利用基本不等式解決應用題

1、1如果 a、bR，那么 a2b2_(當且僅當_時取“”號)2abab 復習鞏固復習鞏固 利用利用 求最值的要點求最值的要點: ,2ababa bR （1）最值存在的條件的）最值存在的條件的: 一正一正, 二定二定,三等三等. 復習鞏固復習鞏固（2 2）積一定）積一定, , 和有最小和有最小值值（3）和一定）和一定, 積有最大值積有最大值利用基本不等式的轉化求最值利用基本不等式的轉化求最值【例例1】已知已知x0，y0，且，且2x8yxy0，求求xy的最小值及此時的最小值及此時x、y的值的值8228018282()()10+8210+212618.xyxyxyyxxyxy

2、xyxyyxxyyxxyxyyxxyxyxyxy因為 ，所以 ，所以 當且僅當，即 時，等號成立又 ，所以 ， 故當 ， 時， 的最【小值是解析】 本題是一個二元條件最值問題，看似平淡，但思想方法深刻、解法靈活多樣，本解法是其中之一對于xy與xy在同一等式中出現(xiàn)的問題往往可以利用基本不等式“ ”將它們聯(lián)系起來進行放縮，以此來求取值范圍是非常有效的+2x yxy52(1)1xxyxx 【變式練習求函數(shù) 的】最大值104145402 4= 44 5 12123 1.xttttyttttttytxx 令，則，則 ，因為，所以 ，所以 ，當且僅當 ，即 ， 時取 ，故函數(shù)的最大【解值為析】注意基本不等

3、式的適用條件注意基本不等式的適用條件224sin.sin2xx求f(x)的【例最小值】22222222222222222222413sinsinsinsinsin1sinsin1sin11sin2 sin2sinsin1sin1sin2.sin33sin133.sinsin4sin5.sin1yxxxxxxxxxxxxxxxxxxyxx，當，即時，可以取等號，即當時，的最小值是又當時， ，即的最小值是所以【解析】函數(shù) 的最方小值是法 ：24sin0140,14215.txtyttytttytt 令 ，則， ，證明 在上是減函數(shù)，所以當 時， 的最：小值是方法2222“2”44sin2sin4s

4、insinxyxyyxxxx用基本不等式，要注意 正、定、等 三要素缺一不可！， 2212212122bcRf xxbxcxxg xxf x已知 、，在區(qū)間，上，函數(shù) 與函數(shù)在同一點取得相同的最小值，求在區(qū)間【變，上的式練習 】最大值 22221111213113.4( )()24xxg xxxxxxxxg xxf xg xbcbf xxbxcx因為 ，當且僅當 ，即 時，“”成立，即的最小值為因為與在同一點處取得相同最小值，而的圖象是開口向上的【解析】拋物線， 2211 2241234.241(1)3.2224.f xbcbbcf xxxxf x且，所以只能在頂點處取得最小值，所以，即 時，

5、 ，所以 所以 又，所以當 時，的最大值為A、5公里處公里處 B、4公里處公里處C、3公里處公里處 D、2公里處公里處2、利用不等式、利用不等式 的應用問題的應用問題ab2ba2y1y2y1yxkyxk2211,y當當x=10時，時， =2， =8 1y2y20k18.02k8208 . 02)0(8 . 02021xxxxxyy當且僅當當且僅當 ，即即x=5時，時，xx208.08min21 yy因此應選因此應選A 解決應用題時，先要認真閱讀題目，理解題意，處理好題目中的數(shù)量關系，選擇適當?shù)臄?shù)學模型，將實際問題轉化為數(shù)學問題，再用數(shù)學知識和方法加以解決 利用基本不等式解實際問題利用基本不等式

6、解實際問題【例3】某種汽車的購車費用是10萬元，每年使用的保險費、養(yǎng)路費、汽油費約為0.9萬元，維修費第一年是0.2萬元，以后逐年遞增0.2萬元，問這種汽車使用多少年時，它的年平均費用最??？*2()0.20.20.20.220.20.2100.9100.110211010213 (10)10103.10 x xyxxxxxxxxxyxxxxxxxyN【解析設使用年的年平均費用為 萬元，由已知條件可知年維修費構成一個以萬元為首項， 萬元為公差的等差數(shù)列，因此使用 年的總維修費用為萬元，所以 ， 當且僅當 時取等號 所以當 時，取最小值 答】：這種汽車使用 年時，年平均費用最小設每批購入設每批購入

7、x臺，須進貨臺，須進貨 次，每批進貨次，每批進貨總價值總價值2000 x，全年保管費，全年保管費2000 xk。依題意，依題意，x36002014004003600400200043600kk24000100144000021001440000 xxxxy當且僅當當且僅當 即即x=120臺，臺，答：每批進貨的數(shù)量為答：每批進貨的數(shù)量為120臺時會使資金夠用。臺時會使資金夠用。xx100144000024000miny甲、乙兩地相距離甲、乙兩地相距離skm，汽車從甲地勻速行駛到，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過乙地，速度不得超過ckm/h，已知汽車每小時，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單

8、位），由可變部分和固定的運輸成本（以元為單位），由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度部分組成，可變部分與速度vkm/h的平方成正比，的平方成正比，且比例系數(shù)為且比例系數(shù)為b，固定部分為，固定部分為a元。元。 （1）把全程運輸成本）把全程運輸成本y元表示為速度元表示為速度vkm/h的的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域 （2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？大速度行駛？例例5：分析：分析：2bv每小時運輸成本每小時運輸成本 可變部分可變部分:元，元，vs共行駛共行駛小時小時,固定部分：固定部分： a元元cvvabvsab

9、v0,vsy2(2)(2)abvabv2當且僅當當且僅當bvva即即bav時時取取 “ = ”號號若若 cba當當 bav時，取時，取“= =”號號 若若 cba時，時， （法一）利用單調性（法一）利用單調性 bacv21v0 000*y21212121212121221121vvvvabvvabbavvbavvvvabvvsvabvsvabvsy 單調遞減在cvabvsyyy, 00*21cabcsycvmin,vabvsy時當綜上，當綜上，當 cbab時，時， absy2,babvmin當當 cbab時，時， cabcsycvmin,例例6：某工廠有一面舊墻長：某工廠有一面舊墻長14m，現(xiàn)

10、準備利用這，現(xiàn)準備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形且面積為面舊墻建造平面圖形為矩形且面積為126m2的的廠房，工程條件是廠房，工程條件是建建1m新墻的費用為新墻的費用為a元，元，修修1m舊墻的費用是舊墻的費用是4a元。元。拆去拆去1m舊墻所得舊墻所得的材料建的材料建1m新墻的費用是新墻的費用是2a元。經討論有兩種元。經討論有兩種方案。方案一：利用舊墻的一段方案。方案一：利用舊墻的一段)14( xxm為矩為矩形廠房的一面邊長。方案二：矩形廠房一面的形廠房的一面邊長。方案二：矩形廠房一面的一段為舊墻，其邊長為一段為舊墻，其邊長為)14( xx問如何利用舊問如何利用舊墻，即墻，即x為多少時，建墻費用最

11、省？兩種方案為多少時，建墻費用最??？兩種方案哪種最好。哪種最好。解：方案一解：方案一yxxaxaxayxxaaaax35,12,364x3573277364x7aymin時即當)140( x方案方案二二axxay4141422126ax221)x126a(2令令14,126/xxxy任意任意 1412 xx則則21212211/2/11261126126xxxxxxxxyy012611961401421212212112xxxxxxxxxx單調遞增在函數(shù)單調遞增在,142211262,14126/21axxayxxyyy故當故當 14x時，時，aaa5 .352211

12、4141262ymin又又35a35.5a故采用第一種方案好故采用第一種方案好5.5.某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為容積為 , ,深為深為3m3m，如果池底每平，如果池底每平方方米的造價為米的造價為150150元，池壁每平方米的造價為元，池壁每平方米的造價為120120元，問怎樣設計水池才能使造價最低，元，問怎樣設計水池才能使造價最低，最低造價是多少元？最低造價是多少元？34800 m問問 題題 與與 思思 考考5.5.某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為容積為 , ,深為深為3m3m，如果池底每平，如果

13、池底每平方方米的造價為米的造價為150150元，池壁每平方米的造價為元，池壁每平方米的造價為120120元，問怎樣設計水池才能使造價最低，元，問怎樣設計水池才能使造價最低，最低造價是多少元？最低造價是多少元？34800 mAPBHba例3.如圖，教室的墻壁上掛著一塊黑板，它的上、下邊緣分別在學生的水平視線上方a米和b米，問學生距離墻壁多遠時看黑板的視角最大？:,PxPHAPHBPH解 設學生 距黑板 米黑板上下邊緣與學生的水平視線的夾角分別為其中則學生看黑板的視角為,tan,tan由此可得由xbxa2tantanan1tantatn1ababxxababxxx,tan,22最大時當且僅當因為a

14、bxabxabxxabx,為銳角由于,最大此時.ab即學生距墻壁時看黑板的視角最大【變式練習3】2008年5月12日四川省汶川縣發(fā)生了8.0級大地震，牽動了全國各地人民的心為了安置廣大災民，抗震救災指揮部決定建造一批簡易房(每套長方體狀，房高2.5米)，前后墻用2.5米高的彩色鋼板，兩側用2.5米高的復合鋼板，兩種鋼板的價格都用長度來計算(即鋼板的高均為2.5米，用鋼板的長度乘以單價就是這塊鋼板的價格)，每米單價：彩色鋼板為450元，復合鋼板為200元房頂用其他材料建造，每平方米材料費為200元每套房材料費控制在32000元以內，試計算：(1)設房前面墻的長為x，兩側墻的長為y，所用材料費為P

15、，試用x，y表示P；(2)求簡易房面積S的最大值是多少？并求S最大時，前面墻的長度應設計為多少米？ 2450220020090040020090040020120.320002009004002002 900 400PxyxyxyxyPxyxySxyPPSxySS，即 依題意， ，且，則可得 【解析】，2200120032000()61600 01010090040020.1003100203SSPSSSSxyxSxyS得，即，得，當且僅當，即時， 取最大值答：簡易房面積 的最大值為平方米，此時前面墻的長度應設計為米11.(3)_3yxxx 函數(shù) 的值域是(，15，) 133332312323

16、54(15)yxxxyxxyx ，當時， ，當 時取“”；當時， ，當 時取“”，所以函數(shù)的值域是 ，析】，【解2200120032000()61600 01010090040020.1003100203SSPSSSSxyxSxyS得，即，得，當且僅當，即時， 取最大值答：簡易房面積 的最大值為平方米，此時前面墻的長度應設計為米2.若log2xlog2y4，則xy的最小值為 _.222logloglog4162848.xyxyxyxyxyxyxy因為 ，所以 ，所以 ，當且僅當 時，“【”成立故 的】最小值為解析823.230_.yx y zxyzxzR 已知， ，則的最小值為2223,296

17、1919(6)(26) 3.4443xzyyxzxzxzxzxzxzzxzxx yz由已知 所以 當且僅當 時取得【解析】最小值3 224.0041.1112loglogxyxyxyxy已知，且 求 的最小值；求的最大值 1111()(4)44525925941163119.1xyxyxyyxyxxyxyyxxyxyxy因為 ， ，當且僅當 ，即 ， 時取等號所以 的最小【解值為析】 2222222221loglogloglog (4)41 41log () log4421611482loglog4.2xyxyx yxyxyxyxy ，當且僅當 ，即 ， 時取等號所以的最大值為 4225.48

18、12123.4xxf xf xxabf abb 設函數(shù)求的最大值及此時的 的值；證明：對任意的實數(shù) 、 ，恒有 42216 216848282216162 284 22 2128322 2.22xxxxxxxxxf xxxf x 【解+，當且僅當 .即 時，的最大值為析】 222222193(3)3443()3322133.412 2.2 23213.42bbbbbbbf xabf abb證明：因為 ，所以 的最小值為由知，的最大值為而，所以對任意的實數(shù) 、 ，恒有 本節(jié)內容是不等式的基礎知識，主要從三個方面考查：一是利用基本不等式求兩個正數(shù)的和的最小值，或積的最大值，或者將一個式子轉化為可以利用基本不等式求最值的問題；二是利用基本不等式比較兩個實數(shù)(或代數(shù)式)的大小或證明不等式(放縮法等)；三是將一個實際問題構造成函數(shù)模型，利用基本不等式來解決 12“”123xyxyxyxy利用基本不等式時，要注意 正、定、等 三要素正，即 ， 都是正數(shù)；定 ，即不等式另一邊為定值；等 ，即當且