線性空間的定義與性質(zhì)

1、6.1 線性空間的定義與性質(zhì)線性空間的定義與性質(zhì)線性空間是線性代數(shù)線性空間是線性代數(shù)最基本的最基本的概念之一概念之一, 也是一也是一個(gè)個(gè)抽象抽象的概念的概念, 它是向量空間概念的推廣它是向量空間概念的推廣. 線性空間是為了解決實(shí)際問題而引入的線性空間是為了解決實(shí)際問題而引入的, 它是某它是某一類事物從量的方面的一個(gè)抽象一類事物從量的方面的一個(gè)抽象, 即把實(shí)際問題看作即把實(shí)際問題看作向量空間向量空間, 進(jìn)而通過研究向量空間來解決實(shí)際問題進(jìn)而通過研究向量空間來解決實(shí)際問題. 定義定義: 設(shè)設(shè)V是一個(gè)非空集合是一個(gè)非空集合, R為實(shí)數(shù)域?yàn)閷?shí)數(shù)域. 如果對(duì)于如果對(duì)于任意兩個(gè)元素任意兩個(gè)元素 , V,

2、總有唯一的一個(gè)元素總有唯一的一個(gè)元素 V與之與之對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng), 稱稱 為為 與與 的和的和(簡稱簡稱加法運(yùn)算加法運(yùn)算), 記作記作 = + . 若對(duì)于任一數(shù)若對(duì)于任一數(shù) R與任一元素與任一元素 V, 總有唯一的總有唯一的元素元素 V與之對(duì)應(yīng)與之對(duì)應(yīng), 稱稱 為為數(shù)數(shù) 與與 的積的積(簡稱簡稱數(shù)乘運(yùn)算數(shù)乘運(yùn)算), 記作記作 = . 如果上述的兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律如果上述的兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律, 那那么么, 就稱就稱V為為數(shù)域數(shù)域R上的線性空間上的線性空間(或或向量空間向量空間): (1) 加法交換律加法交換律: + + = + + ; (2) 加法結(jié)合律加法結(jié)合律: ( ( + +

3、) +) + = +(+( + + ) ) ; (3) 零元素零元素: 存在存在O V, 對(duì)任一向量對(duì)任一向量 , 有有 + O = ; (4) 負(fù)元素負(fù)元素: 對(duì)任一對(duì)任一元素元素 V, 存在存在 V, 有有 + + =O, 記記 = ; (5) 1 = ; (6) 數(shù)乘結(jié)合律數(shù)乘結(jié)合律: k(l ) = (l k) ; (7) 數(shù)乘對(duì)加法的分配律數(shù)乘對(duì)加法的分配律: k( + )= k +k ; (8) 數(shù)量加法對(duì)數(shù)乘的分配律數(shù)量加法對(duì)數(shù)乘的分配律: (k+l) = k +l .設(shè)設(shè) , , , O V, 1, l, k R, 說明說明1. 凡滿足以上八條運(yùn)算規(guī)律的加法及乘數(shù)運(yùn)凡滿足以上八

4、條運(yùn)算規(guī)律的加法及乘數(shù)運(yùn)算統(tǒng)稱為算統(tǒng)稱為線性運(yùn)算線性運(yùn)算. 說明說明2. 向量向量(線性線性)空間中的元素稱為空間中的元素稱為向量向量, 但不一但不一定是有序數(shù)組定是有序數(shù)組. 說明說明3. 判別線性空間的方法判別線性空間的方法: 一個(gè)集合一個(gè)集合, 對(duì)于定義對(duì)于定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉, 或者運(yùn)算不滿足八條性質(zhì)或者運(yùn)算不滿足八條性質(zhì)的任一條的任一條, 則此集合就不能構(gòu)成線性空間則此集合就不能構(gòu)成線性空間. (1) 如果在一個(gè)集合上定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算是如果在一個(gè)集合上定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算是通常實(shí)數(shù)間的加通常實(shí)數(shù)間的加, 乘運(yùn)算乘運(yùn)算, 則只需檢驗(yàn)運(yùn)算的封閉性則只需檢驗(yàn)

5、運(yùn)算的封閉性.線性空間的判定方法線性空間的判定方法: 例例1: 實(shí)數(shù)域上的全體實(shí)數(shù)域上的全體m n矩陣矩陣, 對(duì)矩陣的加法和對(duì)矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線性空間上的線性空間, 記作記作Rm n. Rm n中的向量中的向量(元素元素)是是m n矩陣矩陣. 例例2: 次數(shù)次數(shù)不超過不超過n的多項(xiàng)式的全體記作的多項(xiàng)式的全體記作Pxn, 即即Pxn = p(x)=a0+a1x+anxn | a0, a1, , an R 對(duì)通常對(duì)通常多項(xiàng)式加法多項(xiàng)式加法, 數(shù)乘數(shù)乘構(gòu)成構(gòu)成向量空間向量空間.通常的多項(xiàng)式加法通常的多項(xiàng)式加法, 數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法兩種運(yùn)算數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法兩種運(yùn)算滿

6、足線性運(yùn)算規(guī)律滿足線性運(yùn)算規(guī)律. 實(shí)際上實(shí)際上 對(duì)對(duì)p(x)=a0+a1x+anxn, q(x)=b0+b1x+bnxn Pxn, R, = (a0+a1x+anxn)+(b0+b1x+bnxn )= (a0+b0)+(a1+b1)x+(an+bn)xnp(x)+q(x)= (a0+a1x+anxn) p(x)= a0+ a1x+ anxn Pxn,所以所以Pxn對(duì)對(duì)線性運(yùn)算封閉線性運(yùn)算封閉. 例例3: 次數(shù)次數(shù)等于等于n 的多項(xiàng)式的全體記作的多項(xiàng)式的全體記作Qxn, 即即Qxn= p(x)=a0+a1x+anxn | a0, a1, , an R, an 0 對(duì)于通常的對(duì)于通常的多項(xiàng)式加法多

7、項(xiàng)式加法, 數(shù)乘數(shù)乘不構(gòu)成不構(gòu)成向量空間向量空間. 多項(xiàng)式加法多項(xiàng)式加法, 數(shù)乘兩種運(yùn)算對(duì)數(shù)乘兩種運(yùn)算對(duì)Qxn不滿足線性運(yùn)不滿足線性運(yùn)算的封閉性算的封閉性. 實(shí)際上實(shí)際上 Pxn,對(duì)對(duì)p(x)=a0+a1x+anxn Qxn, 0 R,0 p(x)=0(a0+a1x+anxn) = 0+0 x+0 xn = 0 Qxn. 所以所以Qxn對(duì)對(duì)線性運(yùn)算不封閉線性運(yùn)算不封閉. 例例4: 正弦函數(shù)的集合正弦函數(shù)的集合Sx= s(x)=Asin(x+B) | A, B R對(duì)于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間對(duì)于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間.對(duì)對(duì)s1(x)=A1sin(x+B1),

8、 s2(x)=A2sin(x+B2) Sx, R,由于由于, s1(x)+s2(x) = A1sin(x+B1)+A2sin(x+B2)= (a1cosx+b1sinx)+(a2cosx+b2sinx)= Asin(x+B)= (a1+a2)cosx+(b1+b2)sinx Sx, s1(x) = A1sin(x+B1)= ( A1)sin(x+B1) Sx,所以所以, Sx是一個(gè)線性空間是一個(gè)線性空間. 例例5: 在區(qū)間在區(qū)間a, b上全體實(shí)連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合上全體實(shí)連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合記為記為Ca, b, 對(duì)函數(shù)的加法和數(shù)與函數(shù)的數(shù)量乘法對(duì)函數(shù)的加法和數(shù)與函數(shù)的數(shù)量乘法, 構(gòu)構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線

9、性空間成實(shí)數(shù)域上的線性空間. (2) 一個(gè)集合一個(gè)集合, 如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算不是通如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算不是通常的實(shí)數(shù)間的常的實(shí)數(shù)間的加加, 乘運(yùn)算乘運(yùn)算, 則則必需必需檢驗(yàn)是否滿足檢驗(yàn)是否滿足八條線八條線性運(yùn)算規(guī)律性運(yùn)算規(guī)律. 例例6: 正實(shí)數(shù)的全體記作正實(shí)數(shù)的全體記作R+, 在其中定義加法及乘在其中定義加法及乘數(shù)運(yùn)算為數(shù)運(yùn)算為:a b = ab, a = a , ( R, a, b R+)驗(yàn)證驗(yàn)證R+對(duì)上述加法與乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成對(duì)上述加法與乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成(實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域R上的上的)線線性空間性空間.證明證明: 對(duì)任意對(duì)任意a, b R+, R, a b = ab R+, a = a R+,

10、所以對(duì)所以對(duì)R+上定義的加法與乘數(shù)運(yùn)算封閉上定義的加法與乘數(shù)運(yùn)算封閉. 下面驗(yàn)證八條線性運(yùn)算規(guī)律下面驗(yàn)證八條線性運(yùn)算規(guī)律: 對(duì)任意對(duì)任意a, b, c R+, k, l R, (1) a b = a b = b a = b a ;(2) (a b) c = (a b) c = (a b)c= a(b c) = a (b c) =a (b c) ;(3) 存在零元存在零元1 R+, 對(duì)對(duì)任意任意a R+, 有有a 1=a 1=a;(4) 對(duì)任一元素對(duì)任一元素a R+, 存在負(fù)元素存在負(fù)元素a-1 R+, 有有a a1= a a1 =1;(5) 1 a = a1 = a ;(6) k (l a)

11、= k al = (al)k = ak l = (k l) a;(7) k (a b) = k (a b) = (a b)k = ak bk(8) (k+l) a = ak+l = ak al= ak bk = k a k b;所以所以, R+對(duì)所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間對(duì)所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間.= ak al = k a l a .對(duì)于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的數(shù)乘對(duì)于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的數(shù)乘: (x1, x2, , xn)T = (0, 0, , 0)T不構(gòu)成線性空間不構(gòu)成線性空間.例例7: n元實(shí)有序數(shù)組組成的全體元實(shí)有序數(shù)組組成的全體 Sn= x=(x1, x2, ,

12、 xn)T| x1, x2, , xn R 但但1 x = 0 x, 故不滿足第故不滿足第(5)條運(yùn)算規(guī)律條運(yùn)算規(guī)律.即所定義的運(yùn)算不是線性運(yùn)算即所定義的運(yùn)算不是線性運(yùn)算, 所以所以Sn不是線性空間不是線性空間.顯然顯然, Sn對(duì)運(yùn)算封閉對(duì)運(yùn)算封閉.證明證明: 假設(shè)假設(shè)01, 02是線性空間是線性空間V中的兩個(gè)中的兩個(gè)零元素零元素.1. 零元素是唯一的零元素是唯一的.則對(duì)任何則對(duì)任何 V有有, + 01 = , + 02 = ,由于由于01, 02 V, 則有則有 02+01=02, 01+02=01.所以所以01=01+02=02+01=02.則有則有 + =0, + =0,2. 負(fù)元素是唯

13、一的負(fù)元素是唯一的.證明證明: 設(shè)設(shè) 的負(fù)元素為的負(fù)元素為 與與 ,所以所以= . = +0= +( + )=( + )+ =( + )+ =0+ 因此因此, 將向量將向量 的負(fù)元素記為的負(fù)元素記為 .證明證明: 因?yàn)橐驗(yàn)?+ 0 =1 + 0 3. 0 = 0; (1) = ; 0 = 0.則由零元素的唯一性得則由零元素的唯一性得: 0 =0= .= 1 = (1+0) 因?yàn)橐驗(yàn)?+ (1) =1 + (1) =1+(1) = 0 =0.則由負(fù)元素的唯一性得則由負(fù)元素的唯一性得: (1) = . 0 = +(1) = +( ) = 0 = 0.= +( ) 4. 如果如果 = 0, 則則 =

14、 0 或或 = 0.證明證明: 如果如果 0,( () ), 0011 又又那么那么,( () ).1)1(1 所以所以, = 0. 故結(jié)論成立故結(jié)論成立. 定義定義2: 設(shè)設(shè)V是一個(gè)線性空間是一個(gè)線性空間, L是是V的一個(gè)非空子的一個(gè)非空子集集, 如果如果L對(duì)于對(duì)于V中所定義的加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算也構(gòu)中所定義的加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)線性空間成一個(gè)線性空間, 則稱則稱L為為V的的子空間子空間. 定理定理: 線性空間線性空間V的非空子集的非空子集L構(gòu)成子空間的充分構(gòu)成子空間的充分必要條件是必要條件是: L對(duì)于對(duì)于V中的線性運(yùn)算封閉中的線性運(yùn)算封閉. 證明證明: 由于由于L是線性空間是線性空間

15、V的子空間的子空間, 則由定義知?jiǎng)t由定義知, L對(duì)于對(duì)于V中的線性運(yùn)算封閉中的線性運(yùn)算封閉. 反之反之, 由于由于L是線性空間是線性空間V的非空子集的非空子集, 則則L中的元中的元素必為素必為V中的元素中的元素.則則L中的元素的線性運(yùn)算就是中的元素的線性運(yùn)算就是V中元素在中元素在V中的運(yùn)算中的運(yùn)算,又由于又由于L對(duì)于對(duì)于V中的線性運(yùn)算封閉中的線性運(yùn)算封閉, 因此因此, 八條運(yùn)算律中八條運(yùn)算律中(1), (2), (5), (6), (7), (8)顯然成立顯然成立,故只需驗(yàn)證故只需驗(yàn)證(3), (4)兩條成立兩條成立, 即零元素即零元素0在在L中中, 且且L中中元素的負(fù)元素也在元素的負(fù)元素也在

16、L中中. 對(duì)任意的對(duì)任意的 L, 則則0 R, 由運(yùn)算的封閉性知由運(yùn)算的封閉性知: 0 L, 而而0 =0, 故故0 L, 從而從而(3)成立成立. 再由再由(1) R, 則則(1) L, 且且 +(1) = 0, 所以所以 的的負(fù)元素就是負(fù)元素就是(1) , 從而從而(4)成立成立.所以所以L是線性空間是線性空間V的子空間的子空間.;,001)1(1 RdcbdcbW., 0000)2(2 + + + RcbacbacbaW 例例8: 線性空間線性空間R2 3的下列子集是否構(gòu)成的下列子集是否構(gòu)成R2 3的子的子空間空間? 為什么為什么?解解(1): W1不構(gòu)成子空間不構(gòu)成子空間. 因?yàn)閷?duì)因?yàn)?/p>

17、對(duì),0000011WBA 1Rcbacba + + +, 0有有 + +000002BA即即W1對(duì)矩陣加法不封閉對(duì)矩陣加法不封閉, 故不構(gòu)成故不構(gòu)成R2 3的的子空間子空間.,0000002W 對(duì)任意對(duì)任意2222111000,000WcbaBcbaA 有有于是于是 + + + + + +212121000ccbbaaBA解解(2): 因因故故W2非空非空.a1+b1+c1=0, a2+b2+c2=0,滿足滿足(a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2)=0,因此因此, 有有A+B W2, 即即W2對(duì)加法封閉對(duì)加法封閉.對(duì)任意的對(duì)任意的k R, 有有,000111 kckbkakA2 W1.有有ka1+kb1+kc1= k(a1+b1+c1) = 0,因此因此, 有有kA W2, 即即W2對(duì)數(shù)乘封閉對(duì)數(shù)乘封閉.從而從而, W2構(gòu)成構(gòu)成R2