習題-量子力學

1、量子力學習題課一、波函數(shù)波粒二象性波函數(shù)模方概率密度疊加原理標準條件： 有限、單值、連續(xù)歸一化條件二、薛定諤方程含時Ht i定態(tài)HE定態(tài)波函數(shù)tEnnnrtrie )(),(非定態(tài)波函數(shù)),(trntEnnrie )(三、應用舉例一維無限深勢阱線性諧振子隧道效應（方勢壘）四、力學量與算符平均值對易角動量算符本征方程、本征值量子力學基本原理波函數(shù)薛定諤方程力學量的算符表示全同性原理五、氫原子六、自旋史蓋實驗自旋算符簡并度七、電子殼層結構泡利不相容原理能量最小原理能級高低順序殼層結構中被發(fā)現(xiàn)的概率。粒子在立體角元中被發(fā)現(xiàn)的概率；粒子在球殼，求：、用球坐標表示波函數(shù)ddsind)2()d,() 1

2、(),(1 rrrr解：) 1 (球坐標下體積元為dddsin2rrrr dddsin22002所求ddsind022rr所求)2(的平均值。和最大在何處找到粒子的概率粒子的概率密度分布；歸一化因子；，求：的狀態(tài)，其中，、設一維運動的粒子在2)4( ;)3()2() 1 (0)0(0)()0(e)(2xxxxxAxxx解：) 1 (1d)(2xx0222dexxAx查積分表，上述積分324A1432A歸一化因子為A32)2(2)(xxx223e4)0( x2)(x)0( x0)3(0d)(d2xx/10 xx或)4(xxxxd)(20233de4xxx232xxxxd)(220243de4xx

3、x23及物理意義。時，該概率的極限如何）（最大；為何值時，上述的概率）（率；寬度以內發(fā)現(xiàn)粒子的概）距勢阱內壁四分之一（，求：為阱中運動，能量量子數(shù)、粒子在一維無限深勢nnn3213解：) 1 (4/1Paananxxxx4/324/02d)(d)(aaaxaxnaxaxna4/324/02dsin2dsin223sin21412sin2141nnnn2sin121nn)2(n當4/1P時，為最大值；33121)3(時，當n4/1P21這時結果趨于經典，概率相等。粒子在阱內各處出現(xiàn)的級。函數(shù)，并求出所對應能為線性諧振子的定態(tài)波，試證：為、設線性諧振子的勢能)32(e3)(21433212222x

4、xxxx解：)()(21)(dd222222xExxxx0)(2)()(dd22422xExxxx)(dd22xx而)()7(222xx02)7(224222Exx E27為定態(tài)波函數(shù))(xE而)21( n n3能級的總能量。玻爾半徑繞核圓周運動以等于經典圖像中電子時，氫原子能量、證明：0115aEn 證：經典：)(0aE2e21m02041ae02eam而F20024ae)(0aE02081ae0a而2e204em)(0aE2204e)2(4em1E庫侖勢能的平均值。及，電子離核的平均距離、求氫原子處于基態(tài)時r6解： 1r02210drrRr0/2303de40rarar023apE0221

5、002d4rrRre0/23002de0rraear0024aeeV2 .27的原子基態(tài)電子排布。，溴，氬，、寫出硼)35Br()18Ar()5B(7ZZZ解：:B122p2s2s 1:Ar62622p3s3p2s2s 1:Br521062622p4s4d3p3s3p2s2s 1最大值位置。度，求電子徑向概率密、氫原子處于基態(tài))(810100rP解： n1l0m0)(10rP2102)(rRr0/2230e4arra)(dd10rPr0 01e80/2300ararar，00ar為所求。0ar 例例: : 一個電子沿一個電子沿 x 方向運動方向運動, , 速度大小速度大小 vx=500 m/s

6、, , 已知已知其精確度其精確度 0.010.01. .求測定電子坐標求測定電子坐標 x 所能到達的最大精確度所能到達的最大精確度. .解解: :, exmpm103 . 2105001011. 928. 610626. 6343134xexmpx若一個子彈若一個子彈, , 質量為質量為 10g, 10g, 具有同樣的速度大小和方向具有同樣的速度大小和方向, ,測量精度測量精度: :m101 . 21050001. 028. 61062. 631434xxmpxxpx例例 如果鈉原子所發(fā)出的黃色譜線如果鈉原子所發(fā)出的黃色譜線( =589nm)的自然寬度為的自然寬度為8106 . 1試問鈉原子相

7、應的激發(fā)態(tài)的平均壽命約為多少試問鈉原子相應的激發(fā)態(tài)的平均壽命約為多少?解解:光子能量光子能量已知自然寬度已知自然寬度光子能量不確定性光子能量不確定性,即為即為鈉原子激發(fā)態(tài)能級能量的不確定量鈉原子激發(fā)態(tài)能級能量的不確定量hchE8106 .12hcE由不確定關系由不確定關系2tE激發(fā)態(tài)的平均壽命約為激發(fā)態(tài)的平均壽命約為: schcEt9108 . 9422用不確定關系作粗略估算用不確定關系作粗略估算所以原子中電子的運動必須所以原子中電子的運動必須拋棄軌道拋棄軌道的概念的概念, , 例例 牛頓力學，氫原子中的電子的軌道運動牛頓力學，氫原子中的電子的軌道運動,速度約速度約106m/s， 而用而用電子

8、云電子云圖象（說明電子在空間的概率分布）圖象（說明電子在空間的概率分布）xmxm/s102 . 1101011. 91005. 16103134電子的速度與速度的不確定度有相同的數(shù)量級，波動性電子的速度與速度的不確定度有相同的數(shù)量級，波動性十分顯著。十分顯著。1.1.動量動量p p4202242cmcpcm20222EcpE或或cEEp2022.2.動能動能kE0EEEk0EEEkcEEEkk022ccmEEkk202202022EEcpEk3.3.波長波長 ph 2022cmEEhckk微觀粒子動量微觀粒子動量p p、動能、動能 和波長和波長 的計算的計算kE 時時當當20cmEkkEmh0

9、2 時時當當20cmEkkEhc 2042022cmcmcp補充：補充：時時當當20cmEk為低速粒子為低速粒子2400.51151.1*10m cMeVeV例如電子：動能低于動能低于幾萬電子伏特幾萬電子伏特的電子可以看作低速粒子，的電子可以看作低速粒子，可以不考慮相對論效應可以不考慮相對論效應J141018. 8022mpEkkEmp02kEmh02 eUmh02202cmmcEk220mccmEk時時當當20cmEk220mccmmm 02201cmm c 例例 一束帶電粒子經一束帶電粒子經 206V 電壓加速后，測得其德布羅電壓加速后，測得其德布羅意波長為意波長為 2.0 pm。已知粒子

10、所帶電量與電子相等，試求這粒子的。已知粒子所帶電量與電子相等，試求這粒子的質量。質量。) 1 (hmvp粒子動能粒子動能) 2(212eUmvEk（1），（），（2） 聯(lián)立，解得聯(lián)立，解得234221221927(6.63 10)22(2.010)1.60102061.6710()hmeUkg 解解: （忽略相對論效應）（忽略相對論效應） 粒子動量為粒子動量為例例. .設一粒子沿設一粒子沿x方向運動，其波函數(shù)方向運動，其波函數(shù)為為( )1xCix（1 1）由歸一化條件定出常數(shù)）由歸一化條件定出常數(shù)C。 （2 2）求出此粒子按坐標的概率密度分布函）求出此粒子按坐標的概率密度分布函數(shù)；數(shù)；（3 3

11、）在何處找到粒子的概率最大？）在何處找到粒子的概率最大？ 解解 （1 1）由歸一化條件求）由歸一化條件求C由由 1dx 211( )11ixxCCixx211ixCx2222222211arctan(1)1xdxCdxCdxCxCxx 得得 1C21C由由 得到得到 （2 2） 粒子按坐標的概率分布函數(shù)粒子按坐標的概率分布函數(shù)21( )(1)xx ( )1x（3 3）由上式可知，當）由上式可知，當 x = 0 時時 最大最大, ,其值為其值為 ( )x例例:設粒子處在設粒子處在0,a范圍內的一維無限深方勢阱中范圍內的一維無限深方勢阱中,波函數(shù)波函數(shù)為為 24sincosxxxaaa試求粒子試求

12、粒子能量能量的的可能可能測量測量值值及相應的及相應的概率概率.解解:能量本征值能量本征值2222,1,2,32nnEnma本征函數(shù)本征函數(shù) 2sin, 0nn xxxaaa題中所給波函數(shù)為本征函數(shù)的線性組合題中所給波函數(shù)為本征函數(shù)的線性組合,做變換如下做變換如下:測量能量為測量能量為22122Ema223292Ema其概率為其概率為其概率為其概率為2112c2312c 24sincos2xxxaa22sin(1 cos)xxaaa22 13()sin(sinsin)2xxxaaaaa1223sinsin2xxaaaa 1133131,2cxcxcc式中例例1: 求線性諧振子在第一激發(fā)態(tài)時求線性

13、諧振子在第一激發(fā)態(tài)時, 概率最大的位置概率最大的位置.解解: 第一激發(fā)態(tài)波函數(shù)為第一激發(fā)態(tài)波函數(shù)為 mxHHeA,2,112112令令 021dd12,30(,1 可得二階導數(shù)大于0，舍去）10 xm因此有mx0!2 nAnn其中例例. .粒子在一維無限深勢井中運動粒子在一維無限深勢井中運動, ,其波函數(shù)為其波函數(shù)為 2sin000nn xxxaaaxxa或計算動量和動能的平均值。計算動量和動能的平均值。解解：動量算符為：動量算符為 xpix 動量的平均值為動量的平均值為 *nn0n0n2sinsind2sinds0dcodaaxxpx pn xn xixaaxann xn xixaaaaxx

14、xixxx 動能算符為動能算符為 222222xpTmm x 動能的平均值為動能的平均值為 222022222*n22220nnn2sinsindsindd2d2aan xn xxmaaxann xnxmTx Txxxxaaamaxm x 例例 .原子內的量子態(tài)由原子內的量子態(tài)由n, l, ml, 及及 ms 四個量四個量子數(shù)表征。子數(shù)表征。當當 n, l, ml 一定時，不同的量子態(tài)數(shù)目為一定時，不同的量子態(tài)數(shù)目為；當當 n, l, 一定時，不同的量子態(tài)數(shù)目為一定時，不同的量子態(tài)數(shù)目為；當當 n 一定時，不同的量子態(tài)數(shù)目為一定時，不同的量子態(tài)數(shù)目為。22 ( 2l+1 )2102)12(2n

15、lnl例例 多電子原子中，多電子原子中， 電子的排列遵循電子的排列遵循原理和原理和原理。原理。泡利不相容泡利不相容能量最小能量最小 例例 在氫原子的在氫原子的 L 殼層中，殼層中， 電子可能具有的量子數(shù)電子可能具有的量子數(shù) （n , l ,ml , ms ） 是是.)21, 1, 1, 3()(;)21, 1,0,2()();21, 1, 1,2()(;)21,0,0, 1 ()(DCBA答案：答案： L 殼層殼層 n=2 , （B）例例 氬原子氬原子 （ z=18） 原子基態(tài)的電子組態(tài)是原子基態(tài)的電子組態(tài)是.333221)(;33221)(;3221)(;321)(242622626228622882dpspssDpspssCdpssBpssA答案答案 ： (C) 例例. .鋰鋰 (Z=3) 原子中含有三個電子，電子的量子態(tài)可用原子中含有三個電子，電子的量子態(tài)可用 （n, l , ml , ms ）四個量子數(shù)來描述，若已知其中一）四個量子數(shù)來描述，若已知其中一 個的量子態(tài)為個的量子態(tài)為 （1， 0， 0， 1/2 ），則其余兩個電），則其余兩個電 子的