常微分方程試題

1、單項選擇題（每小題2分，共40分）1.下列四個微分方程中為三階方程的有（）個.文檔A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.為確定一個一般的n階微分方程二0的一個特解通常應給出的初始條件是（）.dyd "-1yA.當工二與時，°上日產(chǎn)_ dy _ d*yB.當工二/時，"出怎""加7%-"近1力 d ="1 = 4 1C.當工二五時，以 'R-dy_dy_ 冷_D.當天二江時，瓦斯，石打一 %.薩一 內(nèi)3.微分方程一秒一1的一個解是（）.A. ”B.4.卜列方程中，既是齊次方程又是線性方程的是（）.A.=sindx5

2、.若方程（/斗工1/）也小/（幻/方=0是恰當方程,則，（力=（）.3%力A. - - B. - C.2 D.-6.若方程"（工）石+我（工冷的=0有只與y有關的積分因子戶，則可取"為（）.A.已印B.EKp1C.L甌D.宓*dX y7.可用變換（）將伯努利方程必a y+f化為線性方程.A.8.A.一.C.1一9.設 人心4 是n階齊線性方程 占+ +口式£）/= 0的解,-17-3YJ B. C. J D. *=1是滿足方程yw+v+j = 1和初始條件（）的唯一解.其中為g）,./G）是某區(qū)間中的連續(xù)函數(shù).如下敘述中,正確的是（）.A.若修）居的伏朗斯基行列式

3、為零,則為如，內(nèi) 線性無關B.若 修產(chǎn)的伏朗斯基行列式不為零,則以/”線性相關C.若”一%的伏朗斯基行列式不為零,則汽入，外 線性無關D.由外產(chǎn)”-，居）的伏朗斯基行列式是否為零,不能確定 總產(chǎn)如產(chǎn)r的線性相關性dy7加1y 行八/、/、+ tx（x） + 010.設線性無關的函數(shù)和乃!（不是方程d/ d/ & 的解，則方程d,Td2y dy斗奴工）丁+ = 1次辦也的通解是（）A. < 1_，） ：（二是任意常數(shù)，下同）B. JI1一二【L二1十C. 1 - 1 -' 、二. .）一 '一DL+ £.、；'；11 .三階系數(shù)齊線性方程 J&qu

4、ot;-2"+了 = °的特征根是（）.1土/ 1土#A. 0,1,1 B. 0, 1,-1C. 1,- D. 1, 二12 .方程N"一6尸+1叱=。的基本解組是（）.A.一 一 b.'C. .一，口：一（41313 .方程'-衛(wèi)=式的待定特解可取如下（）的形式:A. - + - B. 一C. J i_ - D. :'+ -14 .已知外二Ly式工）二工了式工）二工是某一三階齊線性方程的解人（工）的伏朗斯基行列式 即=（）.A. 3 B. 2 C. 1 D. 0().15 .可將三階方程=人 + /）化為二階方程的變換為A. -B. -

5、C.drdt16.方程組心一工.diD.滿足初始條件7（0） = 0b（。）=0的解為（）.COS/A.W/b.1sinJc.1° J D.COSi17.有基解矩陣一二人八,.=AQ）工n階函數(shù)方陣以在上連續(xù)，方程組必如下敘述中，正確的是（）.A.的每個列向量是該方程組的解向量且det口）在某一點十為零B.的每個行向量是該方程組的解向量且加上中H 0C.的每個列向量是該方程組的解向量且D.的每個行向量是該方程組的解向量且18.設A是n階常數(shù)方陣，）是A的一個特征值,則方程組 出=At:有解為其中£是（）A.矩陣A的對應于 工的特征向量B.任意向量 工不m上有兩個基解矩陣中C

6、.矩陣A任意一個行向量D.矩陣A的任意一個列向量19 . n階函數(shù)方陣區(qū)©在（-4+8上連續(xù),方程組和一； 如下敘述中，正確的是（）.A.存在非奇異的常數(shù)矩陣C,使得B.存在非奇異的常數(shù)矩陣C,使得C.存在非奇異的常數(shù)矩陣C,使得D.存在非奇異的常數(shù)矩陣C,使得中彷"20 .設和千（上）都是由方程組 而一£'+的n個解向量所組成的方陣,其AQ）是在 S+g） 上連續(xù)的函數(shù)方陣，于（幻是連續(xù)的列向量，則如下斷言中正確的為（）.A.一于必是方程組也=A4”的基解矩陣C.中（。是方程組就=A（E）k的解矩陣D.以“+%）也是方程組出的解矩陣.簡答題（每小題3分，

7、共15分）的.E21.寫出把方程量分離.犬一y化為變量分離方程的變換，并將變換后的方程進行變22.試寫出二階歐拉方程也： 辦的一個基本解組不公皿”=A（f）jr+/（f）B.一于仍是方程組出”的解矩陣=y4 + 3/ J!23 .寫出初值問題d犬的第二次近似解.門 2 =（0） = o的解.試用解的唯一存在24 .函數(shù)，=口和，=X都是初值問題dx定理解釋這個初值問題的解存在但不唯一的原因25 .已知三階方陣 A的特征值為1, 1, 2,對應的特征向量分別為 出dxAx方程組上 的標準基解矩陣（既當t=0時為單位矩陣的基解矩陣 三計算題（一）（每小題5分，共15分）辦1家二砂十一/26 .解方

8、程dx.27 .解方程（1+/）公+（，+4療% = 0.28.求解方程23,其中四計算題（二）（每小題6分，共18分）=ZA = 7 330.求方程組上的一個基解矩陣，其中31.求解方程鬣"一4UR"渣一日.五應用題（6分）32 .求平面上過原點的曲線方程，該曲線上任一點處的切線與切點和點（1,0）的連線相互垂直.六證明題（6分）33 .設式R都是區(qū)間（一0上的連續(xù)函數(shù),且例是二階線性方程y''My'）y=。的一個基本解組.試證明：（i）則A）和必（幻都只能有簡單零點（即函數(shù)值與導函數(shù)值不能在一點同時為零）;（ii）審5）和爐G）沒有共同的零點；（111） 65）和小沒有共同的零點.一.求解下列常微分方程:（每小題10分，共50分） 一 一一.一二 1; 加dx .,二.(15分)求二階常系數(shù)微分方程的通解2= 4 + 2M.(1 3) 、他A=“)=0 =3 .(15分)設 I1 -V,1cU,.(1)求齊線性方程組丈二Ax的基解矩陣Q) ；(2)求非齊線性方程組Kr = Ax+fffl滿足初始條件的<KS=o的解帖.4 .(10分)設有方程/+(口+冷？'+獨/ = /5),其中/在電蟲勸中連續(xù)且i > a >