單層板的正軸剛度(2)

1、單層板的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 圖2-1-1 單層板是正交各向異性材料，在其正軸向上某一點(diǎn)的正應(yīng)變1 、2，只與該點(diǎn)處的正應(yīng)力1 、2有關(guān)，而與剪應(yīng)力12無關(guān)。211212疊加原理 通常考慮復(fù)合材料處于線彈性、小變形情況，疊加原理仍適用，所以，全部應(yīng)力分量引起某一方向的應(yīng)變分量，等于各應(yīng)力分量引起該方向應(yīng)變分量的代數(shù)和。 因而我們把組合應(yīng)力看成單軸應(yīng)力的簡(jiǎn)單疊加。利用兩個(gè)單軸試驗(yàn)和一個(gè)純剪試驗(yàn)的結(jié)果建立正軸的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系?？v向單軸試驗(yàn)單向復(fù)合材料的纖維方向稱為縱向。圖2.1.22（T）111（L）（a）（111E11)1(2(b)11)1(11E111) 1 (11) 1 (2E表示材料主方向承受單軸

2、1，由此將引起雙軸應(yīng)變。E1表示縱向彈性模量即應(yīng)力與應(yīng)變之比。表征材料抵抗變形的能力。模量越大越不容易變形，材料的剛性越大。 縱向泊松比：即11)1(11E111) 1 (11) 1 (2E(1)1(1)2211橫向單軸實(shí)驗(yàn)22（a）1（L）2（T）（222E21）（21(b)22)2(21E222)2(22)2(1E22)2(21E222)2(22)2(1E 表示垂直于纖維方向承受單軸應(yīng)力2，則由此將引起雙軸應(yīng)變。 由 引起的縱向應(yīng)變。 由 引起的橫向應(yīng)變。 E2橫向彈性模量，GPa； 橫向泊松比:212=-)2(12)2(22)2(2)2(1面內(nèi)剪切實(shí)驗(yàn) 兩個(gè)圖2.1.4， 由試驗(yàn)測(cè)得的面

3、內(nèi)剪切彈性模量，反映了單層板在其面內(nèi)的抗剪剛度特性。在相同的12作用下，G12越大12越小1212121G12G121(b)122(T)121(L)單層板的正軸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系 根據(jù)疊加原理，單層板彈性主方向單向應(yīng)力相疊加，其相應(yīng)的應(yīng)變狀態(tài)相疊加，我們可以得到單層板正軸向應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系 。12121211122)1(2)2(2222211)2(1)1(11111GEEEE縱向應(yīng)變橫向應(yīng)變剪應(yīng)變 矩陣形式：0,1,1162266116112122121266222111SSSSESESGSESES，這些量稱為柔量分量12211221122112211000101GEEEE1221662221121

4、1122166626126222116121112210000SSSSSSSSSSSSSS縮寫為 11S 柔量分量與工程彈性常數(shù)E1，E2，1,2,G12柔量分量與工程彈性常數(shù)存在如下?lián)Q算關(guān)系：11211221226612222111,1,11SSSSSGSESE， 反解2.1.4得出2.1.9121212221212212111GMEEMEMME1-21-1）（M 上式應(yīng)變項(xiàng)的各系數(shù)可簡(jiǎn)單地記為并稱為模量分量0,62266116212112121266222111QQQQEMQEMQGQMEQMEQ 然后用模量分量來表示應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系矩陣形式2.1.12縮寫為12216622211211122

5、166626126222116121112210000QQQQQQQQQQQQQQ 11Q 模量分量與工程彈性常數(shù)的關(guān)系是2.1.1312222211111221221)1 (,11212662211QQQMQQQQQGMQEMQE 單層板的正軸剛度為單層材料主方向的剛度，它有三種形式：工程彈性常數(shù)、模量分量，柔量分量。 工程彈性常數(shù)是拉壓彈性模量、剪切彈性模量和泊松比的統(tǒng)稱。模量分量為應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式的系數(shù)，用于從應(yīng)變求應(yīng)力。柔量分量為應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系式的系數(shù)，用于從應(yīng)力求應(yīng)變。2.1.1例題 已知E-玻璃環(huán)氧符合材料的E1=38.6GPa，E2=8.27GPa，1=0.26，G12=4.14

6、。試求應(yīng)力分量1=400MPa,2=30MPa, 12=15MPa時(shí)的應(yīng)變分量。.)(5 .241a2415. 014. 411)a(736. 6)(006736. 06 .3826. 0,9 .120)a(1209. 027. 811,a91.25)(02591. 06 .38111112661 -1 -11211211 -22211 -111TPaGPGSTPGPaESSTPaGPESTPGPaES）（，）（）（解（1）求單層的柔量分量由式（2.1.6）可得 （2）求單層的應(yīng)變分量 由式（2.1.7）可得.10623. 310155 .241,10993. 010)309 .1204007

7、36. 6(,1016.1010)30736. 640091.25(36126612362222212362121111SSSSS QSSQQIIIQQQQQQQ1 -1 -11 -1111 -11 -11 -1 -117 . 1 . 2同理可得）比較可得與式（是單位矩陣。故式中，而，得等式兩端各乘因模量分量，柔量分量統(tǒng)稱為彈性系數(shù)柔量分量構(gòu)成的矩陣與模量分量構(gòu)成的矩陣均為對(duì)稱矩陣且互為逆矩陣，現(xiàn)證明它們互為逆矩陣 ：正交各向異性材料在平面應(yīng)力狀態(tài)下的工程彈性常數(shù)限制條件對(duì)稱矩陣S為對(duì)稱矩陣Q222222212212212121211212211212122211222222221212221

8、111111111221122211222211111ij為同理可得求偏導(dǎo)，再對(duì)）式代入（即求偏導(dǎo)對(duì)求偏導(dǎo)，再對(duì)）式代入（即求偏導(dǎo)對(duì)）（能定義為單位體積的應(yīng)變應(yīng)變能密度）（）（即已知QQQQQQQQQQQQQii證明：Q,S為對(duì)稱矩陣s Q是對(duì)稱矩陣，所以有)6 , 2 , 1,()6 , 2 , 1,(ijjiSSjiQQjiijji（2.1.15）（2.1.16）1122EE1121ES2212ES2112SS因?yàn)樗?所以，1,2只有一個(gè)獨(dú)立變量，所以5個(gè)工程彈性常數(shù)中只有4個(gè)是獨(dú)立的，即：E1，E2,G12，1(或2)。 特別地如果用織物做增強(qiáng)材料，且織物的經(jīng)緯比是1，則復(fù)合材料單層在

9、經(jīng)線和緯線上有相同的剛度特性， 即 這種材料就只有三個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)，即E1，(或E2),G12，1(或2) 若任意方向剛度均相同的單層稱為準(zhǔn)各向同性單層。2211QQ 2211SS 21EE 根據(jù)定義式，以下柔量分量和模量分量均為正值0,0,0,6622116622111221QQQSSSGEE且Q11=ME1，Q110 E10 所以M00121211所以21211222212221211EEEEEEEE同理1122EE12222121EEEE或上述三式,即為正交各向異性材料在平面應(yīng)力狀態(tài)下的工程彈性常數(shù)的限制條件,用來檢驗(yàn)材料的試驗(yàn)數(shù)據(jù)或正交各向異性材料的模型是否正確0,0,0,6622116622111221QQQSSSGEE例2.1.3已知實(shí)驗(yàn)測(cè)得硼纖維/環(huán)氧樹脂復(fù)合材料（單層板）的E1=83.0GPa，E2=9.31GPa，1=1.97， 2=0.22。是試判斷測(cè)試結(jié)果是否合理。 1 -2-221 -2-11a1036. 231. 922. 01037. 20 .8397. 1）（）（GPEGPaE解有對(duì)稱性條件