數學教學應重點關注的若干過程

1、數學教學應重點關注的若干過程山東沂南教育局（276399） 李樹臣【山東教育2014第9期】義務教育數學課程標準（2011年版）（以下簡稱課標2011年版）在“教學建議”中指出“數學教學應引導學生通過實踐、思考、探索、交流等，獲得數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，促使學生主動地、富有個性地學習,不斷提高發(fā)現問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力。”由此可見，學生進行進行數學活動是提高其數學能力的根本條件。在教學中究竟應關注哪些數學活動過程？筆者經過長時間的思考與探索認為，這些活動過程至少包括以下幾個：一、概念的建立過程數學概念是揭示現實世界空間形式與數量關系本質屬性的思

2、維形式，是數學知識的核心，是數學思想方法的載體，是分析、判斷、歸納與推理的重要依據，從這個意義上講“數學在本質上是玩概念的，不是玩技巧的”。數學中的各種基本概念，都是以各自相應的現實原型作為背景而抽象出來的。因此，在概念教學中，我們應把重點放在概念的概括過程上。數學概念的獲得有兩種基本形式：一種是從大量具體例子出發(fā)，從學生實際經驗的肯定例證中，以歸納的方法概括出一類事物的本質屬性，這種獲得概念的方式稱為概念形成；另一種是向學生展示定義，利用原有認知結構中的有關知識理解新概念，這種方式稱為概念同化。概念形成主要依賴的是對具體事物的抽象概括，而概念同化主要依賴的是學生對經驗的概括和新舊知識的聯(lián)系，

3、無論哪種方式都與學生的“活動”密切相關。對于一些抽象數學概念的教學，要關注它的實際背景與形成過程，充分把概念形成的全過程展現給學生。這樣可幫助學生理解概念的來龍去脈，在經歷它形成的過程中加深對概念的理解，這種“過程化”的教學能使學生的記憶深刻、理解到位、應用靈活。案例1：“二元一次方程”概念的建立過程。在“二元一次方程”概念的建立過程中，筆者是分三步進行的：第一步，創(chuàng)設問題情境：雄偉的長城是中華民族的象征。據有關資料，長城西起嘉峪關，東至遼東虎山，全長約7300千米，其中西段從嘉峪關到山海關，東段從山海關到遼東虎山，西段比東段長約6100千米。長城的東、西段各長約多少千米？第二步，提出以下四個

4、小問題引導學生進行思考與探索：（1）哪些量是已知量？哪些量是未知量？（2）有哪些等量關系？（3）你能列一元一次方程來解這個問題嗎？（4）在這個問題中有兩個未知數。如果分別設長城東段的長為x千米，西段的長為y千米，那么長城的全長可以用含有未知數x，y的代數式表示為 ；西段比東段長 。學生在思考第（4）個問題的同時，很容易得到下面的兩個方程：x+y=7300；y-x=6100。第三步，引導學生觀察上面兩個方程有什么特點？并相互交流自己的看法。教師對它們的共同特點進行概括描述。在學生回答的基礎上，組織他們交流，直至概況出它們的本質特點含有兩個未知數，并且每個未知數的次數都是1。這是適時的給出二元一次

5、方程的定義。學生在思考、回答、交流以上問題的同時，就經歷了“二元一次方程”的建立過程，還能認識到二元一次方程這個概念是在解決實際問題的過程中產生的。這樣設計有利于幫助學生形成“數學來源于生活又服務于生活”的意識。二、定理或性質的探索發(fā)現過程對于定理、性質、運算律、公式等知識的學習，應從學生已有的認知發(fā)展水平和已有的經驗出發(fā)，遵循“由特殊到一般”的規(guī)律，結合具體的學習內容，精心設計一系列的問題，引導學生圍繞這些問題進行實驗、觀察、分析、綜合、計算、推理、判斷等數學活動，在活動的過程中自主發(fā)現知識，從而得到有關的結論。案例2：勾股定理的發(fā)現過程。勾股定理不僅有著廣泛的應用，還導致了無理數的產生，勾

6、股定理及無理數的發(fā)現都是人類文化遺產中寶貴的一部分。對于這個定理，我們可以用下面的問題引導學生進行實驗探究：（1）用硬紙板剪8個圖1所示的同樣大小的直角三角形，設直角三角形的直角邊分別為a和b，斜邊為c；（2）如圖2和3所示，在白紙上畫出兩個邊長均為（a+b）的正方形；（3）如圖2所示，將已經剪出的4個直角三角形，擺放在第一個正方形內；（4）如圖3所示，將另外的4個直角三角形，擺放在第二個正方形內。ABCabc圖1ababaabbc圖3abab圖2觀察圖2與圖3中三個小正方形，的面積之間有什么關系？同學們都能得到下面的結論：a2+b2=c2。這個結論就是通常所說的勾股定理。顯然，這個定理是同學

7、們通過實驗操作自己發(fā)現的。而且在探索的過程中，還受到數形結合思想的熏陶，獲得了數學活動的經驗。其逆定理也可以通過實驗操作由學生自己發(fā)現。學習數學的最好方法是做數學。因為學生在經歷有關數學活動過程的同時，不僅能發(fā)現有關的數學知識，從中領悟到這些知識的形成過程，增強學習的主動性，而且還能發(fā)展其合情推理能力和初步的演繹推理能力，有條理地、清晰地闡述自己的觀點。三、展現解題思維的過程有些老師在解題教學中往往按照“成熟”的思路進行，不注意引導學生經歷觀察問題、發(fā)現問題、提出問題、探究和解決問題的完整過程，刪掉了從問題到結論和方法之間的探索過程。這樣的教學掩蓋、湮沒了數學發(fā)現、數學創(chuàng)造、數學真實應用的思維

8、活動過程。導致“學生只知其然，不知其所以然?！闭鐚W生所反映的那樣，我們的老師“列方程總是胸有成竹，添設輔助線總是馬到成功，演算證明總是簡捷而又靈活”，“我們是一聽就懂，一做就錯(或不會)”。長此以往，學生學到的只能是死的數學知識，他們不能用數學思想和方法去觀察、發(fā)現、分析、猜想數學結論，不能真正理解和領悟解題的實質，學習效率低下。為促進學生數學思維能力的發(fā)展，培養(yǎng)其探索、發(fā)現、創(chuàng)新等能力，在解題教學中，應把重點放在引導學生對解題思路的探索過程、解題方法和規(guī)律的概括過程上。因為思考過程本身在很大程度上，就體現了這個數學問題當初被發(fā)現的過程。解題教學中要注意使學生獨立思考，標新立異，學會怎樣分析

9、、怎樣判斷、怎樣推理、怎樣發(fā)現、怎樣解決問題。對于這些問題，教師不僅要按思考成熟的方法講解，還要把自己猜測的心理活動坦率地告訴學生，這樣做必將有利于學生的想象能力、直覺思維能力的培養(yǎng)和靈感的產生。關于解題思維的展現過程，筆者認為，按波里亞的“解題表”進行是非常行之有效的，具體說來，可分為以下四個步驟：（1）弄清問題我們拿到一個問題，應首先弄清它的條件和結論。所謂弄清條件，是指羅列明顯條件；挖掘條件；弄清條件的等價說法；把條件作適合解題需要的轉換。所謂弄清結論，是指羅列解題目標；分析多目標之間的層次關系；弄清目標的等價說法；追求目標成立的充分條件。然后弄清它的結構，判明題型。案例3：設AD是AB

10、C的一條中線，BC=a，AC=b，AB=c。acbABDFC圖4求證：AD2=（b2+c2）a2。弄清問題：對照圖4，明確它是證明題。已知的條件是：ABC是任意三角形，AD是BC邊上的中線，BC=a，AC=b，AB=c。目標是證明BC邊上的中線AD和三條邊之間存在下面的關系：AD2=（b2+c2）a2。（2）探索解法，擬訂計劃在搞清楚問題之后，我們必須弄清已知條件和結論之間的聯(lián)系，從而探索解題途徑，這是整個解題過程的中心環(huán)節(jié)。為了得到問題的解法，應該制定一個計劃。上例的計劃是：目標的特點非常突出，是中線和三邊的平方之間的關系。哪些知識與邊的平方有聯(lián)系呢？這就想到了勾股定理。要使用勾股定理，只要

11、作輔助線AFBC，出現直角三角形就可以了。在RtABF和RtADF中，由勾股定理得c2-（a+DF）2=AD2DF2 （1）同理在RtACF和RtADF中有b2-（a-DF）2=AD2-DF2 （2）根據以上分析，擬訂解題計劃如下：做輔助線AFBC；建立關系式（1）和（2）；消去DF，整理成目標的形式。（3）整理敘述，實行計劃探索到解法之后，要認真的加以整理，用確切的數學語言將解題過程表述出來。在表述的過程中要求層次分明，條理清楚，文字精煉，格式規(guī)范，合乎邏輯，并仔細檢查每一步驟。實行計劃時分兩種情況：當ABAC時，不妨設ABAC。作AFBC，交BC于F。在RtABF和RtADF中，由勾股定理

12、得：AF2=AB2BF2=c2-（a+DF）2，AF2=AD2DF2，c2-（a+DF）2=AD2DF2。同理在RtACF和RtADF中，可得b2-（a-DF）2=AD2DF2，消去DF，整理得AD2=（b2+c2）-a2。當AB=AC時，ADBC，在RtABD中，AD2=AB2BD2。即AD2=c2-（a）2=（b2+c2）-a2。（4）回顧，檢查驗算這是解題的最后一個環(huán)節(jié)，檢查驗算主要是看結果是否正確，推理是否合乎邏輯，步驟是否完整，以便及時查缺補漏，糾正錯誤?；仡櫳侠阂驗槭亲C明題，所以只需保證推理的正確性就行了，從推理的每一步看，依據都充分，從討論上看，未遺漏情況，所以證明是正確的。教

13、師在解題教學中，應把重點放在引導學生探索解法上，在探索到解法后，再鼓勵學生相互討論、交流等活動。長期堅持這樣的訓練，學生的解題能力必將得到極大的提高。千萬不要直接講解，否則，就會出現“學生學的快，忘得更快”的現象。四、綜合實踐活動的過程“綜合與實踐”反映了數學課程與教學改革的要求，也向學生提供了一種實踐性、探索性和研究性學習的課程渠道。它溝通了生活中的數學與課堂上的數學的聯(lián)系，使學生在學習過程中接觸到一些有研究和探索價值的題材和方法成為可能。它是一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動。它具有現實性、問題性、實踐性、綜合性和探索性等特點。是幫助學生積累數學活動經驗、培養(yǎng)應用意識與創(chuàng)新意識

14、的重要途徑。針對問題情境，學生綜合運用所學的知識和生活經驗，獨立思考或與他人合作，經歷發(fā)現和提出問題、分析和解決問題的全過程，感悟數學各部分內容之間、數學與生活實際之間、數學與其他學科之間的聯(lián)系，加深對所學內容的理解。所以說，有針對性的開展綜合與實踐活動有益于提高學生的綜合能力。案例4：蜘蛛怎樣爬最近。有一個正方體硬紙盒，其棱長為a，一只蜘蛛在點A1處發(fā)現頂點C處有一只蒼蠅（如圖5），向急速抓住它，可是蜘蛛只能在立體表面行走。（1）蜘蛛從A1到C有無數條線路，它應如何走才是最短路線？（2）如果沿此路線走，需要走的路程是多少？（3）如果這是一個長方體紙盒，棱長分別為a、b、c且abc，情況又如何

15、？圖5A1C圖6A1CA1析解：（1）蜘蛛從正方體的頂點A1到頂點C有無數條線路，而最短的路線應把正方體沿某條棱展開后，從A1到C的最短距離。（2）由圖6可知，最短距離為：。（3）蜘蛛從長方體的頂點A1到頂點C有無數條線路，而最短的路線應把長方體沿某條棱展開后，從A1到C的最短距離。長方體展開的方法有三種情況：如圖7，把側面A1D1DA沿棱AD展開，是它與面ABCD重合，此時，最短距離應該是長方形A1BCD1的對角線A1C的長，A1B=a+b，BC=b，所以A1C2=(a+c)2+b2=a2+b2+c2+2ac。如圖8，把側面A1B1BA沿棱AB展開，是它與面ABCD重合，此時，最短距離應該是

16、長方形A1B1CD的對角線A1C的長，所以A1C2=(b+c)2+a2=a2+b2+c2+2bc。如圖9，把側面A1B1BA沿棱BB1展開，是它與面B1C1CB重合，此時，最短距離應該是長方形A1BCD1的對角線A1C的長，所以A1C2=(a+b)2+c2=a2+b2+c2+2ab。圖7A1B1C1CBA1AD1D圖8A1B1C1CBA1ADB1圖9A1B1C1CBAADA1要判斷的大小，只要比較ac、bc、ab三個數的大小即可。因為ab，所以acbc，又因為bc，所以abacbc因此，圖8所示的展開方法中的距離最短。類似這樣的問題來自于課本知識與現實生活的結合，對于培養(yǎng)學生發(fā)現問題、提出問題

17、、分析問題、解決問題的能力有積極的教育教學價值。進行綜合實踐活動的教學，既是對教師教學觀念和教學能力的挑戰(zhàn)，也是培養(yǎng)學生創(chuàng)造精神和實踐能力的重要途徑。通過實踐活動，能引發(fā)學生學習數學的興趣，培養(yǎng)學生在開放性的環(huán)境中搜集和整理數據的能力；能讓學生在實踐活動中學會溝通與合作，鍛煉其表達、交流等社交能力，促進他們全面發(fā)展。五、建立數學模型的過程仔細研究課標2011年版規(guī)定的課程內容可以發(fā)現，其中的絕大部分內容本身就是一個數學模型。例如，正、負數是表示“具有相反意義的量”的數學模型；有理數的加法法則是借助于數軸模型探索得到的；分式是表示兩個整式相除的數學模型；方程及不等式都是在已知數和未知數之間建立的

18、一個數學模型；函數是表示兩個集合之間對應關系的一個數學模型；三角形全等是描述圖形重合的數學模型；相似形則是表示形狀相同的數學模型；400個同學的學校里一定有兩個同學是同一天出生的數學模型叫做抽貼原理；轉盤游戲的評判與設計的關鍵就是建立概率模型；測量不可到達的兩點之間的距離，就是通過建立數學模型解決實際問題的典型例子。從這個意義上來說，數學教學實際上就是教給學生前人構建的一個一個的數學模型，逐步形成數學模型思想的過程。課標2011年版指出“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。”模型思想是在數學建模的過程中逐漸形成的，因此，數學教學要結合具體的內容充分體現“問題情境建立模型

19、求解驗證”的過程。案例5：通話費用知多少？打國內長途電話，可以撥普通電話，也可以撥電話，某市的計費標準是：計費標準市話接入IP長途電話0.03元/分前3分0.22元/次以后每分鐘計費一次0.11元普通長途電話0.07元/6秒不收費問題：小亮給北京的叔叔打長途電話，小瑩給上海的阿姨打普通長途忙亂。雖然小亮比小瑩多打了1分鐘，但是小亮的通話費卻比小瑩少了2.60元。小亮和小瑩的通話時間各是多少分？【說明】這個問題就是考查學生通過建立數學方程組模型解答實際問題的能力。為降低難度，我們可以設計下面兩個小問題引導學生建立模型：1、如果你打的是IP長途電話：你打了4分鐘應付通話費 元；如果你打了x分鐘，你

20、應付通話費 元；2、如果你打的是普通長途電話：你打1分鐘，應付通話費 元，如果你打了y分鐘又應付通話費 元。學生在解答以上兩個問題的基礎上很容易建立模型：設小亮和小瑩的通話時間分別為x分和y分，那么小亮的通話費是0.30x+0.22+0.11（x-3）=0.41x-0.11（元），小瑩的通話費是0.0760y/6=0.7y（元），根據題意，得（后面的解答省略）。數學建模教學本身是一個不斷探索、創(chuàng)新、完善和提高的過程，我們廣大的教師應不斷研究新情況、新問題，努力幫助學生理解并掌握以下幾種重要的數學模型：（1）方程（組）模型；（2）不等式（組）模型；（3）函數模型；（4）幾何模型（或三角模型）；（5）統(tǒng)計模型；（6）概率模型等。學生在用上述模型解答實際問題的過程中，能體驗到數學與日常生活及其它學科的聯(lián)系，感受到數學的實用價值，增強數學的