圓錐曲線的第三定義

1、圓錐曲線的第三定義及運(yùn)用之樊仲川億創(chuàng)作時(shí)間：二0二一年七月二十九日例題一：已知橢圓卑b2ia®°的離心率e于,A、B是橢圓、橢圓和雙曲線的第三定義1.橢圓22在橢圓C：篤再1aAbAO中,A、B是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),Pab是橢圓上異于A、B的一點(diǎn)，若kpA、kpB存在，則有：kpA?kpB=e21=b2a證明：機(jī)關(guān)PAB的PA邊所對(duì)的中位線MO,kpAkMo,由點(diǎn)差法結(jié)論：kM0?kpB=e仁-2知此結(jié)論成立.a2.雙曲線22在雙曲線C：221中,A、B疋關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),P疋橢ab圓上異于A、B的一點(diǎn)，若kpA、kpB存在，則有：kpA?kpB=e21=-2a證明：只需

2、將橢圓中的b2全部換成b2就能將橢圓結(jié)論轉(zhuǎn)換成雙曲線的結(jié)論三、與角度有關(guān)的問題的左右頂點(diǎn),2為橢圓與雙曲線-72y_81的一個(gè)交點(diǎn)，令PAB=，APB=，則cos罟解答:令PBx二,由橢圓第三定義可知:tan21?tan二e1=-4點(diǎn)評(píng):其實(shí)所謂的雙曲線方程只是一個(gè)障眼法,其實(shí)不影響題目的解答.兩頂點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)的模型要很快的聯(lián)想到第三定義，那么剩下的任務(wù)就是把題目中的角轉(zhuǎn)化為兩直線的傾斜角，把正余弦轉(zhuǎn)化為正切.題目中的正余弦化正切是三角函數(shù)的罕見考點(diǎn)變式1-1:（石室中學(xué)2015級(jí)高二下4月18日周末作業(yè)）已知雙曲線C：x2y22015的左右頂點(diǎn)辨別為A、B,P為雙曲線右支一點(diǎn),且PAB=4APB

3、,求PAB=.解答：令PAB=,PBA=0,貝S=5,由雙曲線的第三22定義知：貝卩：tan=tan5=5tan52212點(diǎn)評(píng)：與例題1采納同樣的思路轉(zhuǎn)化角，但對(duì)于正切轉(zhuǎn)換的要求較高.兩銳角正切乘積為1即暗示sina=cosB,cosa=sin3兩角互余,則可解出a的值.當(dāng)然雙曲線的題目較于橢圓和拋物線題目考試幾率較小，但既然提到了雙曲線的第三定義妨做一做.四、與均值定理有關(guān)的問題例題2:已知2AB是橢圓篤a2b2長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),M、N是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn),直線AMBN的斜率辨別為匕、k2,且k2的最小值為1,則橢圓的離心率為.解答一（第三定義+均值）：由題意可作圖如下:連接MB,由橢圓

4、的第三定義可知:2kAM?kBM=eb2kBMkBNk1k2=2a解答二（特殊值法）：這道題由于表達(dá)式kik2min1很是對(duì)稱，則可直接猜特殊點(diǎn)求解.ki=k2=1時(shí)可取最值，則MN辨別為短軸的兩端點(diǎn).此時(shí):ki=lk2=b=2e二乎點(diǎn)評(píng):對(duì)于常規(guī)解法，合理利用MN的對(duì)稱關(guān)系是解題的關(guān)頭，這樣可以利用橢圓的第三定義將兩者斜率的關(guān)系聯(lián)系起來，既機(jī)關(guān)了“一正”，又機(jī)關(guān)了“二定”，利用均值定理“三相等”即可用a、b暗示出最值1.當(dāng)然將ki、k2前的系數(shù)改成不相等的兩個(gè)數(shù)，就不克不及利用特殊值法猜答案了，但常規(guī)解法相同，即變式2-1.22變式2-1:已知A、B是橢圓篤篤1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),M、abN是橢

5、圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線AMBN的斜率辨別為k°k2,且kik20.若忑|k,2血陶的最小值為1,則橢圓的離心率為.解答：連接MB,由橢圓的第三定義可知：kAM?kBM=e21=厶，而akBMkBMkBNk1k2=2變式2-2:已知AB是橢圓篤a2變式2-2:已知AB是橢圓篤ab21aA»0長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若橢圓上存在Q,使AQB令，則橢圓的離心率的取值規(guī)模為解答一（正切+均值）：令Q在x軸上方，則直線QA的傾斜角為，直線QB的傾斜角為AQB，,tanAQB2由橢圓的第三定義：tanAQB，,tanAQB2由橢圓的第三定義：tantantantan1tantan帶入可得

6、：Janta1tantanb2tanb2tana2tana2tan.2=.2bb1212aa22tan二,貝卩tan二-aatanb22?tan;atana2b三=書2（取等條件：tanb,即Qbaba1a為上頂點(diǎn)）而tanx在而tanx在單增，則Q為上頂點(diǎn)時(shí)AQBmax,所以此時(shí)max52AQB3，故e解答二（極限法）：當(dāng)Q趨近于AB兩點(diǎn)時(shí)，AQB弧趨近于以AB為直徑的圓的圓弧-（此時(shí)Q點(diǎn)所在的橢圓,AQB相當(dāng)于直徑所對(duì)的圓周角）；當(dāng)Q在A、B間運(yùn)動(dòng)時(shí)AQB>-2徑的圓內(nèi)部，aqba直徑所對(duì)的圓周角=90°（Q在以AB為直）,由橢圓的對(duì)稱性可猜測(cè)當(dāng)Q為短軸端點(diǎn)時(shí)由于：橢圓上存

7、在Q,使AQBAQBmax.1那么Q為短軸端點(diǎn)時(shí)2AQBmax.取臨界情況，即Q為短軸端點(diǎn)時(shí)2AQBmax.取臨界情況，即Q為短軸端點(diǎn)時(shí)AQB才此時(shí)a.3e；當(dāng)橢圓趨于飽滿（e0）時(shí),橢圓趨近于圓，b3圓的直徑所對(duì)的圓周角永遠(yuǎn)為90°,不滿足；當(dāng)橢圓趨于線段（e1）時(shí)，AQBmax段（e1）時(shí)，AQBmax,滿足.故e6，.3當(dāng)然這些只需要在頭腦中一想而過，簡(jiǎn)潔而有邏輯.點(diǎn)評(píng):這道題可以增加對(duì)于圓周角的理解，在用極限法討論：“當(dāng)Q趨近于A、B兩點(diǎn)時(shí)，AQB”時(shí)能會(huì)顛覆“AQB”的2認(rèn)知，當(dāng)然這肯定是錯(cuò)的，結(jié)合常規(guī)解法可以看出此時(shí)是角最小的情況，而不是角最大的情況.要弄清楚，不然會(huì)被弄

8、暈的.對(duì)于常規(guī)解法選擇正切暗示角的大小的原因有二：與第三定義產(chǎn)生聯(lián)系tanx在，單增便于利用tanx的大小比較角度的2大小.五、總結(jié)歸納1. 上述部分題目的常規(guī)解法較龐雜，但做題時(shí)一定要能猜答案，并且要猜得有理由.2. 對(duì)于均值不等式，注意取等條件是“三相等”，即相等時(shí)取最值.這可以幫忙猜測(cè)表達(dá)形式是高度對(duì)稱的式子的最值，女口：例題23. 極限法可以刻畫出單調(diào)變更的某一變量的端點(diǎn)值，如：變式2-2中P在橢圓上滑動(dòng)，角度的變更一定是滑膩的（無突變，連續(xù)），所以只需考慮鴻溝值.4. 做幾何的選填題時(shí)，有時(shí)利用圓周角定理可以很快的找到最大角，注意學(xué)會(huì)恰當(dāng)運(yùn)用，如：變式2-2.5. 常以正切值刻畫角度

9、大小.6. 在做綜合性較大的題目時(shí)要聯(lián)系各類知識(shí)，靈活轉(zhuǎn)化，以最巧妙的辦法致勝.7.8.六、辦法鏈接針對(duì)上文提到的“圓周角找最大角”與“橢圓中另一類均值”進(jìn)行拓展彌補(bǔ)，各附例題.例題3:在平面直角坐標(biāo)系XOY中,給定兩點(diǎn)M1,2和N1,4,點(diǎn)P在X軸上移動(dòng)，當(dāng)MPN取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.解答一（正切+均值）：已知：M1,2、N1,4,Imn:yx3與x軸交于P03,0MPN=令Pt,0,貝S：kMP,kNP,1t1t當(dāng)t3時(shí)，=0當(dāng)ta3時(shí),l當(dāng)ta3時(shí),l丄2t6tan二丁t27max4當(dāng)ty3時(shí),Inp的傾斜角較大，tankNPkMP2t6tan2t6_2x=2t27=x26x16=

10、16cx6x2二1X?1；67(tanA0)此時(shí)x4,t1,此時(shí)x4,t7,tan此時(shí)x4,t7,tan由于0,且tan在1max0,上單增,tan0,1max，此時(shí)t14解答二（圓周角定理）本題中的取極值時(shí)的P點(diǎn)的幾何意義為：過MN的圓與x軸切于P點(diǎn).下面給出證明:證明：以與x軸切于F2點(diǎn)的圓滿足所求最大角為例:由于Imn：yx3是過MN兩點(diǎn)的圓的一條弦，由垂徑定理知圓心在I:yx3上隨著圓心橫坐標(biāo)從0開始增大：當(dāng)半徑r較小時(shí)，圓與x軸無交點(diǎn)；當(dāng)半徑稍大一點(diǎn)時(shí)，圓與x軸相切，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)半徑更大一點(diǎn)時(shí)，圓與x軸有兩交點(diǎn)R、巳.此時(shí)：按照?qǐng)A周角定理:MF3NMP4NyMQN=mp2n.可知：

11、圓與x軸相切時(shí),MPNmaxR較小的情況（圓與x軸相離）較大的情況（圓與x軸相交于Pa、巳）所以：過MN的圓與x軸切于P3、P4點(diǎn)時(shí)，辨別有MPNmax只需比較MRN與MP2N,哪一個(gè)更大.令與x軸相切的圓的圓心為x,y,則切點(diǎn)Px,0,半徑為y圓滿足:圓滿足:22y2y222y4yx26x70x7or1（消比較可知：當(dāng)x=1時(shí)，MPNmax點(diǎn)評(píng):常規(guī)辦法依舊是利用正切度量角的大小，但注意用傾斜角暗示所求角時(shí)要用大角減去小角，才干得到正角；均值時(shí)要注意以份子（一次）為新元構(gòu)建均值.用圓周角角的性質(zhì)解答，只要轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)，解一個(gè)方程組，比較兩個(gè)角誰大就行了.（不比較也行，畫圖可知右邊角大于左邊角：

12、弦長(zhǎng)相等，半徑越大，弦所對(duì)的圓周角越?。┢鋵?shí)兩種解法的難度是一樣，只是一種要寫得多，一種要想得多.變式3-1:若GABC的重心，且AG變式3-1:若GABC的重心，且AGBG,則sinC的最大值為.解答一（余弦定理+均值）：ABXg0,0,Aa,0,B0,b,則由Ja2b2,AC.4a2b2,AC2BC|2|AB22ACBC余cosCBCb2由于:13Xa13yAXbyBa24b22a2b2XcCa,byc4a22厲、ab乎4a2b2a4b24b22aa2b24b252a2b2解法二（圓周角定理）令A(yù)1,0,B令A(yù)1,0,B1,0,Gsin,cos,貝卩C3sin,3cos題目轉(zhuǎn)化為:A1,0

13、,B1,0,Cx,y滿足：x2y29,求sinC的目測(cè)可知CO,3時(shí)，ABCmax,下面以C'0,3來證明.過A1,0,B1,0,C'0,3作圓O:若C不在C'點(diǎn)，令A(yù)C交圓O于Q點(diǎn).由圓周角定理:ACBYAQBAC'B證得SinCmaxSinCmax此時(shí)由余弦定理cosCmin=-5點(diǎn)評(píng)：可以說這道題與例題3有異曲同工之妙，直不雅感到加上圓周角定理可以說是畫幾個(gè)圓就解出題了.其實(shí)余弦函數(shù)在0，單調(diào),也可用來度量角的大小.不過更值得一提的是兩種辦法以不合的方法，間接地表示了題中點(diǎn)的關(guān)系，設(shè)點(diǎn)的方法值得思考領(lǐng)悟.解法一照顧垂直結(jié)論，把重心放在原點(diǎn)，利用重心的坐標(biāo)很好地刻畫了C點(diǎn)的坐標(biāo)；解法二聯(lián)系圓的直徑所對(duì)圓周角為直角暗示垂直條件，以同樣方法刻畫C點(diǎn)的坐標(biāo).兩種方法都完全的展現(xiàn)了題目中的關(guān)系.22例題4:（對(duì)橢圓用均值）：過橢圓篤每1aAb»1上一點(diǎn)P引圓O:bax2y21的兩條切線PA、PB,其中AB為切點(diǎn)，直線AB與x軸、y軸辨別相交于N,則AOMNS