應(yīng)用數(shù)值分析線性方程組求解直接法

1、第五章 解線性方程組的直接法 5.5-5.6誤差分析誤差分析范數(shù)是對(duì)向量和矩陣的一種度量,實(shí)際上是二維和三維向量長(zhǎng)度概念的一種推廣數(shù)域數(shù)域:數(shù)的集合,對(duì)加法和乘法封閉線性空間線性空間: 可簡(jiǎn)化為向量的集合,對(duì)向量的加法和數(shù)量乘法封閉,二維向量和三維向量都可以度量其大小和長(zhǎng)度高維向量的長(zhǎng)度能否定義呢?也稱為向量空間 5.-5. 誤差分析誤差分析定義定義1., xRnn中任意一個(gè)向量維向量空間對(duì)于一、一、向量和矩陣的范數(shù)向量和矩陣的范數(shù)對(duì)應(yīng)，且滿足與若存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)xRx ;00,0)()1(xxRxxn且正定性;,)()2(RRxxxn，齊次性.,)()3(nRyxyxyx，三角不等式.的范數(shù)

2、為向量則稱xx定義中的向量范數(shù)可以類似對(duì)于復(fù)線性空間nCTnnnxxxxCR),(,)(21設(shè)中在向量空間的范數(shù)有常用的向量 x2x2122221)(nxxx范數(shù)或歐氏范數(shù)的 2x1xnxxx21范數(shù)的1xxinix1max范數(shù)或最大范數(shù)的x-(1)-(2)-(3)pxppnppxxx121)(1,ppx范數(shù)的2x和1x顯然時(shí)的特例和在是21ppxp并且由于ppnppxxx121)(inix1maxppinixn11)max(inipxn11max)(max1pxinix所以的特例也是px-(4),(時(shí)pxxp12xxx且例1.求下列向量的各種常用范數(shù)Tx)1,3 ,4 , 1(解:1x421

3、xxx92x21242221)(xxx3327 xiix41max4向量范數(shù)的性質(zhì) 連續(xù)性: 等價(jià)性: 按范數(shù)收斂: 12,|,;nxxx xxn向量范數(shù)是 的分量的 元連續(xù)函數(shù)|,nrsxx設(shè)和為上任意兩種范數(shù)則存在常數(shù)m,M0,使得R R|rsrxxMxmnx R R( )*limkkxx( )*(lim)kiikxx( )*lim | 0kkxx,xx(k)*設(shè)向量收斂于向量即定義定義2.,ARnn中任意一個(gè)矩陣對(duì)于空間對(duì)應(yīng)，且滿足與若存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)ARA ;00,0)()1(AARAAnn且正定性;,)()2(RRAAAnn，齊次性.,)()3(nnRBABABA，三角不等式.的范數(shù)

4、為矩陣則稱AA定義。中的矩陣范數(shù)可以類似對(duì)于復(fù)空間nnC(4) (),.n nABABA BR 相容性，例2.nnijaAn)(階方陣設(shè)12211nnijFijAa 不難驗(yàn)證其滿足定義2的4個(gè)條件FA因此是一種矩陣范數(shù).稱為稱為Frobenius范數(shù)范數(shù),簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱F-范數(shù)范數(shù)2121)()(TTFAAtrAAtrA而且可以驗(yàn)證tr為矩陣的跡-(5)-(6)類似向量的 2-范數(shù)定義：為一種向量范數(shù)設(shè),nnnRARx令有最大值對(duì)所有的則,0 xxAxxAxAx 0max個(gè)條件的滿足定義可以驗(yàn)證42A定義定義3.-(7)的矩陣范數(shù)范數(shù)稱為從屬于給定向量式確定的由xA)7(簡(jiǎn)稱為從屬范數(shù)從屬范數(shù)或算子

5、范數(shù)算子范數(shù)xAAx顯然，由定義不難推出定義定義4.都有若,nnnRARxxAAx.相容和矩陣范數(shù)則稱所給的向量范數(shù)由(8)式,可知算子范數(shù)和其對(duì)應(yīng)的向量范數(shù)是相容的-(8)-(9), 和矩陣范數(shù)對(duì)于給定的向量范數(shù)根據(jù)向量的常用范數(shù)可以得到常用的矩陣算子范數(shù)矩陣算子范數(shù):1101max)1(xAxAxniijnja11max,大值的每列絕對(duì)值之和的最A(yù)的列范數(shù)稱AxAxAx0max)2(njijnia11max,大值的每行絕對(duì)值之和的最A(yù)的行范數(shù)稱A2202max)3(xAxAx)(maxAAT大值的特征值的絕對(duì)值的最為AAAATT)(max范數(shù)的稱2A-(10)-(11)-(12)例3. 2

6、1112ninjijFaA是不是算子范數(shù)范數(shù)的判別矩陣FAFrobeniusA解:范數(shù)為的FA類似于向量的2-范數(shù)的算子范數(shù)并不是從屬于但2xAFI考慮單位矩陣FInxIxIx0maxxxx0max1的矩陣范數(shù)數(shù)是不從屬于任意向量范因此FA數(shù)并不完全是一回事故而矩陣范數(shù)和算子范不過222xAAx2112ninjijFaA2121)()(TTAAtrAAtr2A)(maxAAT2xAFFA相容與因此2xAF矩陣范數(shù)的性質(zhì) 等價(jià)性: 按范數(shù)收斂:R| | | ,n nrs對(duì)上任意兩種范數(shù)和m0,存在常數(shù)M使得| ,rsrmAAMAn nAR ( )( )limlim | 0kkkkAAAA(k)A

7、 | |A稱矩陣序列按范數(shù)收斂于例4.求矩陣A的各種常用范數(shù)110121021A解:1Aniijnja11max25234252 ,5 ,2max1njAnjijnia11max42 ,4 ,3max1ni2A)(maxAAT由于的特征值因此先求AATAAT110121021110122011211190102特征方程為)det(AAIT2111901020的特征值為可得AAT9361. 0,9211. 2,1428. 93211428. 9)(maxAAT2A)(maxAAT0237. 3FA)(AAtrT2926056. 31AA2AFA容易計(jì)算計(jì)算較復(fù)雜對(duì)矩陣元素的變化比較敏感不是從屬范

8、數(shù)較少使用使用最廣泛性質(zhì)較好定義定義5.稱的特征值為設(shè),21nnnRA,max)(21nA的譜半徑為矩陣A,Ax和矩陣算子范數(shù)數(shù)對(duì)于特征向量的某種范xAAxxAxx而因此xxA-(13)顯然2A)(maxAAT)(AATAAA )(任何一種算子范數(shù)的譜半徑不超過矩陣的即矩陣A即所以).(|2AAA對(duì)稱，則有特別地，若譜半徑的相關(guān)定理(譜半徑有界) 設(shè) ,則對(duì)任一種算子范數(shù) ,均有n nAR|A( ) |AA定理1設(shè) , 則 的充分條件是B的譜半徑( )1B0()kBk n nBR定理2引理引理1.,nnnnRBR上的一種算子范數(shù)是設(shè)且非奇異則滿足若, 1BIBBBBI11)(1-(14)證明略

9、直接法中的誤差分析條件數(shù)與病態(tài)方程組考察方程組考察方程組和和 上述方程組盡管只是右端項(xiàng)有微小擾動(dòng)，但解大不相同：上述方程組盡管只是右端項(xiàng)有微小擾動(dòng)，但解大不相同： 一個(gè)是一個(gè)是 ，一個(gè)是，一個(gè)是 。這類方程組稱為這類方程組稱為病態(tài)病態(tài)的。的。 方程組方程組 的病態(tài)程度可由系數(shù)矩陣的病態(tài)程度可由系數(shù)矩陣 (非奇異非奇異) 的的條件數(shù)條件數(shù)來刻畫，條件數(shù)愈大，擾動(dòng)對(duì)解的影響愈大。來刻畫，條件數(shù)愈大，擾動(dòng)對(duì)解的影響愈大。121221.00012.0001xxxx121221.00012xxxx121xx122,0 xxAxbA 1cond AAA.,的良態(tài)否則稱為陣矩病態(tài)為的病態(tài)則稱該方程組是巨大變

10、化就會(huì)引起方程組解的的元素的微小變化常數(shù)項(xiàng)或如果系數(shù)矩陣對(duì)于線性方程組AbAbAx 二、誤差分析簡(jiǎn)介1.b常數(shù)項(xiàng) 的擾動(dòng)對(duì)方程組解的影響為其精確解為非奇異矩陣為一線性方程組設(shè)xAbAx,xbb則解也應(yīng)存在誤差存在誤差若常數(shù)項(xiàng),即有bbxxA)(-(15)bxAbAx1bAx1bA1Axb xA bAx1bbAAxx1-(16)-(17)-(18)所以兩邊取算子范數(shù)得：又因?yàn)榭傻?16)和(17)兩式相乘,得相對(duì)誤差(18)式表明,由常數(shù)項(xiàng)產(chǎn)生的誤差,最多可將解的相對(duì)誤差放大 倍1 AA2.A系數(shù)矩陣 的擾動(dòng)對(duì)方程組解的影響bxxAA)(xAA則解也應(yīng)存在誤差存在誤差若系數(shù)矩陣,0 xAxAxA

11、xAxAA)(-(19)()(1AAIAAA11AA如果假設(shè)則由引理1,可知非奇異AAI1AAAAI11111)(且(19)式化為xAxAAIA)(1xAAAAIx111)(-(20)-(21)xAAAAIx111)(AAAAxx111AAAA111AAAAAAAA111-(22)定義定義7.稱為非奇異矩陣設(shè),A.,為某種算子范數(shù)其中的條件數(shù)為A1)(AAAcond-(23)顯然1)(AAAcond1 AAI1即任意方陣的條件數(shù)必不小于1根據(jù)算子范數(shù)的不同也有不同的條件數(shù):1111)(AAAcond1)(AAAcond2122)(AAAcond)(1)(minmaxAAAATT)()(minmaxAAAATTbbAcondxx)(-(18)xxAAAcondAAAcond)(1)(-(22)根據(jù)定義7的定義,(18)式和(22)式可表示為AAAcond)()1(時(shí)AA-(24)倍放大倍數(shù)不超過誤差的擾動(dòng)引起的解的相對(duì)和常數(shù)