逆向思維策略在解數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用

1、逆向思維策略在解數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用在解答數(shù)學(xué)問題的過程中，經(jīng)常接觸到的不是標(biāo)準(zhǔn)的模式化了的問題，要順利地解答這些問題，就需要進行創(chuàng)造性的思維，尋求一種解題策略而對于某些問題，當(dāng)運用正面思維策略很難得出解題途徑， 甚至有時還是不可能的， 這時可以改從目標(biāo)的 “反面”去思維，間接地解答問題這種解題策略稱為逆向思維策略或正難則反例 1、設(shè) a 、 b 、 m、 n 、 p 均為實數(shù)，且滿足 a p 2 bn + cm = 0 與 b 2 ac < 0 ，求證 mp n 2 的值為零或負(fù)數(shù)采用正面思維時，很難得到解題思路，可改用逆向思維策略，如下：假設(shè)mpn2為正數(shù)，即mpn2> 0則有mp

2、> n20，由b2ac < 0得ac > b2 0 acmp > b2n2式又由a p 2 b n + c m = 0可得b n = ( ap + cm ) / 2式將代入得acmp > ( ap + cm )2/4化簡整理得( ap cm )2< 0，這里產(chǎn)生了矛盾，所以原命題成立逆向思維解題策略的應(yīng)用很廣泛，其基本特點是：從已有思路的反方向去思考問題，順推不行，考慮逆推；直接解決不行，想辦法間接解決；正命題研究過后，研究逆命題；探討可能性發(fā)生困難時，考慮探討不可能性逆向思維反映了思維過程的判斷性、突變性與反聯(lián)結(jié)性，有利于克服思維定勢的保守性，同時，往往能

3、導(dǎo)致某些意想不到的效果從而促進數(shù)學(xué)創(chuàng)造的產(chǎn)生運用逆向思維策略，常有以下幾種形式：一、反證法反證法又可以分為歸謬法和窮舉法兩種，所謂歸謬法就是當(dāng)結(jié)論的否定方面只有一種情況時，只要把這種情況否定，就能肯定原命題的結(jié)論正確而窮舉法是當(dāng)命題結(jié)論所否定的方面有兩種以上的情況時，必須把其所有情況都駁倒，才能肯定原命題的結(jié)論正確，一般來講，反證法常用來證明“否定性”命題， “唯一性”命題，“至多”、“至少”命題，某些“無限”命題和直接證明難以下手的命題等例 2 、 已知a 、 b 、 c都是小于1 的正數(shù)求證： 乘積 (1 a ) b， ( 1 b ) c， (1 c ) a不能同時大于1 4我們采用反證法

4、來加以證明證明：假設(shè)(1 a ) b > 1， (1 b ) c > 1， (1 c )44a > 1同時成立4以上第一式兩邊同乘以a ，得：(1 a ) a b >a4考慮到 (1 a ) a 1 a a2124得：( 1 a ) a bb4由、式得式，兩邊同乘以b，式a <b，即 a < b，類似地可得b < c， c < a，44綜合以上結(jié)果有：a < b < c < a這顯然是不成立的故原命題正確這樣，在肯定命題的條件的前提下，并否定命題的結(jié)論，推出一個導(dǎo)致邏輯矛盾的結(jié)果從而肯定命題為真，是反證法證題的全過程二、同一法同

5、一法常用于證明某圖形具有某種性質(zhì)的命題，多用于幾何方面當(dāng)欲證某圖形具有某種性質(zhì)而又不易直接證明時，可以作出具有所示性質(zhì)的圖形，然后證明所作的圖形跟所給的某圖形就是同一個，把它們等同起來，這種證法叫做同一法例 3 、以正方形 ABCD的一邊 CD為底向內(nèi)作等腰ECD，使其兩底角為 15 °，則ABE 是等邊三角形證明：以 AB為邊向正方形內(nèi)作等邊ABE'，我們來證明，點E'跟E同為一點(圖1)所示DC顯然BCE'應(yīng)是等腰三角形，它的頂角：E CBE'=90 ° ABE'=30 °，所以它的底角 BCE' =1(180

6、° 30°) =275°E '從而 DCE' = 15° ，仿此有 CDE' = 15°AB點 E' 與 E 重合，ABE是等邊三角形可以用同一法證明的命題，實際上是依據(jù)這(圖 1)樣的事實：具有所示性質(zhì)的圖形是唯一的三、淘汰法淘汰法就是考慮某個問題中的一切情形，通過去掉其中不合要求的部分，而得到合乎要求的部分的一種解題方法例 4 、從 8 位男生， 5 位女生組成的集體中選出3 名代表，求至少有一位女生的選法有多少種？用正面解法求出是：C15C82C52C81C53C80230 ( 種 )而當(dāng)用淘汰法求解時，只

7、要考慮到任選三名代表的選法減去所選代表全是男生的選法，即：C133C83230 ( 種)顯然，只要得當(dāng)?shù)剡\用淘汰法，往往可使復(fù)雜的問題得到簡化求解四、逆推法即執(zhí)果索因：從結(jié)論出發(fā)，向條件逐步上溯，先設(shè)想要證明的結(jié)論成立，推出它成立的原因，再把這些原因看成新的結(jié)論，再推求使它們成立的原因，如此逐步上溯，直到推出已知條件或已知的事實為止逆推法也叫分析法2 2例 5 、在 ABC中，已知 B = 2C，求證：AC = AB + AB·BC 用分析法探索時，思路如下：（如圖 2）A分析：要證AC2=AB 2+AB ·BC，B只要證：2DAC =AB(AB+BC)C22= AB &#

8、183;BC AC AB22（圖 AC AB·BC = AB2）對上面三種情況進行分析，式可能是通向已知條件的途徑，下面對式繼續(xù)追索2成立，只要證明：ACAB，要證 AC = AB( AB+ BC)AB BCAC從這里我們設(shè)想構(gòu)造一個以AC為一邊，另一邊等于AB+BC，且與ABC相似的三角形 為此，我們延長 AB到 D ，使 BD = BC ，連結(jié) CD，則有： AD = AB + BC 于是要 證ACAB證ACAB證ACB ADCAB BCACADAC證 D= ACB ( A為公共角）證 ABC= 2 D，根據(jù)輔助線的作法，這是容易證明的，故命題可證（證明略）本題亦可在AC上適當(dāng)?shù)?/p>

9、取一點E，將 AC 2 轉(zhuǎn)化為 AC·AE+ AC ·EC來進行探索可見，分析法是先認(rèn)定結(jié)論為真，倒推而上，容易啟發(fā)思維，每一步推理都有較明確的目的，知道推理的依據(jù)，使人了解思索過程五、常量與變元的換位在解決有關(guān)變元的問題時，由于思維定勢的影響，人們總是習(xí)慣于抓住變元不放，這在很多情況下當(dāng)然是正確的，但在抓住變元解題較為困難，甚至產(chǎn)生難以克服的障礙時，也可考慮采取常量與變元換位的策略例 6、解方程 x32 5x25x5 1 0 = 0此題按解三次方程方法求解相當(dāng)困難，可把常量5看作“未知數(shù)” ， x看作常量，則可得到一個關(guān)于5 的“一元二次方程”x 5221 5 x31 02x解之，得5= 1 x或5= ( x2 + x + 1) / x (x 0) x = 1 5或 x = ( 5+1) ± 25 2/2六、構(gòu)造反例例 7 、試證下列命題