全微分及其應(yīng)用

1、),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函數(shù)數(shù)對對x和和對對y的的偏偏微微分分 二二元元函函數(shù)數(shù)對對x和和對對y的的偏偏增增量量由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得一、全微分的定義一、全微分的定義第三節(jié)第三節(jié) 全微分及其應(yīng)用全微分及其應(yīng)用 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義，并設(shè)有定義，并設(shè)),(yyxxP 為這鄰域內(nèi)的為這鄰域內(nèi)的任意一點，則稱這兩點的函數(shù)值之差任意一點，則稱這兩點的函數(shù)值之差 ),(),(yxfyyxxf 為函數(shù)在點為函數(shù)在點 P對應(yīng)

2、于自變量增量對應(yīng)于自變量增量yx ,的全增的全增量，記為量，記為z ， 即即 z =),(),(yxfyyxxf 全增量的概念全增量的概念 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示為可以表示為)( oyBxAz ，其中，其中BA,不依賴于不依賴于yx ,而僅與而僅與yx,有關(guān)，有關(guān)，22)()(yx ，則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx可微分，可微分，yBxA 稱為函數(shù)稱為函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx的的全微分全微分，記為，記為dz，即，即 dz= =yBxA . .全微分的定義全微分的定義 函函數(shù)數(shù)若

3、若在在某某區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)各各點點處處處處可可微微分分，則則稱稱這這函函數(shù)數(shù)在在 D 內(nèi)內(nèi)可可微微分分. 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx可微分可微分, 則則函數(shù)在該點連續(xù)函數(shù)在該點連續(xù).事實上事實上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx處處連連續(xù)續(xù).二、可微的條件二、可微的條件 定定理理 1 1（必必要要條條件件）如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx可可微微分分，則則該該函函數(shù)數(shù)在在點點),(yx的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xz 、yz 必必存存在在，

4、且且函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx的的全全微微分分為為 yyzxxzdz 證證如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yxP可可微微分分, ),(yyxxPP的的某某個個鄰鄰域域)( oyBxAz 總成立總成立,當(dāng)當(dāng)0 y時，上式仍成立，時，上式仍成立，此時此時| x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在微分存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxx

5、yyxf在點在點)0 , 0(處有處有0)0 , 0()0 , 0( yxff)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考慮慮點點),(yxP 沿沿著著直直線線xy 趨趨近近于于)0 , 0(，則則 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 說說明明它它不不能能隨隨著著0 而而趨趨于于 0,0 當(dāng)當(dāng) 時，時，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函數(shù)在點函數(shù)在點)0 , 0(處不可微處不可微.說明說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全 微分存在，微分存在，定理定理（充分條件）如果函數(shù)（充分條件）

6、如果函數(shù)),(yxfz 的偏的偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)xz 、yz 在點在點),(yx連續(xù)，則該函數(shù)在點連續(xù)，則該函數(shù)在點),(yx可微分可微分證證),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf ),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 在第一個方括號內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理在第一個方括號內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理xxyxfx 1),( （依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）（依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）且且當(dāng)當(dāng)0, 0 yx時時，01 .其中其中1 為為yx ,的函數(shù)的函數(shù),xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 故函數(shù)故函數(shù))

7、,(yxfz 在點在點),(yx處可微處可微.同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 當(dāng)當(dāng)0 y時，時，02 ,習(xí)慣上，記全微分為習(xí)慣上，記全微分為.dyyzdxxzdz 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況例例 1 1 計算函數(shù)計算函數(shù)xyez 在點在點)1 , 2(處的全微分處的全微

8、分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分例例 2 2 求函數(shù)求函數(shù))2cos(yxyz ，當(dāng)，當(dāng)4 x， y，4 dx， dy時的全微分時的全微分.解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 例例 3 3 計計算算函函數(shù)數(shù)yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)全微分在近似計算中的應(yīng)用全微分在近似計算中的應(yīng)用都較小時，有近似等式都較小時，有近似等式連續(xù)，且連續(xù)，且個偏導(dǎo)數(shù)個偏導(dǎo)數(shù)的兩的兩在點在點當(dāng)二元函數(shù)當(dāng)二元函數(shù)yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可寫成也可寫成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 例例 5 5 計算計算02. 2)04. 1(的近似值的近似值.解解.),(yx