第一章_行列式(第三次課)

1、利用行列式的性質(zhì)在某行利用行列式的性質(zhì)在某行( 列列 ) 得到盡可能多的零得到盡可能多的零元元: 降階求值。降階求值。定義定義1.3 在在 n 階行列式中階行列式中, 劃去元素劃去元素 所在的第所在的第 i 行和第行和第 j 列列, 余下的余下的 n 1 階行列式稱為元素階行列式稱為元素 的的 余子式余子式, 記記 。元素。元素 的代數(shù)余子式為：的代數(shù)余子式為：ijaijMija, 651310223 D3) 1(122112 MA, 3613012 M例例1 求下列行列式的代數(shù)余子式。求下列行列式的代數(shù)余子式。ijjiijMA )1(ija引理引理 如果行列式第如果行列式第 i 行所有元素除

2、行所有元素除 外都為零外都為零, 則則 此行列式等于此行列式等于 與其代數(shù)余子式的乘積與其代數(shù)余子式的乘積, 即即ijaijaijijAa nnnjnnjaaaaaaD1111100 ija nkikikAaD1),2,1(ni 證證: :nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 定理定理1.4 n 行階列式等于它的任一行（列）的各元素行階列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和, 即即 nkkjkjAaD1或或),2,1(nj nnnninaaaaaaa2111121100 00 21211211nnnninaaaa

3、aaannnninnaaaaaaa211121100ininiiiiAaAaAa 2211),2, 1(ni =(-3)A11+4A12+6A13=(-3)M11-4M12+6M13=(-3)(-5)-4(-18)+6(-10)=27.754102643例例2 計(jì)算計(jì)算 D=解解: D 055026115 。 3351110243152113 D例例3 計(jì)算計(jì)算03550100131111115 2 31cc 解解: D0551111115)1(33 34cc 5526) 1(31 40 12rr 評注評注: : “化零化零”方法方法: 盡量選含有盡量選含有 0, 1 較多的行較多的行 ( 列

4、列 ) 。解題步驟解題步驟1. 利用行列式的性質(zhì)，將某一行（列）化為僅利用行列式的性質(zhì)，將某一行（列）化為僅含一個(gè)非零元素；含一個(gè)非零元素；2. 按該行（列）展開，變成低一階的行列式；按該行（列）展開，變成低一階的行列式；3. 以此類推，最后化為低階行列式以此類推，最后化為低階行列式。21211xxD 12xx 例例4 證明范德蒙德證明范德蒙德 ( Vandermonde ) 行列式行列式112112222121111 nnnnnnnxxxxxxxxxD證證: 由數(shù)學(xué)歸納法由數(shù)學(xué)歸納法 nijjixx 1)( 2 1)(ijjixx即當(dāng)即當(dāng) n = 2 時(shí)時(shí), 原式成立。原式成立。設(shè)當(dāng)設(shè)當(dāng) k

5、 = n - - 1 時(shí)時(shí), 原式成立。原式成立。 11 iirxr2,ni nD223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx1 n)()(11312xxxxxxn . )(2jnijixx )()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn aaaaaaaaaA20012001200012000122222證明|A|=(n+1)an.課后練習(xí)課后練習(xí)08年考研題定理定理1.51.5 行列式任一行的元素與另一行的對應(yīng)元素行列式任一行的元素與另一行的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式

6、乘積之和等于零的代數(shù)余子式乘積之和等于零, 即即jiAaAaAajninjiji 02211nnnininjninjiaaaaaaAaAa1111111 證證: 將將 換成換成 : 兩行相同。兩行相同。nkaaikjk, 2 , 1 iniaa 1jnjaa 1irjr代數(shù)余子式的重要性質(zhì)代數(shù)余子式的重要性質(zhì) jijiDDAaijnkkjki 0 1 jijiDDAaijnkjkik 0 1 jijiij 0 1 其其中中同理同理jiAaAaAanjnijiji 02211jiAaAaAajninjiji 02211按某按某K K行（列）展開的拉普拉斯定理行（列）展開的拉普拉斯定理定理1.6：

7、p29，不要求掌握例 7 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111設(shè)線性方程組設(shè)線性方程組 若常數(shù)項(xiàng)若常數(shù)項(xiàng) 不全為零不全為零, 則稱此方程組為則稱此方程組為非齊次線性方程組非齊次線性方程組; 若常數(shù)項(xiàng)若常數(shù)項(xiàng) 全為零全為零, 稱方程組為齊次線稱方程組為齊次線性方程組。性方程組。nbbb,21nbbb,21定理定理1.7 克萊姆法則：克萊姆法則：若線性方程組若線性方程組的系數(shù)行列式不等于零的系數(shù)行列式不等于零, 即即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 則線性方程組有唯一解則線性方程組有唯一解:nnjnnjn

8、nnjjjaabaaaabaaD1,1,111, 111, 111 njDDxjj, 2 , 1 jc證明證明: 設(shè)設(shè) 為系數(shù)行列式為系數(shù)行列式 D 的代數(shù)余子的代數(shù)余子 式式, 則則 njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa)()()(221122222221211111212111將將 n 個(gè)方程依次相加個(gè)方程依次相加, 得得njjjAAA,21nnkkjknjnkkjkjnkkjkxAaxAaxAa 11111 nkkjkAb1jnkkjkjxAa 1即即njDDxjj, 2 , 1 由于原方程組與變形后的方程組等價(jià)由于原方程組與變形后的

9、方程組等價(jià) ( 代數(shù)余子代數(shù)余子式數(shù)乘式數(shù)乘), 則則為原方程組的唯一解。為原方程組的唯一解。DDxDDxDDxnn , , , 2211克萊姆克萊姆 法則：法則： 如果線性方程組的系數(shù)行列式如果線性方程組的系數(shù)行列式 則一定有解則一定有解, 且解是唯一的。且解是唯一的。, 0 DnjDDxjj, 2 , 1 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 方程組有唯一解方程組有唯一解:0 D定理定理1.8 如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式 , 則齊次線性方程組僅有零解則齊次線性方程組僅有零解 ( 沒有非零解沒有非零解 )。0 D推論推論 如果齊次線性方程組有非零解如果齊次線性方程組有非零解, 則系

10、數(shù)行列式則系數(shù)行列式 。0 D克萊姆法則解方程組的條件克萊姆法則解方程組的條件:1)方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù);2)系數(shù)行列式不等于零。系數(shù)行列式不等于零。適用于理適用于理論推導(dǎo)論推導(dǎo)277010353 127702120603113570 12772121357 )1(21 例例1 解方程組解方程組 067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解: :6741212060311512 D 2 21rr 24rr 232cc 2 21cc 2733)1()1(22 D027 , 108 , 8121 DD27 , 2743 DD, 3278111 DDx42710822 DDx, 1272733 DDx1272744 DDx即即同理同理由由 克萊姆法則克萊姆法則, 得得 0)1(0)3(2042)1(321321321xxxxxxxxx 解解: 111132421D)1(2)3()1(2 )3)(2( 當(dāng)當(dāng)D = 0, 即即 或或 ,