河海大學(xué)彈性力學(xué)徐芝綸版 第三章概要

1、第三節(jié)第三節(jié) 位移分量的求出位移分量的求出第四節(jié)第四節(jié) 簡支梁受均布荷載簡支梁受均布荷載第五節(jié)第五節(jié) 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力例題例題第一節(jié)第一節(jié) 逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法 多項式解答多項式解答第二節(jié)第二節(jié) 矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答31 1 逆解法和半逆解法逆解法和半逆解法 多項式解法多項式解法1.1.當(dāng)體力為常量，按應(yīng)力函數(shù)當(dāng)體力為常量，按應(yīng)力函數(shù) 求解平面求解平面應(yīng)力問題時，應(yīng)力問題時， 應(yīng)滿足應(yīng)滿足 按 求解40.(a)S, .(b)xyxxyxyysslmfmlf 多連體中的位移單值條件。 (c) S = 上應(yīng)力邊界條件,

2、A內(nèi)相容方程第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 對于單連體，(c)通常是自然滿足的。只須滿足(a),(b)。 由 求應(yīng)力的公式是,22xfyxx,22yfxyy.2yxxy(d) 40a , .xyxxsyxyyslmfmlfb第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答2 .逆解法逆解法 (Inverse method) 先滿足(a),再滿足(b)。步驟:04 ;.)()(,sxyyysxyxxlmfmlf(e)逆解法; , ,xyyx 先找出滿足 的解 在給定邊界形狀S下，由式(b)反推出 各邊界上的面力， 代入(d), 求出 40a , .xyxxsyxyyslmfmlfb第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答

3、從而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述 和應(yīng)力。 逆解法 逆解法沒有針對性，但可以積累基本解答。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答例1逆解法 設(shè)圖中所示的矩形長梁，l h，試考察應(yīng)力函數(shù) 能解決什么樣的受力問題？)43(2223yhxyhFyxol h/2 h/2 ( l h)第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答解：按逆解法。 1. 將 代入相容方程，可見 是滿足的。 有可能成為該問題的解。04 2. 由 求出應(yīng)力分量).41 (23, 0,1222222322hyhFyxxhFxyyxyyx第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 因此，在 的邊界面上，無任何面力作用，即 3. 由邊界形狀和應(yīng)力分量反推邊

4、界上的面力。 在主要邊界（大邊界） 上， 2/hy, 0y0.yx2/hy0.xyffxy h/2 h/2l第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答在x = 0，l的次要邊界（小邊界）上，).41 (23)( ,12)( ),();41 (23)( , 0)( ),(02232200hyhFfyhFlfxlxhyhFffxxlxxyylxxxxxyyxxx面正面負(fù)xy h/2 h/2l第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 在x = 0,l 小邊界上的面力 如下圖中(a) 所示，而其主矢量和主矩如(b)所示。 yxff ,(a)(b)FFM=Fl第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 由此，可得出結(jié)論：上述應(yīng)力函數(shù)可以

5、解決懸臂梁在 x = 0 處受集中力F作用的問題。F第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答例3 二次式 ，分別表示常量 的應(yīng)力和邊界面力。如圖示。例2 一次式 對應(yīng)于無體力， 無面力，無應(yīng)力狀態(tài)。故應(yīng)力函數(shù)加減 一次式，不影響應(yīng)力。axbyc22cybxyax逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答22yx 對于圖示對于圖示1/41/4圓薄板，試考察應(yīng)力函數(shù)圓薄板，試考察應(yīng)力函數(shù) 能能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分量（不計體力），畫滿足相容方程，并求出應(yīng)力分量（不計體力），畫出邊界面上的面力分量（弧面上用法向和切向表示）出邊界面上的面力分量（弧面上用法向和切向表示）作

6、作 業(yè)業(yè) xy第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 代入 ，解出 ；3.半逆解法半逆解法( (Semi-inverse method) ) 步驟：04 半逆解法 由應(yīng)力(d)式，推測 的函數(shù)形式； 假設(shè)應(yīng)力的函數(shù)形式（根據(jù)受力情況，邊界條件等）；,22xfyxx,22yfxyy.2yxxy(d)第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 由式（d），求出應(yīng)力；半逆解法 校核全部應(yīng)力邊界條件（對于多連體， 還須滿足位移單值條件）。 如能滿足，則為正確解答；否則修改假設(shè)，重新求解。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答思考題半逆解法1. 在單連體中，應(yīng)力函數(shù)必須滿足哪些條件？逆解法和半逆解法是如何滿足這些條件的？2. 試比

7、較逆解法和半逆解法的區(qū)別。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答半逆解法解題的基本步半逆解法解題的基本步驟驟逆解法解題的基本步驟逆解法解題的基本步驟單連體單連體第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答3-2 矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲 梁lh1，無體力，只受M作用（力矩/單寬，與力的量綱相同）。本題屬于純彎曲(Pure bending)問題。 問題提出 h/2 h/2lyx ( l h)oMM第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 由逆解法得出，可取 ，且滿足 求應(yīng)力 . 04 ,6ayx. 0 xyy3ay(a) 求解步驟：04 本題是平面應(yīng)力問題,且為單連體，若按 求解， 應(yīng)滿足相容方程及 上的應(yīng)力邊界條件。ss

8、 第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 檢驗應(yīng)力邊界條件，原則是: 邊界條件 b.后校核次要邊界后校核次要邊界（小邊界），若不能精確滿足應(yīng)力邊界條件，則應(yīng)用圣維南原理，用積分的應(yīng)力邊界條件代替。 a.先校核主要邊界先校核主要邊界（大邊界），必須精確滿足應(yīng)力邊界條件。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答主要邊界主要邊界 , 2/hy , 0)(2/ hyy/2()0 . (b)xyyh 從式(a)可見，邊界條件(b)均滿足。, 0)(,0lxxy滿足。次要邊界次要邊界 x=0, l,(c)主要邊界 h/2 h/2lyxoMM第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答次要邊界/20,/2/20,/2()d10,(d)()

9、d1hxxlhhxxlhyyyM 。用兩個積分的條件代替 主要邊界 h/2 h/2lyxoMMx 的邊界條件無法精確滿足。次要邊界次要邊界 x=0, l,第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 當(dāng) 時，即使在 邊界上面力不同于 的分布，其誤差僅影響梁的兩端部分上的應(yīng)力。式(d)的第一式自然滿足，由第二式得出。3/2hMa最終得應(yīng)力解,123yIMyhMx(e)hl lx, 0 x. 0 xyy第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 如果區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程已經(jīng)滿足，且除了最后一個小邊界外，其余的應(yīng)力邊界條件也都分別滿足。則我們可以推論出，最后一個最后一個小邊界上的三個積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢小邊界上的三個積

10、分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）必然是滿足的量、主矩的條件）必然是滿足的，因此可以不必進行校核。試對此結(jié)論加以說明。思考題第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答3-3 位移分量的求出位移分量的求出 在按應(yīng)力求解中，若已得出應(yīng)力，如何在按應(yīng)力求解中，若已得出應(yīng)力，如何求出位移？求出位移？以純彎曲問題為例，已知, yIMx, 0 xyy試求解其位移。問題提出第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答1. 由物理方程求形變。0)1 (2,)(1,)(1xyxyxyyyxxEyEIMEyEIME求形變第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答2. 代入幾何方程求位移, (a), (b)0 ( )xyxyuMyxEIvMyyE

11、Ivucxy 。求位移第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 對式(a)兩邊乘 積分, xd),(1yfxyEIMu 對式(b)兩邊乘 積分 , yd。)(222xfyEIMv求位移第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 再代入(c) , 并分開變量，21d( )d( )()ddfxfyMxEIxy 。 上式對任意的 x , y 都必須成立，故兩邊都必須為同一常量 。求位移第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答由此解出10220(),().2fyyuMfxxxvE I 求位移0220,22MuxyyuEIMMvyxxvEIEI 。得出位移為3.待定的剛體位移分量 ，00,vu.須由邊界約束條件來確定。第三章 平面問題

12、的直角坐標(biāo)解答由邊界約束條件來確定剛體位移分量 ，00,vu.Simply supported beamCantilever beam？第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答2.代入幾何方程，積分求 ； 歸納：從應(yīng)力求位移步驟：從應(yīng)力求位移步驟：vu,00, u v。3.由邊界約束條件確定確定剛體位移分量1.由物理方程求出形變；第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答2. 鉛直線的轉(zhuǎn)角 故在任一截面x 處，平面截面假設(shè)成立。純彎曲問題的討論：1. 彎應(yīng)力 與材料力學(xué)的解相同。x,uMxyEI3.縱向纖維的曲率 同材料力學(xué)的結(jié) 果。故在純彎曲情況下，彈性力學(xué)解與材料力 學(xué)解相同。 EIMxv221第三章 平面問題

13、的直角坐標(biāo)解答思考題2. 試證明剛體位移 實際上表示彈性體中 原點的平移和轉(zhuǎn)動分量，并應(yīng)用本節(jié)的解答加以 驗證。 提示：微分體的轉(zhuǎn)動分量為00,u v。yuxvw211. 彈性力學(xué)中關(guān)于純彎曲梁的解答，與材料力學(xué) 的解答在應(yīng)力、形變等方面完全 一致。由此 是否可以說在純彎曲情況下材料力學(xué)中的平截 面假設(shè)成立？第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答3-4 簡支梁受均布荷載簡支梁受均布荷載簡支梁 ，受均布荷載 及兩端支撐反力 。12 hlq。ql問題qqlqlyxoll h/2 h/2第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答21()() ,2xMq lxq lx2123( )( )( );xx f yxfyfy()

14、,xysFqlq lx 12()();xyxfyfy ,yq 常數(shù)( )yf y。現(xiàn)采用此假設(shè)。按半逆解法半逆解法求解。 假設(shè)應(yīng)力分量。由材料力學(xué),xsyM F q因為因為所以，可假設(shè)所以，可假設(shè)因為所以，可假設(shè)qyxollqlql第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 由應(yīng)力分量推出應(yīng)力函數(shù)的形式。由),(22yfxy對 x 積分，),()(1yfyxfx212( )( )( ).2xfyxfyfy對x再積分，(a)半逆解法第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 將 代入相容方程，求解 :. 0)d)(d2d)(d(d)(dd)(d2122424414244yyfyyfxyyfxyyf相容方程對于任何 均應(yīng)

15、滿足,故yx,012,xxx的系數(shù)均應(yīng)等于0，由此得三個常微分方程。半逆解法第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答.610,2345223123KyHyyByAfGyFyEyfDcyByAyf式(b)中已略去對于 的一次式。將式(b)代入式(a)，即得 。(b)半逆解法解出:第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 對稱性條件由于結(jié)構(gòu)和荷載對稱于 軸，故 應(yīng)為 的偶函數(shù)， 為 x的奇函數(shù)，故 。 由 求應(yīng)力。yyx ,xxy0GFE,半逆解法 在無體力下，應(yīng)力公式如書中式( f ), (g),(h)所示。qyxollqlql第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 考察邊界條件。/ 2/ 2/ 2()0 , (), ()

16、0 .yyhyyhy xyhq 由此解出系數(shù)A , B , C , D 。 主要邊界主要邊界, 02/ hy主要邊界qyxollqlql第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答次要邊界次要邊界。qldyydydyhhlxxylxhhxlxhhx1)(,01)(,01)(2/2/2/2/2/2/次要邊界由此解出H，K.另一次要邊界(x= -l )的條件，自然滿足。應(yīng)用圣維南原理，列出三個積分條件，, lxqyxollqlql()0 x x l不滿足第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答最后應(yīng)力解答：)534()(622223hyhyqyxlhqx),534(22hyhyqyIM應(yīng)力,)4(6223bISFyhxh

17、qSxy.)21)(1(22hyhyqy第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答應(yīng)力的量級應(yīng)力的量級當(dāng) 時, x l 同階， y h 同階.hl x 第一項 同階,（與材料力學(xué)解同）;2)(hlq第二項 同階, （彈性力學(xué)的修正項）q應(yīng)力的量級)534()(622223hyhyqyxlhqx第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答應(yīng)力的量級應(yīng)力的量級當(dāng) 時, x l 同階， y h 同階.hl xy)(hlq同階, （與材料力學(xué)解同）應(yīng)力的量級yq同階, （材料力學(xué)中不計）2236()4xyqhxyh .)21)(1 (22hyhyqy第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答當(dāng) 時, 量級的值很小,可以不計。應(yīng)力與材料力學(xué)

18、解比較應(yīng)力與材料力學(xué)解比較:最主要量級 , 和次要量級 ,在材料力學(xué)中均已反映，且與彈性力學(xué)相同。2)(hlqhlq最小量級 , 在材料力學(xué)中沒有。 q當(dāng) 時, 僅占主項 的1/15 ( 6 %) ,hl yIMhl q應(yīng)力比較x223(4),5yyqhh中的彈性力學(xué)修正項：第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答彈性力學(xué)與材料力學(xué)的解法比較彈性力學(xué)與材料力學(xué)的解法比較: :應(yīng)力比較 彈性力學(xué)嚴(yán)格考慮并滿足了A內(nèi)的平衡微分方程 ,幾何方程和物理方程,以及S上的所有邊界條件(在小邊界上盡管應(yīng)用了圣維南原理,但只影響小邊界附近的局部區(qū)域)。 材料力學(xué)在許多方面都作了近似處理,所以得出的是近似解答。第三章 平

19、面問題的直角坐標(biāo)解答幾何條件中引用平截面假定 沿 為直線分布；bxhdxu,y例如：邊界條件也沒有嚴(yán)格考慮；平衡條件中沒有考慮微分體的平衡，只 考慮 的內(nèi)力平衡；材料力學(xué)解往往不滿足相容條件。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 對于桿件，材料力學(xué)解法及解答具有足夠的精度； 對于非桿件，不能用材料力學(xué)解法求解，應(yīng)采用彈性力學(xué)解法求解。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答1. 當(dāng)問題中的y軸為對稱軸時，試說明 和 應(yīng)為x的偶函數(shù)，而 應(yīng)為x的奇函數(shù)。vyx,uxy,思考題2. 對于梁的彎曲問題，試回憶在材料力學(xué) 中是如何考慮平衡條件的？第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 3. 試說明從彈性力學(xué)得出的解答（3-6

20、）不 符合平面截面假設(shè)。 4. 材料力學(xué)的解答往往不滿足相容條件， 為什么？第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答3-5 3-5 楔形體受重力及液體壓力楔形體受重力及液體壓力 設(shè)有楔形體，左面垂直，頂角為，下端無限長，受重力及齊頂液體壓力。, 0 xf.1gfyoyxn2g1g2第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答用半逆解法半逆解法求解。因為應(yīng)力 , 而應(yīng)力的量綱只比高一次（L），所以應(yīng)力 (x , y 一次式）, 即可假設(shè)應(yīng)力為x , y 的一次式。gg,21 gg,21 12( ) g, g （1）用量綱分析法假設(shè)應(yīng)力:第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答（2）由應(yīng)力 關(guān)系式， 應(yīng)為x,y的三次式，（3） 滿

21、足相容方程. 04 （4）由 求應(yīng)力，,6222dycxxfyxx,26122gybyaxyfxyy.222cybxyxxy.3223dycxyybxax第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答（5）考察邊界條件-本題只有兩個大邊大邊 界界，均應(yīng)嚴(yán)格滿足應(yīng)力邊界條件。 x=0 鉛直面，,)(20gyxx,0)(0 xxy解出;62gd.0c(a)解出第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答tanyx 斜邊界上，,0)(tanyxyxxml.0)(tanyxxyylm(b)須按一般的應(yīng)力邊界條件來表示，有第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答其中,cos),cos(xnl.sin),cos(ynm由式（b)解出a、b,最后

22、的應(yīng)力解答,212212322,(cotcot) (c) (cot) ,cot.xyxy gy g2 g x g g y gx 應(yīng)力第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答水平截面上的應(yīng)力分布如圖所示。xyyx第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答楔形體解答的應(yīng)用: 作為重力壩的參考解答； 分縫重力壩接近平面應(yīng)力問題； 在壩體中部的應(yīng)力，接近楔形體的解答。 重力壩規(guī)范規(guī)定的解法 材料力學(xué)解法（重力法）. 重力壩的精確分析，可按有限單元法進行。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答思考題 重力法是按應(yīng)力求解的，試回憶應(yīng)力分量 必須滿足哪些條件？在重力法中考慮了哪些條件？xyyx , ,第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答例題1

23、例題2例題3例題4例題8例題7例題6例題5第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答圖3-5xxyMsFNFydyyxl h/2 h/2o) 1,(hl例題1設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，體力可以不計,圖3-5，試用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。332DxyCyByAxy第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答解： 本題是較典型的例題，已經(jīng)給出了應(yīng)力函數(shù) ，可按下列步驟求解。1. 將 代入相容方程，顯然是滿足的。2. 將 代入式(2-24)，求出應(yīng)力分量。)3( ,0,6622DyADxyCyBxyyx第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答3. 考察邊界條件： 主要邊界 上應(yīng)精確滿足式(2-15),2/hy/22

24、/2()0, 3()0, 0 . (a) 4yyhyxyhADh滿足；得 h/2 h/2lxyMsFNF第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 在次要邊界x=0上，只給出了面力的主矢量和主矩，應(yīng)用圣維南原理，用三個積分的邊界條件代替。注意x=0是負(fù)x面，圖3-5中表示了負(fù)x面上的 的正方向，由此得：xyx 和第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答/20/2( )d, ;2hNxxNhFyFBh 得/203/22( )d, ;hxxhMy yMCh得/230/21( )d, . (b)4hxyxsshyFAhDhF得 h/2 h/2lxyMsFNF第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答由(a),(b) 解出332 ,

25、. 2ssFFADhh 最后一個次要邊界條件(x=l上)，在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下，是必然滿足的，故不必再校核。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答代入應(yīng)力公式，得33221212 , 0,3(14).2NsxysxyFFMyxyhhhFyhh 第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答例題2 擋水墻的密度為 ，厚度為b,圖示,水的密度為 ，試求應(yīng)力分量。12yox2b2bg1g2第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答解：用半逆解法半逆解法求解。1. 假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。 因為在 y=-b/2邊界上， y=b/2 邊界上， ，所以可假設(shè)在區(qū)域內(nèi) 沿x 向 也是一次式變化，即 ; 0ygxy2y。

26、)(yxfy第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答2. 按應(yīng)力函數(shù)的形式，由 推測 的形式，2221312(), ()( ) , 2()( )( ).6yxfyxx fyfyxxfyxfyfyy所以第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答3. 由相容方程求應(yīng)力函數(shù)。代入 得, 04 .0dd2dddddd622424414443yfxyfyfxyfx要使上式在任意的x處都成立，必須 第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答43244254321142432224d0 , ;ddd20, ;dd106d0, .dffAyByCyDyffABfyyGyHyIyyyf fEyFyy得得得 代入 ，即得應(yīng)力函數(shù)的解答，其中已略去

27、了與應(yīng)力無關(guān)的一次式。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 4. 由應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。將 代入式(2-24) ,注意 ， 體力求得應(yīng)力分量為0 ,1yxfgf232321 (3 (2262)(62),xxBxfxAyyxAyByGyHEyFgx2322 (),yyyfx AyByCyDx222432(32)22 (32).23xyxA yB yCxyAByyG yH yI 第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答5. 考察邊界條件：主要邊界主要邊界 上,有2/by/22( ), yy bgx/2( )0,yyb/2( )0, yxyb322(); (a)842bbbx ABCDgx32()0;(b)842

28、bbbxABCD224323 ( )243 ()0.32124xbABb CbbbABGHb I得得得yox2b2bg1g2第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答由上式得到23 0 (c,d)4bABbC43230 (e,f )32124bbbABGHbI第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答求解各系數(shù)，由(a)+ (b )(a)-(b)321 , 822bbACg 23C0 4bA。221 , 42bBDg 321 , 822bbACg (c)-(d )(c)+ (d )得得得得第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答由此得22323, .2AgCgbb 又有. 04332 )()(0 )()(24IbGbAfeHf

29、e得，得代入A,得223 . (g)164bbIgG第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答在次要邊界次要邊界（小邊界）x=0上，列出三個積分的邊界條件：002/202/2( )0, 0 ,0 ;( )0, ;( )d0, . (h)804xxxyxbxyxbFEbbyIgG得不滿足得由式(g),(h)解出 . 101 ,8022gbGgbIyox2b2bg1g2第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答代入應(yīng)力分量的表達(dá)式得最后的應(yīng)力解答：332221333232322233234 , 521 (2);3233 (3)()41080 xyxygggx yxyxygxbbbyygxbbyyybgxgybbbby。第

30、三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答例題3已知, )();()( )(42223422222EyDxyyCxyBxAxbyxCBxyxaAya試問它們能否作為平面問題的應(yīng)力函數(shù)？第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答解： 作為應(yīng)力函數(shù)，必須首先滿足相容方程，.04 將 代入，(a) 其中A= 0，才可能成為應(yīng)力函數(shù)；(b)必須滿足 3(A+E)+C=0,才可能成為應(yīng)力函數(shù)。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答bbAyxhOFFb/2) 1,(bh圖中所示的矩形截面柱體，在頂部受有集中力F和力矩 的作用，試用應(yīng)力函數(shù)例題42FbM ,23BxAx求解圖示問題的應(yīng)力及位移，設(shè)在A點的位移和轉(zhuǎn)角均為零。第三章 平面問題的

31、直角坐標(biāo)解答解： 應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)求解：(1) 校核 相容方程 ，滿足.04 (2) 求應(yīng)力分量 ，在無體力時，得. 0 ,26xyxyBAx(3) 考察主要邊界條件主要邊界條件， , 0, 0 ,xxyxb均已滿足bbAyxhOFFb/2) 1,(bh第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答考察次要邊界條件次要邊界條件，在y=0上，0()0, yxy0()d,byybxF 0()d,2byybFbxx 滿足。;2FBb 28FAb 。得得bbAyxhOFFb/2) 1,(bh第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 上述應(yīng)力已滿足了 和全部邊界條件，因而是上述問題的解。04 代入，得應(yīng)力的解答，.0 ),231 (

32、2xyxybxbF第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答(4) 求應(yīng)變分量，。0 ),231 (2),231 (2xyyxbxEbFbxEbF第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答(5) 求位移分量，3(1), 22xuFxxxE bb由對積 分 得3 (1), 22yvFxyyEbb 由對積 分 得213()();24FxuxfyEbb23()( ).22FxyvyfxEbb 第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答將u,v代入幾何方程的第三式，。0 xyyuxv兩邊分離變量，并全都等于 常數(shù)，即212d( )d( )3,dd4fxfyFyxyEb 第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答從上式分別積分，求出20(),fxxv

33、21023( )8FfyyyuEb。代入u,v, 得2202033(),2483().22FxFuxyyuEbbEbFxyvyxvEbb 第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答再由剛體約束條件，0,()0,xyhuy0,( )0,xyhu0,( )0,xyhv234FhE b；2038FhE bu；0.2FvhE b得得得bbAyxhOFFb/2) 1,(bh第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答22233()()2483()(1)22FxFuxhyEbbEbFxvhyEbb，。代入u,v,得到位移分量的解答在頂點x=y=0，0( ).2xyFhvEb第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答例題5 圖中矩形截面的簡支梁

34、上，作用有三角形分布荷載。試用下列應(yīng)力函數(shù), 333533FxyExDxyyCxBxyyAx求解應(yīng)力分量。yx6ql3qllxqo h/2 h/2l) 1,(lh第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 解：應(yīng)用上述應(yīng)力函數(shù)求解：(1) 將 代入相容方程，。得B35ABA , 012072 , 04由此，。FxyExDxyyCxBxyyBx33353335第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答(2) 代入應(yīng)力公式，在無體力下，得。，)33515(66106201022422333FDyCxByyBxExCxyBxyDxyBxyyBxxyyx(3) 考察主要邊界條件主要邊界條件),2/(hy/ 2, 0, yxy

35、h 得224215(3)453()0164xCBhBhDhF 。yx6ql3qllxqo h/2 h/2l) 1,(lh第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答對于任意的x值，上式均滿足，由此得,041532BhC。04316524FDhBh(a)(b),0)6345( ,0 ,2/3EChBhxhyy.)6345(, 2/3lxqEChBhxlxqhyy(c)(d)yx6ql3qllxqo h/2 h/2l) 1,(lh第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答由(3)+(4)得。lqE12由(3)-(4)得。lhqCBh23452由(5)-(1)得(e)。lhqClhqB4 ,53第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答(4) 考察小邊界小邊界上的邊界條件(x=0),由,6d)(02/2/qlyxhhxy得53.1646hhqlBDFh 由式(2)和(6)解出).480(),1013(3hllhqFlhhlqD（f）yx6ql3qllxqo h/2 h/2l) 1,(lh第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答另兩個積分的邊界條件，.0d)(,0d)(02/2/02/2/