2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章參數(shù)方程一1參數(shù)方程的概念教學(xué)案新人教A版選修4-4

1、1 .參數(shù)方程的概念1 參數(shù)方程的概念在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)t(0,0,)的函數(shù)：x=f t，并且對于每一個(gè)t的允許值，方程組所確定的點(diǎn)(x,y)都在這條曲線y=g t上，那么方程組就叫這條曲線的參數(shù)方程，t叫做參數(shù) 相對于參數(shù)方程而言，直接給出坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫普通方程.2參數(shù)的意義參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x,y的橋梁，可以是有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是沒有明_顯實(shí)際意義的變數(shù).對應(yīng)學(xué)生用書 P15era參數(shù)方程表示的曲線上的點(diǎn)x = 3t例 1已知曲線C的參數(shù)方程是2(t為參數(shù))|y= 2t2+ 1(1) 判斷點(diǎn)M(O,1) ,M(5,4)與曲線C的位置關(guān)系

2、.(2) 已知點(diǎn)M(6 ,a)在曲線C上，求a的值.思路點(diǎn)撥由參數(shù)方程的概念，只需判斷對應(yīng)于點(diǎn)的參數(shù)是否存在即可，若存在，說明點(diǎn)在曲線上，否則不在曲線上.解(1)把點(diǎn)M的坐標(biāo)(0,1)代入方程組，得:解得：t= 0. 點(diǎn)M在曲線C上.同理：可知點(diǎn)M不在曲線C上.6= 3t,0 = 3t,21 = 2t+ 1.2點(diǎn)M(6 ,a)在曲線C上， *2a= 2t2+ 1.3解得：t= 2,a= 9.a= 9.片法片法- -規(guī)律規(guī)律卜結(jié)卜結(jié)-參數(shù)方程是曲線方程的另一種表達(dá)形式，點(diǎn)與曲線位置關(guān)系的判斷， 與平面直角坐標(biāo)方程下的判斷方法是一致的.【x=t+1，1.已知點(diǎn)M2 , 2）在曲線Cit（t為參數(shù)）

3、上，則其對應(yīng)的參數(shù)t的值$= 2為_.1解析：由t+ - = 2 知t= 1.答案：1fx= 1 + 2t,2.已知某條曲線C的參數(shù)方程為2（其中t為參數(shù)，a R）.點(diǎn)M5,4）在iy=at該曲線上，求常數(shù) a.解：點(diǎn)M5,4）在曲線C上,5= 1 + 2t,t= 2,十2解得：4 =at,|a= 1.a的值為 1.例 2如圖，ABP是等腰直角三角形，/B是直角，腰長為a, 頂點(diǎn)B A分別在x軸、y軸上滑動，求點(diǎn)P在第一象限的軌跡的參數(shù) 方程.思路點(diǎn)撥此類問題關(guān)鍵是參數(shù)的選取.本例中由于A、B的滑動而引起點(diǎn)P的運(yùn)動,求曲線的參數(shù)方程4故可以0B的長為參數(shù)，或以角為參數(shù)，不妨取BP與x軸正向夾角

4、為參數(shù)來求解.解法一：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y），過P點(diǎn)作x軸的垂線交x軸于Q如圖所示，則Rt0A4RtQBP5取0B= t,t為參數(shù)(0vtva). | OA=a-12,I BQ=a2-12.點(diǎn)P在第一象限的軌跡的參數(shù)方程為(0vtva).Q如圖所示.取/QBP=0,0為參數(shù)iOv0v-2,n則/ABO=20.在 Rt OAB中A、|OB=acos i亍0 =asin0.在 RtQB沖，|BQ=acos0 ,|PQ=asin0.點(diǎn)P在第一象限的軌跡的參數(shù)方程為x=ag丨Fl 0 +cos0y=asin0.方法方法規(guī)律規(guī)律小結(jié)小結(jié) 1求曲線參數(shù)方程的主要步驟第一步，畫出軌跡草圖，設(shè)Mx,y）是軌

5、跡上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)畫圖時(shí)要注意根據(jù)幾何 條件選擇點(diǎn)的位置，以利于發(fā)現(xiàn)變量之間的關(guān)系.第二步，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù).參數(shù)的選擇要考慮以下兩點(diǎn)：一是曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)x,法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y），過點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)y0為參數(shù),6y與參數(shù)的關(guān)系比較明顯，容易列出方程；二是x,y的值可以由參數(shù)唯一確定.例如，在研究運(yùn)動問題時(shí)，通常選時(shí)間為參數(shù)；在研究旋轉(zhuǎn)問題時(shí)，通常選旋轉(zhuǎn)角為參數(shù)此外，離 某一定點(diǎn)的“有向距離”、直線的傾斜角、斜率、截距等也常常被選為參數(shù).第三步，根據(jù)已知條件、 圖形的幾何性質(zhì)、問題的物理意義等，建立點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)的 函數(shù)關(guān)系式，證明可以省略.7r tx= 2,2.若點(diǎn) R4

6、 , a）在曲線 S2y= 2/A. 4C. 8（t為參數(shù)）上，則a等于（）B. 4 2D. 13 設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿以原點(diǎn)為圓心，半徑為2 的圓作勻角速度運(yùn)動，角速度為nrad/s，試以60時(shí)間t為參數(shù)，建立質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程.解：如圖，運(yùn)動開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于點(diǎn)A處，此時(shí)t= 0，設(shè)動點(diǎn)x=2cos0 ,對應(yīng)時(shí)刻t，由圖可知：y=2sin0 ,又0=臥t,故參數(shù)方程為:-nx= =2cos60t，尸尸2sin埶埶一、選擇題1.下列方程可以作為X=t2+1A.1y= 0 x=1+sin0C.y= 0應(yīng)用扇頓御對應(yīng)學(xué)生用書 P16x軸的參數(shù)方程是（）x= 0B/iy= 3t+ 1x= 4t+ 1y= 0解

7、析：x軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)可取任意實(shí)數(shù)，縱坐標(biāo)為0.答案：D6 下列各參數(shù)方程與方程xy= 1 表示相同曲線的序號是84 =；,=8,解析：根據(jù)題意，將點(diǎn)P坐標(biāo)代入曲線方程中得12， =2屮? 衛(wèi)=4孕答案：Bx=sin0 ,3.在方程c（0為參數(shù)）所表示的曲線上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為（y=cos 201 2A. (2 , 7)B(33)1 1C（2，2）D. (1,0)解析：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入?yún)?shù)方程，若能求出0，則點(diǎn)在曲線上，經(jīng)檢驗(yàn)，知 C 滿足條件.答案：C4.由方程x2+y2 4tx 2ty+ 3t2 4= 0（t為參數(shù)）所表示的一族圓的圓心的軌跡方程為（）x=2ty=tx=2tD. +y= t解析：設(shè)

8、(x,y)為所求軌跡上任一點(diǎn).2 2 2由x+y 4tx 2ty+ 3t 4 = 0 得:2 2 2(x 2t) + (yt) = 4 + 2t.x= 2ty=t.答案：A二、填空題x=2sin0 +1,5.已知曲線iy=sin0 +3F列各點(diǎn)A（1,3） ,B（2,2） ,q 3,5），其中在曲線上的點(diǎn)是解析：將A點(diǎn)坐標(biāo)代入方程得：0= 0 或n,將B C點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，方程無解，故A點(diǎn)在曲線上.答案：A（1,3）x= 2tA. 1y=t(0為參數(shù)，OW 0V2n).C.9解析：普通方程中，x,y均為不等于 0 的實(shí)數(shù)，而中x的取值依次為：0，+g) , 1,1 , 1,1，故均不正確，而中

9、，x R,y R,且xy= 1,故正確.答案：7.動點(diǎn)M作勻速直線運(yùn)動，它在x軸和y軸方向的分速度分別為9 和 12,運(yùn)動開始時(shí),點(diǎn)M位于A(1,1)，則點(diǎn)M的參數(shù)方程為 _ .解析：設(shè)Mx,y),則在x軸上的位移為：x= 1 + 9t,在y軸上的位移為y= 1 + 12t.x= 1 + 9t,參數(shù)方程為：|y= 1+ 12t.x= 1 + 9t答案：|y= 1 + 12t三、解答題2 2 _&已知?jiǎng)訄Ax+y 2axcos0 2bysin0= 0(a,b是正常數(shù)，且azb,0為參數(shù)), 求圓心的軌跡方程.解：設(shè)P(x,y)為所求軌跡上任一點(diǎn).2 2由x+y 2axcos0 2bysin

10、0= 0 得：2222小.22小(xacos0)+(ybsin0)=acos0 +bsin0 x=acos0 ,y=bsin0.這就是所求的軌跡方程.9.如圖所示，0A是圓C的直徑，且OA=2a,射線0B與圓交于Q點(diǎn)，和經(jīng)過A點(diǎn)的切線交于B點(diǎn)，作PQLOA PB/ OA試求點(diǎn)P的軌跡 方程.解：設(shè)P(x,y)是軌跡上任意一點(diǎn)，取/DO食0,由PQL OA PB/ OA得2 2x=t2廣Xx= sinty= t2，y= csctx= costy= sectx= tan:y= cot6 下列各參數(shù)方程與方程xy= 1 表示相同曲線的序號是10 x=OD= OQos0 =OAcos0 =2acos0 ,y=AB= OAan0 =2atan0.11所以P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為x=2acos20,y=2atan0 ,io.試確定過MO,I）作橢圓x2+魯=1 的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)過M0,1）的弦所在的直線方程為y=