新課標(biāo)數(shù)學(xué)必修4知識點總結(jié)

1、第一章?三角函數(shù)?一，任意角與弧度制1, 角的定義：一條射線繞著頂點旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。逆時針方向旋轉(zhuǎn)為正角，順時針方 向旋轉(zhuǎn)為負(fù)角，不作任何旋轉(zhuǎn)形成零角。2, 角的象限：角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊落在哪一個象限, 這個角就稱為哪一象限的角。第一象限的角2k 2k ,k Z，第二象限的角22k ,2k,k第三象限的角2k，3t 2k，k Z，第四象限的角2k ,22k ,k Z，3,所有與角終邊相同的角的集合：S |2k ,k Z的弧度數(shù)的絕對值是4, 弧度制：如果半徑為 r的圓的圓心角所對的弧長為I，那么角弧度與角度的互化：180rad 1rad1

2、80彳人1801rad5，弧長公式：11叮 扇形的面積公式：S扇形=3 rl-r2其中2度、半徑、弧長,r,l分別為扇形的圓心角弧強化訓(xùn)練:1，角是第二象限角，試確定角2，尹冬邊所在的位置2， 1假設(shè)角 與角的終邊關(guān)于x軸對稱，那么與的關(guān)系是2假設(shè)角 與角 的終邊關(guān)于原點對稱，那么與的關(guān)系是4, 假設(shè)角 是第四象限角，那么是第象限角5, 在扇形中，半徑為 8,弧長為12，那么圓心角是弧度，扇形面積是 6, 一扇形的周長為 40cm，當(dāng)它的半徑和圓心角各取多少時，才能使扇形的面積最大？最大面 積為多少？，任意角的三角函數(shù)1，三角函數(shù)的第一定義：設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P x, y那

3、么 siny, cosx , tanyx2,三角函數(shù)的第二定義：設(shè)是一個任意角，在角的終邊上任取一點 P(x,y)，令OP rvx那么 sin ， cos ， tan rr3,三角函數(shù)線：有向線段MP，OM，AT分別為角 余弦線，正切線，合稱三角函數(shù)線。平方關(guān)系：2 sin2 cos1商數(shù)關(guān)系：sintan(kcos5, sina與cos ,sina與cos4,同角三角函數(shù)關(guān)系角角角角的大小關(guān)系的終邊在陰影局部內(nèi)，那么 sin 的終邊在陰影局部外，那么 sin的終邊在陰影局部內(nèi)，那么|sin的終邊在陰影局部外，那么sincoscoscoscos強化訓(xùn)練1,角 1的終邊上有一點 P 3a,4a，

4、分別求sin ,cos2,cos0,tan0 ,試判斷角所在的象限3,在0,2內(nèi)，使sincos 成立的的取值范圍是4,化簡：J2sin 5cos55,sin11，且角為鈍角，求cos ,tan的值6,tan2，求sin ,cos 的值的值、sin2cos、 2小212sin3cossin2cos3cos4si n8,sincos7,0，求1sin cos2sin47,tan 2，求以下各式的值cos3tan三，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一：sin2ksin ,cos2kcos ,tan2ktan公式二：sin+-sin ,cos +-cos ,tan+tan公式三：sinsin ,coscos,

5、ta ntan公式四：sinsin ,coscos ,tantan公式五：sin2cos ,cos 2sin公式六: sin +cos ,cos +-sin22誘導(dǎo)公式的規(guī)律：奇變偶不變，符號看象限。k意思是：，k Z的三角函數(shù)值可化為角的三角函數(shù)值。當(dāng)k為奇數(shù)時，函數(shù)名改變；當(dāng)k2為偶數(shù)時，函數(shù)名不變。角限內(nèi)的符號。的函數(shù)值前面加上視為銳角時，原函數(shù)值在,k Z所在象強化訓(xùn)練：1，求以下各三角函數(shù)的值1sin( 945 )2tan31633sin 1200 cos353cos585 tan2， 1 sin31 5-，求sin 的值2 32 cos 64m，求sin的值33,1 tan3 2

6、2，求 cos2sincos1 tan22sin的值四，三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)1，正弦函數(shù)：y sin x的性質(zhì)1定義域為R，值域為1,12最小正周期為23單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間一22k ,2k ,k24奇偶性奇函數(shù)5對稱性對稱軸：直線x-k ,k Z ,22,余弦函數(shù):y cosx的性質(zhì)1定義域為R，值域為1,12最小正周期為Z，單調(diào)減區(qū)間2k ,32k ,k Z22對稱中心：點k ,0 ,kZ23單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間2k ,2k ,k Z，單調(diào)減區(qū)間 2k2k ,k Z4奇偶性偶函數(shù)45單調(diào)性奇偶性對稱性單調(diào)增區(qū)間奇函數(shù)對稱中心：點,k5對稱性對稱軸：直線x k ,k Z ,對稱中心：點-k ,0 ,

7、k Z23,正切函數(shù):y tan x, xk , kZ的性質(zhì)21定義域為x |x R,x k , kZ ，值域為R 2最小正周期為2三角函數(shù)的圖像變換三種根本變換：1。周期變換：ysinysin x0，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南辔蛔儞Q:ysinysin(x ),向左0或向右0平移個單位。“加左減右振幅變換:ysinyAsinx A0，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍。sinyAsin( x)0,A 0,三個參數(shù)不冋，所以要經(jīng)過三個根本變換，每一個基4,1本變換改變一個參數(shù)。變換的步驟一般是先進(jìn)行相位變換，再進(jìn)行周期變換，最后進(jìn)行振幅變換。5，三角函數(shù)圖像求三角函數(shù)y Asin( x ),

8、A 0,0解析式由最大最小值求出 A，由周期求出，由特殊點的坐標(biāo)代入求出。注意，取零點時要 注意是第一零點還是第二零點。相鄰的兩個最高點或最低點的間距為一個周期；相鄰的兩個最值點的間距為半個周期；相鄰的 兩個對稱中心的間距為半個周期；最高點和與之相鄰的對稱中心的間距為四分之一個周期強化訓(xùn)練：12sin(-2x -)的周期，振幅，初相分別是，41，函數(shù)y2,函數(shù)ycos(2x-)的圖象的一條對稱軸方程是2A. xB.xC.x D.x2483,要得到函數(shù)y=sin(2x-)的圖象，只要將函數(shù)y=sin2x的圖象3A.向左平行移動個單位3B.向左平行移動個單位6C.向右平行移動個單位3D.向右平行移

9、動個單位6，那么值域是4,假設(shè)函數(shù) y cos2 x 2sinx的定義域為xA.,2 B.2,2 C.D.5,函數(shù)ycos(-、)的單調(diào)遞增區(qū)間是236,函數(shù)y、4 x2lg1 2sin x的定義域為4y- $ -2 o6x-47，如圖是函數(shù)y Asin( x )(A 0,0,)的圖象的2一局部。那么函數(shù)的解析式是 1 宀8，函數(shù)y 2sin( x )由y=sinxx R的圖象怎樣變換得到的?2 6第二章?平面向量?一，向量的根本概念1, 向量的定義：既有大小又有方向的量，叫做向量。2, 向量的表示：1字母表示：a， AB2幾何表示：可以用有向線段表示向量，但有向線段不是向量。3，向量的根本概

10、念1 模：向量的大小，也就是向量的長度，也稱為模，記作a2零向量：長度為0的向量3單位向量：長度為1的向量4共線向量：方向相同或相反的非零向量為共線向量，也稱平行向量，記作5相等向量：長度相等且方向相同的向量稱為相等向量。6相反向量：長度相等且方向相反的向量稱為相反向量。a/b。強化訓(xùn)練1，以下說法正確的選項是A長度相等的向量就是相等向量C零向量的長度是 0B共線向量就是在一條直線上的向量D方向相同或相反的向量是平行向量2,如圖，三角形 ABC的三邊均不相等，E，AB，BC的中點1寫出EF與共線的向量2寫出所有與F，D分別為AC，EF模相等的向量D二，平面的線性運算1，向量的加法1加法法那么1

11、平行四邊形法那么：共起點AB AC ADAB BCAC2相關(guān)結(jié)論a a b12a2，向量的減法 減法法那么3B12-63,數(shù)乘運算 1定義：規(guī)定實數(shù) 與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記做長度與方向規(guī)定如下：12當(dāng)0時,a的方向與a的方向相同;0時，a的方向與a的方向相反2相關(guān)結(jié)論:1a 23 a b a b40 03向量共線定理:a為非零向量，貝U a/b為唯一確定的實數(shù)4三點共線問題:假設(shè) A、B、C三點共線AB / AC或 AB/BC推論：假設(shè)OAmOB nOC，貝U A、B、C三點共線強化訓(xùn)練:1，在平行四邊形ABCD 中 OA a,OBb,OC c,ODd,那么以下運算

12、正確的選項是(A)a b c d0 (B)a b c d0 (C)a b0 (D)a b2,化簡以下各式，結(jié)果為零向量的個數(shù)為1AB BC CA 2 AB AC BD CD 3OA ODAD 4NQQP MNMP那么F,3,如圖，平行四邊形 ABCD勺邊BC, CD的中點分別為 E,AE a, AF b，試用 a, b 表示 BC, CD4,設(shè)P是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點，BC BA 2BP ,(A)PA PB 0 (B)PB PC 0 (C)PC PA 0 (D)PA PB PC 01 5, 在三角形ABC中,D是AB邊上的一點，假設(shè)AD 2DB , CD 一CA CB，那么36, 兩非

13、零向量 a,b，設(shè)OA a b , OB a 2b , OC a 3b，判斷A, B, C的位置關(guān)系三，平面向量根本定理及坐標(biāo)表示1,平面向量根本定理1平面向量根本定理：如果 e， e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)，使 a ee22基底：不共線的兩個向量e， e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。4向量的夾角：作OAa,OB b，貝y AOB叫做向量a與b的夾角。兩個向量成為基底的唯一限制是不共線。任意兩個不共線的向量都可以作為平面的基底。3向量共線定理的推論：H，11-t- 假設(shè)a 浄1e2 , b 2e2僉，貝u a/b1 22 1交叉

14、相乘，積相等顯然0 ,180 ，當(dāng) 0時，a , b同向；當(dāng) 180時，a , b反向，當(dāng)90時，稱a ,b垂直，記作a b。2,平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示1正交分解：把一個向量分解成兩個相互垂直的兩個向量，叫做平面向量的正交分解。fr2坐標(biāo)表示：取分別與 x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，那么a xi yj。我們將有序數(shù)對 x, y叫做向量a的坐標(biāo)，記作a = x, y 。3向量的坐標(biāo)運算假設(shè) a = %, % , b = X2, y2 ，貝Ua b 為 X2,% y , a b 人 x?,% y? , a4向量平行的坐標(biāo)表示r-r-H ¥假

15、設(shè) a =捲，如,b = X2,y2 ，那么 a/bx$2 X2y1 0強化訓(xùn)練e2與b(2e 3e>)共線，那么 ，設(shè)e1 ,e2為兩個不共線的向量，假設(shè)a e2,在三角形ABC中，設(shè)ABa , AC b，點D在線段BC上，且bD 3 DC ,那么把AD用a, b表示為，3, BCD的3個頂點為A(a,b),B(-b,a),C(O,O)，那么它的第4個頂點D的坐標(biāo)是 4, ABC的三個頂點 A、B、C及所在平面內(nèi)一點 P滿足PA PB PC AB，那么點P 與厶ABC的關(guān)系是： A P在厶ABC內(nèi)部B、P在厶ABC外部武漢市第十五中學(xué)高一數(shù)學(xué)組12-8C P在直線AB上、P在厶ABC的

16、AC邊的一個三等分點上5,兩點R4,-9),Q-2,3),y軸與直線PQ交于M且PMmq貝y 為9,如圖，平行四邊形 ABCD中，點E, F分別是a, b 表示 DE, BF,CG中點，G為BF , DE的交點，假設(shè) AB a, AD四，平面向量的數(shù)量積1, 數(shù)量積的定義：兩個非零向量a , b ,我們把數(shù)量a|bcos叫做向量a與b的數(shù)量積，記作ab, 其中 是向量a , b的夾角。特別地，我們把 a cos叫做a在d方向上的投影。2, 數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度a與b在a的方向上的投影 b cos的乘積。3, 運算律:1 8- Hab = ba 2 aFb = ab = ab

17、3a i-bc = ac be4,相關(guān)結(jié)論：1 1-0a02a b2ab 03aa；4ab ab 2 '2 1 12 -I-r2 -25a ba 2abb6 ababa b5,數(shù)量積的坐標(biāo)表示：假設(shè) a =x1, y-!, b =X2,y2，那么 ab%x2y26,坐標(biāo)運算的相關(guān)結(jié)論1假設(shè) a = x,y，那么 a 丫 x2 y2fI"2假設(shè)a =%,% , b = X2,y2，那么 aby203COS1ab7,向量與三角形的“四心點P是三角形所在平面內(nèi)的一點, 1假設(shè)PA PB PC 0，那么點P是三角形ABC的重心；2假設(shè)PAPB PB-PC P-PA，那么點P是三角形A

18、BC的垂心；2 2 23假設(shè)PA PB PC ，那么點P是三角形ABC的外心；4令A(yù)B c, BC a,CA b,假設(shè)aPA bPB cPC 0，那么點P是三角形ABC的內(nèi)心。強化訓(xùn)練1，假設(shè)等邊三角形ABC的邊長是2 3，平面內(nèi)一點M滿足CM -CB -CA，那么63MA-MB 。2,假設(shè)a -b 2,a b v'7，那么a與b的夾角 的余弦值為3，a (2,1), b (3,4),那么向量a在向量b方向上的投影為4,假設(shè)向量a (1,2)，b (x,1)，當(dāng)a 2b與2a b垂直時，求x.rrrV'5，a b 2, 8 ， a b 8,16，求ab及a與b的夾角的余弦。6, a 4, |b|3，(2a-3b)?(2a b) 61,(1)求ab的值；2求a與b的夾角；3求a b的值.F -» rr7, 設(shè)a、b是兩個不共線的單位向量，且a與b夾角為120，那么實數(shù)x為何值時|a xb |的值最 ??？，兩角和與差的公式和角公式