高階微分方程

1、第五章 高階微分方程§1 幾個例子一、【內(nèi)容簡介】本節(jié)結(jié)合幾個具體的實(shí)例，介紹了與高階微分方程有關(guān)的定解條件、定解問題和高階微分方程的降階技巧。二、【關(guān)鍵詞】 自治微分方程三、【目的與要求】掌握高階微分方程的降階技巧，能熟練地運(yùn)用降階法解二階方程，會用已有知識建立高階微分方程及其相應(yīng)的條件解決簡單的幾何、物理問題。四、【教學(xué)過程】§2 n維線性空間中的微分方程一、【內(nèi)容簡介】在這一節(jié)里，主要介紹如何把n階微分方程式化為標(biāo)準(zhǔn)微分方程組并采用向量的記號，將標(biāo)準(zhǔn)微分方程組寫成向量的形式，從而可以從理論上把n維向量形式的微分方程的研究與一階微分非常的研究統(tǒng)一起來。二、【關(guān)鍵詞】 模

2、；線性微分方程組三、【目的與要求】掌握將高階微分方程化成等價的n階標(biāo)準(zhǔn)微分方程組的方法；會敘述n維向量形式的微分方程和n階線性微分方程組相應(yīng)的畢卡存在和唯一性定理；掌握n階線性微分方程組初值問題解的存在唯一性定理。四、【教學(xué)過程】§3 解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性一、【內(nèi)容簡介】在這一節(jié)里，主要討論解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性，由于解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性問題可歸結(jié)為解對參數(shù)的同一問題。因此我們只討論方程的解對參數(shù)的連續(xù)依賴性。二、【關(guān)鍵詞】 參數(shù)；連續(xù)依賴性三、【目的與要求】解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性定理揭示了微分方程的解的重要性質(zhì)，要求弄清它的含義并正確地理解便于今后的應(yīng)用。四、【

3、教學(xué)過程】§4 解對初值和參數(shù)的連續(xù)可微性一、【內(nèi)容簡介】本節(jié)主要討論解對初值和參數(shù)的連續(xù)可微性。如上一節(jié)一樣，只考慮方程的解對參數(shù)的連續(xù)可微性。二、【關(guān)鍵詞】 連續(xù)可微性；變分方程三、【目的與要求】與上一節(jié)一樣，解對初值和參數(shù)的連續(xù)可微性揭示了微分方程的重要性質(zhì)，要求弄清它的含義并正確地理解便于今后的應(yīng)用。四、【教學(xué)過程】教學(xué)過程前面我們主要討論的是關(guān)于一階方程的幾個初等解法，在實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)微分方程是高階的。二階以及二階以上的微分方程稱為高階微分方程。對于高階微分方程沒有較為普遍的解法，下面我們通過例題介紹幾種高階微分方程的解法。這些解法的基本思想就是把高階微分方程通過某些變

4、換降為低階的微分方程。§1 幾個例子若方程不明顯包含字變量，即： （1）這類方程叫作自治（或駐定）微分方程。若方程明顯包含字變量，即： （2）這類方程叫作非自治（或非駐定）微分方程。對于（1）可考慮降階。令，則代入（1），則得一個n-1階的微分方程例（3）這是一個二階的自治方程。令，則代入（3）則得一階方程分離變量積分得或 （4）其中是常數(shù)，是的一個原函數(shù)。 對于固定的，（4）是一個一階微分方程 分離變量，積分得， （5）其中是第二個常數(shù)，而，稱（5）為微分方程（3）的通積分。例1、 單擺方程取一根長度為的細(xì)線，把端點(diǎn)固定在一頂板上，而另一端點(diǎn)掛上一個質(zhì)量為m的小球，將小球拉離平衡位

5、置，然后松開，讓它在一垂直平面內(nèi)自由擺動，這樣就構(gòu)成一個單擺。（設(shè)單擺除重力外不受其他力的作用）。設(shè)直線與垂線的有向夾角為，并設(shè)逆時針方向?yàn)檎?，則單擺的振動可以用弧度來描述，單擺振動時，端只能在圓周上運(yùn)動，且它的角速度為，切線速度為，切向加速度為?，F(xiàn)將重力分解到切線及向徑上，在上的分力為其中負(fù)號的力學(xué)意義：與的方向總是相反的，即與異號。由牛頓第二定律，即可得單擺的運(yùn)動方程為： 或?qū)懗?（6）其中常數(shù)方程（6）為自治方程，可以用上述方法降階，令則得 或?qū)懗蛇@是一個為函數(shù)為自變量的一階微分方程，積分得，上式可改寫為 （7）分離變量積分得上式出現(xiàn)了橢圓積分，為了克服這一困難，我們可以利用的泰勒級數(shù)線

6、性化。即當(dāng)很小時，可用線性方程 （8）來代替方程（6）。對于方程（8），以乘以方程（8），即得對它可以直接積分，得 （） 或 于是有分離變量積分得通積分 由此求得通解 （9）其中 是兩個任意常數(shù)。由通解（9）可見，當(dāng)時，得到單擺的靜止?fàn)顟B(tài)： ；當(dāng)時，單擺將以為振幅，為頻率作簡諧振動。由（9）可知，單擺將作周期振動，而且周期由此說明，單擺的振動周期只與單擺的長度和重力加速度有關(guān)，而與初始條件無關(guān)。這就是所謂單擺振動的等時性。老式的單擺鐘就是利用了這種“等時性”。例2 懸鏈線方程設(shè)一理想的柔軟而不能伸縮的細(xì)線，將兩端掛在支點(diǎn)和上，由于受重力的作用，自然彎曲，試求懸鏈線的形狀 。這個問題是歷史上的名

7、題，最初1690年由詹姆斯貝努里提出來，伽里略曾猜想這條曲線是拋物線，但是后來發(fā)現(xiàn)不對，最后由約翰貝努里解決了，萊布尼茲把它命名為懸鏈線。下面就來解決這一問題。設(shè)在平面上，懸鏈線的最低點(diǎn)為，過作垂直線為軸，在上取一點(diǎn)，的長度后面再確定，過點(diǎn)，取與軸垂直的直線為軸（如圖）對于曲線是任意一點(diǎn)，在弧段上為張力，為重力。由于處于平衡狀態(tài)，則有為單位長度的重量，為弧長。消去，得 令 則有 為了消去，將上式求導(dǎo)得 而 代入得 （10）此方程是一個二階的自治系統(tǒng)，令，則方程（10）降為一階方程，分離變量積分，得 因?yàn)楫?dāng)時，代入得從而得 即 （11）由此又可得 （12）（11）+（12） 得即 積分，得 若把

8、 軸取在合適的位置，使當(dāng)=0 時 代入 得 于是所求懸鏈線方程為例3 二體問題天體運(yùn)動中的二體問題是歷史上一個著名的問題，牛頓早在發(fā)明微積分的同時，就研究了二體問題。假設(shè)太陽是靜止的，它的質(zhì)量為，地球的質(zhì)量為，由于太陽系中除太陽外所有行星的總質(zhì)量遠(yuǎn)小于，因此我們可以忽略別的行星的作用?，F(xiàn)把坐標(biāo)系的原點(diǎn)取在太陽上，這就構(gòu)成了一慣性坐標(biāo)系，地球的坐標(biāo)向量為，則的速度和加速度分別為由牛頓第二定律 ，則地球的慣性力為再根據(jù)萬有引力定律，可建立地球的運(yùn)動方程為即 （13）將（13）寫成分量形式，即得如下的非線性方程組 （14）這是一個自治的微分方程組。求解這種高階非線性方程組常用首次積分，由（14）可以

9、得到 即 由此可得一個首次積分 （15）其中是任意常數(shù)，同理可得： （16） （17）這里，都是任意常數(shù)。用乘以（15），乘以（16），乘以（17），然后相加得，這就是地球運(yùn)行軌道所在平面的方程，這就證明了地球運(yùn)行的軌道永遠(yuǎn)在一平面上。即二體問題是一個平面問題。下面設(shè)這個平面為，坐標(biāo)平面。即地球的軌道永遠(yuǎn)在平面=0上，那么描述地球位置的坐標(biāo)只要兩個，即和，而運(yùn)動的方程為一個4階方程： （18）其中 用乘以（18）的第一式，用乘以（18）的第二式，相減得：由此可得一個首次積分 （19）用乘以（18）的第一式，用乘以（18）的第二式，相加得：即 由此又得到一個首次積分 （20）為討論方便，引進(jìn)極坐標(biāo)，那么 （21）代入（19）得 （22）即有 注意在時間內(nèi)向量掃過的扇形面積為，故向量在單位時間掃過的面積為。這樣就得到了開普勒第二定律：從太陽到行星的向量在單位時間內(nèi)掃過的面積是常數(shù)。將（21）代入（20），得：即 （23）注意到（22）式有為使上式有意義，我們設(shè)因此有再利用（22），推得從而得積分得其中為任意常數(shù)，若又記,則可得行星運(yùn)行軌道方