省二2014數(shù)學(xué)建模

1、2014高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，

2、在書籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： A 我們的參賽報(bào)名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 2014 年 9 月 15 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：2014高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時(shí)使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進(jìn)行編號）

3、：嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略摘要本文在景象匹配的基礎(chǔ)上，通過天體力學(xué)（開普勒定律）和軌跡根數(shù)模型確定軌道在二體力學(xué)位置，結(jié)合積分方程計(jì)算最精確軌道和最燃料節(jié)省軌道的最優(yōu)控制策略。針對問題一，首先進(jìn)行簡化假設(shè)，設(shè)計(jì)二體軌道模型。在二體軌道基礎(chǔ)上，建立天體力學(xué)模型，求出嫦娥三號在高度100km 的環(huán)繞圓軌道飛行時(shí)的環(huán)繞速度為1.63324km/ s，減速到1.61379 km / s后變軌進(jìn)入橢圓軌道的近月點(diǎn)，此時(shí)橫向速度v b= 1.69204 km / s。利用）（計(jì)算得出極坐標(biāo)下的橢圓軌跡方程為：根據(jù)開普勒定律得出遠(yuǎn)月點(diǎn)減速飛抵橢圓軌道，最后建立軌跡根數(shù)模型，利用軟件仿真出近月點(diǎn)位置（

4、19.53 W，72.91N,15km）；遠(yuǎn)月點(diǎn)位置（160. 51E，107.09S,100km）。針對問題二，首先將著陸軌道簡化成主減速、避障、垂直下落三個(gè)階段。在避障階段采用多尺度塔式小波分解的圖像匹配算法，通過Image Match 軟件確定距離月面100m處的數(shù)字高程圖在距月面2400m處的數(shù)字高程圖的匹配坐標(biāo)為（364,1700）。根據(jù)坐標(biāo)計(jì)算出在粗避障過程中，嫦娥三號以夾角為30度的方向水平橫向位移905m。在精避障過程中，利用MATLAB軟件獲取數(shù)據(jù)，并規(guī)定灰度值為90-110的范圍為可接受的平緩地勢，通過逐點(diǎn)掃描確定最優(yōu)著陸點(diǎn)坐標(biāo)為(112,959)。嫦娥三號以夾角為50度的

5、方向水平橫向位移601m確定在6個(gè)階段的最優(yōu)控制策略，本文針對軌道精確度和燃料節(jié)省度分別建立模型。在景象匹配基礎(chǔ)上建立最精確軌道策略模型，從推力控制方向、約束條件、控制過程計(jì)算方法三方面對著陸軌道三個(gè)階段分別討論，分析出每個(gè)階段的最優(yōu)控制方程。然后針對燃料節(jié)省問題，建立最省燃料軌道模型：構(gòu)造哈密頓函數(shù)，根據(jù)極大值原理得到最優(yōu)控制角為： ，最后算出最優(yōu)軌道的終端參數(shù)。針對問題三，著陸軌道和最優(yōu)控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。對于誤差分析，本文針對最精確軌道和最省燃料軌道進(jìn)行對比，比較之間的誤差。針對敏感性分析，首先確定敏感性分析指標(biāo)，選取不確定因素主發(fā)動機(jī)推力和嫦娥三號運(yùn)行質(zhì)量。分析不確定

6、因素變動時(shí)對著陸軌道和最優(yōu)控制策略的影響程度。關(guān)鍵字： 二體軌道設(shè)計(jì) 天體力學(xué) 軌跡根數(shù) 景象匹配 最優(yōu)控制策略一、問題的重述嫦娥三號于2013年12月2日1時(shí)30分成功發(fā)射，12月6日抵達(dá)月球軌道。嫦娥三號在著陸準(zhǔn)備軌道上的運(yùn)行質(zhì)量為2.4t，其安裝在下部的主減速發(fā)動機(jī)能夠產(chǎn)生1500N到7500N的可調(diào)節(jié)推力，其比沖（即單位質(zhì)量的推進(jìn)劑產(chǎn)生的推力）為2940m/s，可以滿足調(diào)整速度的控制要求。在四周安裝有姿態(tài)調(diào)整發(fā)動機(jī)，在給定主減速發(fā)動機(jī)的推力方向后，能夠自動通過多個(gè)發(fā)動機(jī)的脈沖組合實(shí)現(xiàn)各種姿態(tài)的調(diào)整控制。嫦娥三號的預(yù)定著陸點(diǎn)為19.51W，44.12N，海拔為-2641m。 嫦娥三號在高

7、速飛行的情況下，要保證準(zhǔn)確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵問題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計(jì)。其著陸軌道設(shè)計(jì)的基本要求：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點(diǎn)15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點(diǎn)至著陸點(diǎn)，其軟著陸過程共分為6個(gè)階段（見附件2），要求滿足每個(gè)階段在關(guān)鍵點(diǎn)所處的狀態(tài)；盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。根據(jù)上述的基本要求，請你們建立數(shù)學(xué)模型解決下面的問題：（1）確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，以及嫦娥三號相應(yīng)速度的大小與方向。（2）確定嫦娥三號的著陸軌道和在6個(gè)階段的最優(yōu)控制策略。（3）對于你們設(shè)計(jì)的著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。二、問題分析2.1問題一的分析問

8、題一中，確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，以及嫦娥三號相應(yīng)速度的大小與方向。嫦娥三號是含地球停泊軌道段的探測衛(wèi)星，探測器先由運(yùn)載火箭送到地球停泊軌道，再將探測器送入地月轉(zhuǎn)移軌道，地月轉(zhuǎn)移軌道末端即為遠(yuǎn)月點(diǎn)，2013年12月6日17時(shí)47分進(jìn)入環(huán)月軌道進(jìn)行圓周運(yùn)動，12月10日21時(shí)實(shí)施環(huán)月降軌。在做圓周運(yùn)動時(shí)，我們根據(jù)天體運(yùn)動學(xué)開普勒定律計(jì)算出嫦娥三號近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)相應(yīng)速度的大小與方向。再通過軌跡根數(shù)模型，利用軟件確定遠(yuǎn)月點(diǎn)和近月點(diǎn)的位置。2.2問題二的分析 問題二中，確定嫦娥三號的著陸軌道和在6個(gè)階段的最優(yōu)控制策略。在2400m和100m的時(shí)候，需要看月球表面圖確定著陸位置。初始是平拋，

9、15000km到3000，km?？梢哉J(rèn)為加速率為常量（設(shè)為-a），但是加速度的方向是隨軌道變化而變化的，這里需要用積分確定，最終速度57m/s是一個(gè)斜著的速度?？焖僬{(diào)整，飛船是在600米的距離將水平速度減為0的。用MATLAB打開第一幅圖，每個(gè)數(shù)字代表每個(gè)像素的灰度值，選取一個(gè)閾值然后用坐標(biāo)尺算出和目前航天器位置的水平距離。從2400到100的高空，初始水平速度為0，到100時(shí)水平速度又返回0，所以是一個(gè)水平加速和水平減速的過程，100米的位置是懸停的所以沒有垂直速度，可是30米的地方是有垂直速度的，最后，緩速下降階段，就是慢悠悠的給個(gè)垂直向上的加速度，30米到4米過程，在30米處計(jì)算出的垂直

10、速度減到0。 2.3問題三的分析 問題三中針對著陸軌道和最優(yōu)控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。對于誤差分析，本文針對最精確軌道和最省燃料軌道進(jìn)行對比，比較之間的誤差。針對敏感性分析，首先確定敏感性分析指標(biāo)，選取不確定因素主發(fā)動機(jī)推力和嫦娥三號運(yùn)行質(zhì)量。分析不確定因素變動時(shí)對著陸軌道和最優(yōu)控制策略的影響程度。三、模型假設(shè)1、假設(shè)月球近似為理想球體且質(zhì)量均勻；2、嫦娥三號衛(wèi)星和月球自轉(zhuǎn)速度忽略不計(jì)，排除自轉(zhuǎn)速度對其他速度的影響；3、假設(shè)月球的月心是橢圓軌道的焦點(diǎn)；4、嫦娥三號相對于月球被視為點(diǎn)質(zhì)量物體；5、忽略其他天體引力對嫦娥三號的引力攝動；四、符號表示嫦娥三號所受離心力嫦娥三號質(zhì)量月球質(zhì)量

11、月球萬有引力圓周軌跡遠(yuǎn)月點(diǎn)的瞬時(shí)速度月球把平均半徑引力常量橢圓偏心率橢圓軌道半長軸橢圓軌道半短軸月心離橢圓中心距離遠(yuǎn)月點(diǎn)長度近月點(diǎn)長度開普勒常數(shù)橢圓軌跡中遠(yuǎn)月點(diǎn)的瞬時(shí)速度橢圓軌跡中近月點(diǎn)的瞬時(shí)速度 徑向速度 嫦娥三號與月球水平面的夾角五、模型的建立與求解5.1二體軌道設(shè)計(jì) a.簡化假設(shè)二體假設(shè)指的是，認(rèn)為探測器在地球引力場里運(yùn)動，略去其他天體引力對探測器的影響。具體內(nèi)容如下： 地球?yàn)檎蝮w，半徑取為地球赤道半徑R =6378137km，地球引力常為； 月球?yàn)槔@地心作勻速圓周運(yùn)動的空間幾何點(diǎn)， 地月距為REL=38400km， 嫦娥三號自圓形地球停泊軌道加速進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道； 嫦娥三號的軌跡為地

12、心圓錐曲線。5.2問題一的模型建立與求解步驟一：嫦娥三號從地月轉(zhuǎn)移軌道進(jìn)入100公里×100公里的環(huán)月軌道做圓周運(yùn)動；飛行約4天后，變軌進(jìn)入橢圓軌道，降低動能，此時(shí)橢圓軌道進(jìn)入點(diǎn)就是遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，此處動能最小，勢能最大，根據(jù)天體運(yùn)動學(xué)可知：離心力等于萬有引力。由此可知遠(yuǎn)月點(diǎn)在圓周軌道運(yùn)行速度。步驟二：飛行約4天后因?yàn)殒隙鹑栃枰德?，所以采?500牛到7500牛的可調(diào)節(jié)推力的發(fā)動機(jī)制動，變軌進(jìn)入橢圓軌道，因?yàn)槟芰坎蛔?，萬有引力大于離心力，又因?yàn)橛袘T性，所以做橢圓運(yùn)動；運(yùn)動過程中有一個(gè)勢能最小，動能最小的位置即為近月點(diǎn)，根據(jù)開普勒定律求出橢圓軌跡方程及速度。步驟三：建立軌跡根數(shù)模型，

13、利用軟件分別計(jì)算遠(yuǎn)月點(diǎn)和近月點(diǎn)的近似經(jīng)度和緯度。 5.2.1天體運(yùn)動力學(xué)的模型與求解a.在圓周軌道中的遠(yuǎn)月點(diǎn)速度及方向 Step1：由于進(jìn)入環(huán)月軌道后做以半徑為100公里的圓周運(yùn)動，此時(shí)的離心力與萬有引力近似相等。離心力： (1)萬有引力： (2)(1)(2)式聯(lián)立可解得： （3）Step2：代入數(shù)據(jù)可得：在遠(yuǎn)月點(diǎn)嫦娥三號瞬時(shí)速度為： ，方向垂直于離心力。b.在橢圓軌道中的速度及方向 因?yàn)槟芰坎蛔?，將遠(yuǎn)月點(diǎn)的瞬時(shí)速度降低，形成下降橢圓軌道，此時(shí)的瞬時(shí)速度低于圓周運(yùn)動時(shí)的速度，經(jīng)過軌道周期的一半，嫦娥三號飛抵橢圓軌道近月點(diǎn)，此時(shí)軌道高度的為15km。根據(jù)衛(wèi)星使用目的和發(fā)射條件不同，可能有不同高度

14、和不同形狀的軌道，但它們有一個(gè)共同點(diǎn)，就是它們的軌道位置都在通過地球垂心的一個(gè)平面內(nèi)。衛(wèi)星運(yùn)動所在的平面叫軌道面。衛(wèi)星軌道可以是圓形或橢圓形。但不論軌道形狀如何，衛(wèi)星的運(yùn)動總是服從萬有引力定律的。所以根據(jù)開普勒定律求出橢圓軌跡方程及速度。Step1：根據(jù)開普勒第一定律(橢圓定律)：嫦娥三號以月心為一個(gè)焦點(diǎn)做橢圓運(yùn)動。用 軟件擬合出嫦娥三號圍繞月球的運(yùn)行軌跡。如圖（1）圖（1）橢圓偏心率遠(yuǎn)月點(diǎn)長度為:；近月點(diǎn)長度為：；確定嫦娥三號軌道平面的極坐標(biāo)表達(dá)式為： Step2：開普勒第二定律(面積定律) ：衛(wèi)星與月心的連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等。由第二定律可導(dǎo)出衛(wèi)星在軌道上任意位置的瞬時(shí)速度為： （

15、 ）Step3：模型求解，代入數(shù)據(jù)可得：嫦娥三號軌道平面的極坐標(biāo)表達(dá)式為 遠(yuǎn)月點(diǎn)的瞬時(shí)速度：近月點(diǎn)的瞬時(shí)速度：總結(jié)：通過簡單的二體問題計(jì)算公式可知，嫦娥三號飛行在高度100km 的環(huán)繞圓軌道運(yùn)動的時(shí)候，環(huán)繞速度為1.63324km/ s ；通過減速，將速度減小到v a = 1.61379 km / s ，形成下降的橢圓軌道，經(jīng)過軌道周期的一半，飛抵橢圓軌道近月點(diǎn)，橫向速度v b= 1.69204 km / s ，因?yàn)樵虑蜃陨淼沫h(huán)繞速度1.67237km/ s，所以徑向速度v y =0，方向垂直向下。5.2.2軌跡根數(shù)模型的建立與求解a.軌道約束條件（1）到達(dá)點(diǎn)的時(shí)間。到達(dá)時(shí)間的設(shè)計(jì)應(yīng)保證月心軌

16、道進(jìn)入點(diǎn)的前后數(shù)小時(shí)在地面測控站的測控范圍內(nèi)。（2）軌道根數(shù)。月球衛(wèi)星的軌道根數(shù)由月球探測器的飛行任務(wù)確定，通常包括軌道高度、軌道傾角等參數(shù)。對于具有可見光探測任務(wù)的探測器，則對太陽光矢量與軌道面的夾角有約束。若設(shè)計(jì)過程給定了到達(dá)時(shí)間，則可用到達(dá)時(shí)的軌道升交點(diǎn)經(jīng)度來滿足此約束條件。b. 橢圓軌道進(jìn)入點(diǎn)的軌道參數(shù)確定 軌道根數(shù)（或稱軌道要素或軌道參數(shù)）是對選定的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，在牛頓運(yùn)動定律和平方反比定律的重力吸引下，確認(rèn)特定軌道所必須要的參數(shù)。橢圓軌道上的三個(gè)笛卡爾坐標(biāo)），所以每個(gè)獨(dú)立的開普勒軌道（未受到攝動）經(jīng)過解析后，可以由原始的笛卡爾數(shù)值以六個(gè)參數(shù)明確地定義天體的姿態(tài)和速度。因此，所有的軌道元

17、素組合都明確的含有軌道傾角升交點(diǎn)黃經(jīng)，離心率，近日點(diǎn)輻角，半長軸，近日點(diǎn)通過時(shí)間這六個(gè)元素。地月轉(zhuǎn)移軌道末端到達(dá)時(shí)間和升交點(diǎn)經(jīng)度m 的確定取決于兩個(gè)因素：1）燃料消耗要求和太陽光照條件共同約束的影響；2）到達(dá)時(shí)測控條件要求。嫦娥三號所需速度增量（包括EA 點(diǎn)加速機(jī)動和LOI 點(diǎn)制動機(jī)動所需的速度增量之和），與LOI 點(diǎn)月心升交點(diǎn)經(jīng)度取值m 有關(guān)。m 越趨近于-90o（從0o 方向接近）或越趨近于90o（從180o 方向接近），則地月轉(zhuǎn)移軌道飛行時(shí)間越長，探測器所需燃料消耗越少。當(dāng)m 選定后，則LOI 點(diǎn)到達(dá)時(shí)間的天窗口取決于太陽光照條件。根據(jù)計(jì)算表明，若給定m 以及到達(dá)時(shí)太陽矢量與軌道面的夾角

18、（稱為太陽相位角），則每個(gè)月有兩次機(jī)會滿足要求。c.確定遠(yuǎn)月點(diǎn)和近月點(diǎn)位置² 到達(dá)時(shí)間： 2013年12月6日17分47時(shí)² 軌道傾角： 90 deg² 近月距：1752.646 km (對應(yīng)軌道高度為15km)² 到達(dá)遠(yuǎn)月點(diǎn)時(shí)太陽與標(biāo)稱軌道面的夾角：-35-40deg² 升交點(diǎn)經(jīng)度 ： -85 deg² 離心率：0.024² 半長軸：1794.513km根據(jù)嫦娥三號資料顯示，由于近月點(diǎn)在虹灣區(qū)正上方，忽略月球自轉(zhuǎn)，所以經(jīng)度可以看做基本不變；因?yàn)樵虑驑O區(qū)半徑為1735.843km，赤道半徑1737.646km，經(jīng)計(jì)算豎直高度

19、為19.31497km。通過軟件仿真，結(jié)果表明近月點(diǎn)位置（19.53 W，72.91N,15km）；遠(yuǎn)月點(diǎn)位置（160. 51E，107.09S,100km）。如圖（2）（3）： 圖（2）圖（3）5.3問題二的模型建立與求解步驟一：將著陸軌道的6個(gè)階段簡化為主減速控制，避開障礙控制以及垂直降落控制三個(gè)階段。步驟二：確定距離月面100m處的數(shù)字高程圖在距月面2400m處的數(shù)字高程圖的匹配坐標(biāo)。步驟三：對簡化后的三個(gè)階段分別從推力控制方向、約束條件、控制過程計(jì)算方法三方面進(jìn)行討論，再在景象匹配基礎(chǔ)上建立最精確軌道策略。步驟四：針對燃料的節(jié)省建立燃料最省軌道模型，求解最優(yōu)控制。5.3.1.模型的簡化

20、： 精確軟著陸過程主要是使嫦娥三號由距月面 15km 的高度降落到月球表面，同時(shí)將初始相對月球1.69204km/s 的初速度減小到相對靜止既相對速度為0，并滿足一定的著陸精度要求的著陸過程。根據(jù)任務(wù)要求將著陸過程分為3個(gè)階段，以其所要達(dá)到的高度為指標(biāo)分為初始高度距月面15km、主速度減小為0 時(shí)的高度(制導(dǎo)階段的初始高度)、制導(dǎo)結(jié)束的高度、抵達(dá)月面；具體過程如下表：控制階段距月面距離描述主減速 （A）15000-2400米減速并調(diào)整，使發(fā)動機(jī)的推力豎直向下避開障礙（B）2400-30米相機(jī)采集月面信息，調(diào)整位置避開障礙垂直降落（C）30-0米垂直下降，使嫦娥三號到達(dá)著陸位置5.3.2 基于多

21、尺度塔式小波分解的圖像匹配Step1:確定粗避障橫向位移通過Image Match 軟件確定距離月面100m處的數(shù)字高程圖作為模板圖，將距月面2400m處的數(shù)字高程圖作為待匹配圖。使用法計(jì)算出距月面2400m處的數(shù)字高程圖的最佳閾值為116.9991如圖（4），以此作為頂層粗匹配閾值且將預(yù)選粗匹配點(diǎn)數(shù)設(shè)為500。最終求出最佳匹配坐標(biāo)。結(jié)果如圖（5）圖（4） 圖（5）在匹配結(jié)果圖按1：1的比例加入坐標(biāo)軸如圖（6），將匹配坐標(biāo)對應(yīng)直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)（364,1600），嫦娥三號位置在中心坐標(biāo)（1150,1150），根據(jù)勾股定理計(jì)算 ，所以在粗避障過程中，嫦娥三號以夾角為30度的方向水平橫向位移90

22、5m。圖（6）b.精細(xì)避障橫向位移Step1:利用MATLAB軟件獲取大量數(shù)據(jù)，并規(guī)定90-110的灰度值為可接受的平緩地勢，通過逐點(diǎn)掃描確定最優(yōu)著陸點(diǎn)坐標(biāo)為(112,959)。嫦娥三號以夾角為50度的方向水平橫向位移601m5.3.3最精確軌道的建立在嫦娥三號導(dǎo)航定位中 ，傳統(tǒng)的方法有燃料最省軟著路、兩次減速軟著路，但下視景象匹配是一種廣泛使用的定位方法 ，它利用嫦娥三號實(shí)時(shí)獲取下視景象(實(shí)時(shí)圖) ，與飛行區(qū)域具有地理編碼的基準(zhǔn)圖像(基準(zhǔn)圖)進(jìn)行匹配，根據(jù)匹配結(jié)果來實(shí)時(shí)確定嫦娥三號位置 ，因此匹配結(jié)果的好壞將直接影響導(dǎo)航定位的精度。圖像匹配通常是在已知的 M×N 個(gè)象素的圖象中尋找

23、m×n 個(gè)象素的子圖像的匹配位置(M>m，N>n)圖像匹配是計(jì)算機(jī)圖像科學(xué)的一種基本處理方法。通常把實(shí)時(shí)圖與基準(zhǔn)圖中與之大小相等、方向相同的子圖(基準(zhǔn)子圖) 逐一進(jìn)行比較，找出與實(shí)時(shí)圖相匹配的那個(gè)基準(zhǔn)子圖的位置，即認(rèn)為是實(shí)時(shí)圖在基準(zhǔn)圖中的位置，從而確定出基準(zhǔn)圖與實(shí)時(shí)圖的相對位置。A.主減速段最優(yōu)控制策略Step1:推力方向控制在橫向主減速嫦娥三號的速度方向可分解為橫向速度和徑向速度，在橫向減速階段主要的任務(wù)是減小嫦娥三號的橫向速度為其后的制導(dǎo)飛行做準(zhǔn)備。在徑向減速段由嫦娥三號縱軸相對當(dāng)?shù)厮矫娴钠?得到姿態(tài)調(diào)整信息對嫦娥三號的進(jìn)行姿態(tài)調(diào)整使嫦娥三號縱軸沿垂直平面旋轉(zhuǎn) =

24、/2 + ，最終將主發(fā)動機(jī)的噴口方向(嫦娥三號縱軸)垂直當(dāng)?shù)卦旅?，選擇主發(fā)動機(jī)的開機(jī)點(diǎn)，利用主發(fā)動機(jī)推力抵消徑向速度。Step2:約束條件根據(jù)任務(wù)需要，在橫向減速完成時(shí)，嫦娥三號的橫向速度將減小到零，主發(fā)動機(jī)關(guān)機(jī)，所以終端約束條件為水平速度為0。 由嫦娥三號攜帶的降落相機(jī)的開機(jī)高度和速度要求為基準(zhǔn)，得到嫦娥三號進(jìn)行徑向減速后所需的徑向速度20km/s和距離月面的高度3000km。Step3：控制過程計(jì)算方法1.計(jì)算初值：帶入橫向減速動力學(xué)方程： 其中， ， 是推力加速度。Step4：主減速階段各變量變化曲線圖速度及質(zhì)量變化曲線圖高度徑向速度變化曲線B.避障段最優(yōu)控制策略Step1：推導(dǎo)方向控制

25、由于上一個(gè)控制段結(jié)束時(shí)嫦娥三號各狀態(tài)值已經(jīng)達(dá)到降落相機(jī)的開機(jī)條件，此時(shí)嫦娥三號所攜帶的星載計(jì)算機(jī)將降落相機(jī)所拍攝的圖像和機(jī)器內(nèi)存儲的環(huán)月階段所拍攝的基準(zhǔn)圖像進(jìn)行匹配計(jì)算，形成目標(biāo)點(diǎn)的位置信息。由此信息可得到輔助發(fā)動機(jī)噴口方向與嫦娥三號和目標(biāo)連線的角度偏差 和距離 。 Step2:約束條件由嫦娥三號精度要求和飛行任務(wù)要求為準(zhǔn)，得到嫦娥三號進(jìn)行垂直減速后所要達(dá)到的徑向速度20km/s以及距離月面的高度2400km。Step3：控制過程計(jì)算方法(1)徑向運(yùn)動方程建立：由于初始橫向速度為0，設(shè)初始徑向速度為v y0 ，自由下落末速度(開機(jī)點(diǎn)速度)為vyg ，橫向制導(dǎo)終點(diǎn)徑向速度為v y1 。自由下落距

26、離為S y1 ，開機(jī)減速距離為S y2 ，下落總距離為Sy 。由徑向減速方程可得：式子中： （2）橫向運(yùn)動方程的建立：橫向運(yùn)動與徑向減速段類似可得到橫向速度和位移公式，設(shè)輔助發(fā)動機(jī)開機(jī)點(diǎn)到噴口切換點(diǎn)的橫向位移為SHx，噴口切換點(diǎn)到橫向制導(dǎo)段結(jié)束(橫向速度減為0)的橫向位移為Sx2，噴口切換點(diǎn)橫向速度為vHx，橫向總位移為SX x2 Hx = S + S，再根據(jù)橫向速度與橫向位移公式聯(lián)立方程可得：Step4：避障段各變量變化曲線圖高度徑向速度變化曲線橫向平移，橫向速度變化曲線c.垂直降落段最優(yōu)控制策略Step1：推導(dǎo)方向控制垂直降落過程與徑向減速過程基本一致，但是減少了嫦娥三號進(jìn)行姿態(tài)調(diào)整地過程

27、，控制策略更加簡化。Step2: 約束條件 軟著陸的基本要求為以接近0的速度降落在月球表面。Step3：控制過程計(jì)算方法式子中： Step4：垂直降落段各變量變化曲線圖高度、徑向速度的變化曲線5.3.3.1最精確軌道的近似求解1.初始條件2.最優(yōu)軌道終端參數(shù) 5.3.4最省燃料軌道建立與求解Step1：最優(yōu)控制方法如果以燃料最省為優(yōu)化性能指標(biāo)，意味著登月軟著陸完畢嫦娥三號的剩余質(zhì)量最大。對于推力幅值恒定的嫦娥三號，燃料消耗最省的性能指標(biāo)可以表示為：因此，如果達(dá)到燃料最省的性能指標(biāo)，首先應(yīng)選擇較大比沖的發(fā)動機(jī)。一般情況下，當(dāng)發(fā)動機(jī)的類型已經(jīng)確定的時(shí)候，發(fā)動機(jī)的比沖和推力幅值都已確定，即發(fā)動機(jī)的燃

28、料消耗率已經(jīng)確定。此時(shí)性能指標(biāo)變?yōu)轱w行時(shí)間極小。此時(shí)發(fā)動機(jī)的推力會取為最大值，使嫦娥三號在盡量短的時(shí)間內(nèi)完成軟著陸任務(wù)，對于軟著陸問題，由于實(shí)際工作時(shí)間很短，燃料最優(yōu)的性能指標(biāo)具有更重要的工程意義。構(gòu)造哈密頓函數(shù)，根據(jù)極大值原理得到最優(yōu)推力控制角有對于登月軟著陸的最優(yōu)控制問題實(shí)際就是控制發(fā)動機(jī)的推力T 和推力控制角 達(dá)到最優(yōu)的推力 和最優(yōu)的推力控制角 ，使得嫦娥三號沿著一條燃料最省的軌道進(jìn)行軟著陸。Step2:最優(yōu)軟著陸軌道近似求解 1.初始條件2.終端條件3.最優(yōu)軌道終端參數(shù) 5.4問題三模型的建立與求解5.4.1誤差分析a.針對著陸精度誤差分析1.最省燃料著陸軌道 所選近月點(diǎn)與飛行器實(shí)際所

29、到達(dá)的軌道位置有一定偏差，將造成其后的降落過程的極大偏差，使飛行器存在以很大速度擊中月球表面或嚴(yán)重偏離降落范圍的安全隱患。2.最精確著陸軌道能降低著陸器以極大速度擊中月球表面的幾率，同時(shí)由于增加了橫向飛行制導(dǎo)段，使得飛行器能自主尋找已知目標(biāo)點(diǎn)，大大降低了嚴(yán)重偏離降落范圍的安全隱患b.針對燃料消耗誤差分析1.最省燃料著陸軌道燃料最優(yōu)軟著陸方案的燃耗比最低(燃料消耗量和初始質(zhì)量比)，降落過程時(shí)間最短。兩次減速軟著陸方案的降落過程時(shí)間居中，燃耗比也居中，精確軟著陸的燃耗比最大，降落時(shí)間也最長。2.最精確著陸軌道精確軟著陸的燃耗比最大5.4.2敏感性分析敏感性分析是指從定量分析的角度研究有關(guān)因素發(fā)生某種變化對某一個(gè)或一組關(guān)鍵指標(biāo)影響程度的一種不確定分析技術(shù)。其實(shí)質(zhì)是通過逐一改變相關(guān)變量數(shù)值的方法來解釋關(guān)鍵指標(biāo)受這些因素變動影響大小的規(guī)律。根據(jù)資料顯示，初始條件精度較差，攝動影響一般較大；推力器安裝誤差變大，軌道攝動量增大；噴氣時(shí)間對攝動量沒有明顯的影響規(guī)律。此外，攝動仿真曲線波動較大，且變化量分布不均勻，變軌姿控過程