江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題三解析幾何34專題提能—“解析幾何”專題提能課講義

1、word第四講 專題提能“解析幾何專題提能課失誤1因無視方程的標(biāo)準(zhǔn)形式而失誤例1拋物線的方程為y2ax2(a<0)，那么它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_解析y2ax2(a<0)可化為x2y，那么焦點(diǎn)坐標(biāo)為.答案點(diǎn)評(píng)此題易錯(cuò)如下：由拋物線方程為y2ax2，知拋物線的對(duì)稱軸為y軸，2p2a，所以pa，所以它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.求解此類問題的關(guān)鍵是：首先要準(zhǔn)確理解概念，正確識(shí)記拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：y22px、y22px、x22py、x22py，對(duì)于拋物線方程有關(guān)的題目要首先將方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式，然后在此根底上正確求出拋物線的焦參數(shù)p.在求焦參數(shù)時(shí)要注意p>0，標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值為2p，求出p后再研

2、究拋物線的幾何性質(zhì)，結(jié)合圖形去考慮.失誤2因無視圓方程本身的限制條件而失誤例2過定點(diǎn)(1,2)作兩直線與圓x2y2kx2yk2150相切，那么k的取值范圍是_解析把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，2(y1)216k2，所以16k2>0，解得<k<.又點(diǎn)(1,2)應(yīng)在圓的外部，把點(diǎn)代入圓方程得，14k4k215>0，即(k2)(k3)>0，解得k<3或k>2.綜上，k的取值范圍是.答案點(diǎn)評(píng)此題易錯(cuò)在于忽略題中方程必須是圓的方程，有些學(xué)生不考慮D2E24F>0.本例應(yīng)把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，根據(jù)構(gòu)成圓的條件得到等號(hào)右邊的式子大于0，列出關(guān)于k的不等式，求出

3、不等式的解集，然后由過點(diǎn)總可以作圓的兩條切線，得到點(diǎn)在圓外，故把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程中得到一個(gè)關(guān)于k的關(guān)系式，求出不等式的解集，綜上，求出兩解集的交集即為實(shí)數(shù)k的取值范圍.失誤3因無視斜率不存在的情況而失分例3過點(diǎn)(1,2)的直線l與圓x2y24交于A，B兩點(diǎn)，弦長(zhǎng)AB2，求直線l的方程解當(dāng)過點(diǎn)(1,2)的直線l斜率不存在時(shí)，滿足要求，所以方程x1滿足題意；當(dāng)過點(diǎn)(1,2)的直線l存在斜率時(shí)，記l的方程為y2k(x1)，即kxy2k0，由弦長(zhǎng)為2可得圓心到直線的距離為1，那么d1，解得k，所以直線l的方程為y2(x1)，即3x4y50.所以所求直線l的方程為x1和3x4y50.點(diǎn)評(píng)此題學(xué)生易錯(cuò)

4、在于忽略了斜率不存在的情況，在用斜率研究直線方程首先考慮斜率不存在的情況給定弦長(zhǎng)，一般都有兩解，除非弦長(zhǎng)值就是直徑的值，此時(shí)只有一解策略1利用對(duì)稱性解決橢圓中焦點(diǎn)三角形問題例1如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，直線y與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且BFC90°，那么該橢圓的離心率為_解析法一：由可得B，C.由F(c,0)，得，.又BFC90°，所以·0，化簡(jiǎn)可得2a23c2，即e2，故e.法二：由可得B，C，所以BCa，由橢圓的焦半徑公式得BFaexBae·a，CFaexCae·a，又BFC90°，

5、所以BF2CF2BC2，即22(a)2，式子兩邊同除以a2可得e2，即e.答案點(diǎn)評(píng)此題中B，C兩點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱，對(duì)稱性的運(yùn)用對(duì)線段的求解和坐標(biāo)求解有很大幫助.策略2利用有界性處理圓錐曲線中的存在性問題例2假設(shè)雙曲線1(a>0，b>0)右支上存在一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離是到右準(zhǔn)線距離的6倍，那么該雙曲線離心率的取值范圍為_解析記雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，設(shè)點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為d，那么由題意得點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為PF16d，由于PF1PF22a，所以PF26d2a，所以，所以d，又因?yàn)閐a，所以解之得此雙曲線的離心率e的取值范圍是(1,23,6)

6、答案(1,23,6)點(diǎn)評(píng)一般地，根據(jù)“存在一點(diǎn)這樣的條件求解離心率的取值范圍問題，主要是先利用幾何條件建立關(guān)于a，b，c的方程，再根據(jù)橢圓、雙曲線和拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的有界性來求解函數(shù)方程思想解決平面幾何中的最值問題典例在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)曲線C1：1(a>b>0)所圍成的封閉圖形的面積為4，曲線C1上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的最短距離為.以曲線C1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓記為C2.(1)求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)AB是過橢圓C2中心O的任意弦，l是線段AB的垂直平分線假設(shè)M是l與橢圓C2的交點(diǎn)，求AMB的面積的最小值解(1) 由題意得解得a28，b21. 所以所求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方

7、程為y21.(2)法一：設(shè)M(x，y)，那么A(y，x)(R，0)因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓C2上，所以2(y28x2)8，即y28x2.又x28y28.得x2y2.所以SAMBOM·OA|(x2y2).當(dāng)且僅當(dāng)±1，即kAB±1時(shí)，(SAMB)min. 法二：假設(shè)AB所在的直線斜率存在且不為零，設(shè)AB所在直線的方程為ykx(k0)解方程組得x，y，所以O(shè)A2xy，AB24OA2.又由解得x，y，所以O(shè)M2.由于SAB2·OM2··，當(dāng)且僅當(dāng)18k2k28時(shí)等號(hào)成立，即k±1時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)AMB面積的最小值是SAMB.當(dāng)k0時(shí)，SAM

8、B×4×12>； 當(dāng)k不存在時(shí)，SAMB×2×22>.綜上所述，AMB面積的最小值為.點(diǎn)評(píng)第(2)問中有關(guān)三角形面積的計(jì)算一般用以下幾種方式：(1)以弦長(zhǎng)為底，點(diǎn)到弦所在直線距離為高；(2)正弦定理；(3)如果弦所在直線過定點(diǎn)且頂點(diǎn)也為定點(diǎn)，可以將面積進(jìn)行分割一般地，如果建立關(guān)于k的函數(shù)，可以用導(dǎo)數(shù)的方法或換元處理后用根本不等式方法；如果建立的關(guān)于(x，y)的函數(shù)可以直接用根本不等式或消元后轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)1多角度幾何條件求解離心率例1如圖，橢圓1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率為e，設(shè)A，B是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，

9、AF的中點(diǎn)為M，BF的中點(diǎn)為N，原點(diǎn)O在以線段MN為直徑的圓上，設(shè)直線AB的斜率為k，假設(shè)0<k，求橢圓離心率e的取值范圍解法一：設(shè)MN交x軸與點(diǎn)C，AF的中點(diǎn)為M，BF中點(diǎn)為N，MNAB，F(xiàn)CCO，A，B為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，CMCN，原點(diǎn)O在以線段MN為直徑的圓上，COCMCN.OAOBc1.OA>b，a2b2c2<2c2，e>.設(shè)A(x，y)，由0<k，0<，解得1<a，e，橢圓離心率e的取值范圍為.法二：由1k2.e，a，b2a211，1k2e2，k2.0<k2，0<.解得e<，又e<1，e<1，橢圓離心率e

10、的取值范圍是.法三：設(shè)BAF，那么2csin 2ccos 2a，e，BOF2，sin，sin，e.橢圓離心率e的取值范圍為.點(diǎn)評(píng)動(dòng)直線可以通過聯(lián)立方程建立k與坐標(biāo)的關(guān)系，再得出與e的關(guān)系；也可以構(gòu)建幾何意義，利用幾何圖形得出關(guān)系；也可以轉(zhuǎn)化為角，利用三角函數(shù)求解2多角度的求解直線過定點(diǎn)例2過橢圓y21的左頂點(diǎn)A作互相垂直的直線分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)求證：直線MN過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)解法一：設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線MN：ykxm.聯(lián)立消去y，得(14k2)x28kmx4m240，那么>0，且x1x2，x1x2.由AMAN，得·1，即(k21)x1x2(km2

11、)(x1x2)m240，(k21)(km2)m240，化簡(jiǎn)得5m216km12k20，k0，5216120，解得或2(舍去)，直線MN：yk，過定點(diǎn).法二：設(shè)直線AM：yk(x2)(k0)，那么直線AN：y(x2)聯(lián)立消去y，得(14k2)x216k2x16k240，那么2xM，xM，yM.所以點(diǎn)M，同理點(diǎn)N，所以kMN，所以直線MN的方程為y，令y0，得x，所以直線MN過定點(diǎn).法三：(考查極端位置、特殊位置確定出定點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為一般性證明題)同法二知，xM，xN，令k21，此時(shí)，直線MN過定點(diǎn)C.當(dāng)k21，kCM，kCN.kCMkCN，M，N，C三點(diǎn)共線，即直線MN過定點(diǎn).點(diǎn)評(píng)直線過定點(diǎn)問題

12、，可以設(shè)出直線方程ykxm，得出k與m的關(guān)系，從而得到過定點(diǎn)；也可以直接用k表示出新直線的方程，再求過定點(diǎn)；也可以先特殊得出定點(diǎn)，再用三點(diǎn)共線來論證一般情形課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練A組易錯(cuò)清零練1過點(diǎn)P(2，1)且傾斜角的正弦值為的直線方程為_解析：設(shè)所求直線的傾斜角為，那么由題設(shè)知sin ，因?yàn)?<，所以cos ±±，所以tan ±，那么所求直線方程為y1±(x2)，即5x12y220或5x12y20.答案：5x12y220或5x12y202假設(shè)橢圓的短軸長(zhǎng)為2，長(zhǎng)軸是短軸的2倍，那么橢圓的中心到其準(zhǔn)線的距離是_解析：因?yàn)槎梯S長(zhǎng)為2，即b1，所以a2，那么橢

13、圓的中心到其準(zhǔn)線的距離是.答案：3設(shè)雙曲線的漸近線為y±x，那么其離心率為_解析：由題意可得或，從而e或.答案：或4假設(shè)關(guān)于x的方程 a(x1)1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：作出函數(shù)y的圖象，它是單位圓的上半局部，作出直線ya(x1)1，它是過點(diǎn)A(1,1)的直線，由圖象可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案：B組方法技巧練1直線l：mxy3m0與圓x2y212交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)假設(shè)|AB|2，那么|CD|_.解析：由直線l：mxy3m0知其過定點(diǎn)(3，)，圓心O到直線l的距離為d.由|AB|2得2()212，解得m.又直線l

14、的斜率為m，所以直線l的傾斜角.畫出符合題意的圖形如下圖，過點(diǎn)C作CEBD，那么DCE.在RtCDE中，可得|CD|2×4.答案：42.如圖，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0b1)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)假設(shè)|AF1|3|F1B|，AF2x軸，那么橢圓E的方程為_解析：設(shè)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c，那么可設(shè)A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|3|F1B|，可得3，故即代入橢圓方程可得b21，解得b2，故橢圓方程為x21.答案：x2y213橢圓1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)Q在橢圓上，那么橢圓的離心

15、率是_解析：法一：設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F1(c,0)，如圖，連結(jié)QF1，QF，設(shè)QF與直線yx交于點(diǎn)M，又題意知M為線段QF的中點(diǎn)，且OMFQ，O為線段F1F的中點(diǎn)，F(xiàn)1QOM，F(xiàn)1QQF，F(xiàn)1Q2OM.在RtMOF中，tanMOF，OFc.解得OM，MF，故QF2MF，QF12OM.由橢圓的定義QFQF12a，整理得bc，ac，故e.法二：設(shè)Q(x0，y0)，那么FQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為，kFQ.依題意得解得又因?yàn)?x0，y0)在橢圓上，所以1.令e，那么4e6e21，故離心率e.答案：4假設(shè)橢圓1(a>b>0)上存在一點(diǎn)M，它到左焦點(diǎn)的距離是它到右準(zhǔn)線距離的2倍，那么橢圓離心率的最小值為

16、_. 解析：由題意，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，根據(jù)焦半徑公式得，aex2，x，有aa，不等式各邊同除以a，得11，那么1e2，即e23e20，又0<e<1，所以e<1，所以橢圓離心率的最小值為.答案：5點(diǎn)(x，y)在圓x2y21上，求x22xy3y2的最大值和最小值解：圓x2y21的參數(shù)方程為：那么x22xy3y2cos22sin cos 3sin2sin 23×2sin 2cos 22sin，那么當(dāng)22k，即k(kZ)時(shí)，x22xy3y2取得最大值，為2；當(dāng)22k，即k(kZ)時(shí)，x22xy3y2取得最小值，為2.6.設(shè)橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)D

17、在橢圓上，DF1F1F2，2，DF1F2的面積為，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：設(shè)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c2a2b2.由2，得|DF1|c.從而SDF1F2|DF1|·|F1F2|c2，故c1.從而|DF1|.由DF1F1F2，得|DF2|2|DF1|2|F1F2|2，因此|DF2|，所以2a|DF1|DF2|2，故a，b2a2c21.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.C組創(chuàng)新應(yīng)用練1設(shè)mR，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線xmy0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mxym30交于點(diǎn)P(x，y)，那么|PA|·|PB|的最大值是_解析：易求定點(diǎn)A(0,0)，B(1,3)當(dāng)P與A和B均不重合時(shí)，不難驗(yàn)證

18、PAPB，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|·|PB|5(當(dāng)且僅當(dāng)|PA|PB|時(shí)，等號(hào)成立)，當(dāng)P與A或B重合時(shí)，|PA|·|PB|0，故|PA|·|PB|的最大值是5.答案：52O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，且PFx軸過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.假設(shè)直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，那么C的離心率為_解析：如下圖，由題意得A(a,0)，B(a,0)，F(xiàn)(c,0)設(shè)E(0，m)，由PFOE，得，那么|MF|.又由OEMF，得，那么|MF|.由得ac(ac)，即

19、a3c，e.答案：3設(shè)點(diǎn)M(x0,1)，假設(shè)在圓O：x2y21上存在點(diǎn)N，使得OMN45°，那么x0的取值范圍是_解析：依題意，直線MN與圓O有公共點(diǎn)即可，即圓心O到直線MN的距離小于等于1即可，過O作OAMN，垂足為A，在RtOMA中，因?yàn)镺MA45°，故|OA|OM|sin 45°|OM|1，所以|OM|，那么，解得1x11.答案：1,14橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|2c，假設(shè)橢圓上存在點(diǎn)M使得，那么該橢圓離心率的取值范圍為_解析：在MF1F2中，而，.又M是橢圓1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn)，|MF1|MF2

20、|2a.由得，|MF1|，|MF2|.顯然|MF2|>|MF1|，ac<|MF2|<ac，即ac<<ac，整理得c22aca2>0，e22e1>0，又0<e<1，1<e<1.答案：(1,1)5橢圓C：1(a>b>0)，四點(diǎn)P1(1,1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三點(diǎn)在橢圓C上(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)假設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點(diǎn)解：(1)由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過P3，P4兩點(diǎn)又由>知，橢圓C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在橢圓C上因此解得故橢圓C的方程為y21.(2)證明：設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.如果l與x軸垂直，設(shè)l：xt，由題設(shè)知t0，且|t|<2，可得A，B的坐標(biāo)分別為，.那么k1k21，得t2，不符合題設(shè)從而可設(shè)l：ykxm(m1)將ykxm代入y21得(4k21)x28kmx4m240.由題設(shè)可知16