八年級數(shù)學最短路徑問題知識點

1、八年級數(shù)學最短路徑問題知識點教學最短路徑問題【問題制4】最溟路徑問題是圖論研究中的一個線典算法問題.旨在尋找圖（由結(jié)點和路徑 組成的）中兩結(jié)點之間的最短路徑.算法具體的形式包括，確定起點的最短路徑問題即已知起始結(jié)點，求最短路徑的問題，確定終點的最短路徑問題與確定起點的問題相反，該問題是已知終結(jié)結(jié)點，求最短路徑 的問題.；確定起點終點的最矩路徑問題-即已知起點和終點求兩結(jié)點之間的最短路徑.全局最短甯在問題-求圖中所有的最短路徑.【問題原型 “將軍飲馬造橋選址* “費馬點二【涉及知識】“兩點之間線段最通Z *垂畿段最短工三角形三邊關系:“軸對稱”，“平移工【出題背景】角、三角形、泰他、矩形、正方形

2、.梯形、圓，坐標軸、拋物線等.【解顆氣珞】我對稱點實現(xiàn)加普直：近兩年出現(xiàn)王折線由“直”等變式問題考查.【十二個基本問題】（問題U作法圖形原理« 1 %在直線，上求一點心 便用+/7/值最小.連以與f交點即為P.JJ1工， fl兩點之間線段最短.以4PB最小值為A1LI問題2卜將軍快馬“作法1圖報原理J*fl /作B關于，的對稱點 方連48；與，交點 即為此簡單初中生，兩點之間線段最短.場號田最小值為dB 在直線，上求一點p, 使或+PB值最小.【問題3】作法圖形原理在直線小人上分別求點 M、N,使dMN 的周長最小.【問題4】在直線4 r上分別求點M、N,使四邊形 的周長最小.【問題

3、5卜造橋選址”宜線加 ”，在w、n , 上分別求點M M使 MV 1川，且 AM+AN+RN的值最小.分別作點P關于兩直 線的對稱點P'和連P'P；與兩直線交 點即為M M 簡單 初中生兩點之間線段最短./M+MV+PN的最小值為線段P'P”的長.作法圖形原理分別作點0、P關于 直線仆的對稱點0'和P連。'P；與 兩直線交點即為MN.作法將點A向下平移MN 的長度單位得力；連 力供交于點N,過N作RM1川于M兩點之間線段最短.四邊形周長的 最小值為線段PP' 的長.圖形原理兩點之間線段最短.決一” AM+MN+BN的最小值為A'B+MN.

4、【問題6】作法圖形原理J J if。v在直線/上求兩點M N （M在左），使 MN=a ,并使 ,4仲MN+NB的值最 小.將點4向右平移。個 長度單位得4；作】 關于/的對稱點1；連 A隊交直線/于點N, 將N點向左平移“個 單位得M.AT山, 亞加 J 兩點之間線段最短. AM+MN+BN的最小 值為A 'BW.【問題7】作法圖形原理乙在/】上求點兒在上求點8,使四+."值 最小.作點P關于"的對稱 點P；作PB1/2于B, 交h于1乙 B點到直線，垂線段最 短.PA+AB的最小值為線 段/8的長.【問題8】作法圖形原理X .V BA為L上一定點,3為 八上一定

5、點，在乙上求 點M在、上求點M 使AM+MN+NB的值 最小.作點力關于/,的對稱點力；作點8關于/）的對稱點廣，連4 7r 效于M,交/1于M8，* 科B hA9兩點之間線段最短.AM+MN+NB的最小 值為線段v/r的長.【問題9】作法圖形原理8 ；在直線/上求一點匕 使慳-/用的值最小.連.48,作4B的中垂 線與直線/的交點即 為，.一匕1 :P垂直平分上的點到線 段兩端點的距離相 等.慳-尸4=0【問題10作法圖形原理a /在直線/上求一點匕使4-/叫的值最大.作直線從與直線/ 的交點即為P.A 1P三角形任意兩邊之差 小于第三邊,性-網(wǎng)*R |以-啊的最大值=AB.【問題11作法圖

6、形原理A /B在直線1上求一點1 使慳-/叫的值最大.作8關于/的對稱點8'作直線4夕，與/ 交點即為P.An三角形任意兩邊之差小于第三邊.pa-pb <ab *.附-用最大值=AB【問題12“費馬點”作法圖形原理A zAHC中每一內(nèi)角都 小于120°,在MBC 內(nèi)求一點P ,使 用+PB+P(值最小.所求點為“費馬點”， 即滿足/4P8=NBPC= NAPC= 120°.以 48、M'為 邊向外作等邊A"。、 A"凡連。，心相 交于P,點P即為所 求.%BC兩點之間線段最短.掰+/W+P('最小值=CD.【例題及解析】例

7、1 如圖 1,在直角梯形 ABCD 中，ZABC=90°, ADBC, AD=4, AB=5, BC=6, 點P是AB上一個動點.當PC+PD的和最小時，PB的長為（）IA)1 (B)2(C)2.5(D)3分析此題首先要確定P點的位舌，可以延長CB （Uc DA）的一倍，aiCB=BM,再連接 MD交AB于點P（大家可以思考一下P點的正確性與合理性一可運用兩點之間，線段最短 這一性質(zhì)）.我們可以通過AMPBsDPA,從而求出PB的長，故選D.例2如圖2, AABC中，AB=AC=13, BC=10, AD是BC邊上的中線,F為AD上的動點，E為AC邊上的動點，則CE+EF的最小值為

8、.832分析顯然，本題需要確定兩個動點E和F,那么怎樣雕這兩個點呢？我麗以過點B 作BELAC交AD于點F,從而確定了 E和F點（大家可以用從直線外一點與直線上所有點 的連線禮垂線段最短來加以說明）.此時,CF + EF = BE.用$叫=；4。8。；85£,構造方亂求出BE =號，即CE + EF的最小值為號.1J 例3如圖3,已知平面直角坐標系中，A (2, 一3), B(4, -I).(1)若點P(x, 0)是k軸上的一個動點，當APAB的周長最短時，求k的值；(2)若C、D是x軸上的兩個動點，且D(a, 0), CD=3,當四邊形ABCD的周長最短時, 求a的值；(3)設M,

9、 N分別為x軸, y軸上的動點，問：是否存在這樣的點M(m, 0)和N(O, n), 使得四邊形ABMN的周長最短？若存在，求出m, n的值.若不存在，請說明理由.分析與解(1)如圖3,找出A (或B)關于x軸的對稱點Ai,連結(jié)AiB交x軸于點P,設直線AB的解析式為y=kix+bi.將4(2, 3)、B(4, -1)代入,得產(chǎn)=3,1峭 +4=7,眨用廣U, = 7.放 y =-2 3+7,(2)如圖4,過A點作x軸的平行線，并截取AAi=3.畫點Ai關于x軸的對稱點AT,連結(jié) AzB交x軸于點C,再在x軸上截取CD=3,可得周長最短的四邊形ABCD (大家也可以利 用兩點之間，線段最短，來

10、證明最短周長的正確性).由題意,可知4(5,3).設&B的宜線解故y = 4z-l7.當 y = 0 時,x =- 3 ="444(3)如圖5,我們可以先分別找出A、B關于y軸和x軸的對稱點Ai和Bh再連結(jié)ARi,分別交x軸和y軸于點M與N,此時，四邊形ABMN的周長是最短的(同樣， 可以用兩點之間，線段最短來加以證明).設AB的直線解析式為y=k3x+b、.將4(-2.-3)再(41)代人，得當X =0時，=/, 當，=0 時,z = y.所以mn的值分別為米；.例4如圖6,四邊形ABCD是正方形，M是對角線BD上的任意一點.當點M在何處時，AM+CM的值最??？當點M在何處時，AM+BM+CM的值最??？并說明理由.圖6»7分析(1)(如圖6,顯然，連結(jié)AC與BD的交點即為M點(可利用兩點之間，線段最短來證明).(2)如圖7,以AB為邊在正方形外畫等邊三角