湯普森群及其性質(zhì)

1、蘇州大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）目錄第1章 分段線性同胚，分段點的定義(2)第2章 湯普森群的定義及其圖像(4)第3章 樹對圖(5)第3.1節(jié) 樹對圖和同胚(5)第3.2節(jié) 簡化樹對圖(6)第3.3節(jié) 樹的乘法(7)第4章 湯普森群F的表現(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)型(9)第4.1節(jié) 無限表現(xiàn)(9)第4.2節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)型(9)第4.3節(jié) 正規(guī)標(biāo)準(zhǔn)型(10)第4.4節(jié) 有限表現(xiàn)(10)第5章 代數(shù)結(jié)構(gòu)(13)第5.1節(jié) 子群(13)第5.2節(jié) 交換群的同態(tài)(13) 第5.3節(jié) 兩個基本定理(14)摘要在這里，我們將調(diào)查幾何群理論中的一組群，湯普森群F.這個群似乎無處不在.它最初是由理查德·湯普森在1965中提

2、出來的，他正在這個群里研究其元素的一些問題.自此，湯普森群出現(xiàn)在邏輯、同倫理論、范疇理論、形狀理論、映射類組和數(shù)據(jù)存儲的上下文中.In this office hour we will investigate one of the most well-studied groups in geometric group theory, Thompsons group F . This group seems to be ubiquitous. It was first defined in 1965 by Richard Thompson, who was studying the word p

3、roblem for groups. Since then, the group F along with its cousins T and V has arisen in the contexts of logic, homotopy theory, category theory, shape theory, mapping class groups, and data storage. Thompsons enigmatic group F has a number of seemingly paradoxical behaviors. For instance:1.F is fini

4、tely presented and it contains a copy of F × F ,2.F is (again) finitely presented and is an HNN extension of itself, andF has exponential growth but contains no free groups of rank 2.關(guān)鍵詞分段線性同胚、二叉樹對圖、有限表現(xiàn)、無線表現(xiàn)前言我們對湯普森群F有三種不同的描述：作為一組0,1上的分段線性同胚的解析性質(zhì)；在幾何層面上，有如根的二叉樹形式的圖形；在標(biāo)準(zhǔn)型和關(guān)系上的組合.關(guān)于F還有很多其他的描述.事實

5、上并沒有F的原始描述.湯普森最初描述F為有限多個變量的一組關(guān)聯(lián)詞語，可以看作是對樹的描述.湯普森群也可以被描述為一個圖組，利用對樹對圖的描述和所在群的乘法運算成為一個圖的組合.湯普森群是理查德·湯普森在幾份未發(fā)表的手寫筆記中，提出的三個群，通常記為FTV.內(nèi)容簡介：上述提到的三個群里最廣泛研究的是群F.這里的湯普森群是單單指群F.從群的基礎(chǔ)開始介紹湯普森群，從它的構(gòu)建條件二元有理數(shù)的分段線性同胚到其樹對圖和代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)都有一一的闡述.第1章 分段線性同胚，分段點的定義在講湯普森群F的定義之前，要先認(rèn)識一下分段線性同胚.一個分段線性同胚的單位區(qū)間0，1,它是一個雙射0，10，1，并且

6、存在連續(xù)逆函數(shù).這樣一個函數(shù)的圖像位于二維空間0，1×0，1,并且具有每一條水平線和每一條垂直線與圖像在一點相交的性質(zhì)（即圖像是保定向的，必單調(diào)遞增）.1注：一個0，1上的分段線性同胚是在0，1×0，1上的一個有限線段組合的圖形.這些線段的斜率要么全部是正的，要么都是負(fù)的.這里只考慮保持定向的0，1分段線性同胚，即所有的斜率為正（等價地，分段線性同胚保留0和1的定位即確定圖像的兩個端點）.這些同胚保持左0, 右1的方向.這些0，1上的分段線性同胚形成了一個群，同時也有乘法群中的同胚，逆的性質(zhì).現(xiàn)舉例：圖：插值之間兩個細(xì)分區(qū)間0,1和0,1進(jìn)行的分段線性同胚來自文獻(xiàn)1下面是一

7、般情況下可以保持定向分段線性同胚性的方法.引入一個正整數(shù)n，在0，1上選擇n個點，最開始和最末端的兩點給予0和1，0=p1<p2<<pn=1,0=q1<q2<<qn=1.然后在0，1×0，1上畫出各個點（p1，q1）（pn，qn）.最后，把點按順序逐線段連接起來.任何pi和qi的選擇，都是基于這是一個保向分段線性同胚0，1圖的前提.更重要的是，這個方法使每一個在0，1上的分段線性同胚保持方向.定義1.1：將（pi，qi）定義為分段點（連接點），（qi+1-qi）/（pi+1-pi）定義為點（pi，qi）的右斜率，也是點（pi+1，qi+1）的左斜率

8、.從分段點的描述中，在0，1可以看到有不計其數(shù)保持方向的同胚.所以迄今為止得到的群是不可數(shù)的.需要要增加更多的限制來獲得一個可數(shù)的群.定義1.2：“二元有理數(shù)”是整數(shù)k和n組合的有理數(shù)k/2n.在0，1上的保向分段線性同胚，會考慮那些具有以下屬性的群：1.有許多有限的分段點，每一個分段點都是一對二進(jìn)有理數(shù).2.所有斜率都為2的次冪.下面來證明這種在二維空間0，1×0，1的二元有理數(shù)同胚按照函數(shù)復(fù)合運算構(gòu)成的是一個群F：1. 單位元為恒等變換e(t)=t,0t1任意fF，ef=fe=f,可知e為單位元.2. 每個元素f都有其逆元g.任意fF，存在gF，若點（pi，qi）是f的分段點，那

9、么點（qi，pi）是g的分段點，可以使得fg=gf=e（e為單位元）.3. 元素的乘法滿足結(jié)合率函數(shù)復(fù)合運算本身就滿足結(jié)合率.證畢.第2章 湯普森群的定義及其圖像定義2.1:在二維空間0，1×0，1的一些二元有理數(shù)分段線性同胚按照函數(shù)復(fù)合運算構(gòu)成的群即為湯普森群F.也可以說，一個分段線性同胚是湯普森群F中的一個元素.分段點可以在其圖像上能清晰地看出，即為兩個線段之間的連接點（包括左右兩端點）.下面舉兩個例子：x0(t)= x1(t)= 第3章 樹對圖現(xiàn)在將給出一種完全不同的方法來表示F的元素.第一個定義是在微積分的基礎(chǔ)上的；第二個定義是在組合和圖形理論的基礎(chǔ)上的.在這個新定義中，F(xiàn)中

10、的元素將由一對有根二叉樹表示.一個有根的二叉樹是由一組二進(jìn)制的插入符組成，每一個插入符的頂部都有一個父節(jié)點，兩個向下的邊緣和底部有兩個子節(jié)點.與插入符數(shù)相同，數(shù)對圖有兩個樹.3.1 樹對圖和同胚下面是如何從樹對圖得到一個在0,1上的分段線性保向同胚的方法.每一棵樹都可以看作是按連續(xù)減半程序細(xì)分單元間隔0，1的指令.從根節(jié)點（根的符號的父節(jié)點）和單元間隔0，1出發(fā)，0和1是它的兩個端點.根的符號對應(yīng)于將整個區(qū)間的一半，將區(qū)間0，1細(xì)分成新的區(qū)間0，1.1每個附加符號指定一個區(qū)間要減半，引入一個新的點來進(jìn)行細(xì)分.例如，如果根節(jié)點的右子節(jié)點有一個符號連接，那么區(qū)間,1要細(xì)分，引入來進(jìn)行細(xì)分，獲得新的

11、細(xì)分0,1；可見：來自文獻(xiàn)1在這種方式中，樹的每個節(jié)點對應(yīng)0，1上的一個區(qū)間.如果一個節(jié)點是另一個節(jié)點的一個子節(jié)點，這意味著對應(yīng)第一區(qū)間包含在對應(yīng)第二區(qū)間里.因此，每個根二叉樹有n個葉節(jié)點（葉節(jié)點是無子節(jié)點的節(jié)點，即價為1），我們將單位區(qū)間細(xì)分成段，每個長度為2-k（k是深度，或從根到相應(yīng)節(jié)點的距離），在細(xì)分中包含n+1點.給定一對相同數(shù)目葉節(jié)點的樹，我們將分段線性插值間進(jìn)行細(xì)分，從而得到F中的元素.我們可以畫出上面x0和x1的數(shù)對圖：3.2 簡化樹對圖群F中的一個元素f對應(yīng)著有許多樹對圖（這樣的“許多”是無限多）.例如，如果S和T是同一棵樹對圖上的，那么（S，T）代表了身份同胚，即為該元素的

12、樹對圖.給一個元素f的代表樹對圖，可以通過引入新的分支（細(xì)分）同時在兩樹生成新的對應(yīng)的葉子節(jié)點，從而獲得一個創(chuàng)建額外代表的不同的樹對圖代表元素f.當(dāng)對比各個連接點形成的同胚，發(fā)現(xiàn)新樹對圖對應(yīng)的分段線性保向同胚都是一樣的，只是出現(xiàn)一個在線段中間部分的額外的點.一個例子是如圖所示，已經(jīng)在每個樹的相應(yīng)節(jié)點圖添加了虛線符號.圖片會越來越復(fù)雜，我們將不再在0，1上標(biāo)簽節(jié)點.為了保持軌道的葉節(jié)點對應(yīng)于彼此，我們可以按從左到右的順序用0到n標(biāo)記每棵樹的葉節(jié)點.但這就導(dǎo)致產(chǎn)生了簡化樹對圖的概念.如果有個i使得在樹的第i個和第（i+1）個葉節(jié)點的是同一個父節(jié)點的子節(jié)點，那么這樹對圖是不可簡化的.不可約的樹對圖會

13、逐漸減少，因此我們要去除冗余對（即對產(chǎn)生的樹的節(jié)點重新編號）.圖中的樹對圖是可以簡化的，因為葉節(jié)點1和2在兩個樹中都是同一個父節(jié)點的子節(jié)點.來自文獻(xiàn)1所以說，如果兩個數(shù)對圖可以簡化成一個相同的，那么它們是等價的；這是因為在F中所對應(yīng)的元素是相同的.在每一個這樣的等價類中，這是一個獨特的不可簡化的樹對圖.3.3 樹的乘法從樹對圖的角度來看，F(xiàn)中的乘法如下：將兩個樹對圖（S1，T1）和（S2，T2）相乘，得（S2，T2）·（S1，T1）（這里的乘法是函數(shù)組合形式），比較T1和S2.如果它們是相同的，那么立即將其組成為（S1，T2）.但它們有可能不相同，在這種情況下，通過創(chuàng)建兩個減數(shù)代表對

14、樹對圖的兩個等價類，使中間兩樹相吻合.找到對應(yīng)的代表（S1,T1）（S1，T1）和（S2，T2）（S2，T2），這里的樹T1和S2是相同的.可以這樣做來不斷擴(kuò)大子節(jié)點，即通過增加插入符和創(chuàng)建新的子節(jié)點.具體來說，擴(kuò)大了不是子節(jié)點S2的子節(jié)點T1，然后同樣擴(kuò)大不是子節(jié)點T1的葉節(jié)點S2，所有的都是在以不改變元素的同時擴(kuò)大在節(jié)點S1和T2上的子節(jié)點.如果認(rèn)為樹T1和S2都為無限的二叉樹，我們就有T1= T1S2=S2.一旦有適當(dāng)?shù)拇?，我們就有（S2，T2）·（S1，T1）=（S1，T2）.給定元素（S1，T1）和（S2，T2）的樹對圖讓它們相乘，在同一組的元素添加虛線分支和編號從而創(chuàng)建

15、新的樹對圖（S1，T1）和（S2，T2）.其中的T1和S2是相同的，可以得到：（S2，T2）·（S1，T1）=（S1，T2）.下圖如是：得到（S1，T2）：來自文獻(xiàn)1第4章 湯普森群F的表現(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)型給湯普森群F作兩個群的表現(xiàn)，第一個是無限且對稱的，第二個是有限的.4.1 無限表現(xiàn)一個標(biāo)準(zhǔn)的無限表現(xiàn)群F有無限多的標(biāo)準(zhǔn)型和關(guān)系.對于每個整數(shù)i0都有一個xi，當(dāng)0i< j，有以下表現(xiàn)：F（x0,x1,|xi-1xjxi=xj+1,i<j）.這與先前對F的描述一致，x0和x1線正好與分段線性取向保持同胚x0和x1，正如看到的，當(dāng)i2時，我們有xi+1=x0-1xix0.所以認(rèn)為

16、，F(xiàn)是由前面所說的兩個元素x0和x1產(chǎn)生.下面將會來證明這一點.所有的關(guān)系都可以將低標(biāo)志標(biāo)準(zhǔn)型轉(zhuǎn)化成高標(biāo)志標(biāo)準(zhǔn)型到下一個標(biāo)準(zhǔn)型.如果給予一個F的元素xi，這些關(guān)系是通過移動其逆到另一方的一種簡單方法.例如，有x4x0 = x0x5.移動x0到x4的左邊來改變4到5的關(guān)系.我們可以重寫這個等式：x0-1x4 = x5x0-1.這種情況下，移動x0-1可再次改變4到5的關(guān)系.4.2 標(biāo)準(zhǔn)型對正常形式直角群用來解決那些組字問題.我們的想法是，如果想知道群中的兩個形式是否代表同一個元素，那么應(yīng)該把這些詞轉(zhuǎn)換成它們的標(biāo)準(zhǔn)型，并比較它們.如果每個組元素有一個唯一的標(biāo)準(zhǔn)型，那么就解決了問題.回到群F.如果給

17、予一個F的元素xi，我們可以用上述的定義關(guān)系推動所有低指數(shù)標(biāo)準(zhǔn)型正指數(shù)到前面和低指數(shù)標(biāo)準(zhǔn)型負(fù)指數(shù)到后面.如果這樣做，可以得到F中元素的標(biāo)準(zhǔn)型：前面xi的正常形式，xi的指數(shù)為正，且以i遞增，后面的xi的指數(shù)為負(fù)，且以i遞減.它是這樣的一個形式：xi1r1xi2r2xikrkxjl-slxj2-s2xj1-s1,其中所有的指數(shù)滿足ri,si0，排列i1<i2<ik和j1<j2<<jl.1標(biāo)準(zhǔn)型是唯一的.但是它并不獨特.“去共軛”操作給出了等效的標(biāo)準(zhǔn)型.例如，x0x5x0-1是一個形式，但可以從關(guān)系來看，它等于x4，這也是相同標(biāo)準(zhǔn)型的一個形式.可以通過添加xi和xi-

18、1的限制來解決這個問題，在xi+1和xi+1-1之間最多有一個.這消除了去共軛的可能性，產(chǎn)生的形式是唯一的標(biāo)準(zhǔn)型.這解決了問題，盡管它是無限生成集xi.4.3 正規(guī)標(biāo)準(zhǔn)型將兩個元素以標(biāo)準(zhǔn)形式相乘，包括其相鄰的元素，然后從第二個元素的第一形式中移動第二個元素的標(biāo)準(zhǔn)型，如需要，可以重新組合排序或取消.例如，將x02x3x2-1x1-1x0-1和x02x1x3x2-1x1-1x0-1相乘.通過從第二個元素的開頭移動正指數(shù)的xi來運行，直到有一個正常的表達(dá)形式為止:(x02x3x2-1x1-1x0-1)(x02x1x3x2-1x1-1x0-1)=(x03x4x3-1x2-1)(x1x3x2-1x1-1

19、x0-1)=(x03x1x5x4-1x3-1)(x3x2-1x1-1x0-1)=x03x1x5x4-1x2-1x1-1x0-1. 從本質(zhì)上講，這個過程是將是各個地方上的xi（第一個元素結(jié)尾的負(fù)指數(shù)和第二個元素開頭的正指數(shù)）移動到適當(dāng)?shù)牡胤?，在運行過程中，xi的指數(shù)可能發(fā)生變化或取消.因為有許多方法可以進(jìn)行，且正規(guī)形式有唯一性，所以所有方法都會給出相同的最終結(jié)果.4.4 有限表現(xiàn)上面使用的無限表現(xiàn)是過度的：因為F是由x0和x1產(chǎn)生的.x2可以表示成x2=x0-1x1x0.同樣的邏輯，我們可以用x1和x2寫x3，因此也可用x0和x1表示.當(dāng)i>1時，xi=x0-i+1x1x0i-1.界定關(guān)系

20、的無限集合顯然也有一些冗余.例如，考慮關(guān)系：x2-1x5x2=x6.如果結(jié)合整個表達(dá)的x0-1，提高各項指數(shù)，獲得的結(jié)果為：x3-1x6x3=x7.這兩個等式在上面給出的無限群關(guān)系中表現(xiàn)為兩種不同的關(guān)系形式.事實上，所有這些無限多關(guān)系都可以是兩個非平凡關(guān)系的結(jié)果.通過上面的關(guān)系我們可以得到x2、x3、x4但是總有一些xi無法用x0和x1產(chǎn)生，所以需要再加入兩個關(guān)系：x1x0-1x1x0x1=x0-2x1x02, x1-1x0-2x1x02x1=x0-3x1x03.這些是長度為10和14的關(guān)系.Cannon,J.W.;Floyd,W.J.兩人基于多年的研究對湯普森群有全方面的了解.在他們看來，湯

21、普森群F有許多不尋常的性質(zhì)，成為了幾何群論中不少猜想的反例.群F可以是有限表現(xiàn)的無限群.群F不是單群，但它的換位子群F,F是單群.F對其換位子群的商F/F,F是秩為2的自由阿貝爾群.F是全序群，有指數(shù)增長率，它沒有子群同構(gòu)于秩為2的自由群.23數(shù)學(xué)家Higman提出了一個以有限表現(xiàn)單群組成的無限群族.和群F相同，是有限多個變量的一組關(guān)聯(lián)詞語的組成，可以看作是對圖的描述，也可以被描述為一個樹圖像的組合，利用對圖像的描述和所在群的代數(shù)運算成為一個圖的組合.4證明：還有一個重要的工作，就是要證明上面的表現(xiàn)確實是湯普森群F的表現(xiàn).上面已經(jīng)討論了為什么兩種表現(xiàn)是同構(gòu)組，因此仍然要研究為什么無限表現(xiàn)實際上

22、是F的表現(xiàn).為此，要做出F元素的樹對圖（雖然作為討論，但能很容易做出樹對圖和分段線性同胚的轉(zhuǎn)換）.主要任務(wù)是在簡易樹對圖表和xi的標(biāo)準(zhǔn)型之間建立一個雙射.關(guān)鍵在于我接下來要定義的葉節(jié)點指數(shù)的概念.首先，我們假設(shè)如果根的二叉樹的邊緣將一個父節(jié)點連接到它的左子節(jié)點，那么它是一個左邊緣.同樣地，我們有右邊緣.樹的右邊是根節(jié)點，所有的邊和節(jié)點通過完全由右邊緣組成的路徑連接到根.對于單個樹T，葉節(jié)點指數(shù)ei是最長路徑的長度,具有以下屬性:1.路徑開始于標(biāo)記為i的葉節(jié)點，2.路徑完全由左邊緣組成，3.路徑達(dá)不到樹的右邊.（路徑的長度是邊的數(shù)目大?。?右邊葉節(jié)點的葉節(jié)點指數(shù)是0.類似地，任何葉節(jié)點在樹的右邊

23、子節(jié)點的指數(shù)也是0.來自文獻(xiàn)1考慮圖所示的樹.葉節(jié)點0的葉節(jié)點指數(shù)為2，因為從葉節(jié)點0開始的第三個左邊緣接觸到樹根，該根是樹右側(cè)的一部分.葉節(jié)點1和2的葉節(jié)點指數(shù)都是1，因為它們的第二個邊是右邊緣，而不是左邊緣.葉節(jié)點3的葉節(jié)點指數(shù)是0，因為它是一個右子節(jié)點，沒有完全由左邊緣組成的路徑.同樣，葉節(jié)點6, 9, 12，13和14的指數(shù)都是0.另外一些非零葉結(jié)點指數(shù)的點是4, 5, 7和8，它們都是1，最后是葉節(jié)點11，葉節(jié)點指數(shù)為2.給定一樹對圖（S，T），我們通過葉節(jié)點指數(shù)得到它的xi的標(biāo)準(zhǔn)型.例如：x0i0x1i1xninxn-jnx1-j1x0-j0,其中，元素的正指數(shù)ik由樹S中葉節(jié)點的

24、葉節(jié)點指數(shù)構(gòu)成,負(fù)指數(shù)jk是由樹T構(gòu)成的.例如，葉節(jié)點指數(shù)i3是S中第三葉節(jié)點的葉節(jié)點指數(shù)，確定x3在標(biāo)準(zhǔn)型里的正指數(shù).許多這些葉節(jié)點指數(shù)可能是0，所以我們會在寫標(biāo)準(zhǔn)型的正常形式時忽略這些節(jié)點指數(shù).如果上圖中的示例樹還原到樹對圖中的第一棵樹，則關(guān)聯(lián)的標(biāo)準(zhǔn)型的正則部分為x02x1x2x4x5x7x8x112.我們注意到，我們一般使用這種簡化樹對圖的方法來獲得獨特的標(biāo)準(zhǔn)型，我們也可以通過不滿足正常形式的標(biāo)準(zhǔn)型來建立樹對圖，是在xi和xi-1同時存在的情況下，必須存在一個xi+1+1.通過樹對圖的還原我們能在標(biāo)準(zhǔn)型的正常形式下進(jìn)行操作的得到類似的降解.這一觀察有助于我們確保這兩個確實是同一組的描述.

25、同時我們證明了F的已知表現(xiàn)確實是F的表現(xiàn)，我們也證明了F是有限生成的，因為其中的一個表現(xiàn)是有有限多個標(biāo)準(zhǔn)型的.第5章 代數(shù)結(jié)構(gòu)現(xiàn)在已經(jīng)知道F是無撓的，它包含很多交換子群，它是有限生成的，進(jìn)一步地說它是有限表現(xiàn)的.一般來說，可以通過理解它的子群，商，自同態(tài)和群作用來理解一個群的代數(shù)結(jié)構(gòu).下面將探討湯普森群F的這幾個方面1.5.1 子群通過上面已經(jīng)知道可以使用凸函數(shù)來證明F包含其子群都同構(gòu)于Z，Z×Z，和秩是可數(shù)的自由交換群.單位區(qū)間自然與區(qū)間0，有同構(gòu)關(guān)系，因此，如果考慮群F中支持在0,上的所有元素，可以得到F的一個同構(gòu)子群.此外，如果考慮群F中支持在，1上的所有元素，將獲得與第一個相

26、似的另一個F的同構(gòu)子群.因此，F(xiàn)有一個子群同構(gòu)于F×F.當(dāng)?shù)玫缴厦孢@個結(jié)論時，繼續(xù)可以發(fā)現(xiàn)F有許多子群同構(gòu)于F×F××F這樣形式的群.事實上，可以找到一個與F的直積同構(gòu)的子群，它可以重復(fù)多次，而且是取自連續(xù)的二元區(qū)間0,，,.可知：F包含其子群都同構(gòu)于FFF.5.2 交換群的同態(tài)從F到Z的自然同態(tài)，是從F的描述中得到的分段線性同態(tài)映射.給定fF，可以考慮f的斜率接近0，因為它只有有限多個分段點.斜率是2的次冪.所以有映射0：FZ,flog2(0點處的右斜率)記錄0附近的基部2對數(shù)的斜率是明確定義的.事實上，它是一個同態(tài)：如果F的兩個元素在0附近具有斜率2

27、j和2k，那么它們的組成具有斜率2j+k.類似地，存在一個同態(tài)1:FZ,flog2(1點處的左斜率)記錄1附近的斜率.這些同態(tài)很容易定義和理解.我們從F到Z中找不到任何與交換群相關(guān)的同態(tài).群Gab是G模去G中交換子的群.從G到它的退化是一個自然同態(tài).這個同態(tài)稱為退化映射.一個群的退化之所以如此重要，是因它具有以下屬性：假設(shè)A是任一交換群，：GA是任意同態(tài)，那么通過退化可得到等價類即：GGabA.由第一同構(gòu)定理，這個屬性可知A是Gab的商.例如，如果Gab是平凡的，那么G沒有同態(tài)于任一非平凡交換群.如果Gab是有限的，則G沒有滿射同態(tài)于任一無限交換群.群Gab可以得到從G到交換群群的任意同態(tài).遵

28、循前面的除已經(jīng)給出的0和1外，沒有其他FZ上的同態(tài).可知F的退化為Z2，即FabZ2，它的映射為：0×1：FZ×Z. 這不難證明.證明：首先，0×1是滿射的.這由計算可得：0（x0）=-1 1（x0）=10（x1）=0 1（x1）=1.由于0×1是從F到Z2的一個滿射同態(tài)，可知F的退化是以Z2為商的.另一方面，F(xiàn)有一個由兩個元素(x0)、（x1）組成的生成集，所以F的退化是由兩個元素生成的交換群.但是任何這樣的群都可以是Z2的商.結(jié)合這兩個命題：F的退化是Z2的商；F的退化是以Z2為商的.因此，其退化就是Z2,即FabZ2.5.3 兩個基本定理定理5.3.1：F是無撓的（即每個非平凡元素都有無窮階）.證明：對于F中的任一非平凡元素，考慮滿足左斜率為1，右斜率不為1條件的最小的分段點.在其左邊，作任意次的運算，其左斜率依然為1；在其右邊，作任意次運算得到的任何平凡元素的右斜率都不等于1.因此，這個運算后得到非平凡元素是群F的一個元素.定理5.3.