2021年最新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-立體幾何

1、立體幾何高考立體幾何試題一般共有4 道 （選擇、填空題3 道 , 解答題 1 道 ）, 共計(jì)總分 27分左右,考查的知識(shí)點(diǎn)在20個(gè)以?xún)?nèi) . 選擇填空題考核立幾中的計(jì)算型問(wèn)題, 而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問(wèn)題, 當(dāng)然 , 二者均應(yīng)以正確的空間想象為前提. 隨著新的課程改革的進(jìn)一步實(shí)施, 立體幾何考題正朝著“多一點(diǎn)思考,少一點(diǎn)計(jì)算”的發(fā)展.從歷年的考題變化看, 以簡(jiǎn)單幾何體為載體的線(xiàn)面位置關(guān)系的論證,角與距離的探求是常考常新的熱門(mén)話(huà)題 .一、知識(shí)整合1 有關(guān)平行與垂直（線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面及面面）的問(wèn)題，是在解決立體幾何問(wèn)題的過(guò)程中，大量的、反復(fù)遇到的，而且是以各種各樣的問(wèn)題（包括論證、計(jì)算角、與距

2、離等）中不可缺少的內(nèi)容，因此在主體幾何的總復(fù)習(xí)中，首先應(yīng)從解決“平行與垂直”的有關(guān)問(wèn)題著手， 通過(guò)較為基本問(wèn)題，熟悉公理、定理的內(nèi)容和功能，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析與概括，掌握立體幾何中解決問(wèn)題的規(guī)律充分利用線(xiàn)線(xiàn)平行（垂直）、線(xiàn)面平行（垂直）、面面平行（垂直）相互轉(zhuǎn)化的思想，以提高邏輯思維能力和空間想象能力2 判定兩個(gè)平面平行的方法：3 1 ）根據(jù)定義證明兩平面沒(méi)有公共點(diǎn)；2 2） 判定定理證明一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面；（ 3）證明兩平面同垂直于一條直線(xiàn)。3 兩個(gè)平面平行的主要性質(zhì)：由定義知：“兩平行平面沒(méi)有公共點(diǎn)”。由定義推得：”兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)必平行于另一個(gè)平面

3、。兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：“如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面 相交，那么它們的交線(xiàn)平行”。一條直線(xiàn)垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面， 它也垂直于另一個(gè)平 面。夾在兩個(gè)平行平面間的平行線(xiàn)段相等。經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)只有一個(gè)平面和已知平面平行。以上性質(zhì)、在課文中雖未直接列為“性質(zhì)定理”，但在解題 過(guò)程中均可直接作為性質(zhì)定理引用。4 .空間的角和距離是空間圖形中最基本的數(shù)量關(guān)系，空間的角主要研究射影以及與射影有關(guān)的定理、空間兩直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)和平面所成的 角、以及二面角和二面角的平面角等.解這類(lèi)問(wèn)題的基本思路是把空間問(wèn) 題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題去解決.空間的角，是對(duì)由點(diǎn)、直線(xiàn)、平面所組成的空間圖形中各種元素間的

4、位置關(guān)系進(jìn)行定量分析的一個(gè)重要概念，由它們的定義，可得其取值范圍， 如兩異面直線(xiàn)所成的角0 （0,一,直線(xiàn)與平面所成的角0 60,一,二面角22的大小，可用它們的平面角來(lái)度量，其平面角 0 6 0,兀.對(duì)于空間角的計(jì)算，總是通過(guò)一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的角， 并把它置于一個(gè)平面圖形，而且是一個(gè)三角形的內(nèi)角來(lái)解決，而這種轉(zhuǎn)化 就是利用直線(xiàn)與平面的平行與垂直來(lái)實(shí)現(xiàn)的，因此求這些角的過(guò)程也是直線(xiàn)、平面的平行與垂直的重要應(yīng)用.通過(guò)空間角的計(jì)算和應(yīng)用進(jìn)一步培養(yǎng) 運(yùn)算能力、邏輯推理能力及空間想象能力.如求異面直線(xiàn)所成的角常用平移法（轉(zhuǎn)化為相交直線(xiàn)）與向量法；求 直線(xiàn)與平面所成的角常利用射影轉(zhuǎn)化為相交

5、直線(xiàn)所成的角；而求二面角 -1-的平面角（記作）通常有以下幾種方法：（1）根據(jù)定義；(2)過(guò)棱l上任一點(diǎn)。作棱l的垂面，設(shè)n =OA, n=OB,則"OB(3)利用三垂線(xiàn)定理或逆定理，過(guò)一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn)A,分別作另一個(gè)平面 的垂線(xiàn)AB(垂足為B),或棱l的垂線(xiàn)AC(垂足為C),連結(jié)AC,則/ ACB=或 ZACB=;(4)設(shè)A為平面 外任一點(diǎn)，ABX ,垂足為B, ACX ,垂足為C,則 ZBAC=或 ZBAC=;(5)利用面積射影定理，設(shè)平面 內(nèi)的平面圖形F的面積為S, F在平 面內(nèi)的射影圖形的面積為S,則cos = S-.S5 .空間的距離問(wèn)題，主要是求空間兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線(xiàn)、點(diǎn)

6、到平面、 兩條異面直線(xiàn)之間(限于給出公垂線(xiàn)段的)、平面和它的平行直線(xiàn)、以及 兩個(gè)平行平面之間的距離.求距離的一般方法和步驟是：一作一一作出表示距離的線(xiàn)段；二證一 一證明它就是所要求的距離；三算一一計(jì)算其值.止匕外，我們還常用體積 法求點(diǎn)到平面的距離.6 .棱柱的概念和性質(zhì)理解并掌握棱柱的定義及相關(guān)概念是學(xué)好這部分知識(shí)的關(guān)鍵一要明>確“棱柱 直棱柱 正棱柱”這一系列中各類(lèi)幾何體的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。平行六面體是棱柱中的一類(lèi)重要的幾何體，要理解并掌握平行六面 >>>'體 直平行六面體長(zhǎng)方體 正四棱柱正方體”這一系列中各類(lèi)幾何體的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。須從棱柱的定義出發(fā)，根據(jù)第

7、一章的相關(guān)定理對(duì)棱柱的基本性質(zhì)進(jìn) 行分析推導(dǎo)，以求更好地理解、掌握并能正確地運(yùn)用這些性質(zhì)。關(guān)于平行六面體，在掌握其所具有的棱柱的一般性質(zhì)外，還須掌握 由其定義導(dǎo)出的一些具特有的性質(zhì)，如長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)定理是一個(gè)重要 定理并能很好地掌握和應(yīng)用。還須注意，平行六面體具有一些與平面幾何 中的平行四邊形相對(duì)應(yīng)的性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)及解題思路去解平行六面體的問(wèn)題是一常用的解題方法。多面體與旋轉(zhuǎn)體的問(wèn)題離不開(kāi)構(gòu)成幾何體的基本要素點(diǎn)、線(xiàn)、面及 其相互關(guān)系，因此，很多問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是在研究點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系， 與直線(xiàn)、平面、簡(jiǎn)單幾何體第一部分的問(wèn)題相比，唯一的差別就是多 了一些概念，比如面積與體積

8、的度量等.從這個(gè)角度來(lái)看，點(diǎn)、線(xiàn)、面及 其位置關(guān)系仍是我們研究的重點(diǎn).7 .經(jīng)緯度及球面距離根據(jù)經(jīng)線(xiàn)和緯線(xiàn)的意義可知，某地的經(jīng)度是一個(gè)二面角的度數(shù)，某 地的緯度是一個(gè)線(xiàn)面角的度數(shù)，設(shè)球 O的地軸為NS,圓。是00緯線(xiàn)，.- 小， 半圓NAS是0經(jīng)線(xiàn)，若某地P是在東經(jīng)120° ,北綱0° ,我們可以作出 過(guò)P的經(jīng)線(xiàn)NPS交赤道于B,過(guò)P的緯線(xiàn)冏圓力1交NAS于A,那么則 應(yīng)有/AOiP=120°（二面角的平面角），ZPOB=40（線(xiàn)面角）。兩點(diǎn)間的球面距離就是連結(jié)球面上兩點(diǎn)的大圓的劣弧的長(zhǎng)，因此， 求兩點(diǎn)間的球面距離的關(guān)鍵就在于求出過(guò)這兩點(diǎn)的球半徑的夾角。例如，可以

9、循著如下的程序求 A、P兩點(diǎn)的球面距離。-> >線(xiàn)段AP的長(zhǎng)ZAOP的弧度數(shù)大圓劣弧AP的長(zhǎng)8 .球的表面積及體積公式S球表=4兀R2V=-兀R33球的體積公式可以這樣來(lái)考慮：我們把球面分成若干個(gè)邊是曲線(xiàn) 的小“曲邊三角形”；以球心為頂點(diǎn)，以這些小曲邊三角形的頂點(diǎn)為底面三 角形的頂點(diǎn)，得到若干個(gè)小三棱錐，所有這些小三棱錐的體積和可以看作 是球體積的近似值.當(dāng)小三棱錐的個(gè)數(shù)無(wú)限增加，且所有這些小三棱錐的底 面積無(wú)限變小時(shí)，小三棱錐的體積和就變成球體積，同時(shí)小三棱錐底面面 積的和就變成球面面積，小三棱錐高變成球半徑.由于第n個(gè)小三棱錐的體 積=：Snhn （Sn為該小三棱錐的底面積，h

10、n為小三棱錐高），所以V球=：S 33球面R = 1 4兀R2 R=-兀R3. 33球與其它幾何體的切接問(wèn)題，要仔細(xì)觀(guān)察、分析、弄清相關(guān)元素的 位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選擇最佳角度作出截面，以使空間問(wèn)題平面化。 二、注意事項(xiàng)1. 須明確直線(xiàn)、平面、簡(jiǎn)單幾何體中所述的兩個(gè)平面是指兩 個(gè)不重合的平面。2 .三種空間角，即異面直線(xiàn)所成角、直線(xiàn)與平面所成角。平面與平 面所成二面角。它們的求法一般化歸為求兩條相交直線(xiàn)的夾角，通?！熬€(xiàn) 線(xiàn)角抓平移，線(xiàn)面角找射影，面面角作平面角”而達(dá)到化歸目的，有時(shí)二 面角大小出通過(guò)cos =來(lái)求。S原3 .有七種距離，即點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到直線(xiàn)、兩條平行直線(xiàn)、兩條異面直 線(xiàn)、點(diǎn)到平面

11、、平行于平面的直線(xiàn)與該平面、兩個(gè)平行平面之間的距離， 其中點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與直線(xiàn)、點(diǎn)到平面的距離是基礎(chǔ)，求其它幾種距離一般化 歸為求這三種距離，點(diǎn)到平面的距離有時(shí)用“體積法”來(lái)求。三、例題分析例1、已知水平平面 內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)a, b所成的角為，如果將角 的平分線(xiàn)l繞著其頂點(diǎn)，在豎直平面內(nèi)作上下轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)到離開(kāi)水平位值的1處，且與兩條直線(xiàn)a,b都成角,則與2的大小關(guān)系是A. 一或 22C. >-2B. > 或 < 一D. < 2已知異面直線(xiàn)a,b所成的角為700，則過(guò)空間一定點(diǎn)O,與兩條異面直 線(xiàn) a,b 都 成 600 角 的 直 線(xiàn) 有 ()條.A. 1B. 2C. 3

12、D. 4異面直線(xiàn)a,b所成的角為，空間中有一定點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O有3條直線(xiàn) 與a,b所成角都是600，則 的取值可能是().A. 30 0 B. 50 0 C. 60 0D. 90 0分析與解答： 如圖1所示，易知直線(xiàn)l上點(diǎn)A在平面 上的射影是c上的點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)B作BC Jb,AC>BC,. tan > tan 5,又、-(0,萬(wàn))，貝U AC Jb.在 Rt8BC 和 Rt8AC(2 ) D (3) C例2、已知PAL矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).(1)求證：MN1AB;(2)設(shè)平面PDC與平面ABCD所成的二面角為銳角0 ,問(wèn)能否確定0 使直線(xiàn)MN是異面直線(xiàn)AB與

13、PC的公垂線(xiàn)？若能，求出相應(yīng)0的值；若不能，說(shuō) 明理由.解：(1) .PA，矩形 ABCD, BC1AB, PB1BC, PA1AC,即4PBC 和hAC都是以PC為斜邊的直角三角形，AN Ipc BN,又M為AB的中點(diǎn)，.2MN1AB.(2):AD JCD , PD dCD.PDA為所求二面角的平面角， 即zPDA=0.設(shè) AB=a, PA=b, AD=d ,貝U pm "2 3 , cm Jd2 -a2 444設(shè)PM=CM則由N為PC的中點(diǎn)，/.MN JPC由(1)可知MN必B,MN為PC與AB的公垂線(xiàn)，這時(shí) PA=AD , =45 。C1例3、如圖，直三棱柱ABC-AiBiCi

14、的底面ABC為等腰直角三角形,ZACB=900, AC=i , C 點(diǎn)到 ABi 的距離為 CE=芋，DABA1(2)(3)C求證：ABi,平面CED;求異面直線(xiàn)ABi與CD之間的距離;求二面角BiAC B的平面角.解：(i);D是AB中點(diǎn)，3BC為等腰直角三角督 d B zABC=90 0,CD 必B 又 AAi,平面ABC,CD 必Ai. CD，平面 AiBiBA .CDlABi,又 CE 必Bi, ABi,平面 CDE;(2)由 CD，平面AiBiBA .CDIDE.AB平面CDE DE必Bi,DE是異面直線(xiàn)ABi與CD的公垂線(xiàn)段.CE= , AC=i ,CD=6.DE J(CE)2 (

15、CD)2 1； 222(3)連結(jié)BiC,易證BiC必C,又BC必C ,.BiCB是二面角Bi-AC-B的平面角.，. 3_ _ 一 一一 一在 Rt3EA 中，CE=y-> BC=AC=1, /. BiAC=6001一99. AB1 r 2,. BB1 V(AB1)2 (AB)2 & ,cos60'tg B1CB -BB1 22 , . BiCB arctg 22 .BC說(shuō)明：作出公垂線(xiàn)段和二面角的平面角是正確解題的前提，當(dāng)然，準(zhǔn)確地作出應(yīng)當(dāng)有嚴(yán)格的邏輯推理作為基石.例 4、在直角梯形 ABCD 中，zA=zD=90° AB<CD, SDL平面ABCD ,

16、 AB=AD=a , S D= 72a ,在線(xiàn)段SA上取一點(diǎn)E (不含端點(diǎn))使 EC=AC , 截面CDE與SB交于點(diǎn)F。(1)求證：四邊形EFCD為直角梯形；(2)求二面角B-EF-C的平面角的正切值；s(3)設(shè)SB的中點(diǎn)為M,當(dāng)CD的值是多少時(shí)，/ 能使 ABeFDMCMC為直角三角形？請(qǐng)給出證明.D解：(1) .CD/AB, AB 平面 SABCD/A1"B 平面 SAB面 EFCDA 面SAB=EF,CD /EF ; D 900, CD AD,又SD面ABCDSD CD CD 平面 SAD, /.CD ED 又 EF AB CD EFCD為直角梯形(2) CD 平面 SAD,

17、EF /CD , EF 平面 SADAE EF ,DE EF , AED即為二面角DEFC的平面角ED CD，Rt CDE 中 ec2 ED2 CD2而 AC 2 AD2 CD2 且 AC ECED AD ， ADE為等腰三角形，AED EAD tan AED 2當(dāng)CD 2時(shí)，DMC 為直角三角形.ABAB a, CD 2a, BD AB2 AD2 2a, BDC 450 BC 2a, BC BD ,SD 平面 ABCD, SD BC, BC 平面 SBD.在 SBD 中，SD DB,M 為 SB 中點(diǎn)， MD SB.MD 平面SBC,MC 平面SBC, MD MC DMC為直角三角形。例5.

18、如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體 ABCDAiBiCiDi中，AC與BD交 于點(diǎn)E, CB與CBi交于點(diǎn)F.BiB(I)求證：AiC,平BDCi；(II)求二面角BEFC的大小解法一：(I ) A，A,底面ABCD ,則AC是AiC在底面ABCD的射影.AC JBD. . AiC JBD.同理 AiC JDCi,又 BD PDCi=D,AiC,平面 BDCi.(H)取EF的中點(diǎn)H,連結(jié)BH、CH ,BE BF.2BH EF.2同理CH EF.BHC是二面角B EF C的平面角.又E、F分別是AC、BiC的中點(diǎn),1 EF / AB1.2BEF與CEF是兩個(gè)全等的正三角形.故 BH CH BF .24于是在BCH中，由余弦定理，得222BH 2 CH 2 BC2 cos BHC2BH CH*66，1、BHC arccos(-)1 arccos-.3故二面角B EF C的大小為1 arccos-.3解法二：（I）以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C