出的值。注意到h1=1-0=1，h2=4-1=3，h3=5-4=1,就可通過（1.10）算出和d0=-27,

51、 d1=0, d2=9, d3=9/2。（2）將數(shù)據(jù)代入（1.15）,即得確定Mi（i=0，1，2，3）的線性方程組，解些方程組得：（3）將Mi入s(x)的表達(dá)式（1.6）可得：，利用此表達(dá)式可得：s(0.5)=s1(0.5)=-0.15625，s(3)=s2(3)=-8.5，s(4.5)=s3(4.5)=-6.28125第五講隨機(jī)性模型與模擬方法一、隨機(jī)變量隨機(jī)變量是一個其值不可預(yù)測的變量。雖然一個隨機(jī)變量在個別實(shí)驗(yàn)中其結(jié)果是不確定的，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果是具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的，正是隨機(jī)變量的這種規(guī)律性使我們可以利用它來建模例8利用下列數(shù)據(jù)，給出一個模型。時間t（秒）0123456789變量

52、X1022120102X是一個離散的隨機(jī)變量并取值于0，1，2，我們不可能給出X與t的關(guān)系式，但是可以通過數(shù)X的不同值出現(xiàn)次數(shù)來描述這隨機(jī)型的規(guī)律列表如下：X012頻數(shù)334頻率0.30.30.4這個表給出了隨機(jī)變量X的變化規(guī)律，頻率告訴某個特定的事件發(fā)生的頻繁程度，如果我們需要構(gòu)造一個包含這個隨機(jī)變量的模型，可以假設(shè)這個規(guī)律總是成立的，模型的假設(shè)可以基于這幾數(shù)據(jù)之上。實(shí)際操作時可以把頻率分布當(dāng)做概率函數(shù)來處理，但應(yīng)注意概率是頻率的極限值，這兩者是有差異的。在處理一個簡單的理論模型是運(yùn)載概率函數(shù)必須作出合適的選擇。在上述問題中的隨機(jī)變量取三個值是等可能，這樣其概率函數(shù)為：X012P（x）1/3

53、1/3這個例子說明在處理隨機(jī)變量模型時有以下兩種選擇：（1）使用一個理論模型。這在任何一本概率統(tǒng)計(jì)的書上都可以找到一些標(biāo)準(zhǔn)的理論模型如二項(xiàng)分布等。每一個都基于一定的假設(shè)之下成立的，所不在選用時要特別注意其假設(shè)條件。（2）使用基于實(shí)際數(shù)據(jù)的頻率表，并不去套用標(biāo)準(zhǔn)的理論模型。使用前者的好處在于能精確地?cái)⑹鲎兞康母怕?，在處理問題時可以充分發(fā)揮數(shù)理統(tǒng)計(jì)的作用。但這一好處把所求模式制約在了處理簡單情形。隨著復(fù)雜性的增加，數(shù)學(xué)就變得太難。使用后者的好處在于模型基于觀測到的數(shù)據(jù)而不是基于假設(shè)之上。增加復(fù)雜性并不成為一大障礙，但我們不再能利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)而得求助模擬以及模型的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。在建立隨機(jī)性模型時，首先要注

54、意，將要處理的是離散的還是連續(xù)的隨機(jī)變量。1離散型隨機(jī)變量離散隨機(jī)變量的理論模型是由概率函數(shù)p(x)=P(X=x)來刻劃的。這個式子說明隨機(jī)變量X取值x時的概率。對于離散型的隨機(jī)變量下面的三種分布是重要的。（1）（01）分布設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個值，它的分布規(guī)律是P X =k=pk (1-p)1-k , k=0, 1(0<p<1)，則稱X服從（01）分布。對于一個隨機(jī)試驗(yàn)，如果它的樣本空間只包含兩個元素，即S=e1，e2，我們總能在S上定義一個服從（01）分布的隨機(jī)變量來描述這個隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。如對新生兒的性別進(jìn)行登記，檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格等都可以用（01）分布的隨機(jī)變量

55、來描述。（2）二項(xiàng)分布設(shè)試驗(yàn)E只有兩個可能的結(jié)果，將E獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重貝努利試驗(yàn)。它是一種很重要的數(shù)學(xué)模型，有著廣泛的應(yīng)用。若用X表示n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，X是一個隨機(jī)變量，它服從如下的二項(xiàng)分布：，特別地當(dāng)n=1時二項(xiàng)分布就是（01）分布。（3）泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為0、1、2、···，而取各個值的概率為，其中>0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)的泊松分布?？梢宰C明當(dāng)p很小時，以n、p為參數(shù)的二項(xiàng)分布，當(dāng)n時趨于以為參數(shù)的泊松分布，其中=np。2連續(xù)的隨機(jī)變量理論模型的連續(xù)隨機(jī)變量可以由概率密度函數(shù)（pdf）

56、f（x）來描述，對所有的x存在f（x）0，且。隨機(jī)變量落在區(qū)間的概率可由來給出。在連續(xù)型隨機(jī)變量中下述兩種是重要的。（1）均勻分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度，則稱X在區(qū)間（a，b）上服從均勻分布。在區(qū)間（a，b）上服從均勻分布的隨機(jī)變量X，具有下述意義的等可能性，即它落在區(qū)間(a，b)中任意等度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的，或者說它落在子區(qū)間的概率只依賴于區(qū)間的長度而與子區(qū)間的位置無關(guān)。（2）正態(tài)分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為：，其中為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的正態(tài)分布。連續(xù)型隨機(jī)變量的值如同離散的一樣可以用頻率表給出，但不同的是離散的隨機(jī)變量每個頻率對應(yīng)于隨機(jī)變量的一個值，而對于連續(xù)的隨機(jī)變量每一個頻率對應(yīng)于隨機(jī)變量的一個取值范圍。二、蒙特卡羅方法蒙特卡羅方法是計(jì)算機(jī)模擬的基礎(chǔ)，其名字來源于世界著名的賭城摩納哥的蒙特卡羅。其思想來源于著名的蒲豐投針問題。1777年法國科學(xué)家浦豐提出了下述著名問題：平面上畫有等距離a(a>0)的一些平行線，取一根