高等數(shù)學(xué)(2017高教五版)課件可積條件(工科類)

1、 判別一個(gè)函數(shù) f (x) 在a, b上是否可積,就是判別極限 是否存在. 在實(shí)際應(yīng)用中，直接按定義來判定是困難的. 我們希望由函數(shù)本身的性質(zhì)（例如函數(shù)的有界性、連續(xù)性等）來判別函數(shù)的可積性. 為此, 先給出可積準(zhǔn)則,并以此證明有界性是可積的必要條件而非充分條件, 連續(xù)性是可積的充分條件而非必要條件.3 可積條件數(shù)學(xué)分析 第九章定積分01lim(),Tniiifx 定理9.1（可積必有界）若函數(shù) 在 上可積，則 在 上必有界.ff,ba,ba證 設(shè)( )d.baf xxJ 由定義, 對11niiif () xJ, 于是1, (1,2, ),iiixxin 與與如如何何選選取取, 01 , 0

2、, T只要只要T無論無論后退 前進(jìn) 目錄 退出都都有有11niiif () xJM. 1,. kkxx上上無無界界(),iiikGfx 1,kkkxx 故故必必存存在在滿滿足足().kkMGfx ( ) , f xa b倘倘若若在在上上無無界界，,k則必有則必有( )f x使使得得在在令令于是1()niiifx ()()kkiiikfxfx kkMGxGx ,M 矛盾.1Q,1,2, ,iiixxin 現(xiàn)現(xiàn)任任取取1()niiiDx R,0,J 證 若 D(x) 在 a, b 上可積 , 1().2niiibaDxJ (1)D x試用反證法證明:狄利克雷函數(shù)試用反證法證明:狄利克雷函數(shù)例例在任

3、何在任何 , .a b區(qū)間上不可積區(qū)間上不可積,T 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 1,iiixx 對對任任何何有有則則則1.niixba于是11()(),nniiiiiiDxDxba 而這與 11()()nniiiiiiDxDx1, Q,1,2, ,iiixxin 又又任任取取則則1()0.niiiDx 所以 , ( ).a bD x 在在上上不不可可積積=b- a 相矛盾, niiiniiiJxDJxD11 22baba定義2,.:10bxxxaTn稱為 f 關(guān)于分割 T 的上和, 1( )niiiS TMx1sup( )|, ,1, 2,;iiiMf xxxxin稱為 f 關(guān)于分割 T 的下和,1( )nii

4、is Tmx1inf( )|, ,1, 2,;iiimf xxxxin , ,fa b設(shè)設(shè)在在上上有有界界對任意分割1(1, 2,),iiiiiM minfxx 稱稱為為在在上上的的.振振幅幅其中其中定理9.3（可積準(zhǔn)則）函數(shù) f 在a, b上可積的充要條件是：0,T 分分割割使使1( )( )()niiiiS Ts TMmx振幅反映了函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的變化范圍,是一個(gè)與連續(xù)性相關(guān)聯(lián)的概念.1.niiix定理9.4（連續(xù)必可積）11.nniiiiixxba 常見的有三種方法,下面分別作出介紹.每個(gè),iba 從而第一種方法:, , .a bf例例如如 在在上上一一致致連連續(xù)續(xù)的的, ,便便屬屬于于這

5、這種種情情形形連續(xù)，則可積.若 , fa b在在上上 , fa b在在上上此定理將在本章第六節(jié)定理 9.15 中證明. 在用它.1 niiix 證明可積性問題時(shí),有多種方法可使()().f xf xba iiimM 1sup()(),iif xf xx xxx，,ab 從而11.nniiiiixxba 因此當(dāng) , a bTT 上上的的分分割割滿滿足足時(shí)時(shí), ,xx 若若則則從而在a, b上一致連續(xù). 證 , fa b在在上上連連續(xù)續(xù)，于, 0 是是, 0 , , ,x xa b, , fa b例例如如在在上上單單調(diào)調(diào)時(shí)時(shí), ,有有1( )( ) ,niif bf a 第二種方法:|,TM 則則

6、當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)1,niiM , fa b從從而而可可證證在在上上可可積積. .nii1有界，有界，若若 ,M即即對任意分割，對任意分割，niiniiiTx11 MM . 定理9.5（單調(diào)必可積） , , fa bfa b若若是是上上的的單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù), ,則則在在上上可可積積. .f證 不妨設(shè)是非常值的增函數(shù)，01:.,nTaxxxb 1()(),1,2, ,iiif xf xin 于是因此, 若,( )( )Tf bf a 則則則對任意分割111()()nniiiiif xf x ( )( ).f bf a 11nniiiiixT .)()()()( afbfafbf,iix 在在中中iix 而

7、而在在中中，,)(2abi ,)(2mMxi ,iiiiiixxx 若若第三種方法:,1,2, .iMm in , .Mmfa b其其中中是是在在上上的的振振幅幅于是 iiiiiixxx )()(2)()(2mMmMabab . 從從而而定理9.6（有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)必可積）0, 取取滿滿足足0().2()baMm 若 , fa b在在上上有界,且只有有限多個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，此時(shí)可用第三種方法證明 f 可積. f 在 a, b 上可積.只有一個(gè)間斷點(diǎn), 且為 b.證 不妨設(shè) , fa b在在上上 , fa b若 在上有界，且只有有限多個(gè)間斷點(diǎn)，則若 在上有界，且只有有限多個(gè)間斷點(diǎn)，則 , .Mm

8、fa b其其中中與與分分別別為為在在上上的的上上確確界界與與下下確確界界 ,.:110 bxxxaTn使.2Tiix 則存在分割 ,fa b 由由于于在在上上連連續(xù)續(xù), , ,fbb 設(shè)設(shè)在在上上的的振振幅幅為為則則().2()2MmMm 令,.:10bxxxaTn則 Tiix Tiix.22 , .fa b由由可可積積準(zhǔn)準(zhǔn)則則, ,在在上上可可積積0,1在在上可積,且10( )d0.R xx例2 證明黎曼函數(shù)1,(,),( )0 ,0, 1(0, 1)pxp qqqR xx互互素素及及中中的的無無理理數(shù)數(shù)證只有有限多個(gè),分割01:01,nTxxx2.kT 使12 ,kTrrr中中含含的小區(qū)間

9、至多有, 0 的有理數(shù)prq10,12q 在在中中滿滿足足.,21krrr設(shè)它們?yōu)?,1對對作作 2k 個(gè),記為 .i 2.2ixkk i 由由于于在在12,.kiTrrr 中中不不含含的的區(qū)區(qū)間間記記為為0( ),2R x 上上.2i 于于是是從而因此這些小區(qū)間長度之和為( ).R x這這就就證證明明了了的的可可積積性性( ),R x由由于于已已證證得得可可積積 而而且且無無理理數(shù)數(shù)具具有有稠稠密密性性, ,1, (1,2, )iiixxin 因因此此可可取取皆皆為為無無理理數(shù)數(shù), ,1001( )dlim()0.niiTiR xxRx 從而從而 iix iiiixx iixx221 .22 1. f (x) 為 a, b 上的有界函數(shù), 其不連續(xù)點(diǎn)的集合011(,),|.nn