“APOS理論”指導(dǎo)下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)

1、“APOS理論”指導(dǎo)下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué) 安徽省六安市教科所 賈 兵（郵編：237009） 安徽省六安中學(xué) 陸學(xué)政（郵編：237161）（本文系安徽省2009年度教育規(guī)劃課題（JG09284）研究成果）摘要：2009年以來(lái)，六安市教科所與六安一中聯(lián)合進(jìn)行安徽省教育規(guī)劃課題（JG09284）的研究工作，主題是“高中數(shù)學(xué)新課程教材特點(diǎn)與教學(xué)有效性研究”.本文嘗試從理論指導(dǎo)實(shí)踐、實(shí)踐性反思的角度，力求較為全面、客觀、辯證地剖析APOS理論對(duì)高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的指導(dǎo)作用，并試圖引發(fā)進(jìn)一步的思考與研究.關(guān)鍵詞：APOS理論；教學(xué)策略；案例；反思概念是思維的基本單位，理解概念是一切數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，概念不清就

2、無(wú)法進(jìn)一步開(kāi)展其它數(shù)學(xué)活動(dòng).李邦河院士說(shuō)：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也！”另外，學(xué)生的概念理解和應(yīng)用水平也是衡量教學(xué)質(zhì)量高低的最重要標(biāo)準(zhǔn).因此，概念教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有舉足輕重的地位.然而，當(dāng)前不重視概念教學(xué)，概念教學(xué)走過(guò)場(chǎng)，以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的現(xiàn)象十分普遍.概念教學(xué)常常采用“一個(gè)定義，幾項(xiàng)注意”的方式，在概念的背景引入上著墨不夠，沒(méi)有給學(xué)生提供充分的概括概念本質(zhì)特征的機(jī)會(huì)，認(rèn)為這是浪費(fèi)時(shí)間，不如讓學(xué)生多做幾道題目更實(shí)惠這些做法嚴(yán)重偏離了數(shù)學(xué)的正軌，必須糾正否則，學(xué)生在數(shù)學(xué)上耗費(fèi)大量時(shí)間、精力，結(jié)果可能是對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義知之甚少，“數(shù)學(xué)育人”終將落空.更令人

3、擔(dān)憂的是，有些老師不知如何教概念.基于上述背景，筆者所在課題組對(duì)指導(dǎo)概念教學(xué)的重要理論APOS理論進(jìn)行了專(zhuān)題研析，研析分為四個(gè)環(huán)節(jié)：一是理解APOS理論的內(nèi)涵及其背景；二是分析立足APOS理論進(jìn)行概念教學(xué)的策略；三是通過(guò)典型案例嘗試APOS理論的具體應(yīng)用；四是在實(shí)踐的基礎(chǔ)上對(duì)APOS理論進(jìn)行再思考.1 APOS理論概述1.1 APOS理論的內(nèi)涵APOS理論是美國(guó)數(shù)學(xué)家、教育家杜賓斯基于1991年提出的，APOS是由英文Action（操作）、Process（過(guò)程）、Object（對(duì)象）、Scheme（圖式）的第一個(gè)字母組合而成，該理論認(rèn)為數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷這四個(gè)階段.第一階段“操作階段”.

4、所謂“操作”是指?jìng)€(gè)體對(duì)于感知到的對(duì)象進(jìn)行轉(zhuǎn)換，這個(gè)對(duì)象實(shí)質(zhì)上是一種外部刺激.“操作”階段應(yīng)是學(xué)生建構(gòu)概念的起點(diǎn)，目的是為“過(guò)程”階段提供感性素材和反省對(duì)象，為觀察、聯(lián)想、歸納、概括等活動(dòng)提供固著點(diǎn).這里的“操作”應(yīng)是廣義上的操作，不僅涉及具體的行為（動(dòng)作）操作，更涉及內(nèi)隱的思維操作.“操作”能重現(xiàn)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力和抽象概括能力.但是，“操作”并非最終目的，不能為操作而操作，操作要始終圍繞數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，并及時(shí)“數(shù)學(xué)化”.第二階段“過(guò)程階段”.“過(guò)程”是指當(dāng)個(gè)體能反思操作時(shí), 受外部驅(qū)使的動(dòng)作逐漸轉(zhuǎn)換為個(gè)體控制的心理活動(dòng).當(dāng)“操作”經(jīng)過(guò)多次重復(fù)而被

5、個(gè)體熟悉后，對(duì)概念的學(xué)習(xí)就可以不再依賴(lài)具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)，而是在頭腦中實(shí)施這個(gè)過(guò)程.“過(guò)程”階段是學(xué)生對(duì)“操作”的思考，然后經(jīng)歷思維的內(nèi)化、壓縮過(guò)程，學(xué)生能夠在頭腦中對(duì)活動(dòng)進(jìn)行描述和反思，并形成了從事活動(dòng)的程序、步驟，可以抽象出概念的特有性質(zhì)；“過(guò)程”階段是學(xué)生對(duì)感性認(rèn)識(shí)的處理、組織、頓悟，是思維飛躍的關(guān)鍵，通常也是概念學(xué)習(xí)的難點(diǎn)與關(guān)鍵.第三階段“對(duì)象階段”. 當(dāng)個(gè)體能把概念的形成“過(guò)程”作為一個(gè)整體進(jìn)行操作和轉(zhuǎn)換的時(shí)候，這一過(guò)程就變成了個(gè)體的一種相對(duì)獨(dú)立的心理“對(duì)象”，表現(xiàn)為個(gè)體通過(guò)前面的抽象，認(rèn)識(shí)到了概念的本質(zhì)，對(duì)其賦予形式化的定義及符號(hào)，使其達(dá)到精致化，成為一個(gè)具體的對(duì)象，在以后的學(xué)習(xí)中能夠

6、以此為對(duì)象進(jìn)行新的活動(dòng).其中，“精致化”的實(shí)質(zhì)是對(duì)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延進(jìn)行盡量詳細(xì)的“深加工”，對(duì)“概念要素”進(jìn)行具體界定，以使學(xué)生建立更清晰的概念表象，獲得更多的概念例證，對(duì)概念的細(xì)節(jié)把握得更加準(zhǔn)確，理解概念的各個(gè)方面，獲得概念的某些限制條件等.當(dāng)概念進(jìn)入“對(duì)象”狀態(tài)時(shí)，便呈現(xiàn)為一種靜態(tài)結(jié)構(gòu)關(guān)系，成為一個(gè)“實(shí)體”，易于整體把握性質(zhì)，這時(shí)一個(gè)完整的理解才真正成型.“對(duì)象”在某一個(gè)層次和更高一級(jí)層次之間起著一種樞紐作用：既是概括的結(jié)果，又是新的概括的起點(diǎn).第四階段“圖式階段”.“圖式”是指與這個(gè)概念有關(guān)的所有操作、過(guò)程和對(duì)象以及與這個(gè)概念有關(guān)的所有知識(shí)形成的認(rèn)知結(jié)構(gòu)或認(rèn)知框架，其作用和特點(diǎn)就是決

7、定某些刺激是否屬于這個(gè)圖式，從而就會(huì)作出不同的反應(yīng).圖式的形成要經(jīng)歷三個(gè)階段：?jiǎn)蝹€(gè)圖式、多個(gè)圖式、圖式的遷移.單個(gè)圖式階段的特點(diǎn)是只注意離散的操作、過(guò)程和對(duì)象，而把具有類(lèi)似性質(zhì)的其它知識(shí)點(diǎn)隔離開(kāi)來(lái)；多個(gè)圖式階段則是注意了各個(gè)圖式中蘊(yùn)涵的知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系和銜接，這時(shí)個(gè)體就能把這些知識(shí)點(diǎn)組成一個(gè)整體；到了圖式遷移階段，個(gè)體才能徹底搞清楚在上一個(gè)階段中提到的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)之間的相互關(guān)系，并建構(gòu)出這些知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，形成一個(gè)大的圖式.我們認(rèn)為，對(duì)杜賓斯基的“概念學(xué)習(xí)四階段”要辯證地加以理解.首先，APOS的順序不是一成不變的，例如，對(duì)于有些概念的教學(xué)也可以按OAPS的順序進(jìn)行教學(xué).其次，操作階段往往

8、與其它階段有交叉，并貫穿于概念學(xué)習(xí)的始終，例如，“過(guò)程”階段與“操作階段” 并沒(méi)有明顯的界限，在“操作”發(fā)生的同時(shí)，也進(jìn)行著“過(guò)程”； 作為“對(duì)象”的概念，它既操作別的對(duì)象，又被高層次的運(yùn)算來(lái)操作；相應(yīng)的操作是圖式形成的必要基礎(chǔ)，等.最后，四個(gè)階段的呈現(xiàn)不是線性的，而是逐層漸進(jìn)的，圖式的形成往往不能一蹴而就，需要多次APOS的循環(huán)上升，是一種螺旋式的建構(gòu)過(guò)程.也就是說(shuō)，如果學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解在某一階段出現(xiàn)問(wèn)題，這時(shí)會(huì)回到前一階段，甚至，概念的理解往往也不是一節(jié)課就能完成的，需要在學(xué)習(xí)中不斷地積累才能實(shí)現(xiàn)量變到質(zhì)變.這也反映了概念學(xué)習(xí)與教學(xué)的復(fù)雜性.1.2 建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論是APOS理論的依據(jù)

9、 建構(gòu)主義理論最初是由皮亞杰于20世紀(jì)50年代提出并不斷得到發(fā)展的，它以認(rèn)知心理學(xué)為思想基礎(chǔ).我們認(rèn)為，建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論是APOS理論的依據(jù)，這是基于對(duì)建構(gòu)主義的知識(shí)觀、學(xué)生觀、學(xué)習(xí)觀的理解. 從知識(shí)觀的角度，建構(gòu)主義認(rèn)為，課本知識(shí)只是一種關(guān)于各種現(xiàn)象的較為可靠的假設(shè)，科學(xué)知識(shí)包含真理性，但它不是最終的正確答案，只是一種對(duì)現(xiàn)實(shí)的可能是更正確的理解.這些知識(shí)在被個(gè)體接受之前，對(duì)于個(gè)體是毫無(wú)意義的，因此不能把知識(shí)作為絕對(duì)正確的東西強(qiáng)加給學(xué)生，讓學(xué)生無(wú)條件接受，不能用科學(xué)家、教師、教科書(shū)的權(quán)威來(lái)壓服學(xué)生，知識(shí)的接受只能靠學(xué)生自己的建構(gòu)來(lái)完成，只能以學(xué)生自己的經(jīng)驗(yàn)、信念為背景來(lái)分析知識(shí)的合理性.學(xué)生的

10、學(xué)習(xí)不僅是對(duì)新知識(shí)的理解，而且也是對(duì)新知識(shí)的分析、檢驗(yàn)和批判，知識(shí)的應(yīng)用也不是簡(jiǎn)單的套用，而是一種創(chuàng)造性組合，需要根據(jù)具體情境進(jìn)行選擇、變化. 從學(xué)生觀的角度，建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)學(xué)生是積極主動(dòng)的知識(shí)建構(gòu)者的地位，要求學(xué)生在一種復(fù)雜而真實(shí)的情境中（當(dāng)然，這種情境應(yīng)該是處于最近發(fā)展區(qū)的），在教師適度的幫助下，采取富有個(gè)性的認(rèn)知加工策略，形成自己對(duì)知識(shí)的獨(dú)立理解.在學(xué)習(xí)中，學(xué)生要努力學(xué)會(huì)一些自我控制的技能和習(xí)慣，發(fā)展自我控制學(xué)習(xí)過(guò)程的能力.從學(xué)習(xí)觀的角度，建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者主動(dòng)地建構(gòu)內(nèi)部心理表征的過(guò)程，強(qiáng)調(diào)在具體情境中形成的具體經(jīng)驗(yàn)背景的作用（當(dāng)然，不能走極端，不能否定或弱化抽象概括在概念學(xué)習(xí)中的

11、重要作用），以及對(duì)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的改造和重組；強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者已有發(fā)展水平（包括認(rèn)知的與非認(rèn)知的）是學(xué)習(xí)的決定因素，學(xué)習(xí)的結(jié)果是圍繞關(guān)鍵概念而建構(gòu)起來(lái)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的知識(shí).不難看出，APOS理論的實(shí)質(zhì)與建構(gòu)主義是一脈相承的，它將概念的學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)一步透明化，指出學(xué)生對(duì)于概念的掌握，就是經(jīng)過(guò)操作、活動(dòng)、對(duì)象, 最后發(fā)展為穩(wěn)定、主題化的圖式.同時(shí)，APOS理論將學(xué)生學(xué)習(xí)概念的過(guò)程作了層次化處理，明確了概念的學(xué)習(xí)是從具體的操作行為逐層漸進(jìn)地發(fā)展成抽象的心理結(jié)構(gòu).2 APOS理論指導(dǎo)下的概念教學(xué)策略 基于對(duì)APOS理論的理解，結(jié)合數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的一般規(guī)律，我們分別提出每個(gè)階段的教學(xué)策略，作為以APOS理論為指導(dǎo)實(shí)施概

12、念教學(xué)的具體建議.2.1操作階段多元表征，體驗(yàn)感悟教師要結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)思維特點(diǎn)，創(chuàng)造性地使用教材，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)活動(dòng)，創(chuàng)設(shè)合理的問(wèn)題情境，指導(dǎo)學(xué)生親自參與操作活動(dòng)，在活動(dòng)中體驗(yàn)，在操作中感悟，為真正理解概念積累經(jīng)驗(yàn).教師要善于以舊引新，遵循從具體到抽象、從特殊到一般的原則，有目的、有計(jì)劃地提供適當(dāng)?shù)母行圆牧希牧霞纫芊从掣拍畹谋举|(zhì)，又要在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，找準(zhǔn)知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，保證材料的適度性、典型性、有效性和針對(duì)性，盡可能地激發(fā)學(xué)生參與活動(dòng)的意愿，給予學(xué)生充分表達(dá)自己看法的機(jī)會(huì)，力求在學(xué)生自主思考、自由交流以及相互之間觀點(diǎn)的交鋒中，撞擊出思維的火花.2.2 過(guò)程階段問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，抽象概括教師

13、要設(shè)計(jì)富有啟發(fā)性、探索性、層進(jìn)性的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生對(duì)“操作”自覺(jué)地思考，嘗試抽象、概括、一般化，引導(dǎo)學(xué)生的思維不斷深入.“過(guò)程”中的感悟比“操作”中的體驗(yàn)更重要，“過(guò)程”中隱性的思維比顯性的“操作”更重要.教師要留給學(xué)生充裕的時(shí)間進(jìn)行思考，保證學(xué)生真正意義上的參與.教師要對(duì)學(xué)生可能出現(xiàn)的課堂生成或思維障礙有充分的預(yù)判，并及時(shí)有效地進(jìn)行反饋調(diào)節(jié).需要特別強(qiáng)調(diào)的是，“問(wèn)題串”的設(shè)計(jì)是否符合學(xué)生的思維特點(diǎn)，是否起到“腳手架”的作用，是“過(guò)程階段”成敗的關(guān)鍵.另外，抽象概括出概念關(guān)鍵屬性的過(guò)程必須是教師引導(dǎo)下的學(xué)生自主行為，教師絕不能包辦代替，也不能以“偽探究”的形式走過(guò)場(chǎng).2.3 對(duì)象階段總結(jié)提煉，適時(shí)

14、辨析教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“過(guò)程”階段得出的概念的各種屬性及時(shí)進(jìn)行總結(jié)提煉，使概念的本質(zhì)屬性成為一個(gè)整體，從而得到概念的嚴(yán)格定義，并進(jìn)行符號(hào)化表示.教師要啟發(fā)學(xué)生用自己的語(yǔ)言來(lái)表述相關(guān)屬性，注意自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的有機(jī)結(jié)合與適時(shí)轉(zhuǎn)化.在對(duì)概念下定義以后，教師應(yīng)該對(duì)概念定義中的關(guān)鍵詞進(jìn)行辨析，讓學(xué)生明白無(wú)誤地理解每一個(gè)關(guān)鍵詞的含義，要求學(xué)生能正確敘述定義，并能舉出符合定義的實(shí)例，這兩者的結(jié)合是防止學(xué)生死記硬背、克服形式主義教學(xué)的有效措施.2.4 圖式階段變式建構(gòu)，多元聯(lián)系教師要充分發(fā)揮傳統(tǒng)變式教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，把交織著的概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性分離開(kāi).同時(shí)，用開(kāi)放性問(wèn)題、實(shí)際情境性問(wèn)題、學(xué)生自己

15、舉反例、作概念圖表等多種方式，多渠道、多角度地豐富學(xué)生對(duì)“對(duì)象”的理解，幫助學(xué)生的認(rèn)識(shí)上升到“圖式”的層次.要做到“瞻前顧后”，注重概念的前后聯(lián)系，注重在概念體系中學(xué)習(xí)概念，以促使學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，正如布魯納所說(shuō)：“獲得的知識(shí)，如果沒(méi)有完滿的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)在一起，那是一種多半會(huì)被遺忘的知識(shí)，一串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促得可憐的壽命.”“多元聯(lián)系表示”是理解和掌握概念的金鑰匙.3 APOS理論指導(dǎo)概念教學(xué)的實(shí)踐理論研析的最終目的是指導(dǎo)實(shí)踐，為此，我們選取了近十個(gè)高中數(shù)學(xué)的核心概念教學(xué)課題，布置課題組成員進(jìn)行以APOS理論為指導(dǎo)的教學(xué)分析，并進(jìn)行上課實(shí)踐，每個(gè)課題都經(jīng)歷了個(gè)人備課、集體磨課、

16、成員上課、評(píng)課反思等環(huán)節(jié)（有的課題還多次經(jīng)歷上述環(huán)節(jié)），以獲取第一手材料.以下列舉其中的兩個(gè)典型案例加以說(shuō)明.3.1 APOS理論指導(dǎo)下的“排列”教學(xué)（安徽省2008年教壇新星評(píng)選參賽課題） “操作階段”：教師在簡(jiǎn)單引入之后，提出如下問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名分別擔(dān)任班長(zhǎng)、團(tuán)支書(shū)，有多少種不同的方案？學(xué)生動(dòng)手操作，然后回答.由于該問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，學(xué)生可能出現(xiàn)利用樹(shù)形圖法、枚舉法、分步計(jì)數(shù)原理等得出解答，教師小結(jié)每種方法的優(yōu)點(diǎn)，有意識(shí)地追問(wèn)利用分步計(jì)數(shù)原理的思考過(guò)程，并加以提煉，得到：班長(zhǎng)、團(tuán)支書(shū)分別相當(dāng)于位置1、位置2，位置1有種選法，相應(yīng)地，位置2有種選法，不同方案數(shù)為.問(wèn)題

17、2：數(shù)字、可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？學(xué)生操作這個(gè)相對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題，教師讓學(xué)生比較不同方法的優(yōu)劣，發(fā)現(xiàn)樹(shù)形圖法、枚舉法由于情況較多，有點(diǎn)困難，而利用分步計(jì)數(shù)原理相對(duì)簡(jiǎn)單，類(lèi)似問(wèn)題1，得到：無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)個(gè)數(shù)為.問(wèn)題3：8名同學(xué)排成一隊(duì)照相，有多少種不同的排隊(duì)方法？學(xué)生在解決該問(wèn)題的過(guò)程中，更加體會(huì)到利用分步計(jì)數(shù)原理的優(yōu)越性，得到：不同方法數(shù)為.這里，學(xué)生的動(dòng)手操作、思考比較，為下個(gè)階段的反思提煉奠定了基礎(chǔ).“過(guò)程階段”：?jiǎn)栴}4：上述3個(gè)問(wèn)題，具體的研究對(duì)象和任務(wù)都是不同的.從問(wèn)題類(lèi)型上看，它們有沒(méi)有共同之處？學(xué)生反思3個(gè)問(wèn)題的類(lèi)型，將“3人中選2人”、“5個(gè)數(shù)中選3個(gè)”、“8人全選”抽

18、象概括為“從個(gè)不同元素中取出（）個(gè)”，將“分別擔(dān)任兩個(gè)職務(wù)”、“組成三位數(shù)”、“排成一隊(duì)” 抽象概括為“選出的元素要排順序”.所以，共同之處是“先?。ㄔ兀┖笈牛樞颍?問(wèn)題5：從問(wèn)題的解決方法上看，它們有沒(méi)有共同之處？學(xué)生不難得出，雖然樹(shù)形圖、枚舉法都是可行的，但從簡(jiǎn)便的角度看，利用分步計(jì)數(shù)原理更為合理，更具有一般性.至此，“排列”概念的本質(zhì)屬性得以凸顯，推導(dǎo)排列數(shù)公式的思想方法得以生根.“對(duì)象階段”：?jiǎn)栴}6：這種“先取后排”的問(wèn)題就是今天要學(xué)習(xí)的問(wèn)題：排列.你能敘述排列的定義嗎？學(xué)生嘗試給排列下定義，教師適時(shí)糾正、補(bǔ)充，板書(shū)定義.問(wèn)題7：排列的主要特征有哪些？?jī)蓚€(gè)排列相同的條件是什么？進(jìn)

19、一步引導(dǎo)學(xué)生鞏固概念，抓住概念中的關(guān)鍵詞.得出：排列的主要特征是元素的互異性與有序性；兩個(gè)排列相同的條件是：元素相同，元素的順序也相同.問(wèn)題8：從個(gè)不同元素中取出（）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，記作，排列與排列數(shù)是“個(gè)體”與“數(shù)量”的關(guān)系.那么，排列數(shù)的計(jì)算公式是什么呢？教師引導(dǎo)學(xué)生回顧前面三個(gè)實(shí)例中的求解方法與步驟，緊扣分步計(jì)數(shù)原理，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由特殊到一般，層層推進(jìn)，得出公式.進(jìn)而分析公式的結(jié)構(gòu)特征，明確公式的作用（即：對(duì)于排列問(wèn)題，可直接利用公式求出排列的個(gè)數(shù)）.至此，學(xué)生對(duì)排列的概念有了初步的認(rèn)識(shí)（明確了定義，會(huì)將排列數(shù)用符號(hào)表示，并推導(dǎo)出計(jì)算排列數(shù)

20、的公式）.“圖式階段”：?jiǎn)栴}9：判斷下列問(wèn)題是否為排列問(wèn)題？若是，求出排列數(shù).（1）從，中任取兩個(gè)不同數(shù)相乘，可得到多少個(gè)不同的結(jié)果？（2）從，中任取兩個(gè)不同數(shù)相除，可得到多少個(gè)不同的結(jié)果？（3）有個(gè)車(chē)站，共需準(zhǔn)備多少種車(chē)票？（4）封信投入個(gè)郵筒，有多少種不同的投法？（5）封信投入個(gè)郵筒，每個(gè)郵筒至多投一封，有多少種不同的投法？師生共同討論，能將排列問(wèn)題與其它問(wèn)題區(qū)分開(kāi)來(lái)，深化對(duì)排列概念的理解，同時(shí)訓(xùn)練學(xué)生計(jì)算排列數(shù)的技能.問(wèn)題10：為了簡(jiǎn)便，以后我們將稱(chēng)為的階乘，記作.如何將排列數(shù)用階乘表示？教師引導(dǎo)學(xué)生利用配湊因子，將排列數(shù)公式化為階乘的形式，并讓學(xué)生思考的必要性與合理性.問(wèn)題11：利用排

21、列概念解題與利用分步計(jì)數(shù)原理解題，二者之間有何聯(lián)系與區(qū)別？此處旨在加強(qiáng)排列概念與已學(xué)知識(shí)的聯(lián)系性，讓學(xué)生明確：任何一個(gè)排列問(wèn)題都可以納入到分步計(jì)數(shù)問(wèn)題中去，它是分步計(jì)數(shù)問(wèn)題的特殊情況，但分步計(jì)數(shù)問(wèn)題不一定是排列問(wèn)題.當(dāng)一個(gè)分步計(jì)數(shù)問(wèn)題特殊為一個(gè)排列問(wèn)題時(shí)，就可以整體考慮，利用排列數(shù)公式簡(jiǎn)化計(jì)算.至此，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到了充實(shí)與優(yōu)化，形成了一個(gè)大的、新的圖式.3.2 APOS理論指導(dǎo)下的“周期性”教學(xué)（安徽省2008年特級(jí)教師評(píng)選參賽課題）“操作階段”：首先引導(dǎo)學(xué)生列舉生活中的一些“周期性”現(xiàn)象，如潮汐現(xiàn)象等；然后分別畫(huà)出單位圓中角的正弦線、余弦線，觀察隨著角的終邊繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，正弦線、余弦線的變

22、化規(guī)律；再分別畫(huà)出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像，觀察圖像的變化規(guī)律，從不同的角度體會(huì)“周而復(fù)始”特征，最后學(xué)生嘗試用自然語(yǔ)言描述這種特征.“過(guò)程階段”：將直觀體驗(yàn)上升到理性認(rèn)識(shí)，將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，深化對(duì)“周而復(fù)始”的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.以正弦為例，可以設(shè)置如下問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：你能從哪個(gè)公式反映出正弦值隨自變量的這種“周而復(fù)始”的變化規(guī)律？引導(dǎo)學(xué)生回憶誘導(dǎo)公式：，由形到數(shù).問(wèn)題2：正弦函數(shù)為，請(qǐng)將上述關(guān)系寫(xiě)成的形式.突出函數(shù)值隨自變量的“周而復(fù)始”，同時(shí)向一般性周期函數(shù)的定義式靠攏.問(wèn)題3：在上述關(guān)系式中，（或）的取值是定義域內(nèi)的某一個(gè)（某些）值，還是任意值？旨在強(qiáng)調(diào)這是一個(gè)“恒等式”，對(duì)定義域內(nèi)

23、任一自變量值都成立.“對(duì)象階段”：教師首先指出：在數(shù)學(xué)上，為了定量地刻畫(huà)這種“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，將符合上述特征的函數(shù)稱(chēng)為周期函數(shù).然后對(duì)于一般的函數(shù)，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述在什么條件下，函數(shù)為周期函數(shù)，進(jìn)而給出周期函數(shù)與周期的定義.最后通過(guò)問(wèn)題串對(duì)概念進(jìn)行辨析：?jiǎn)栴}4：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù)嗎？為什么？哪些數(shù)都是它們的周期？（順便說(shuō)明最小正周期的含義）問(wèn)題5：對(duì)于，當(dāng)，時(shí)，計(jì)算與是否恒等？是否為函數(shù)的一個(gè)周期？為什么？旨在強(qiáng)調(diào)恒等式必須對(duì)定義域中每個(gè)都成立，缺一不可.問(wèn)題6：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，計(jì)算與是否恒等？是否為函數(shù)的一個(gè)周期？是否為正周期？學(xué)生可能認(rèn)為就是的最小正周期.教師可以讓學(xué)生利用

24、“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)的圖象，由圖像可以得出雖然是周期，但最小正周期是，引起矛盾沖突.然后引導(dǎo)學(xué)生回到定義：若設(shè)，則并不是，而是，因此，無(wú)論從圖像上，還是從定義上，的最小正周期都應(yīng)該是，而不是.這樣，數(shù)與形的矛盾得以解決，加深了學(xué)生對(duì)的理解：這里的非零常數(shù)應(yīng)該是自變量“本身”的變化量.“圖式階段”：學(xué)生練習(xí)用定義求函數(shù)的最小正周期，特別是對(duì)于類(lèi)似于的函數(shù)，學(xué)生容易出錯(cuò).可以緊扣定義，強(qiáng)調(diào)將解析式寫(xiě)成的形式，這樣，即為，因此，最小正周期是.接著引導(dǎo)學(xué)生將其一般化，推導(dǎo)出函數(shù)與的周期計(jì)算公式. （說(shuō)明：本節(jié)課主要是以正余弦函數(shù)為載體學(xué)習(xí)周期函數(shù)，由于周期函數(shù)并不局限于正余弦函數(shù)，因此周期函數(shù)概念的圖式

25、不是一節(jié)課就能完成的，在隨后的學(xué)習(xí)中，可以逐漸深入，并加強(qiáng)與其它知識(shí)的聯(lián)系.如周期函數(shù)定義域的要求，“取整函數(shù)”是否為周期函數(shù)，常數(shù)函數(shù)（為常數(shù)）是否為周期函數(shù)，周期性與奇偶性、單調(diào)性、最值、圖像的結(jié)合等，這需要一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程.）4 對(duì)APOS理論指導(dǎo)概念教學(xué)的思考在上述理解與實(shí)踐的基礎(chǔ)上，我們對(duì)APOS理論指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)提出如下觀點(diǎn)：4.1 APOS理論揭示了數(shù)學(xué)概念，特別是核心概念學(xué)習(xí)的本質(zhì)APOS理論對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)概念過(guò)程中學(xué)生的思維活動(dòng)進(jìn)行了深入的研究，正確揭示了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)活動(dòng)的特殊性，提出學(xué)生學(xué)習(xí)概念要經(jīng)過(guò)“活動(dòng)”、“過(guò)程”、“對(duì)象”和“圖式”4個(gè)階段，反映了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念

26、過(guò)程中真實(shí)的思維活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)概念，特別是核心概念的教與學(xué)具有很強(qiáng)的指導(dǎo)作用.4.2 APOS理論也可用于指導(dǎo)定理（公式）教學(xué)數(shù)學(xué)定理是從公理或已有定理推演而得出的命題，公式是特殊的定理.數(shù)學(xué)定理（公式）的學(xué)習(xí)，是一個(gè)正確建立數(shù)學(xué)概念之間關(guān)系的過(guò)程，因此一般比數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)要復(fù)雜些，但教學(xué)過(guò)程是類(lèi)似的.數(shù)學(xué)定理（公式）的教學(xué)，同樣強(qiáng)調(diào)其產(chǎn)生背景，要讓學(xué)生經(jīng)歷從定理（公式）的背景中發(fā)現(xiàn)題設(shè)與題斷之間的聯(lián)系、提出猜想、探究證明而獲得結(jié)論的過(guò)程，要重視定理（公式）的推導(dǎo)與辨析，要通過(guò)應(yīng)用加深對(duì)定理（公式）的理解，要注意定理（公式）教學(xué)的系統(tǒng)性與聯(lián)系性.由此可見(jiàn)，APOS理論對(duì)于定理（公式）的教學(xué)也具有

27、一定的指導(dǎo)意義.4.3 APOS理論思想實(shí)質(zhì)的靈活運(yùn)用遠(yuǎn)大于四個(gè)階段的機(jī)械劃分 在運(yùn)用APOS理論指導(dǎo)概念教學(xué)時(shí)，不能拘泥于四個(gè)學(xué)習(xí)階段的劃分，而應(yīng)重在領(lǐng)會(huì)其思想實(shí)質(zhì)，并加以合理運(yùn)用，提高概念教學(xué)的有效性.APOS理論的最大貢獻(xiàn)在于將數(shù)學(xué)教學(xué)的一般原則與概念教學(xué)的特殊性有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，并充分融入了學(xué)生內(nèi)在的心理特征和認(rèn)知規(guī)律.數(shù)學(xué)教學(xué)要處理好學(xué)生主體與教師主導(dǎo)、教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)、接受與探究、螺旋上升與結(jié)構(gòu)化、過(guò)程與結(jié)果等關(guān)系，要注意嚴(yán)謹(jǐn)性與量力性、抽象性與具體性、鞏固性與發(fā)展性相結(jié)合，而概念教學(xué)要求既注重過(guò)程，又注重聯(lián)系，要考察概念的來(lái)龍去脈，將概念放到相應(yīng)的

28、概念體系中去學(xué)習(xí)，概念課的主旋律是讓學(xué)生參與概念本質(zhì)特征的概括活動(dòng)，這是使概念課生動(dòng)活潑、優(yōu)質(zhì)高效的關(guān)鍵.這些都反映了APOS理論的思想實(shí)質(zhì)，在具體教學(xué)時(shí)要靈活運(yùn)用.以2006年安徽省優(yōu)質(zhì)課比賽課題“平面向量的實(shí)際背景及基本概念”的教學(xué)為例，本節(jié)課概念很多，看似也不難理解，但往往課堂氣氛沉悶，教與學(xué)都很乏味.根據(jù)APOS理論，改善教學(xué)的關(guān)鍵是要讓學(xué)生充分參與到概念的形成過(guò)程中去，學(xué)生自己舉例子、講理由、提問(wèn)題、談想法，以盡可能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在熱情.例如，相等向量、平行向量、共線向量概念的形成，若由教師“告知概念，提醒注意，鞏固練習(xí)”，效果便會(huì)大打折扣；若讓學(xué)生先觀察教材中的正六邊形圖，給圖中

29、的一些線段加上箭頭表示向量，并說(shuō)說(shuō)所標(biāo)注的向量之間的關(guān)系，然后組織學(xué)生交流討論：你畫(huà)了哪幾個(gè)向量？你認(rèn)為它們之間有何關(guān)系？如何區(qū)分？等，最后教師總結(jié)歸納，并與物理中的矢量作比較，深化對(duì)向量概念的理解.本節(jié)課的教學(xué)，很難清晰地將其劃分為四個(gè)階段，也沒(méi)有必要.可以說(shuō)每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)都蘊(yùn)含了四個(gè)小的階段，整節(jié)課是一個(gè)不斷循環(huán)、逐漸豐滿的過(guò)程，處處滲透了APOS理論的思想實(shí)質(zhì).因此，我們有理由認(rèn)為，淡化形式，抓住本質(zhì)，才是對(duì)APOS理論的正確理解與運(yùn)用.4.4 “圖式”是實(shí)際教學(xué)中易忽視的環(huán)節(jié)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在APOS理論的四個(gè)階段中，很少有學(xué)生能真正地完成“圖式階段”，原因也是錯(cuò)綜復(fù)雜的.首先，對(duì)于很多抽象程

30、度強(qiáng)的數(shù)學(xué)概念，特別是一些對(duì)學(xué)生來(lái)講全新的數(shù)學(xué)概念，學(xué)生對(duì)概念本身的接受和理解就會(huì)感到困難，有時(shí)即使能找到它與學(xué)生原有認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)中其他知識(shí)結(jié)點(diǎn)的聯(lián)系，也常常會(huì)因?yàn)閷?duì)概念本身理解程度的淺顯而使得這種聯(lián)系蒼白無(wú)力，這種聯(lián)系會(huì)因?yàn)槔斫獾那啡倍芸煜В@些建構(gòu)起來(lái)的概念也特別容易遺忘.其次，“圖式階段”往往是一個(gè)不由自主的過(guò)程，因此就不可避免地出現(xiàn)隨意性，學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、知識(shí)基礎(chǔ)、智力水平、學(xué)習(xí)習(xí)慣、個(gè)性品質(zhì)等都對(duì)“圖式”的完成產(chǎn)生影響，若學(xué)生在某些方面有所欠缺，就對(duì)“圖式階段”的完成產(chǎn)構(gòu)成阻礙.最后，課堂教學(xué)往往以一節(jié)課為基本單位，而“圖式”幾乎不可能在一節(jié)課內(nèi)就真正完成，需要不斷地、反復(fù)地深化理解、拓展聯(lián)系才能達(dá)到，教師由于時(shí)間、水平、主觀認(rèn)識(shí)等限制，很難自始至終地、細(xì)致入微地、高效地引導(dǎo)學(xué)生完成“圖式”.因此，相對(duì)于“操作”、“過(guò)程”越來(lái)越受到重視，“圖式”是實(shí)際教學(xué)中很容易被忽視的環(huán)節(jié)，這也導(dǎo)致了“圖式階段”的長(zhǎng)期性、復(fù)雜性與艱巨性，應(yīng)引起廣大教師高度的重視.教師在教學(xué)中要充分發(fā)揮主導(dǎo)作用，盡可能地幫助學(xué)生建立概念聯(lián)系，構(gòu)建概念體系，引導(dǎo)學(xué)生多總結(jié)，多歸納，多聯(lián)想，多應(yīng)用，加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo)，以實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷優(yōu)化，而不能過(guò)于依賴(lài)學(xué)生的主動(dòng)建構(gòu).4.5 APOS理論呼喚高素質(zhì)的數(shù)學(xué)教師能否科學(xué)地運(yùn)用APOS理論，取決于眾多因素，最主要的有兩條.一是教師的敬業(yè)精神與專(zhuān)業(yè)態(tài)度.A