線性空間的定義與性質(zhì)

1、6.1 線性空間的定義與性質(zhì)線性空間的定義與性質(zhì)線性空間是線性代數(shù)線性空間是線性代數(shù)最基本的最基本的概念之一概念之一, 也是一也是一個個抽象抽象的概念的概念, 它是向量空間概念的推廣它是向量空間概念的推廣. 線性空間是為了解決實際問題而引入的線性空間是為了解決實際問題而引入的, 它是某它是某一類事物從量的方面的一個抽象一類事物從量的方面的一個抽象, 即把實際問題看作即把實際問題看作向量空間向量空間, 進(jìn)而通過研究向量空間來解決實際問題進(jìn)而通過研究向量空間來解決實際問題. 定義定義: 設(shè)設(shè)V是一個非空集合是一個非空集合, R為實數(shù)域為實數(shù)域. 如果對于如果對于任意兩個元素任意兩個元素 , V,

2、總有唯一的一個元素總有唯一的一個元素 V與之與之對應(yīng)對應(yīng), 稱稱 為為 與與 的和的和(簡稱簡稱加法運算加法運算), 記作記作 = + . 若對于任一數(shù)若對于任一數(shù) R與任一元素與任一元素 V, 總有唯一的總有唯一的元素元素 V與之對應(yīng)與之對應(yīng), 稱稱 為為數(shù)數(shù) 與與 的積的積(簡稱簡稱數(shù)乘運算數(shù)乘運算), 記作記作 = . 如果上述的兩種運算滿足以下八條運算規(guī)律如果上述的兩種運算滿足以下八條運算規(guī)律, 那那么么, 就稱就稱V為為數(shù)域數(shù)域R上的線性空間上的線性空間(或或向量空間向量空間): (1) 加法交換律加法交換律: + + = + + ; (2) 加法結(jié)合律加法結(jié)合律: ( ( + +

3、) +) + = +(+( + + ) ) ; (3) 零元素零元素: 存在存在O V, 對任一向量對任一向量 , 有有 + O = ; (4) 負(fù)元素負(fù)元素: 對任一對任一元素元素 V, 存在存在 V, 有有 + + =O, 記記 = ; (5) 1 = ; (6) 數(shù)乘結(jié)合律數(shù)乘結(jié)合律: k(l ) = (l k) ; (7) 數(shù)乘對加法的分配律數(shù)乘對加法的分配律: k( + )= k +k ; (8) 數(shù)量加法對數(shù)乘的分配律數(shù)量加法對數(shù)乘的分配律: (k+l) = k +l .設(shè)設(shè) , , , O V, 1, l, k R, 說明說明1. 凡滿足以上八條運算規(guī)律的加法及乘數(shù)運凡滿足以上八

4、條運算規(guī)律的加法及乘數(shù)運算統(tǒng)稱為算統(tǒng)稱為線性運算線性運算. 說明說明2. 向量向量(線性線性)空間中的元素稱為空間中的元素稱為向量向量, 但不一但不一定是有序數(shù)組定是有序數(shù)組. 說明說明3. 判別線性空間的方法判別線性空間的方法: 一個集合一個集合, 對于定義對于定義的加法和數(shù)乘運算不封閉的加法和數(shù)乘運算不封閉, 或者運算不滿足八條性質(zhì)或者運算不滿足八條性質(zhì)的任一條的任一條, 則此集合就不能構(gòu)成線性空間則此集合就不能構(gòu)成線性空間. (1) 如果在一個集合上定義的加法和乘數(shù)運算是如果在一個集合上定義的加法和乘數(shù)運算是通常實數(shù)間的加通常實數(shù)間的加, 乘運算乘運算, 則只需檢驗運算的封閉性則只需檢驗

5、運算的封閉性.線性空間的判定方法線性空間的判定方法: 例例1: 實數(shù)域上的全體實數(shù)域上的全體m n矩陣矩陣, 對矩陣的加法和對矩陣的加法和數(shù)乘運算構(gòu)成實數(shù)域數(shù)乘運算構(gòu)成實數(shù)域R上的線性空間上的線性空間, 記作記作Rm n. Rm n中的向量中的向量(元素元素)是是m n矩陣矩陣. 例例2: 次數(shù)次數(shù)不超過不超過n的多項式的全體記作的多項式的全體記作Pxn, 即即Pxn = p(x)=a0+a1x+anxn | a0, a1, , an R 對通常對通常多項式加法多項式加法, 數(shù)乘數(shù)乘構(gòu)成構(gòu)成向量空間向量空間.通常的多項式加法通常的多項式加法, 數(shù)乘多項式的乘法兩種運算數(shù)乘多項式的乘法兩種運算滿

6、足線性運算規(guī)律滿足線性運算規(guī)律. 實際上實際上 對對p(x)=a0+a1x+anxn, q(x)=b0+b1x+bnxn Pxn, R, = (a0+a1x+anxn)+(b0+b1x+bnxn )= (a0+b0)+(a1+b1)x+(an+bn)xnp(x)+q(x)= (a0+a1x+anxn) p(x)= a0+ a1x+ anxn Pxn,所以所以Pxn對對線性運算封閉線性運算封閉. 例例3: 次數(shù)次數(shù)等于等于n 的多項式的全體記作的多項式的全體記作Qxn, 即即Qxn= p(x)=a0+a1x+anxn | a0, a1, , an R, an 0 對于通常的對于通常的多項式加法多

7、項式加法, 數(shù)乘數(shù)乘不構(gòu)成不構(gòu)成向量空間向量空間. 多項式加法多項式加法, 數(shù)乘兩種運算對數(shù)乘兩種運算對Qxn不滿足線性運不滿足線性運算的封閉性算的封閉性. 實際上實際上 Pxn,對對p(x)=a0+a1x+anxn Qxn, 0 R,0 p(x)=0(a0+a1x+anxn) = 0+0 x+0 xn = 0 Qxn. 所以所以Qxn對對線性運算不封閉線性運算不封閉. 例例4: 正弦函數(shù)的集合正弦函數(shù)的集合Sx= s(x)=Asin(x+B) | A, B R對于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間對于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間.對對s1(x)=A1sin(x+B1),

8、 s2(x)=A2sin(x+B2) Sx, R,由于由于, s1(x)+s2(x) = A1sin(x+B1)+A2sin(x+B2)= (a1cosx+b1sinx)+(a2cosx+b2sinx)= Asin(x+B)= (a1+a2)cosx+(b1+b2)sinx Sx, s1(x) = A1sin(x+B1)= ( A1)sin(x+B1) Sx,所以所以, Sx是一個線性空間是一個線性空間. 例例5: 在區(qū)間在區(qū)間a, b上全體實連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合上全體實連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合記為記為Ca, b, 對函數(shù)的加法和數(shù)與函數(shù)的數(shù)量乘法對函數(shù)的加法和數(shù)與函數(shù)的數(shù)量乘法, 構(gòu)構(gòu)成實數(shù)域上的線

9、性空間成實數(shù)域上的線性空間. (2) 一個集合一個集合, 如果定義的加法和乘數(shù)運算不是通如果定義的加法和乘數(shù)運算不是通常的實數(shù)間的常的實數(shù)間的加加, 乘運算乘運算, 則則必需必需檢驗是否滿足檢驗是否滿足八條線八條線性運算規(guī)律性運算規(guī)律. 例例6: 正實數(shù)的全體記作正實數(shù)的全體記作R+, 在其中定義加法及乘在其中定義加法及乘數(shù)運算為數(shù)運算為:a b = ab, a = a , ( R, a, b R+)驗證驗證R+對上述加法與乘數(shù)運算構(gòu)成對上述加法與乘數(shù)運算構(gòu)成(實數(shù)域?qū)崝?shù)域R上的上的)線線性空間性空間.證明證明: 對任意對任意a, b R+, R, a b = ab R+, a = a R+,

10、所以對所以對R+上定義的加法與乘數(shù)運算封閉上定義的加法與乘數(shù)運算封閉. 下面驗證八條線性運算規(guī)律下面驗證八條線性運算規(guī)律: 對任意對任意a, b, c R+, k, l R, (1) a b = a b = b a = b a ;(2) (a b) c = (a b) c = (a b)c= a(b c) = a (b c) =a (b c) ;(3) 存在零元存在零元1 R+, 對對任意任意a R+, 有有a 1=a 1=a;(4) 對任一元素對任一元素a R+, 存在負(fù)元素存在負(fù)元素a-1 R+, 有有a a1= a a1 =1;(5) 1 a = a1 = a ;(6) k (l a)

11、= k al = (al)k = ak l = (k l) a;(7) k (a b) = k (a b) = (a b)k = ak bk(8) (k+l) a = ak+l = ak al= ak bk = k a k b;所以所以, R+對所定義的運算構(gòu)成線性空間對所定義的運算構(gòu)成線性空間.= ak al = k a l a .對于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的數(shù)乘對于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的數(shù)乘: (x1, x2, , xn)T = (0, 0, , 0)T不構(gòu)成線性空間不構(gòu)成線性空間.例例7: n元實有序數(shù)組組成的全體元實有序數(shù)組組成的全體 Sn= x=(x1, x2, ,

12、 xn)T| x1, x2, , xn R 但但1 x = 0 x, 故不滿足第故不滿足第(5)條運算規(guī)律條運算規(guī)律.即所定義的運算不是線性運算即所定義的運算不是線性運算, 所以所以Sn不是線性空間不是線性空間.顯然顯然, Sn對運算封閉對運算封閉.證明證明: 假設(shè)假設(shè)01, 02是線性空間是線性空間V中的兩個中的兩個零元素零元素.1. 零元素是唯一的零元素是唯一的.則對任何則對任何 V有有, + 01 = , + 02 = ,由于由于01, 02 V, 則有則有 02+01=02, 01+02=01.所以所以01=01+02=02+01=02.則有則有 + =0, + =0,2. 負(fù)元素是唯

13、一的負(fù)元素是唯一的.證明證明: 設(shè)設(shè) 的負(fù)元素為的負(fù)元素為 與與 ,所以所以= . = +0= +( + )=( + )+ =( + )+ =0+ 因此因此, 將向量將向量 的負(fù)元素記為的負(fù)元素記為 .證明證明: 因為因為 + 0 =1 + 0 3. 0 = 0; (1) = ; 0 = 0.則由零元素的唯一性得則由零元素的唯一性得: 0 =0= .= 1 = (1+0) 因為因為 + (1) =1 + (1) =1+(1) = 0 =0.則由負(fù)元素的唯一性得則由負(fù)元素的唯一性得: (1) = . 0 = +(1) = +( ) = 0 = 0.= +( ) 4. 如果如果 = 0, 則則 =

14、 0 或或 = 0.證明證明: 如果如果 0,( () ), 0011 又又那么那么,( () ).1)1(1 所以所以, = 0. 故結(jié)論成立故結(jié)論成立. 定義定義2: 設(shè)設(shè)V是一個線性空間是一個線性空間, L是是V的一個非空子的一個非空子集集, 如果如果L對于對于V中所定義的加法和數(shù)乘兩種運算也構(gòu)中所定義的加法和數(shù)乘兩種運算也構(gòu)成一個線性空間成一個線性空間, 則稱則稱L為為V的的子空間子空間. 定理定理: 線性空間線性空間V的非空子集的非空子集L構(gòu)成子空間的充分構(gòu)成子空間的充分必要條件是必要條件是: L對于對于V中的線性運算封閉中的線性運算封閉. 證明證明: 由于由于L是線性空間是線性空間

15、V的子空間的子空間, 則由定義知則由定義知, L對于對于V中的線性運算封閉中的線性運算封閉. 反之反之, 由于由于L是線性空間是線性空間V的非空子集的非空子集, 則則L中的元中的元素必為素必為V中的元素中的元素.則則L中的元素的線性運算就是中的元素的線性運算就是V中元素在中元素在V中的運算中的運算,又由于又由于L對于對于V中的線性運算封閉中的線性運算封閉, 因此因此, 八條運算律中八條運算律中(1), (2), (5), (6), (7), (8)顯然成立顯然成立,故只需驗證故只需驗證(3), (4)兩條成立兩條成立, 即零元素即零元素0在在L中中, 且且L中中元素的負(fù)元素也在元素的負(fù)元素也在

16、L中中. 對任意的對任意的 L, 則則0 R, 由運算的封閉性知由運算的封閉性知: 0 L, 而而0 =0, 故故0 L, 從而從而(3)成立成立. 再由再由(1) R, 則則(1) L, 且且 +(1) = 0, 所以所以 的的負(fù)元素就是負(fù)元素就是(1) , 從而從而(4)成立成立.所以所以L是線性空間是線性空間V的子空間的子空間.;,001)1(1 RdcbdcbW., 0000)2(2 + + + RcbacbacbaW 例例8: 線性空間線性空間R2 3的下列子集是否構(gòu)成的下列子集是否構(gòu)成R2 3的子的子空間空間? 為什么為什么?解解(1): W1不構(gòu)成子空間不構(gòu)成子空間. 因為對因為

17、對,0000011WBA 1Rcbacba + + +, 0有有 + +000002BA即即W1對矩陣加法不封閉對矩陣加法不封閉, 故不構(gòu)成故不構(gòu)成R2 3的的子空間子空間.,0000002W 對任意對任意2222111000,000WcbaBcbaA 有有于是于是 + + + + + +212121000ccbbaaBA解解(2): 因因故故W2非空非空.a1+b1+c1=0, a2+b2+c2=0,滿足滿足(a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2)=0,因此因此, 有有A+B W2, 即即W2對加法封閉對加法封閉.對任意的對任意的k R, 有有,000111 kckbkakA2 W1.有有ka1+kb1+kc1= k(a1+b1+c1) = 0,因此因此, 有有kA W2, 即即W2對數(shù)乘封閉對數(shù)乘封閉.從而從而, W2構(gòu)成構(gòu)成R2