機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)

1、機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)1、機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)研究的是機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)，而不考慮產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)的力。運(yùn)動(dòng)學(xué)研究機(jī)械臂的位置，速度和加速度。機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)的研究涉及到的幾何和基于時(shí)間的內(nèi)容，特別是各個(gè)關(guān)節(jié)彼此之間的關(guān)系以及隨時(shí)間變化規(guī)律。典型的機(jī)械臂由一些串行連接的關(guān)節(jié)和連桿組成。每個(gè)關(guān)節(jié)具有一個(gè)自由度，平移或旋轉(zhuǎn)。對(duì)于具有n個(gè)關(guān)節(jié)的機(jī)械臂，關(guān)節(jié)的編號(hào)從1到n，有n +1個(gè)連桿，編號(hào)從0到n。連桿0是機(jī)械臂的基礎(chǔ)，一般是固定的，連桿n上帶有末端執(zhí)行器。關(guān)節(jié)i連接連桿i和連桿i-1。一個(gè)連桿可以被視為一個(gè)剛體，確定與它相鄰的兩個(gè)關(guān)節(jié)的坐標(biāo)軸之間的相對(duì)位置。一個(gè)連桿可以用兩個(gè)參數(shù)描述，連桿長(zhǎng)度和連桿扭轉(zhuǎn)，這

2、兩個(gè)量定義了與它相關(guān)的兩個(gè)坐標(biāo)軸在空間的相對(duì)位置。而第一連桿和最后一個(gè)連桿的參數(shù)沒有意義，一般選擇為0。一個(gè)關(guān)節(jié)用兩個(gè)參數(shù)描述，一是連桿的偏移，是指從一個(gè)連桿到下一個(gè)連桿沿的關(guān)節(jié)軸線的距離。二是關(guān)節(jié)角度，指一個(gè)關(guān)節(jié)相對(duì)于下一個(gè)關(guān)節(jié)軸的旋轉(zhuǎn)角度。為了便于描述的每一個(gè)關(guān)節(jié)的位置，我們?cè)诿恳粋€(gè)關(guān)節(jié)設(shè)置一個(gè)坐標(biāo)系， 對(duì)于一個(gè)關(guān)節(jié)鏈，Denavit和Hartenberg提出了一種用矩陣表示各個(gè)關(guān)節(jié)之間關(guān)系的系統(tǒng)方法。對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)i，規(guī)定它的轉(zhuǎn)動(dòng)平行于坐標(biāo)軸zi-1，坐標(biāo)軸xi-1對(duì)準(zhǔn)從zi-1到zi的法線方向，如果zi-1與zi相交，則xi-1取zi1 ×zi的方向。連桿，關(guān)節(jié)參數(shù)概括如下：l

3、 連桿長(zhǎng)度ai沿著xi軸從zi-1和zi軸之間的距離;l 連桿扭轉(zhuǎn)i 從zi-1軸到zi軸相對(duì)xi-1軸夾角;l 連桿偏移di從坐標(biāo)系i-1的原點(diǎn)沿著zi-1軸到xi軸的距離;l 關(guān)節(jié)角度ixi-1軸和xi軸之間關(guān)于zi-1軸的夾角。對(duì)于一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)i是關(guān)節(jié)變量，di是常數(shù)。而移動(dòng)關(guān)節(jié)di是可變的，i是恒定的。為了統(tǒng)一，表示為運(yùn)用Denavit-Hartenberg（DH）方法，可以將相鄰的兩個(gè)坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系表示為一個(gè)4x4的齊次變換矩陣上式表示出了坐標(biāo)系i相對(duì)于坐標(biāo)系i-1的關(guān)系。即其中表示坐標(biāo)系i相對(duì)于世界坐標(biāo)系0的位置與姿態(tài)，簡(jiǎn)稱位姿。2、正向和反向運(yùn)動(dòng)學(xué)對(duì)于一個(gè)n-軸剛性連接的機(jī)

4、械臂，正向運(yùn)動(dòng)學(xué)的解給出的是最后一個(gè)連桿坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)。重復(fù)利用上式,得到機(jī)械臂末端位姿在笛卡爾坐標(biāo)系中有6個(gè)自由度，3個(gè)平移，3個(gè)旋轉(zhuǎn)。所以，一般來說具有6個(gè)自由度的機(jī)械臂可以使末端實(shí)現(xiàn)任意的位姿。總的機(jī)械臂變換一般簡(jiǎn)寫為Tn，對(duì)6個(gè)自由度的機(jī)械臂簡(jiǎn)寫為T6。對(duì)于任意的機(jī)械臂，無論其它有多少個(gè)關(guān)節(jié)，具有什么結(jié)構(gòu)，正向運(yùn)動(dòng)學(xué)解都是可以得到的。在機(jī)械臂的路徑規(guī)劃中，用到的是反向運(yùn)動(dòng)學(xué)的解，它給出了特定的末端位姿對(duì)應(yīng)的機(jī)械臂的關(guān)節(jié)角度。一般來說，反向運(yùn)動(dòng)學(xué)的解不是唯一的，對(duì)具有某種結(jié)構(gòu)的機(jī)械臂，封閉解可能不存在。對(duì)于6自由度的機(jī)器人而言，運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解非常復(fù)雜，一般沒有封閉解。只有在某些特殊情況下

5、才可能得到封閉解。不過，大多數(shù)工業(yè)機(jī)器人都滿足封閉解的兩個(gè)充分條件之一（Pieper準(zhǔn)則） （1）三個(gè)相鄰關(guān)節(jié)軸交于一點(diǎn) （2）三個(gè)相鄰關(guān)節(jié)軸相互平行如果機(jī)械臂多于6個(gè)關(guān)節(jié)，稱關(guān)節(jié)為冗余的，這時(shí)解是欠定的。如果對(duì)于機(jī)械臂某個(gè)特別的位姿，解不存在，稱這個(gè)位姿為奇異位姿。機(jī)械臂的奇異性可能是由于機(jī)械臂中某些坐標(biāo)軸的重合，或位置不能達(dá)到引起的。機(jī)械臂的奇異位姿分為兩類：(1)邊界奇異位姿，當(dāng)機(jī)械臂的關(guān)節(jié)全部展開或折起時(shí)，使得末端處于操作空間的邊界或邊界附近，雅克比矩陣奇異，機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)受到物理結(jié)構(gòu)的約束，這時(shí)機(jī)械臂的奇異位姿稱為邊界奇異位姿。(2)內(nèi)部奇異位姿，兩個(gè)或兩個(gè)以上的關(guān)節(jié)軸線重合時(shí)，機(jī)械臂

6、各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)相互抵消，不產(chǎn)生操作運(yùn)動(dòng)，這時(shí)機(jī)械臂的奇異位姿稱為內(nèi)部奇異位姿。機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的方法可以分為兩類：封閉解和數(shù)值解、在進(jìn)行逆解時(shí)總是力求得到封閉解。因?yàn)榉忾]解的計(jì)算速度快，效率高，便于實(shí)時(shí)控制。而數(shù)值解法不具有這些特點(diǎn)。機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)的封閉逆解可通過兩種途徑得到：代數(shù)法和幾何法。一般而言，非零連桿參數(shù)越多，到達(dá)某一目標(biāo)的方式也越多，即運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的數(shù)目也越多。在從多重解中選擇解時(shí)，應(yīng)根據(jù)具體情況，在避免碰撞的前提下通常按“最短行程”準(zhǔn)則來選擇。同時(shí)還應(yīng)當(dāng)兼顧“多移動(dòng)小關(guān)節(jié)，少移動(dòng)大關(guān)節(jié)”的原則。n個(gè)自由度的機(jī)械臂的末端位姿由n個(gè)關(guān)節(jié)變量所決定，這n個(gè)關(guān)節(jié)變量統(tǒng)稱為n維關(guān)節(jié)矢量，記為q

7、。所有的關(guān)節(jié)矢量構(gòu)成的空間稱為關(guān)節(jié)空間。機(jī)械臂末端的位姿用6個(gè)變量描述，3個(gè)平移(x,y,z)和3個(gè)旋轉(zhuǎn)(wx, wy, wz)，記x=(x,y,z, wx, wy, wz)，x是機(jī)械臂末端在基坐標(biāo)空間中的坐標(biāo)，所有的矢量x構(gòu)成的空間稱為操作空間或作業(yè)定向空間。工作空間是操作臂的末端能夠到達(dá)的空間范圍，即末端能夠到達(dá)的目標(biāo)點(diǎn)集合。值得指出的是，工作空間應(yīng)該嚴(yán)格地區(qū)分為兩類： (1) 靈活（工作）空間 指機(jī)械臂末端能夠以任意方位到達(dá)的目標(biāo)點(diǎn)集合。因此，在靈活空間的每個(gè)點(diǎn)上，手爪的指向可任意規(guī)定。 (2) 可達(dá)（工作）空間 指機(jī)械臂末端至少在一個(gè)方位上能夠到達(dá)的目標(biāo)點(diǎn)集合。機(jī)械臂各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器的位置

8、組成的矢量稱為驅(qū)動(dòng)矢量s，由這些矢量構(gòu)成的空間稱為驅(qū)動(dòng)空間。驅(qū)動(dòng)空間關(guān)節(jié)空間工作空間正向運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解3、Jacobian矩陣機(jī)械臂的Jacobian矩陣表示機(jī)械臂的操作空間與關(guān)節(jié)空間之間速度的線性映射關(guān)系，對(duì)于一個(gè)n軸的機(jī)械臂，機(jī)械臂末端在基坐標(biāo)系中的速度是其中x是6個(gè)元素的向量。對(duì)于6個(gè)關(guān)節(jié)機(jī)械臂Jacobian矩陣是方陣，如果它是可逆的，則可以由機(jī)械臂的末端速度求出各個(gè)關(guān)節(jié)的速度。Jacobian矩陣在機(jī)械臂的奇異位姿上是不可逆的。在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)機(jī)械臂的末端位置接近奇異位置時(shí)，Jacobian矩陣是病態(tài)的，可能導(dǎo)致關(guān)節(jié)速度不能正確地得到。上式解決的是正速度問題，即已知q和求末端執(zhí)行器

9、的速度。對(duì)于逆速度解問題，由上式可以得到速度逆解公式為，注意到此時(shí)需要求雅可比矩陣的逆，由線性方程組理論知上式對(duì)任意的，都有解的必要條件是雅可比矩陣的秩rank(J)=6，這意味著機(jī)械臂的自由度數(shù)n6。這也說明了具有冗余自由度的機(jī)械臂，在末端位姿固定的條件下，能使關(guān)節(jié)在一個(gè)較大的關(guān)節(jié)空間的子空間中運(yùn)動(dòng)，有效地避開障礙或奇異位姿，并把關(guān)節(jié)位移限制在允許范圍內(nèi)，從而具有更大的運(yùn)動(dòng)靈活性。雅可比矩陣可以看成是從關(guān)節(jié)空間到操作空間運(yùn)動(dòng)速度的傳動(dòng)比，同時(shí)也可用來表示兩空間之間力的傳遞關(guān)系。對(duì)于冗余自由度機(jī)械臂，其雅可比矩陣是長(zhǎng)方矩陣，因J滿秩且方程個(gè)數(shù)少于未知數(shù)個(gè)數(shù)，所以有無窮多個(gè)解，這時(shí)，一般是求其中

10、的最小范數(shù)解，或采用加權(quán)最小范數(shù)解也就是說使最小的解，其中D是對(duì)稱正定加權(quán)矩陣。此時(shí)的解是使機(jī)械臂在能量消耗最小的情況下的解。這時(shí)，逆速度問題便轉(zhuǎn)為：求滿足且使最小。實(shí)際上等同于求性能指標(biāo)L在約束條件下的極值。應(yīng)用Lagrange乘子法，以上極值為題的解是，當(dāng)D=I時(shí)，雅可比矩陣是，稱為雅可比矩陣的偽逆。下面通過一個(gè)兩自由度的平面機(jī)械臂說明雅可比矩陣的特性，根據(jù)右圖中的幾何關(guān)系容易求得兩邊微分后寫成矩陣形式 即 簡(jiǎn)寫成 dx=Jd，式中J就稱為機(jī)械臂的雅可比（Jacobian）矩陣，它由函數(shù)x，y的偏微分組成，反映了關(guān)節(jié)微小位移d與機(jī)械臂末端微小運(yùn)動(dòng)dx之間的關(guān)系。 將兩邊

11、同除以dt dt 得到：dx/dt=Jd/dt, 因此機(jī)械臂的雅可比矩陣也可以看做是操作空間中的速度與關(guān)節(jié)空間中速度的線性變換。dx/dt稱為末端在操作空間中的廣義速度，簡(jiǎn)稱操作速度，d/dt為關(guān)節(jié)速度?？梢钥闯?，雅可比矩陣的每一列表示其它關(guān)節(jié)不動(dòng)而某一關(guān)節(jié)以單位速度運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的末端速度。由可以看出，J陣的值隨末端位置的不同而不同，即1和2的改變會(huì)導(dǎo)致J的變化。對(duì)于關(guān)節(jié)空間的某些位姿，機(jī)械臂的雅可比矩陣的秩減少，這些位姿稱為機(jī)械臂的奇異位姿。上例機(jī)械臂雅可比矩陣的行列式為：，當(dāng)2=0°或2=180°時(shí)，機(jī)械臂的雅可比行列式為0，矩陣的秩為1，這時(shí)機(jī)械臂處于奇異位姿。機(jī)械臂在操

12、作空間的自由度將減少。如果機(jī)械臂的雅可比J是滿秩的方陣，相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度即可求出，即，上例平面2R機(jī)械臂的逆雅可比矩陣，顯然，當(dāng)2趨于0°（或180°）時(shí)，機(jī)械臂接近奇異位姿，相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度將趨于無窮大。為了補(bǔ)償機(jī)器人末端執(zhí)行器位姿與目標(biāo)物體之間的誤差，以及解決兩個(gè)不同坐標(biāo)系之間的微位移關(guān)系問題，需要討論機(jī)器人連桿在作微小運(yùn)動(dòng)時(shí)的位姿變化。假設(shè)一變換的元素是某個(gè)變量的函數(shù)，對(duì)該變換的微分就是該變換矩陣各元素對(duì)該變量的偏導(dǎo)數(shù)所組成的變換矩陣乘以該變量的微分。例如給定變換T為：若它的元素是變量x的函數(shù)，則變換T的微分為:下面討論機(jī)械臂的微分運(yùn)動(dòng)，設(shè)機(jī)械臂某一連桿相對(duì)于基坐標(biāo)系的位

13、姿為T，經(jīng)過微運(yùn)動(dòng)后該連桿相對(duì)基坐標(biāo)系的位姿變?yōu)門+dT，若這個(gè)微運(yùn)動(dòng)是相對(duì)于基坐標(biāo)系（靜系）進(jìn)行的(左乘)，總可以用微小的平移和旋轉(zhuǎn)來表示，即所以有根據(jù)齊次變換的對(duì)稱性，若微運(yùn)動(dòng)是相對(duì)某個(gè)連桿坐標(biāo)系i（動(dòng)系）進(jìn)行的(右乘)，則T+dT可以表示為所以有令為微分算子，則相對(duì)基系有dT=0T，相對(duì)i系有dT=Ti 。這里的下標(biāo)不同是由于微運(yùn)動(dòng)相對(duì)不同坐標(biāo)系進(jìn)行的。在機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)中微分變換分為微分平移和微分旋轉(zhuǎn)兩類。微分平移變換與一般平移變換一樣，其變換矩陣為:由于微分旋轉(zhuǎn)時(shí)0 ，所以sind，cos1將它們代入旋轉(zhuǎn)變換通式中得微分旋轉(zhuǎn)表達(dá)式:于是得到微分算子，即微分旋轉(zhuǎn)與有限旋轉(zhuǎn)相比，有一些特殊的

14、性質(zhì)，下面分別說明。（1）微分旋轉(zhuǎn)的無序性，當(dāng)0 時(shí)，有sind，cos1若令x=dx，y=dy，z=dz，則繞三個(gè)坐標(biāo)軸的微分旋轉(zhuǎn)矩陣分別為 略去2次項(xiàng)，得到兩者結(jié)果相同，可見這里左乘與右乘等效。結(jié)論：微分旋轉(zhuǎn)其結(jié)果與轉(zhuǎn)動(dòng)次序無關(guān)，這是與有限轉(zhuǎn)動(dòng)（一般旋轉(zhuǎn)）的一個(gè)重要區(qū)別。（2）微分旋轉(zhuǎn)的可加性，考慮兩個(gè)微分旋轉(zhuǎn)復(fù)合后的效果若Rot（x，y，z） 和Rot（x，y，z） 表示兩個(gè)不同的微分旋轉(zhuǎn)，則兩次連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)果為：上式表明：任意兩個(gè)微分旋轉(zhuǎn)的結(jié)果為繞每個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的元素的代數(shù)和，即微分旋轉(zhuǎn)是可加的。由等效轉(zhuǎn)軸和等效轉(zhuǎn)角與等效，有所以有kxd=x，   kyd=y

15、 ， kzd=z，將它們代入得可見，微分變換由兩個(gè)部分組成微分轉(zhuǎn)動(dòng)矢量，d微分平移矢量, 合稱為微分運(yùn)動(dòng)矢量，可表示為例：已知一個(gè)坐標(biāo)系 ，相對(duì)固定系的微分平移矢量d=1 0 0.5，微分旋轉(zhuǎn)矢量=0 0.1 0 ，求微分變換dA。下面討論兩坐標(biāo)系之間的微分關(guān)系，設(shè)第一個(gè)坐標(biāo)系為i系，第二個(gè)坐標(biāo)系為j系不失一般性，假定j系就是固定的0系。因?yàn)?，所以，整理得到對(duì)于任何三維矢量 p=px, py, pz,其反對(duì)稱矩陣s(p) 定義為：記上式簡(jiǎn)寫成 類似地，任意兩坐標(biāo)系A(chǔ)和B之間廣義速度的坐標(biāo)變換為：，例：已知一個(gè)坐標(biāo)系 ，相對(duì)固定系的微分平移矢量d=1 0 0.5，微分旋轉(zhuǎn)矢

16、量=0 0.1 0 ，求A系中等價(jià)的微分平移矢量dA和微分旋轉(zhuǎn)矢量A。解：將d=1 0 0.5 和=0 0.1 0 代入得到。4、機(jī)械臂軌跡規(guī)劃?rùn)C(jī)械臂的軌跡規(guī)劃可以在關(guān)節(jié)空間也可以在笛卡爾空間中進(jìn)行，或者說機(jī)械臂軌跡規(guī)劃是指在關(guān)節(jié)空間或者笛卡爾空間中研究機(jī)械臂軌跡生成方法。簡(jiǎn)言之，機(jī)械臂軌跡規(guī)劃是運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的實(shí)際應(yīng)用，它描述了機(jī)械臂在多維空間中的運(yùn)動(dòng)路線 。 在知道末端位姿的前提下，通過運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解得到各個(gè)關(guān)節(jié)在相應(yīng)時(shí)刻的轉(zhuǎn)動(dòng)量或者平移量，合理的規(guī)劃指的是規(guī)劃出的 角位移曲線、角速度曲線以及角加速度曲線，可以有效地減少了機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過程中的沖擊和振動(dòng)，使機(jī)械臂的工作壽命得以延長(zhǎng)。械臂可以分為點(diǎn)到

17、點(diǎn)作業(yè) (Point-to-Point Motion ) 和連續(xù)路徑作業(yè) (Continuous-Path Motion ) 。點(diǎn)到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)指的是機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過程中，只要求在某些點(diǎn)上有準(zhǔn)確的位置和姿態(tài)，相鄰的點(diǎn)不做要求。連續(xù)運(yùn)動(dòng)要求機(jī)械臂嚴(yán)格的沿特定的曲線運(yùn)動(dòng)。機(jī)械臂的關(guān)節(jié)角位移變化率比較小，能夠有效地防止了機(jī)械臂工作時(shí)的振動(dòng)和沖擊。機(jī)械臂關(guān)節(jié)角速度和角加速度變化均平順連續(xù)， 從而有效避免了機(jī)械部件的磨損，能夠保證整個(gè)機(jī)械臂系統(tǒng)的長(zhǎng)期、穩(wěn)定的運(yùn)行，滿足機(jī)械臂的工作要求。5、robotics工具箱中的相關(guān)函數(shù)link 建立一個(gè)連桿對(duì)象,例如對(duì)于本次競(jìng)賽的機(jī)械臂，根據(jù)連桿參數(shù)得到L1=link(p

18、i/2 0 0 120 0 0);L2=link(pi/2 0 0 0 0 0);L3=link(-pi/2 0 0 140.8 0 pi);L4=link(-pi/2 71.8 0 0 0 pi/2 );L5=link(+pi/2 71.8 0 0 0 pi);L6=link(-pi/2 0 0 0 0 pi/2);L7=link(0 0 0 129.6 0 0);robot 建立一個(gè)機(jī)械臂對(duì)象R= robot(L)noname (7 axis, RRRRRRR)grav = 0.00 0.00 9.81standard D&H parameters alphaAthetaDR/P1

19、.5708 0 120 R(std)1.5708. 00R(std)-1.57080140.8R(std)-1.570871.80R(std)1.570871.80R(std)-1.570800R(std)0 0129.6R(std)drivebot 用滑塊控制的機(jī)械臂圖形drivebot(R,ones(1,7)*pi)plot 機(jī)械臂的圖形顯示plot(R,pi/2 pi/2 0 0 0 0 0)fkine 串聯(lián)機(jī)械臂正向運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算tr =fkine (ROBOT, Q)ROBOT表示機(jī)械臂對(duì)象，Q機(jī)械臂關(guān)節(jié)坐標(biāo)值。tr =fkine (R, 0 0 0 pi/2 0 0 0)tr = 0.

20、0000 -0.0000 1.0000 129.6000 -0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 -1.0000 -0.0000 0.0000 -20.8000 0 0 0 1.0000ikine串聯(lián)機(jī)械臂逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算q = ikine(ROBOT, T)q = ikine(ROBOT, T, Q)q = ikine(ROBOT, T, Q, M)輸入變量ROBOT表示機(jī)械臂對(duì)象，T機(jī)械臂末端變換矩陣。輸出變量q機(jī)械臂關(guān)節(jié)的角度(單位是弧度)，一般來說逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的解不是唯一的，取決于初始值Q，缺省時(shí)是0向量。如果機(jī)械臂的自由度(DOF)小于6，由于解空間的維數(shù)大于機(jī)械臂的自

21、由度，這時(shí)需要第4個(gè)輸入量M來確定笛卡爾坐標(biāo)(手腕對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系)中的哪些量在求解中被忽略。M中有6個(gè)元素，分別表示沿著x,y,z方向的平移和相對(duì)于x軸，y軸，z軸的旋轉(zhuǎn)，值是0(忽略)或1。非零元素的個(gè)數(shù)應(yīng)該等于機(jī)械臂的自由度。例如，對(duì)典型的有5個(gè)自由度的機(jī)械臂，一般是忽略相對(duì)手腕坐標(biāo)的轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)M = 1 1 1 1 1 0。另外一種用法是qt = ikine(ROBOT, TG)qt = ikine (ROBOT, TG, Q)qt = ikine (ROBOT, TG, Q, M)輸入變量ROBOT表示機(jī)械臂對(duì)象，TG是4x4xN機(jī)械臂末端變換矩陣。輸出變量qt是一組(N個(gè))TG對(duì)應(yīng)的關(guān)

22、節(jié)坐標(biāo)。一行對(duì)應(yīng)一個(gè)輸入變換，每一步的初始值取上一步的值。求解使用機(jī)械臂Jacobian矩陣的偽逆，這是數(shù)值求解方法，對(duì)于特定機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解(如果可能)應(yīng)該盡量使用解析解。但是這種方法可以得到奇異點(diǎn)上的解，零空間中的關(guān)節(jié)角度可以任取。q=ikine(R,tr)q = 0.0000 0.0000 0.0000 0.7854 -0.0000 -0.7854 0.0000注意：對(duì)于機(jī)械臂末端的一個(gè)位置與姿態(tài)，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算不是唯一的，驗(yàn)證tr=fkine(R,q)tr = 0.0000 -0.0000 1.0000 129.6000 -0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 -1.

23、0000 -0.0000 0.0000 -20.8000 0 0 0 1.0000transl 計(jì)算平移變換tr= transl (X, Y, Z)返回機(jī)械臂末端坐標(biāo)X, Y, Z對(duì)應(yīng)的齊次表?yè)Q矩陣tr=transl(129.6,0,20.8)tr = 1.0000 0 0 129.6000 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 20.8000 0 0 0 1.0000X Y Z' = transl(T)返回齊次表?yè)Q表示中的平移值，作為一個(gè)3元素的列向量xyz=transl(tr)'xyz = 129.6000 0 20.8000ctraj 計(jì)算工作空間中兩點(diǎn)T0,T

24、1之間的軌跡 tc= ctraj(T0, T1, N) tc = ctraj(T0, T1, R)返回從T0到T1笛卡爾坐標(biāo)系的軌跡 TC N表示軌跡中的點(diǎn)數(shù)。在第1中情況下，軌跡中的點(diǎn)在T0到T1中等距離分配。在第2中情況下，向量R給出軌跡中每個(gè)點(diǎn)的距離，R中的元素取值為0 1。一個(gè)軌跡是4x4xN 矩陣，最后一個(gè)下標(biāo)表示點(diǎn)索引。旋轉(zhuǎn)插值使用四元球形線性插值。tr0=fkine(R,0 0 0 0 0 0 0)tr0 = 1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 108.

25、8000 0 0 0 1.0000tr1=fkine(R,pi/4 pi/6 0 pi/3 0 0 0)tr1 = 0.6124 -0.7071 0.3536 95.6008 0.6124 0.7071 0.3536 95.6008 -0.5000 -0.0000 0.8660 110.3005 0 0 0 1.0000tc(:,:,1) = 1.0000 0 0 -0.0000 0 1.0000 0 0.0000 0 0 1.0000 108.8000 0 0 0 1.0000tc(:,:,2) = 0.8976 -0.3822 0.2198 47.8004 0.3571 0.9226 0.

26、1458 47.8004 -0.2585 -0.0523 0.9646 109.5503 0 0 0 1.0000tc(:,:,3) = 0.6124 -0.7071 0.3536 95.6008 0.6124 0.7071 0.3536 95.6008 -0.5000 -0.0000 0.8660 110.3005 0 0 0 1.0000transl(tc)ans = -0.0000 0.0000 108.8000 47.8004 47.8004 109.5503 95.6008 95.6008 110.3005jtraj 計(jì)算關(guān)節(jié)中兩點(diǎn)Q0,Q1之間的軌跡 Q QD QDD = jtra

27、j(Q0, Q1, N) Q QD QDD = jtraj (Q0, Q1, N, QD0, QD1) Q QD QDD = jtraj (Q0, Q1, T) Q QD QDD = jtraj (Q0, Q1, T, QD0, QD1)軌跡中的點(diǎn)數(shù)是N，或者是一個(gè)時(shí)間向量T。插值使用7次多項(xiàng)式，邊界速度由QD0, QD1指定，缺省時(shí)邊界速度和加速度為0。q0=pi pi pi pi pi pi pi;q1=pi pi/2 0 0 0 pi/2 0;tr0=fkine(R,pi pi pi pi pi pi pi);tr1=fkine(R,pi pi/2 0 0 0 pi/2 0);QT,QD

28、,QDD=jtraj(q0,q1,30);figuresubplot(2,2,1),plot(R,QT)subplot(2,2,2),plot(QT),grid on,legend('q1','q2','q3','q4','q5','q6','q7','Location', 'NorthWest')subplot(2,2,3),plot(QD),grid onsubplot(2,2,4),plot(QDD),grid on%注意：其中有一些曲線重合ja

29、cob0 計(jì)算機(jī)械臂在基坐標(biāo)系中 Jacobian 矩陣J = jacob0(ROBOT, Q)tr2jac 計(jì)算機(jī)械臂在基坐標(biāo)系中 Jacobian 矩陣J = TR2JAC(T)diff2tr 微分表示轉(zhuǎn)換為齊次變換tr = diff2tr(D)返回表示微分平移與旋轉(zhuǎn)的齊次變換矩陣,矩陣中包含一個(gè)反對(duì)稱的旋轉(zhuǎn)子矩陣。tr2diff 轉(zhuǎn)換為齊次變換轉(zhuǎn)換為微分表示D =tr2diff(T)D = tr2diff(T1, T2)第一種形式將齊次表?yè)Q矩陣表示轉(zhuǎn)換為6-元素向量微分表示。第二種形式返回6-元素向量，表示從T1 到T2的在基坐標(biāo)系中需要的微分移動(dòng)。J = jacob0(R, q1)%

30、Jacobian and differential motion demonstration% A differential motion can be represented by a 6-element vector with elements% dx dy dz drx dry drz% where the first 3 elements are a differential translation, and the last 3 % are a differential rotation. When dealing with infinitisimal rotations, % th

31、e order becomes unimportant. The differential motion could be written % in terms of compounded transforms% transl(dx,dy,dz) * trotx(drx) * troty(dry) * trotz(drz)% but a more direct approach is to use the function diff2tr()D = .1 .2 0 -.2 .1 .1'diff2tr(D)T=fkine(R,q1)% then the differential motion in the second frame would be g