數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注的若干過程

1、數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注的若干過程山東沂南教育局（276399） 李樹臣【山東教育2014第9期】義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）（以下簡(jiǎn)稱課標(biāo)2011年版）在“教學(xué)建議”中指出“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐、思考、探索、交流等，獲得數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促使學(xué)生主動(dòng)地、富有個(gè)性地學(xué)習(xí),不斷提高發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力?！庇纱丝梢?，學(xué)生進(jìn)行進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)是提高其數(shù)學(xué)能力的根本條件。在教學(xué)中究竟應(yīng)關(guān)注哪些數(shù)學(xué)活動(dòng)過程？筆者經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的思考與探索認(rèn)為，這些活動(dòng)過程至少包括以下幾個(gè)：一、概念的建立過程數(shù)學(xué)概念是揭示現(xiàn)實(shí)世界空間形式與數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思

2、維形式，是數(shù)學(xué)知識(shí)的核心，是數(shù)學(xué)思想方法的載體，是分析、判斷、歸納與推理的重要依據(jù)，從這個(gè)意義上講“數(shù)學(xué)在本質(zhì)上是玩概念的，不是玩技巧的”。數(shù)學(xué)中的各種基本概念，都是以各自相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)原型作為背景而抽象出來的。因此，在概念教學(xué)中，我們應(yīng)把重點(diǎn)放在概念的概括過程上。數(shù)學(xué)概念的獲得有兩種基本形式：一種是從大量具體例子出發(fā)，從學(xué)生實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的肯定例證中，以歸納的方法概括出一類事物的本質(zhì)屬性，這種獲得概念的方式稱為概念形成；另一種是向?qū)W生展示定義，利用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)理解新概念，這種方式稱為概念同化。概念形成主要依賴的是對(duì)具體事物的抽象概括，而概念同化主要依賴的是學(xué)生對(duì)經(jīng)驗(yàn)的概括和新舊知識(shí)的聯(lián)系，

3、無論哪種方式都與學(xué)生的“活動(dòng)”密切相關(guān)。對(duì)于一些抽象數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要關(guān)注它的實(shí)際背景與形成過程，充分把概念形成的全過程展現(xiàn)給學(xué)生。這樣可幫助學(xué)生理解概念的來龍去脈，在經(jīng)歷它形成的過程中加深對(duì)概念的理解，這種“過程化”的教學(xué)能使學(xué)生的記憶深刻、理解到位、應(yīng)用靈活。案例1：“二元一次方程”概念的建立過程。在“二元一次方程”概念的建立過程中，筆者是分三步進(jìn)行的：第一步，創(chuàng)設(shè)問題情境：雄偉的長(zhǎng)城是中華民族的象征。據(jù)有關(guān)資料，長(zhǎng)城西起嘉峪關(guān)，東至遼東虎山，全長(zhǎng)約7300千米，其中西段從嘉峪關(guān)到山海關(guān)，東段從山海關(guān)到遼東虎山，西段比東段長(zhǎng)約6100千米。長(zhǎng)城的東、西段各長(zhǎng)約多少千米？第二步，提出以下四個(gè)

4、小問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考與探索：（1）哪些量是已知量？哪些量是未知量？（2）有哪些等量關(guān)系？（3）你能列一元一次方程來解這個(gè)問題嗎？（4）在這個(gè)問題中有兩個(gè)未知數(shù)。如果分別設(shè)長(zhǎng)城東段的長(zhǎng)為x千米，西段的長(zhǎng)為y千米，那么長(zhǎng)城的全長(zhǎng)可以用含有未知數(shù)x，y的代數(shù)式表示為 ；西段比東段長(zhǎng) 。學(xué)生在思考第（4）個(gè)問題的同時(shí)，很容易得到下面的兩個(gè)方程：x+y=7300；y-x=6100。第三步，引導(dǎo)學(xué)生觀察上面兩個(gè)方程有什么特點(diǎn)？并相互交流自己的看法。教師對(duì)它們的共同特點(diǎn)進(jìn)行概括描述。在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，組織他們交流，直至概況出它們的本質(zhì)特點(diǎn)含有兩個(gè)未知數(shù)，并且每個(gè)未知數(shù)的次數(shù)都是1。這是適時(shí)的給出二元一次

5、方程的定義。學(xué)生在思考、回答、交流以上問題的同時(shí)，就經(jīng)歷了“二元一次方程”的建立過程，還能認(rèn)識(shí)到二元一次方程這個(gè)概念是在解決實(shí)際問題的過程中產(chǎn)生的。這樣設(shè)計(jì)有利于幫助學(xué)生形成“數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活”的意識(shí)。二、定理或性質(zhì)的探索發(fā)現(xiàn)過程對(duì)于定理、性質(zhì)、運(yùn)算律、公式等知識(shí)的學(xué)習(xí)，應(yīng)從學(xué)生已有的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，遵循“由特殊到一般”的規(guī)律，結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，精心設(shè)計(jì)一系列的問題，引導(dǎo)學(xué)生圍繞這些問題進(jìn)行實(shí)驗(yàn)、觀察、分析、綜合、計(jì)算、推理、判斷等數(shù)學(xué)活動(dòng)，在活動(dòng)的過程中自主發(fā)現(xiàn)知識(shí)，從而得到有關(guān)的結(jié)論。案例2：勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程。勾股定理不僅有著廣泛的應(yīng)用，還導(dǎo)致了無理數(shù)的產(chǎn)生，勾

6、股定理及無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)都是人類文化遺產(chǎn)中寶貴的一部分。對(duì)于這個(gè)定理，我們可以用下面的問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究：（1）用硬紙板剪8個(gè)圖1所示的同樣大小的直角三角形，設(shè)直角三角形的直角邊分別為a和b，斜邊為c；（2）如圖2和3所示，在白紙上畫出兩個(gè)邊長(zhǎng)均為（a+b）的正方形；（3）如圖2所示，將已經(jīng)剪出的4個(gè)直角三角形，擺放在第一個(gè)正方形內(nèi)；（4）如圖3所示，將另外的4個(gè)直角三角形，擺放在第二個(gè)正方形內(nèi)。ABCabc圖1ababaabbc圖3abab圖2觀察圖2與圖3中三個(gè)小正方形，的面積之間有什么關(guān)系？同學(xué)們都能得到下面的結(jié)論：a2+b2=c2。這個(gè)結(jié)論就是通常所說的勾股定理。顯然，這個(gè)定理是同學(xué)

7、們通過實(shí)驗(yàn)操作自己發(fā)現(xiàn)的。而且在探索的過程中，還受到數(shù)形結(jié)合思想的熏陶，獲得了數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。其逆定理也可以通過實(shí)驗(yàn)操作由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最好方法是做數(shù)學(xué)。因?yàn)閷W(xué)生在經(jīng)歷有關(guān)數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的同時(shí)，不僅能發(fā)現(xiàn)有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，從中領(lǐng)悟到這些知識(shí)的形成過程，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，而且還能發(fā)展其合情推理能力和初步的演繹推理能力，有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)。三、展現(xiàn)解題思維的過程有些老師在解題教學(xué)中往往按照“成熟”的思路進(jìn)行，不注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、探究和解決問題的完整過程，刪掉了從問題到結(jié)論和方法之間的探索過程。這樣的教學(xué)掩蓋、湮沒了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)創(chuàng)造、數(shù)學(xué)真實(shí)應(yīng)用的思維

8、活動(dòng)過程。導(dǎo)致“學(xué)生只知其然，不知其所以然?！闭鐚W(xué)生所反映的那樣，我們的老師“列方程總是胸有成竹，添設(shè)輔助線總是馬到成功，演算證明總是簡(jiǎn)捷而又靈活”，“我們是一聽就懂，一做就錯(cuò)(或不會(huì))”。長(zhǎng)此以往，學(xué)生學(xué)到的只能是死的數(shù)學(xué)知識(shí)，他們不能用數(shù)學(xué)思想和方法去觀察、發(fā)現(xiàn)、分析、猜想數(shù)學(xué)結(jié)論，不能真正理解和領(lǐng)悟解題的實(shí)質(zhì)，學(xué)習(xí)效率低下。為促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展，培養(yǎng)其探索、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新等能力，在解題教學(xué)中，應(yīng)把重點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題思路的探索過程、解題方法和規(guī)律的概括過程上。因?yàn)樗伎歼^程本身在很大程度上，就體現(xiàn)了這個(gè)數(shù)學(xué)問題當(dāng)初被發(fā)現(xiàn)的過程。解題教學(xué)中要注意使學(xué)生獨(dú)立思考，標(biāo)新立異，學(xué)會(huì)怎樣分析

9、、怎樣判斷、怎樣推理、怎樣發(fā)現(xiàn)、怎樣解決問題。對(duì)于這些問題，教師不僅要按思考成熟的方法講解，還要把自己猜測(cè)的心理活動(dòng)坦率地告訴學(xué)生，這樣做必將有利于學(xué)生的想象能力、直覺思維能力的培養(yǎng)和靈感的產(chǎn)生。關(guān)于解題思維的展現(xiàn)過程，筆者認(rèn)為，按波里亞的“解題表”進(jìn)行是非常行之有效的，具體說來，可分為以下四個(gè)步驟：（1）弄清問題我們拿到一個(gè)問題，應(yīng)首先弄清它的條件和結(jié)論。所謂弄清條件，是指羅列明顯條件；挖掘條件；弄清條件的等價(jià)說法；把條件作適合解題需要的轉(zhuǎn)換。所謂弄清結(jié)論，是指羅列解題目標(biāo)；分析多目標(biāo)之間的層次關(guān)系；弄清目標(biāo)的等價(jià)說法；追求目標(biāo)成立的充分條件。然后弄清它的結(jié)構(gòu)，判明題型。案例3：設(shè)AD是AB

10、C的一條中線，BC=a，AC=b，AB=c。acbABDFC圖4求證：AD2=（b2+c2）a2。弄清問題：對(duì)照?qǐng)D4，明確它是證明題。已知的條件是：ABC是任意三角形，AD是BC邊上的中線，BC=a，AC=b，AB=c。目標(biāo)是證明BC邊上的中線AD和三條邊之間存在下面的關(guān)系：AD2=（b2+c2）a2。（2）探索解法，擬訂計(jì)劃在搞清楚問題之后，我們必須弄清已知條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，從而探索解題途徑，這是整個(gè)解題過程的中心環(huán)節(jié)。為了得到問題的解法，應(yīng)該制定一個(gè)計(jì)劃。上例的計(jì)劃是：目標(biāo)的特點(diǎn)非常突出，是中線和三邊的平方之間的關(guān)系。哪些知識(shí)與邊的平方有聯(lián)系呢？這就想到了勾股定理。要使用勾股定理，只要

11、作輔助線AFBC，出現(xiàn)直角三角形就可以了。在RtABF和RtADF中，由勾股定理得c2-（a+DF）2=AD2DF2 （1）同理在RtACF和RtADF中有b2-（a-DF）2=AD2-DF2 （2）根據(jù)以上分析，擬訂解題計(jì)劃如下：做輔助線AFBC；建立關(guān)系式（1）和（2）；消去DF，整理成目標(biāo)的形式。（3）整理敘述，實(shí)行計(jì)劃探索到解法之后，要認(rèn)真的加以整理，用確切的數(shù)學(xué)語(yǔ)言將解題過程表述出來。在表述的過程中要求層次分明，條理清楚，文字精煉，格式規(guī)范，合乎邏輯，并仔細(xì)檢查每一步驟。實(shí)行計(jì)劃時(shí)分兩種情況：當(dāng)ABAC時(shí)，不妨設(shè)ABAC。作AFBC，交BC于F。在RtABF和RtADF中，由勾股定理

12、得：AF2=AB2BF2=c2-（a+DF）2，AF2=AD2DF2，c2-（a+DF）2=AD2DF2。同理在RtACF和RtADF中，可得b2-（a-DF）2=AD2DF2，消去DF，整理得AD2=（b2+c2）-a2。當(dāng)AB=AC時(shí)，ADBC，在RtABD中，AD2=AB2BD2。即AD2=c2-（a）2=（b2+c2）-a2。（4）回顧，檢查驗(yàn)算這是解題的最后一個(gè)環(huán)節(jié)，檢查驗(yàn)算主要是看結(jié)果是否正確，推理是否合乎邏輯，步驟是否完整，以便及時(shí)查缺補(bǔ)漏，糾正錯(cuò)誤?；仡櫳侠阂?yàn)槭亲C明題，所以只需保證推理的正確性就行了，從推理的每一步看，依據(jù)都充分，從討論上看，未遺漏情況，所以證明是正確的。教

13、師在解題教學(xué)中，應(yīng)把重點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生探索解法上，在探索到解法后，再鼓勵(lì)學(xué)生相互討論、交流等活動(dòng)。長(zhǎng)期堅(jiān)持這樣的訓(xùn)練，學(xué)生的解題能力必將得到極大的提高。千萬(wàn)不要直接講解，否則，就會(huì)出現(xiàn)“學(xué)生學(xué)的快，忘得更快”的現(xiàn)象。四、綜合實(shí)踐活動(dòng)的過程“綜合與實(shí)踐”反映了數(shù)學(xué)課程與教學(xué)改革的要求，也向?qū)W生提供了一種實(shí)踐性、探索性和研究性學(xué)習(xí)的課程渠道。它溝通了生活中的數(shù)學(xué)與課堂上的數(shù)學(xué)的聯(lián)系，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中接觸到一些有研究和探索價(jià)值的題材和方法成為可能。它是一類以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng)。它具有現(xiàn)實(shí)性、問題性、實(shí)踐性、綜合性和探索性等特點(diǎn)。是幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)

14、的重要途徑。針對(duì)問題情境，學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)，獨(dú)立思考或與他人合作，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的全過程，感悟數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容之間、數(shù)學(xué)與生活實(shí)際之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，加深對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解。所以說，有針對(duì)性的開展綜合與實(shí)踐活動(dòng)有益于提高學(xué)生的綜合能力。案例4：蜘蛛怎樣爬最近。有一個(gè)正方體硬紙盒，其棱長(zhǎng)為a，一只蜘蛛在點(diǎn)A1處發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)C處有一只蒼蠅（如圖5），向急速抓住它，可是蜘蛛只能在立體表面行走。（1）蜘蛛從A1到C有無數(shù)條線路，它應(yīng)如何走才是最短路線？（2）如果沿此路線走，需要走的路程是多少？（3）如果這是一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒，棱長(zhǎng)分別為a、b、c且abc，情況又如何

15、？圖5A1C圖6A1CA1析解：（1）蜘蛛從正方體的頂點(diǎn)A1到頂點(diǎn)C有無數(shù)條線路，而最短的路線應(yīng)把正方體沿某條棱展開后，從A1到C的最短距離。（2）由圖6可知，最短距離為：。（3）蜘蛛從長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A1到頂點(diǎn)C有無數(shù)條線路，而最短的路線應(yīng)把長(zhǎng)方體沿某條棱展開后，從A1到C的最短距離。長(zhǎng)方體展開的方法有三種情況：如圖7，把側(cè)面A1D1DA沿棱AD展開，是它與面ABCD重合，此時(shí)，最短距離應(yīng)該是長(zhǎng)方形A1BCD1的對(duì)角線A1C的長(zhǎng)，A1B=a+b，BC=b，所以A1C2=(a+c)2+b2=a2+b2+c2+2ac。如圖8，把側(cè)面A1B1BA沿棱AB展開，是它與面ABCD重合，此時(shí)，最短距離應(yīng)該是

16、長(zhǎng)方形A1B1CD的對(duì)角線A1C的長(zhǎng)，所以A1C2=(b+c)2+a2=a2+b2+c2+2bc。如圖9，把側(cè)面A1B1BA沿棱BB1展開，是它與面B1C1CB重合，此時(shí)，最短距離應(yīng)該是長(zhǎng)方形A1BCD1的對(duì)角線A1C的長(zhǎng)，所以A1C2=(a+b)2+c2=a2+b2+c2+2ab。圖7A1B1C1CBA1AD1D圖8A1B1C1CBA1ADB1圖9A1B1C1CBAADA1要判斷的大小，只要比較ac、bc、ab三個(gè)數(shù)的大小即可。因?yàn)閍b，所以acbc，又因?yàn)閎c，所以abacbc因此，圖8所示的展開方法中的距離最短。類似這樣的問題來自于課本知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的結(jié)合，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題

17、、分析問題、解決問題的能力有積極的教育教學(xué)價(jià)值。進(jìn)行綜合實(shí)踐活動(dòng)的教學(xué)，既是對(duì)教師教學(xué)觀念和教學(xué)能力的挑戰(zhàn)，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造精神和實(shí)踐能力的重要途徑。通過實(shí)踐活動(dòng)，能引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生在開放性的環(huán)境中搜集和整理數(shù)據(jù)的能力；能讓學(xué)生在實(shí)踐活動(dòng)中學(xué)會(huì)溝通與合作，鍛煉其表達(dá)、交流等社交能力，促進(jìn)他們?nèi)姘l(fā)展。五、建立數(shù)學(xué)模型的過程仔細(xì)研究課標(biāo)2011年版規(guī)定的課程內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)，其中的絕大部分內(nèi)容本身就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型。例如，正、負(fù)數(shù)是表示“具有相反意義的量”的數(shù)學(xué)模型；有理數(shù)的加法法則是借助于數(shù)軸模型探索得到的；分式是表示兩個(gè)整式相除的數(shù)學(xué)模型；方程及不等式都是在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立的

18、一個(gè)數(shù)學(xué)模型；函數(shù)是表示兩個(gè)集合之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的一個(gè)數(shù)學(xué)模型；三角形全等是描述圖形重合的數(shù)學(xué)模型；相似形則是表示形狀相同的數(shù)學(xué)模型；400個(gè)同學(xué)的學(xué)校里一定有兩個(gè)同學(xué)是同一天出生的數(shù)學(xué)模型叫做抽貼原理；轉(zhuǎn)盤游戲的評(píng)判與設(shè)計(jì)的關(guān)鍵就是建立概率模型；測(cè)量不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離，就是通過建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的典型例子。從這個(gè)意義上來說，數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際上就是教給學(xué)生前人構(gòu)建的一個(gè)一個(gè)的數(shù)學(xué)模型，逐步形成數(shù)學(xué)模型思想的過程。課標(biāo)2011年版指出“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑?！蹦Ｐ退枷胧窃跀?shù)學(xué)建模的過程中逐漸形成的，因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要結(jié)合具體的內(nèi)容充分體現(xiàn)“問題情境建立模型

19、求解驗(yàn)證”的過程。案例5：通話費(fèi)用知多少？打國(guó)內(nèi)長(zhǎng)途電話，可以撥普通電話，也可以撥電話，某市的計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)市話接入IP長(zhǎng)途電話0.03元/分前3分0.22元/次以后每分鐘計(jì)費(fèi)一次0.11元普通長(zhǎng)途電話0.07元/6秒不收費(fèi)問題：小亮給北京的叔叔打長(zhǎng)途電話，小瑩給上海的阿姨打普通長(zhǎng)途忙亂。雖然小亮比小瑩多打了1分鐘，但是小亮的通話費(fèi)卻比小瑩少了2.60元。小亮和小瑩的通話時(shí)間各是多少分？【說明】這個(gè)問題就是考查學(xué)生通過建立數(shù)學(xué)方程組模型解答實(shí)際問題的能力。為降低難度，我們可以設(shè)計(jì)下面兩個(gè)小問題引導(dǎo)學(xué)生建立模型：1、如果你打的是IP長(zhǎng)途電話：你打了4分鐘應(yīng)付通話費(fèi) 元；如果你打了x分鐘，你

20、應(yīng)付通話費(fèi) 元；2、如果你打的是普通長(zhǎng)途電話：你打1分鐘，應(yīng)付通話費(fèi) 元，如果你打了y分鐘又應(yīng)付通話費(fèi) 元。學(xué)生在解答以上兩個(gè)問題的基礎(chǔ)上很容易建立模型：設(shè)小亮和小瑩的通話時(shí)間分別為x分和y分，那么小亮的通話費(fèi)是0.30x+0.22+0.11（x-3）=0.41x-0.11（元），小瑩的通話費(fèi)是0.0760y/6=0.7y（元），根據(jù)題意，得（后面的解答省略）。數(shù)學(xué)建模教學(xué)本身是一個(gè)不斷探索、創(chuàng)新、完善和提高的過程，我們廣大的教師應(yīng)不斷研究新情況、新問題，努力幫助學(xué)生理解并掌握以下幾種重要的數(shù)學(xué)模型：（1）方程（組）模型；（2）不等式（組）模型；（3）函數(shù)模型；（4）幾何模型（或三角模型）；（5）統(tǒng)計(jì)模型；（6）概率模型等。學(xué)生在用上述模型解答實(shí)際問題的過程中，能體驗(yàn)到數(shù)學(xué)與日常生活及其它學(xué)科的聯(lián)系，感受到數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的