高等數(shù)學(xué)上冊(cè)學(xué)習(xí)心得

1、第三章 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用此章節(jié)中主要有：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，洛必達(dá)法則，泰勒公式。在這一章中除了要掌握這些定理公式外，還要熟練掌握導(dǎo)數(shù)運(yùn)用的知識(shí)。1羅爾定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且f（a）=f（b），則至少有一點(diǎn)c，使得在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0。羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情況。2拉格朗日中值定理。 如果函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么 至少有一點(diǎn)c使得f（c）=f（b）-f（a）/b-a成立。它的幾何意義就是：如果連續(xù)曲線的弧AB上除兩個(gè)端點(diǎn)外處處有不垂直與x軸的切線，那么在弧上至少有一點(diǎn)c，使曲線在該點(diǎn)的切線平行于弦AB。 拉格朗日中值定理

2、是微分學(xué)中的最基本的定理，有著廣泛的應(yīng)用。應(yīng)用于不等式的證明，3柯西中值定理。 如果函數(shù)f（x）及F（X），在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且F（X）在開(kāi)區(qū)間內(nèi)處處不為0，那么至少存在一點(diǎn)C使得等式f（b）-f（a）/F（b）-F（a）=f（C）/F（C）成立。注：拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情況。主要應(yīng)用在書(shū)P90。4洛必達(dá)法則。 該法則主要用來(lái)解決型如0/0,/這類(lèi)未定式的極限問(wèn)題。如果函數(shù)f（x），F(xiàn)（x）滿(mǎn)足： （1） 當(dāng)x->a時(shí) f（x），F(xiàn)（x）都趨進(jìn)于a。 （2） f（x），F(xiàn)（x）在點(diǎn)a的某個(gè)去心領(lǐng)域內(nèi)都存在，且F（x）不等于0； （3） 導(dǎo)數(shù)商的極限存在。 則

3、 函數(shù)的極限就是導(dǎo)數(shù)商的極限（應(yīng)該滿(mǎn)足三個(gè)條件。）詳見(jiàn)書(shū)P92的定理3.5（當(dāng)導(dǎo)數(shù)商的極限不存在時(shí)應(yīng)采用其他方法求原函數(shù)的極限）。 其他未定式如：0*，-，0的0次方，1的次方，的0次方，均可轉(zhuǎn)化為0/0，/型的未定式來(lái)計(jì)算。轉(zhuǎn)化之后再用“函數(shù)的極限就是導(dǎo)數(shù)商的極限”。5泰勒公式。 泰勒中值定理：如果函數(shù)在含有x的開(kāi)區(qū)間內(nèi)具有直到（n+1）階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)x0在（a，b）內(nèi)時(shí)，f（x）可以表示為（x-x0）的一個(gè)n次多項(xiàng)式與余項(xiàng)Rn（x）之和。表達(dá)式在書(shū)P98。最基本的形式為f（x0）/2！*（x-x0）2。泰勒公式中的余項(xiàng)也稱(chēng)為拉格朗日型余項(xiàng)。當(dāng)泰勒展開(kāi)式中的x0=0時(shí)，便得到泰勒公式的簡(jiǎn)單形

4、式麥克勞林公式。在這一章中應(yīng)該熟練掌握泰勒公式的書(shū)寫(xiě)及1階或n階麥克勞林展開(kāi)式的書(shū)寫(xiě)。詳細(xì)介紹在書(shū)P99。6函數(shù)單調(diào)性的判別法。 判定定理：如果函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則 若在開(kāi)區(qū)間上，導(dǎo)數(shù)大于0，則函數(shù)單調(diào)遞增。 若在開(kāi)區(qū)間上，導(dǎo)數(shù)小于0，則函數(shù)單調(diào)遞減。討論函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是：（1） 確定函數(shù)的定義域。（2） 求出導(dǎo)數(shù)并找出導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)（該點(diǎn)的X值叫做駐點(diǎn)），和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。（3） 用上述各點(diǎn)將定義域劃分為不同的區(qū)間，再在各個(gè)小區(qū)間上判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性。（例題在書(shū)P103，例15）7函數(shù)的極值及其求法。 極值就是說(shuō)在定義域范圍內(nèi)一個(gè)小區(qū)間上的最大值和最小

5、值。 極值的必要條件：如果函數(shù)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，則一定有極限為0。極值的第一充分條件：設(shè)函數(shù)在x0的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)為0，則：（1） 如果對(duì)x0左側(cè)鄰近的點(diǎn)x，有f（x）大于0，右側(cè)鄰近的點(diǎn)x，有f（x）小于0，則f（x0）是f（x）的極大值。（2） 如果對(duì)x0左側(cè)的鄰近點(diǎn)x，有導(dǎo)數(shù)小于0，右側(cè)鄰近的點(diǎn)x，有導(dǎo)數(shù)大于0，則f（x0）是f（x）的極小值。（3） 如果對(duì)x0兩側(cè)的點(diǎn)x，其導(dǎo)數(shù)恒為正或恒為負(fù)，則說(shuō)明f（x0）不是f（x）的極值。此定理表明，如果在x0兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反，則f（x0）一定是極值，如果x0兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)相同，則f（x0）一定不是極值。極值的第二充分條件

6、：設(shè)函數(shù)在x0處有二階導(dǎo)數(shù)且f（x0）=0，f（x0）不等于0，那么，（1） 當(dāng)f（x0）小于0時(shí)，函數(shù)在x0處取得極大值。（2） 當(dāng)f（x0）大于0時(shí)，函數(shù)在x0處取得極小值。什么叫做駐點(diǎn)？(它和極值點(diǎn)有關(guān)系)答：極值點(diǎn)的自變量x就是駐點(diǎn)。但是駐點(diǎn)不一定就是極值點(diǎn)的自變量x。8函數(shù)的最大值和最小值。 最大值就是在定義域內(nèi)函數(shù)值最大的值，最小值也一樣。求函數(shù)在閉區(qū)間上最值的一般方法：（1） 求出函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上的全部駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)x1，x2，x3，x4等。（2） 計(jì)算并比較f（a），f（x1），f（x2），f（x3），f（x4）f(b)的大小,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值9.曲線

7、的凹凸與拐點(diǎn).設(shè)函數(shù)在a,b上連續(xù),在(a,b)上具有一階,二階導(dǎo)數(shù),那么（1） 若在(a,b)內(nèi),二階導(dǎo)數(shù)大于0,則函數(shù)在a,b上的圖形是凹的。（2） 若在(a,b)內(nèi),二階導(dǎo)數(shù)小于0,則函數(shù)在a,b上的圖形是凸的。注：判斷函數(shù)圖形的凹凸性，應(yīng)該利用二階導(dǎo)數(shù)大于或小于0來(lái)判斷。 一般把連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱(chēng)為拐點(diǎn)。在拐點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)是零。求拐點(diǎn)的一般方法是：（與高中判斷函數(shù)單調(diào)性的方法差不多）二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)就是拐點(diǎn)。（1） 求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。（2） 求出二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，和不存在的點(diǎn)，利用這些點(diǎn)把定義域分為幾部分。（3） 考察二階導(dǎo)數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的符號(hào)，從而確定函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn)。

8、例題在書(shū)P114，例25，26。求拐點(diǎn)的方法簡(jiǎn)介：首先確定函數(shù)的定義域，再求出一階，二階導(dǎo)數(shù)，然后令二階導(dǎo)數(shù)為零求出X1，X2。這兩點(diǎn)將定義域分為幾部分，分別判斷二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)。10函數(shù)圖形的描繪一般步驟是：（1） 確定函數(shù)的定義域。（2） 求出函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)。（3） 求出一階和二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，和一階和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，利用這些點(diǎn)來(lái)劃分區(qū)間。列表討論在各個(gè)部分上曲線的升降，凹凸，極值點(diǎn)，拐點(diǎn)。（4） 如果曲線存在漸近線，則要求出漸近線。（5） 綜合以上結(jié)論，與平滑的曲線畫(huà)出函數(shù)的圖形。例題在書(shū)P116，例28，29。本章中證明不等式的方法有多種，主要有： （1）利用拉格朗日中值定理證明。（對(duì)中值進(jìn)行放縮）例題在書(shū)上P90 （2）利用泰勒中值定理（判斷余項(xiàng)的符號(hào)） （3）利用函數(shù)的單調(diào)性。 （4）利用函數(shù)的極值與最值。 （5）利用函數(shù)的凹凸性。（理論支持在書(shū)P112的定理3.2）.11曲率弧微分公式在書(shū)P119的部分。曲率的計(jì)算公式：平均曲率的極限就是曲線在點(diǎn)M處的曲率。（s->0）平均曲率k=|a/s|。其中a表示切線轉(zhuǎn)過(guò)的角度。s表示增加弧的長(zhǎng)度。經(jīng)過(guò)多次推導(dǎo)可知：曲率的計(jì)算公式是 曲率圓與曲率半徑.曲率圓的定義:設(shè)函數(shù)f(x)在M處的曲率為k,在點(diǎn)M處的曲線的法線上,在曲線凹