考研數(shù)二真題及解析

1、1一、 (6)二、 三、989年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題填空題(每小題3分，滿(mǎn)分21分.把答案填在題中橫線上.)limxcot2x =.x_00 tsintdt =.x曲線y = I (t -1)(t -2)dt在點(diǎn)(0,0)處的切線方程是設(shè) f(x) =x(x +1)(x+2)川，(x+n),則 f'(0) =1設(shè) f(x)是連續(xù)函數(shù)，且 f(x) = x+21 f(t)dt,則 f(x) =a bx21 2 -,f (2) =0及 J。f(x)dx = 1,求 j0x f ”(2x)dx.選擇題(每小題3分,滿(mǎn)分18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所

2、選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)1僅 x >0時(shí)，曲線 y = xsin () x(A)有且僅有水平漸近線(B)有且僅有鉛直漸近線, x < 0設(shè)f (x) = sinbx 在x = 0處連續(xù)，則常數(shù)a與b應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系是,x 0 x設(shè) tan y = x + y,則 dy =計(jì)算題(每小題4分，滿(mǎn)分20分.)已知 y =arcsinex,求 y.1求 lim(2sin x cosx)x.x )0d2ydx22、x = ln(1 t ), f dy 口已知,、 八求及已知f(2) 口y =arctant, dx(C)有三個(gè)不同實(shí)根(D)有五個(gè)不同實(shí)根 曲線y =c0sx( Mx )與

3、X軸所圍成的圖形，繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為()2222(A) - (B)二(C)萬(wàn)(D)二 2(4)設(shè)兩函數(shù)f (x)及g(x)都在x = a處取得極大值，則函數(shù)F (x) = f (x)g(x)在x = a處()(A)必取極大值(B)必取極小值(C)不可能取極值(D)是否取極值不能確定(5)微分方程y"y =ex +1的一個(gè)特解應(yīng)具有形式(式中a,b為常數(shù))()xxxx(A) ae b (B) axe b (C) ae - bx (D) axe bx(6)設(shè)f (x)在x = a的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，則f (x)在x = a處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件是()1(A)lim h f

4、(a+) f (a)存在h ,二 h(B)(C)lim f(a h) - f(ah)存在(D) lim f f(ah)存在 h30h四、(本題滿(mǎn)分6分)求微分方程xy ' + (1 -x)y =e2x (0 < x <-)滿(mǎn)足y(1) =0的解.五、(本題滿(mǎn)分7分)x設(shè) f (x) =sin x - 1 (x t) f (t)dt ,其中 f 為連續(xù)函數(shù)，求 f (x).六、(本題滿(mǎn)分7分)證明方程-1二。-X 一 ecos2xdx在區(qū)間(0,)內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同實(shí)根七、(本大題滿(mǎn)分11分)x 1對(duì)函數(shù)y=,填寫(xiě)下表:x單調(diào)減少區(qū)間單調(diào)增加區(qū)間極值點(diǎn)極值凹(U)區(qū)間凸(Pl

5、)區(qū)間拐點(diǎn)漸近線八、(本題滿(mǎn)分10分)2設(shè)拋物線y=ax +bx+c過(guò)原點(diǎn)，當(dāng)0M x Ml時(shí)，y之0,又已知該拋物線與 x軸及直線x = 1所一一 .一 ,1圍圖形的面積為 一，試確定a,b,c使此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積V最小.31989年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析、填空題(每小題3分，滿(mǎn)分21分.)【解析】這是個(gè) 0，妙型未定式，可將其等價(jià)變換成 0型，從而利用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解0cos2x x萬(wàn)法一：lim x cot 2x = lim x =lim cos 2xx 0x 0 sin 2x x 0 sin 2x x11=lim洛 lim二.x )0 sin 2

6、x = J0 2cos 2x 2、-cos2x萬(wàn)法一：lim xcot 2x =lim xx-0xo sin 2xsin xsin x【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】lim 叫二是兩個(gè)重要極限中的一個(gè) ，lim sS =1. x-0 xx-0 x【答案】n【解析】利用分部積分法和牛頓-萊布尼茨公式來(lái)求解，=二 0 sint 10 =(0 -0)二星(3)【答案】y = 2x【解析】要求平面曲線的切線，首先應(yīng)求出該切線的斜率 ，即f '(x0).這是一個(gè)積分上限函數(shù)，滿(mǎn)足積分上限函數(shù)的求導(dǎo)法則，即y'=(x1)(x 2).由y'在其定義域內(nèi)的連續(xù)性，可知y'xz0 =(01)(0

7、2) =2.所以，所求切線方程為y -0 =2(x0)，即y =2x.【答案】n!【解析】方法一：利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念求解，即=lim( x 1)(x 2) HI (x n) =1 2 HI n = n!.方法二：利用其導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可知，x(x 1)(x 2) Ji (x n T) 1,所以 f (0) =(0 1)(0 2) Hl<0 n) 0 川 0 =1 2 |" n =n!.【答案】x -1i【解析】由定積分的性質(zhì)可知，0 f (t)dt和變量沒(méi)有關(guān)系，且f(x)是連續(xù)函數(shù)，故1(f (t)dt為一常數(shù)，為簡(jiǎn)化計(jì)算和防止混淆，1令f f (t)dt =

8、a,則有恒等式f (x) =x +2a ,兩邊0到1積分得110 f (x)dx = 0(x 2a)dx,.1111 2, 11即 a = o(x 2a)dx = o xdx 2a ° dx = - x 2a lx 0 = - 2a,1解n得 a = -一，因此 f (x) = x +2a = x -1.2(6)【答案】a = b【解析】如果函數(shù)在 x0處連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)處的左右極限與該點(diǎn)處函數(shù)值必然相等由函數(shù)連續(xù)性可知f _(0) = f (0) = a b 0 = a .sin bx sin bxsin bx ,而 f (0) = lim = lim b =b lim = b,

9、x 0 - xx0bxx » bx如果f (x)在x=0處連續(xù)，必有f0) = f/0),即a = b.【答案】dx(x y)2【解析】這是個(gè)隱函數(shù)，按照隱函數(shù)求導(dǎo)法，兩邊微分得sec2 y dy = dx + dy ,dx dx dx所以 dy -2=2=2 ,( x y -0).sec y 1 tan y (x y)、計(jì)算題(每小題4分，滿(mǎn)分20分.)【解析】令u =efx-Vx，則 y = arcsine"' = arcsinu ,由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法nt .1則，y = (arcsinu) = u.1 -U1 v1 v-1e v = e - 1 -u21 -u2

10、2 , x11 -e： x【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:y =中(f(x)的導(dǎo)數(shù) y' =，(f (x)f'(x).【解析】利用不定積分的換元積分法，f dx =尸1nx=，+c. xln x In x In x(3)【解析】可將函數(shù)轉(zhuǎn)化稱(chēng)為熟悉的形式來(lái)求其極限，12sin x：cosx=1imJ1(2sin x cosx -1)2shi x cosx x令 2sinx+cosx-1 =t，則當(dāng) xt 0 時(shí)，tT 0,11則 1叫1 (2sin x cosx -1)2sinx cosx=lim1 tt,1這是個(gè)比較熟悉的極限，即1/3(1 +t)T =e.12sin x -

11、cosx _Jlim所以 lim(2sin x cos x)x =ex 0 x2sinx cosx-12cosx - sinx洛 limx =x p 1=2,12sin x:cosxlim o所以lim(2sin x+cosx)x=ex_0x=e2.(4)【解析】這是個(gè)函數(shù)的參數(shù)方程，dy 1dy _ dtTF _±,dx dx 2t 2t2 dt 1 t22d yd/d/dtd z 11=( 一 )= 一 (一)二 一 (一 )dx dx 2t dt 2t dx dt 2t dxdt-21(27互1 t21 t24t3【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程所確定函數(shù)的微分法：如果卜川，則5=*.y

12、 = (t) dx (t)(5)【解析】利用定積分的分部積分法求解定積分，1 .1_11_=-f (2) f(2)-f(2x)dx,222011令 t =2x ,則 x = -t, dx = - dt22112所以 0 f (2x)dx =- ° f (t)dt .-12把f (2) =-, f (2) =0及f(x)dx =1代入上式，得11 1-1=0.三、選擇題(每小題【答案】(A)22 2 2 23分,滿(mǎn)分18分.)【解析】函數(shù)y,1.c= xsin 只有間斷點(diǎn) x=0. xlimx 0y - lim xsin-x 0 - x1 I，其中sin 是有界函數(shù).當(dāng)xt 0時(shí)，x為

13、無(wú)窮小，無(wú)窮小量和一個(gè)有界函數(shù) x的乘積仍然是無(wú)窮小，所以.1八lim y = lim xsin = 0 , x-0 -x 0 - x故函數(shù)沒(méi)有鉛直漸近線silim y = xx 1 sint .lim - t = lim = 1,x J 二二 1x x p ' t所以y =1為函數(shù)的水平漸近線，所以答案為(A).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】鉛直漸近線：如函數(shù) y = f (x)在其間斷點(diǎn)x = x0處有l(wèi)im f (x) =2 ,則x = x0是函 jx0數(shù)的一條鉛直漸近線；水平漸近線：當(dāng)lim f(x)=a,(a為常數(shù))，則y = a為函數(shù)的水平漸近線. x_ .【答案】(B)【解析】判定方程f

14、 (x) = 0實(shí)根的個(gè)數(shù)，其實(shí)就是判定函數(shù) y = f (x)與x有幾個(gè)交點(diǎn)，即對(duì)函數(shù)圖形的描繪的簡(jiǎn)單應(yīng)用，53令 f (x) = x 2ax 3bx 4c ,【解析】如圖y =cosx(二Ex工二)的圖像，則當(dāng)y =cosx繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，在x處取微增dx, 22則微柱體的體積dV =兀cos2 xdx,所以體積V有v因此選(C).【答案】(D)【解析】題中給出的條件中，除了一處極值點(diǎn)外均未指明函數(shù)其它性質(zhì)，為了判定的方便，可以舉出反例而排除.2右取f (x) =g(x) =-(xa),兩者都在x = a處取得極大值 o,而4 .F (x) = f (x)g(x) =(xa)在x = a處

15、取得極小值，所以(A)、(C)都不正確.若取f (x) =g(x) =1 -(x-a)2,兩者都在x=a處取得極大值1,而2 2 ，F(xiàn)(x) = f (x)g(x) = 1 -(x-a)2 I在x = a處取得極大值1,所以(B)也不正確，從而選(D).【答案】(B)【解析】微分方程y * - y =ex +1所對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的特征方程為r2 -1 = 0 ,它的兩個(gè)根是1 =1,2 = -1.而形如y"-y =ex必有特解Y1 = x，aex ； y"y=1必有特解 Y=b.由疊加得原方程必有特解Y = x aex + b,應(yīng)選(B).(6)【答案】(D)【解析】利用

16、導(dǎo)數(shù)的概念判定f(x)在x = a處可導(dǎo)的充分條件(A)等價(jià)于lim f (a *t) - f (a)存在，所以只能保證函數(shù)在 x = a右導(dǎo)數(shù)存在; j0 t(B)、(C)顯然是f(x)在x = a處可導(dǎo)的必要條件，而非充分條件，1cos, x 吏0 , 一< x在x = 0處不連續(xù)，因而不可導(dǎo)，但是0,x = 0小1、-1、11f(a h) - f(a -h)2hcos(0 ) -cos(0 ) coscosJ1、11limh 0f (a 2h) - f (a h)hcos( ) - cos(0 ) cos cos=lim2h2h- = lim2h2h = 0 均存在;h_0hhPh

17、(D)是充分的：.f (a -x) - f (a) x*. f (a) - f (a - h)f (a) - f (a - h) 小lim - = lim 存在= f (a) = lim 存在，應(yīng)選x-0xh-0hh-0h(D).四、(本題滿(mǎn)分6分)【解析】所給方程為一階線性非齊次微分方程，先寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式11x又因?yàn)?f (0) =0, f (0) =1, 所以 c1 =0,c2 =-,即 f (x) = sin x + cosx. 2xy(- -i)y = -e ,x e(ex C).xxx1 1_(_)dx12x JJdx1x 12x x通解為 y=e x ( eex dxC)=-e( e

18、 dx C) xx x ex代入初始條件y(1)=0,得C="，所求解為y = (ex -e).x【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】一階線性非齊次微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為y'+ p(x)y = q(x),其通解公式為p(x)dxp(x)dxy =e( Jq(x)e dx+C),其中C為常數(shù).五、(本題滿(mǎn)分7分)【解析】先將原式進(jìn)行等價(jià)變換，再求導(dǎo)，試著發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，xxxf (x) = sin x - ：(x T) f (t)dt =sin x x ° f (t)dt i tf (t)dt,所給方程是含有未知函數(shù)及其積分的方程，兩邊求導(dǎo)，得xxf (x) =cosx - 0 f (t)d

19、t -xf (x) +xf (x) = cosx - |0 f (t)dt ,再求導(dǎo)，得f "(x) = -sin x f (x)，即 f "(x) + f (x) = -sin x ,這是個(gè)簡(jiǎn)單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r22六、(本題滿(mǎn)分7分) +1 = 0 ,此特征方程的根為r=±i,而右邊的sinx可看作esin Px , 口 = 0, P = 1,o(土i P = ±i為特征根因此非齊次方程有特解 Y = xasin x - xbcosx.1 x代入方程并比較系數(shù)，得a =0,b= ,故丫 = cosx,所以2

20、23 (x) = c1 cosx c2sin x xcosx.2【解析】方法一：判定方程f （x） = 0等價(jià)于判定函數(shù) y = f （x）與x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)x 一令 f (x) = In x - 一 1 e “-cos2xdx,其中（Ji -cos2xdx是定積分，為常數(shù)，且被積函數(shù)1 一 cos2x在（0, n ）非負(fù)，故Ji -cos2xdx >0,為簡(jiǎn)化計(jì)算，令廣，1 cos2xdx = k>0,即 f (x) = ln x - + k , 0e11則其導(dǎo)致f（x）=_,令f（x）=0解得唯一駐點(diǎn)x = e, x e即 f(x) a0 :-f (x) ： 0,e 二 x ：二e

21、所以，x = e是取大點(diǎn)，取大值為f(e) = ln e - - + k = k>0.e又因?yàn)榘（x）二卿lim f (x) = lim (Inx j,二-x J,二.ex x _, k) - - - -e由連續(xù)函數(shù)的介值定理知在（0, e）與（e,十口）各有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（不相同）,x -： ， 一 故方程In x =4-cos2xdx在（0,十兀）有且僅有兩個(gè)不同頭根.e 0 1H r-.萬(wàn)法一：0 1 -cos2xdx =sin2xdx,因?yàn)楫?dāng) 0ExEn 時(shí)，sinx2 0,所以0 .2sin2xdx =、.- .0 sinxdx ilLcosxl。其它同方法一.七、（本大題滿(mǎn)

22、分11分）【解析】函數(shù)y =21則y=-4-e32x xx 12 x1的定義域?yàn)椋?,0 ）!J（0,y ）,將函數(shù)化簡(jiǎn)為11y = 一 =，x x工-1),y62+43x x1 6 3(2).x x令 y' = 0,得 x = -2，即12故x = -2為極小值點(diǎn).y =-2(-1) 0,x (-2,0), xxy 2(-2-1): 0,x (-：,-2)U(0, -：), xx令 y "=0,得 x = -3，即y"在x = 3處左右變號(hào)，所以x = -3, y(3) = -2為函數(shù)的拐點(diǎn).g,故x = 0是函數(shù)的鉛直漸近線;又lim yx_F9X X, 11、= hm( +) =0,故y =0是函數(shù)的水平漸近線 f： x x【解析】由題知曲線過(guò)點(diǎn)(0,0),得c = 0,即y = ax2 +bx.J2x322,、2,二 y dx 二二 p(a