《一元二次方程》全章復(fù)習(xí)與鞏固—知識(shí)講解(提高)--初中數(shù)學(xué)【名校學(xué)案+詳細(xì)解答】

1、一元二次方程全章復(fù)習(xí)與鞏固一知識(shí)講解（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 . 了解一元二次方程及有關(guān)概念；2 .掌握通過(guò)配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程;3 .掌握依據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型的方法.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】一元二次才«EII二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)y 常直擺開(kāi)千方法1實(shí)瓊同卷一兀二次方程根 與系數(shù)的關(guān)系分析安陸同題的敝*美系列一元二次方程【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、一元二次方程的有關(guān)概念1. 一元二次方程的概念:通過(guò)化簡(jiǎn)后，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程，叫做一元次方程.2. 一元二次方程的一般式:ax2 +6工+c - 0（a=1）3. 一元二次

2、方程的解：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根要點(diǎn)詮釋?zhuān)号袛嘁粋€(gè)方程是否為一元二次方程時(shí)，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；其次再將整式方程整理化簡(jiǎn)使方程的右邊為0,看是否具備另兩個(gè)條件：一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)為2.對(duì)有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個(gè)特點(diǎn)，不要忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0.要點(diǎn)二、一元二次方程的解法1 .基本思想元二次方程降次元一次方程2 .基本解法直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法.要點(diǎn)詮釋?zhuān)航庖辉畏匠虝r(shí)，根據(jù)方程特點(diǎn)，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開(kāi)平方法和因式分解 法，再考慮用公式

3、法.要點(diǎn)三、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系1 .一元二次方程根的判別式0）的一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)中，b2 4ac叫做一元二次方程 ax2 bx c 0(a根的判別式，通常用“”來(lái)表示，即 b2 4ac.(1)當(dāng) >0時(shí)，一元二次方程有 2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)當(dāng) =0時(shí)，一元二次方程有 2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；(3)當(dāng) <0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.2 .一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程 ax2 bxc 0(a 0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1, x2,那么x1x2b一，xx2 a注意它的使用條件為 aw。,c.aA > 0.要點(diǎn)詮釋:i.一元二

4、次方程溯+版衿o)的根的判別式正反都成立.利用其可以解決以下問(wèn)題:(i)不解方程判定方程根的情況；(2)根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；(3)解與根有關(guān)的證明題.2.一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；(2)已知方程，求含有兩根對(duì)稱(chēng)式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程. 要點(diǎn)四、列一元二次方程解應(yīng)用題1 .列方程解實(shí)際問(wèn)題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問(wèn)題中的等量關(guān)系；三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.2 .利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系3 .解決應(yīng)用題的一般步驟：

5、審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；設(shè)（設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量）;列（根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程 ）；解（解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰）；驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問(wèn)題有意義）；答（寫(xiě)出答案，切忌答非所問(wèn)）.4.常見(jiàn)應(yīng)用題型數(shù)字問(wèn)題、平均變化率問(wèn)題、利息問(wèn)題、利潤(rùn)（銷(xiāo)售）問(wèn)題、形積問(wèn)題等.要點(diǎn)詮釋?zhuān)毫蟹匠探鈶?yīng)用題就是先把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決而獲得對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決.【典型例題】類(lèi)型一、一元二次方程的有關(guān)概念1 1 ,已知（mi- 1） x1m1+1+3x2= 0是關(guān)于x的一元二次方程，求m的值.【答案與解析】依題意得

6、|m|+1 =2,即|m| = 1,解得m= ± 1,又 m 1 w 0,mF51,故 mi= 1.【總結(jié)升華】依題意可知 m- 1 W0與|m|+1 = 2必須同時(shí)成立，因此求出滿足上述兩個(gè)條件的m的值即可.特別是二次項(xiàng)系數(shù)應(yīng)為非零數(shù)這一隱含條件要注意【變式】若方程（m,2)xm 3mx1 0是關(guān)于x的二次方程，求 m的值.【答案】根據(jù)題意得2,2解得所以當(dāng)方程(m - 2)0,m2x3mx 1 0是關(guān)于x的二次方程時(shí)， m J2 .類(lèi)型二、一元二次方程的解法22.解下列一元二次方程.4(x 3)2 25(x 2)2 0； (2) 5(x 3)2x2 9; (3) (2x 1)2

7、4(2 x 1) 4 0.【答案與解析】原方程可化為：2( x 3)2 5( x 2)2 0,即(2x-6) 2-(5x-10) 2=0, (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)=0,即(7x-16)(-3x+4)= 0, 7x-16 =0或3+4=0,Xi16尸x2(2)5(x 3)2 (x 3)(x3),5(x 3)2 (x 3)(x3) 0,=0,x-3 = 0 或4x-18 = 0(x-3)5(x-3)-(x+3)即(x-3)(4x-18)=0,Xi(2x 1)24(2 x1)0,(2x1 2)20 .即(2x 3)20,3x1x2-22【總結(jié)升華】(1)萬(wàn)程左邊可變形為2(

8、 x 3)5( x 2),因此可用平方差公式分解因式;(2)中方程右邊分解后為(x-3)(x+3),與左邊中的(x-3) 2有公共的因式，可移項(xiàng)后提取公因式(x-3)后解題；(3)的左邊具有完全平方公式的特點(diǎn)，可用公式變?yōu)?2x+1+2) 2=0再求解.舉一反三：【變式】解方程：(1)3x+15 =-2x2-10x;(2)x2-3x = (2-x)(x-3).【答案】(1)移項(xiàng)，得 3x+15+(2x2+10x) =0,3(x+5)+2x(x+5)=0,即(x+5)(3+2x) =0,x+5 =0 或 3+2x=0,x15, x23 .2(2) 原方程可化為 x(x-3) =(2-x)(x-3

9、),移項(xiàng)，x(x-3)-(2-x)(x-3)=0,(x-3)(2x-2)=0,x-3 =0 或 2x-2=0,1- x13, x21 .元二次方程根的判別式的應(yīng)用類(lèi)型三關(guān)于x的方程(a 5)x2 4x0有實(shí)數(shù)根.則a滿足(A. a>1 【答案】A;.a> 1 且 aw 5且aw 5【解析】當(dāng)a0,即a 5時(shí),4x0, x1，一,有頭數(shù)根;4當(dāng)a0時(shí)，由A>。得(4)2(a 5)(1) 0 ,解得a 1且a5.綜上所述，使關(guān)于 x的方程(a 5)x2 4x 1 0有實(shí)數(shù)根的a的取值范圍是 a 1 .答案：A【總結(jié)升華】 注意“關(guān)于x的方程”與“關(guān)于x的一元二次方程”的區(qū)別，前者

10、既可以是一元一次方程, 也可以是一元二次方程，所以必須分類(lèi)討論，而后者隱含著二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.4. k為何值時(shí)，關(guān)于x的二次方程kx2 6x 9 0(D k滿足 時(shí),方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；(2) k滿足 時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；(3) k滿足 時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.【答案】(1) k<1 且 k 0; (2) k 1; (3) k>1.【解析】求判別式，注意二次項(xiàng)系數(shù)的取值范圍.【總結(jié)升華】根據(jù)判別式b2 4ac及kw0求解.類(lèi)型四、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系C5.關(guān)于x的一元二次方程x2+ (2k+1) x+k2+1=0有兩個(gè)不等實(shí)根x1, x2.(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

11、(2)若方程兩實(shí)根 x1, x2滿足|x1|+|x2|=x1?x2,求k的值.【答案與解析】解：(1) ,原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，.= (2k+1) 2- 4 (k2+1) =4k2+4k+1 - 4k24=4k - 3>0,解得：k>2；4k工4x1+x2= - ( 2k+1) < 0,2又.x1?x2=k +1 >0,1. x1< 0 , x2V0,. |x1| + |x2|= - x1 - x2= - (x1+x2)=2k+1 ,|x1| + |x2|=x1?x2,.2k+1=k2+1 ,2. k1=0, k2=2,又: k>44k=2.【總結(jié)升華

12、】 本題主要考查了根的判別式以及根與系數(shù)關(guān)系的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是利用根的判別式 =b2-4ao0求出k的取值范圍.舉一反三：【變式】已知關(guān)于x的方程(k 1)x2 (2k 3)x k 1 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 x1、x2.(1) 求k的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？如果存在，求出k的值；如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.222【答案】(1)根據(jù)題意，得=(2k-3) -4(k-1)(k+1)= 4k 12k 9 4k 12k 13 0,一 13所以k 13 .由1213時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)k 13且kW112(2) 不存在.如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，

13、則2k 33x1 x2 0 ,斛得 k 一.k 12“3當(dāng)k 時(shí)，判別式= -5 <0,方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.2所以不存在實(shí)數(shù)k,使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù).類(lèi)型五、一元二次方程的應(yīng)用C6.隨著青奧會(huì)的臨近，青奧特許商品銷(xiāo)售逐漸火爆.甲、乙兩家青奧商品專(zhuān)賣(mài)店一月份銷(xiāo)售額分別為10萬(wàn)元和15萬(wàn)元，三月份銷(xiāo)售額甲店比乙店多10萬(wàn)元.已知甲店二、三月份銷(xiāo)售額的月平均增長(zhǎng)率是乙店二、三月份月平均增長(zhǎng)率的2倍，求甲店、乙店這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率各是多少？【答案與解析】解：設(shè)乙店銷(xiāo)售額月平均增長(zhǎng)率為x,由題意得：10 ( 1+2x) 2 15 (1+x) 2=10,解得 x1=60%, x2=- 1 (舍去).2x=120% .答：甲、乙兩店這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率分別是120%、60%.【總結(jié)升華】此題考查了一元