第二章 習(xí)題課（二）

1、習(xí)題課(二)數(shù)列求和學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握分組分解求和法的使用情形和解題要點(diǎn).2.掌握奇偶并項(xiàng)求和法的使用情形和解題要點(diǎn).3.掌握裂項(xiàng)相消求和法的使用情形和解題要點(diǎn).4.進(jìn)一步熟悉錯(cuò)位相減法.知識(shí)點(diǎn)一分組分解求和法思考求和：123.答案123(123n)1.梳理分組分解求和的基本思路：通過分解每一項(xiàng)重新組合，化歸為等差數(shù)列和等比數(shù)列求和.知識(shí)點(diǎn)二奇偶并項(xiàng)求和法思考求和122232429921002.答案122232429921002(1222)(3242)(9921002)(12)(12)(34)(34)(99100)(99100)(123499100)5 050.梳理奇偶并項(xiàng)求和的基本思路：有些數(shù)

2、列單獨(dú)看求和困難，但相鄰項(xiàng)結(jié)合后會(huì)變成熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列求和.但當(dāng)求前n項(xiàng)和而n是奇數(shù)還是偶數(shù)不確定時(shí)，往往需要討論.知識(shí)點(diǎn)三裂項(xiàng)相消求和法思考我們知道 ，試用此公式求和：.答案由，得11.梳理如果數(shù)列的項(xiàng)能裂成前后抵消的兩項(xiàng)，可用裂項(xiàng)相消求和，此法一般先研究通項(xiàng)的形式，然后仿照公式裂開每一項(xiàng).裂項(xiàng)相消求和常用公式：(1)；(2)()；(3)；(4).1.并項(xiàng)求和一定是相鄰兩項(xiàng)結(jié)合.(×)2.裂項(xiàng)相消一定是相鄰兩項(xiàng)裂項(xiàng)后產(chǎn)生抵消.(×)類型一分組分解求和例1求和：Sn222(x0).考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)分組求和法解當(dāng)x±1時(shí)，Sn222(x2x4x2n

3、)2n2n2n；當(dāng)x±1時(shí)，Sn4n.綜上知，Sn反思與感悟某些數(shù)列，通過適當(dāng)分組，可得出兩個(gè)或幾個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列，進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式分別求和，從而得出原數(shù)列的和.跟蹤訓(xùn)練1求數(shù)列1,1a,1aa2，1aa2an1，的前n項(xiàng)和Sn.(其中a0，nN*)考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)分組求和法解當(dāng)a1時(shí)，ann，于是Sn123n.當(dāng)a1時(shí)，an(1an).Snn(aa2an).Sn類型二裂項(xiàng)相消求和例2求和：，n2，nN*.考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)裂項(xiàng)相消法求和解，原式(n2，nN*).引申探究求和：，n2，nN*.解1，原式(n1)以下同例2解法.反思與感悟求和前

4、一般先對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式變形，如果數(shù)列的通項(xiàng)公式可轉(zhuǎn)化為f(n1)f(n)的形式，常采用裂項(xiàng)求和法.跟蹤訓(xùn)練2求和：1，nN*.考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)裂項(xiàng)相消法求和解an2，Sn2.類型三奇偶并項(xiàng)求和例3求和：Sn1357(1)n(2n1).考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)并項(xiàng)求和法解當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn(13)(57)(911)(2n5)(2n3)(2n1)2·(2n1)n.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn(13)(57)(2n3)(2n1)2·n.Sn(1)nn (nN*).反思與感悟通項(xiàng)中含有(1)n的數(shù)列求前n項(xiàng)和時(shí)可以考慮使用奇偶并項(xiàng)法，分項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)分別進(jìn)行求和.跟蹤訓(xùn)練3已知

5、數(shù)列1,4，7,10，(1)n·(3n2)，求其前n項(xiàng)和Sn.考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)并項(xiàng)求和法解當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，令n2k(kN*)，SnS2k14710(1)n·(3n2)(14)(710)(6k5)(6k2)3kn；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，令n2k1(kN*)，SnS2k1S2ka2k13k(6k1).Sn1.數(shù)列12n1的前n項(xiàng)和為_.考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)分組求和法答案Snn2n1，nN*解析an12n1，Snnn2n1.2.已知an(1)n，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S9與S10的值分別是_.考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)并項(xiàng)求和法答案1,0解析S10(a1a2)(a3a

6、4)(a9a10)0，S9S10a101.3.已知數(shù)列an則S100_.考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)分組求和法答案5 000解析由題意得S100a1a2a99a100(a1a3a5a99)(a2a4a100)(02498)(246100)5 000.4.求數(shù)列，的前n項(xiàng)和.考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)裂項(xiàng)相消法求和解因?yàn)橥?xiàng)an，所以此數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.求數(shù)列的前n項(xiàng)和，一般有下列幾種方法.(1)錯(cuò)位相減適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和.(2)分組求和把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列.(3)裂項(xiàng)相消把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再

7、求和.(4)奇偶并項(xiàng)當(dāng)數(shù)列通項(xiàng)中出現(xiàn)(1)n或(1)n1時(shí)，常常需要對(duì)n取值的奇偶性進(jìn)行分類討論.(5)倒序相加例如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.一、選擇題1.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an， 則S5等于()A.1 B. C. D.考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)裂項(xiàng)相消法求和答案B解析an.S51.2.數(shù)列，的前n項(xiàng)和為()A. B. C. D.考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)裂項(xiàng)相消法求和答案B解析由數(shù)列通項(xiàng)公式，得前n項(xiàng)和Sn.3.已知數(shù)列an的通項(xiàng)an2n1，nN*，由bn所確定的數(shù)列bn的前n項(xiàng)和是()A.n(n2) B.n(n4)C.n(n5) D.n(n7)考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)數(shù)

8、列求和方法綜合答案C解析a1a2an(2n4)n22n，bnn2，bn的前n項(xiàng)和Sn.4.在數(shù)列an中，已知Sn159131721(1)n1(4n3)，nN*，則S15S22S31的值是()A.13 B.76 C.46 D.76考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)并項(xiàng)求和法答案B解析S154×7a15285729，S224×1144，S314×15a316012161，S15S22S3129446176.故選B.5.如果一個(gè)數(shù)列an滿足anan1H (H為常數(shù)，nN*)，則稱數(shù)列an為等和數(shù)列，H為公和，Sn是其前n項(xiàng)的和，已知在等和數(shù)列an中，a11，H3，則S2 017

9、等于()A.3 019 B.3 018C.3 023 D.3 016考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)并項(xiàng)求和法答案C解析S2 017a1(a2a3a2 017)a11 008×H11 008×(3)3 023.6.數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an，若前n項(xiàng)和為10，則項(xiàng)數(shù)為()A.11 B.99C.120 D.121考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)裂項(xiàng)相消法求和答案C解析an，Sna1a2an(1)()()1，令110，得n120.7.數(shù)列1,12,1222，12222n1，的前99項(xiàng)和為()A.2100101 B.299101C.210099 D.29999考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)并項(xiàng)求和

10、法答案A解析由數(shù)列可知an12222n12n1，所以，前99項(xiàng)的和為S99(21)(221)(2991)22229999992100101.二、填空題8.若Sn1234(1)n1·n，nN*，則S50_.考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)并項(xiàng)求和法答案25解析S5012344950(1)×2525.9.在數(shù)列an中，若anln，nN*，則Sn_.考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)裂項(xiàng)相消法求和答案ln(n1)解析方法一anln ln(n1)ln nSn(ln 2ln 1)(ln 3ln 2)ln(n1)ln nln(n1)ln 1ln(n1).方法二Snln ln ln lnln(n1).

11、10.在等比數(shù)列an中，若a1，a44，則|a1|a2|a3|an|_.考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)數(shù)列求和方法綜合答案解析an為等比數(shù)列，且a1，a44，q38，q2，an(2)n1，|an|2n2，|a1|a2|a3|an|.11.數(shù)列an的通項(xiàng)公式anncos ，nN*，其前n項(xiàng)和為Sn，則S2 016_.考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)并項(xiàng)求和法答案1 008解析a1cos 0，a22cos 2，a30，a44，.數(shù)列an的所有奇數(shù)項(xiàng)為0，前2 016項(xiàng)的所有偶數(shù)項(xiàng)(共1 008項(xiàng))依次為2,4，6,8，故S2 0160(24)(68)(2 0142 016)1 008.三、解答題12.已知等

12、差數(shù)列an滿足：a37，a5a726，an的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN*)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)裂項(xiàng)相消法求和解(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d.因?yàn)閍37，a5a726，所以解得所以an32(n1)2n1，Sn3n×2n22n.所以an2n1，Snn22n.(2)由(1)知an2n1，所以bn××，所以Tn××，即數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.13.設(shè)數(shù)列an滿足a12，an1an3·22n1，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bnnan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和

13、Sn.考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)錯(cuò)位相減法求和解(1)由已知，得當(dāng)n>1時(shí)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a13(22n322n52)222n1，而a12，符合上式，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an22n1.(2)由bnnann·22n1知Sn1·22·233·25n·22n1，從而22·Sn1·232·253·27n·22n1.得(122)Sn2232522n1n·22n1，即Sn(3n1)22n12.四、探究與拓展14.設(shè)數(shù)列an滿足a10且1，nN*.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，記Snb1b2bn，證明：Sn<1.考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)裂項(xiàng)相消法求和(1)解由題設(shè)1知，是公差為1的等差數(shù)列，又1，故n，an1.(2)證明由(1)得bn，Sn11<1.15.已知數(shù)列an中，a11，an·an1n，記T2n為an的前2n項(xiàng)的和，bna2na2n1，nN*.(1)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并求出bn；(2)求T2n.考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)分組求和