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1、縱向數(shù)學(xué)化:數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必由之路摘 要:弗賴登塔爾認(rèn)為“數(shù)學(xué)化”分橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化兩種。橫向數(shù)學(xué)化是“把生活世界引向符號世界”,縱向數(shù)學(xué)化是“在符號世界里,符號的生成、重塑和被使用”。二者皆為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,尤其是概念教學(xué)中,往往重視前者而忽視了后者。因此需要反思小學(xué)生是否需要縱向數(shù)學(xué)化,如何認(rèn)識抽象在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位,小學(xué)生需要怎樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)化 縱向數(shù)學(xué)化 抽象 學(xué)習(xí)過程 一般認(rèn)為,數(shù)學(xué)是一門比較成熟的學(xué)科,以至于人們往往以“數(shù)學(xué)化”的程度來評判其他學(xué)
2、科的成熟程度。“數(shù)學(xué)化”既是數(shù)學(xué)教學(xué)活動的目的,也是實現(xiàn)教學(xué)目的之手段。弗賴登塔爾認(rèn)為數(shù)學(xué)化分橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化兩種。橫向數(shù)學(xué)化是“把生活世界引向符號世界”,縱向數(shù)學(xué)化是“在符號世界里,符號的生成、重塑和被使用”。一般人們將橫向數(shù)學(xué)化理解為將現(xiàn)實與數(shù)學(xué)建立聯(lián)系;縱向數(shù)學(xué)化則常理解為是建立抽象的數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系,常常包含著抽象和形式化。小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有很多數(shù)學(xué)概念。作為用數(shù)學(xué)語言和符號揭示事物本質(zhì)屬性的思維形式,概念學(xué)習(xí)相對比較抽象,縱向數(shù)學(xué)化是不可避免的。但實際教學(xué)中往往過多依賴于具體的直觀,縱向數(shù)學(xué)化受重視的程度還不夠。甚至我們已經(jīng)過多地注重了橫向數(shù)學(xué)化,而導(dǎo)致了學(xué)習(xí)過程中對縱向數(shù)學(xué)化
3、的下意識回避,其直接后果就是學(xué)生對于所學(xué)的內(nèi)容缺乏深刻的理解,無法建構(gòu)起整體的聯(lián)系。事實上,課程改革重視橫向數(shù)學(xué)化,并不代表可以忽略縱向數(shù)學(xué)化,從發(fā)展思維的角度看,縱向數(shù)學(xué)化有更重要的價值。一、小學(xué)生需要縱向數(shù)學(xué)化嗎小學(xué)生的思維特點(diǎn)是以形象思維為主。學(xué)生在理解抽象的知識時,由于受心理因素的影響容易遇到一些學(xué)習(xí)障礙,比如辨認(rèn)困難,缺乏空間想象力等。此時,設(shè)計合理的生活情境,給學(xué)生提供具體的材料,具有將兒童思維從生活引入學(xué)科的作用。那么小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有沒有縱向數(shù)學(xué)化呢?以加法為例,兩只小猴分別摘了8個桃和5個桃,一共摘了多少個桃?類似的問題可以被抽象為:8和5合起來是幾?這屬于橫向數(shù)學(xué)化。接著
4、列出算式85,考慮加法怎么算就是縱向數(shù)學(xué)化中算法的問題。隨著學(xué)生的學(xué)力增長,數(shù)學(xué)化是可以從橫向進(jìn)一步往縱向深入的。從下面的案例中我們可以看到,縱向數(shù)學(xué)化有時候更能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。教學(xué)圓的認(rèn)識,教師出示信封中的一個圓和一些直邊的圖形,詢問學(xué)生能否從這一堆平面圖形中把圓“摸”出來。學(xué)生當(dāng)然說“能”,教師便引導(dǎo)學(xué)生思考“為什么”,讓學(xué)生比較圓和直線圖形的邊的特征,建立圓是曲線圖形的概念。接著,教師又從信封中取出不規(guī)則的曲線圖形和橢圓,讓學(xué)生繼續(xù)“摸”。學(xué)生判斷能摸出并準(zhǔn)確地說出依據(jù),體會這些圖形“凹凸不平”“不均勻”等不同于圓的特質(zhì),突顯了圓“飽滿”“均勻”的特點(diǎn)。學(xué)生在這個過程中根本沒有實際動
5、手去摸,但是很明顯地,他們的感受是深刻的,思維是理性的??梢?,現(xiàn)實背景和實踐操作能為學(xué)生理解概念提供有效的感知基礎(chǔ),但不是唯一的途徑。分析、抽象對于小學(xué)生來說存在一定的難度,但某種程度上,也正是這種難度讓學(xué)生的學(xué)習(xí)變得有意義了。更進(jìn)一步說,在幾何學(xué)中的知覺表象空間并不等于幾何空間。奧地利數(shù)學(xué)家和心理學(xué)家恩斯特·馬赫指出:人們的空間感覺的系統(tǒng)與歐氏空間是不同的。幾何空間在一切地方和在一切方向都是同一性質(zhì)的,是無邊界的和無限的。視覺空間是有邊界的和有限的,而且它的廣延在不同方向是不同的, “天穹頂”就是一個極好的例子。法國著名數(shù)學(xué)家昂利·彭加勒也認(rèn)為,通過感覺和表象掌握的空間是
6、與幾何學(xué)家所掌握的空間完全不相同的。這些精通感官或生理心理學(xué)的數(shù)學(xué)家都否認(rèn)了知覺表象空間與幾何空間的一致性。因為“幾何學(xué)原理并不是經(jīng)驗的事實?!蓖瑫r,實驗心理學(xué)在這方面為上述觀點(diǎn)也提供了可信的證據(jù)。因此,縱向數(shù)學(xué)化即使在小學(xué)階段也是有價值的。二、合理認(rèn)識抽象的地位靜態(tài)地看,概念是知識的基本單位;動態(tài)地看,概念是思維的基本單位。對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言,概念的形成、理解與掌握是最基本的、起著基石性作用的認(rèn)知活動,是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“基礎(chǔ)工程”。幾何概念是抽象的。荷蘭范·希爾夫婦針對平面圖形的認(rèn)識提出如下的幾何思維水平:水平1為直觀化;水平2為描述/分析;水平3為抽象/關(guān)聯(lián);水平4為演繹/形式化推理
7、;水平5為嚴(yán)密/元數(shù)學(xué)。學(xué)生通過思維水平的進(jìn)步,從直觀化水平不斷地提高到描述、分析、抽象和演繹等復(fù)雜水平。這實際上也說明了從直觀辨認(rèn)到探索特征是符合兒童的認(rèn)知規(guī)律的。因此概念的形成不可能停留在直觀感知的水平上,必須引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象思維。有這樣一道習(xí)題:至少要用多少塊棱長為1厘米的小正方體才能拼成一個較大的正方體?教師在發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生無從下手時,便啟發(fā)學(xué)生先拼一拼,再數(shù)一數(shù)。學(xué)生通過動手操作,發(fā)現(xiàn)至少要用8塊。如果教學(xué)就此結(jié)束,那么操作是表面的;但是如果老師在學(xué)生通過操作得出8塊后,趁勢引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考:為什么會是8塊?學(xué)生則可能體會到因為沿著長、寬、高各都擺了2塊,每層都要擺2×2=
8、4(塊),要擺2層,所以是4×2=8(塊),進(jìn)而認(rèn)識到這里的每個“2”分別代表的是正方體的棱長,總塊數(shù)等于正方體棱長的立方。教師引導(dǎo)學(xué)生驗證:這個發(fā)現(xiàn)究竟對不對呢?需要驗證。假如要拼一個棱長為3厘米的正方體,至少需要多少塊這樣的小正方體?盡管一些學(xué)生還是依賴動手拼,但許多學(xué)生已開始借助表象,進(jìn)行想象并抽象成算式:3×3×3=27(塊)。在此基礎(chǔ)上,教師繼續(xù)追問:假如要拼一個棱長為a厘米的正方體(a為自然數(shù)),一共需要多少塊這樣的小正方體?你能想象出拼成的圖形嗎?這樣的教學(xué)由特殊到一般,及時把學(xué)生的感性認(rèn)識上升到理性,促進(jìn)學(xué)生空間觀念的形成和抽象思維的發(fā)展。無獨(dú)有偶
9、,D. Tall有關(guān)從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)的研究表明:雖然幾何最初是以感知的對象為對象的,并且是以圖像型為基礎(chǔ)的,但它的進(jìn)一步發(fā)展有一個語言和概念推演的轉(zhuǎn)化過程,直至幾何的完全形式化。 許多數(shù)學(xué)概念在小學(xué)階段是相對淺顯、模糊、表述不完善的(其中當(dāng)然有考慮小學(xué)生的年齡以及心理特征的原因)。小學(xué)階段未必能夠讓學(xué)生完整理解純抽象的概念,但是利用縱向的數(shù)學(xué)化活動適當(dāng)作抽象的訓(xùn)練和學(xué)習(xí),為“純數(shù)學(xué)的研究”作準(zhǔn)備則是有可能的。三、我們需要什么樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程如果說過去的數(shù)學(xué)教學(xué)在某種程度過于重視結(jié)果而忽視了過程,那么當(dāng)下的教學(xué)既要重視結(jié)果,也要重視過程。這并不是結(jié)果是可有可
10、無的。實際上,任何學(xué)習(xí)都是有階段性的,在某一階段,學(xué)生經(jīng)過學(xué)習(xí)會經(jīng)歷一些過程,同時得到一些結(jié)論。弗賴登塔爾認(rèn)為這樣的結(jié)論在高一層學(xué)習(xí)中又作為繼續(xù)學(xué)習(xí)的常識和基礎(chǔ)。這些結(jié)論會“再一次被提煉、組織,而凝聚成新的法則,新的法則又成為新的常識,如此不斷地螺旋上升,以至于無窮”。教學(xué)分?jǐn)?shù)除法的時候,教師出示例題9/20÷3/5,教學(xué)預(yù)設(shè)是學(xué)生聯(lián)系上節(jié)課分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的知識進(jìn)行遷移。然而一個學(xué)生說9÷3/20÷5=3/4,但其給出的理由是:“分?jǐn)?shù)乘法是分子乘分子,分母乘分母,除法應(yīng)該也可以啊。”于是,教師又寫出一個算式:3/5÷2/3,學(xué)生仍然采用這樣的算法:3/5&
11、#247;2/3=18/30÷2/3=18÷2/30÷3=9/10。顯然,學(xué)生的想法是合理的,也是正確的,只是與教科書上希望他們掌握的方法不一致。弗賴登塔爾指出:“數(shù)學(xué)教育本身是個過程,不僅是傳授知識,更要在過程中讓學(xué)生親身實踐而抓住其發(fā)展規(guī)律,學(xué)會抽象化、形式化的方法?!睂嶋H上,如果教師愿意在課堂上拿出一些時間,引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)研究這個問題,就會發(fā)現(xiàn),學(xué)生解題的原理就是顛倒相乘的法則,因為:a/b÷c/d=acd/bcd÷c/d=ad/bc。教師完全可以肯定學(xué)生思路正確,并引導(dǎo)他們在課堂上從數(shù)理的角度得出這樣的結(jié)論,這不正是“學(xué)生通過自己的努力得到的結(jié)論和創(chuàng)造”成為教育內(nèi)容的一部分么?而且這樣的結(jié)論是邏輯嚴(yán)謹(jǐn),構(gòu)造巧妙的探索。思維質(zhì)量的提高,才能讓課堂的對話
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