(完整版)線代知識點總結(jié)-數(shù)學(xué)一

1、1線性代數(shù)知識點、難點1、n階行歹U式的定義對丁n階行列式的定義，重點應(yīng)把握兩點：一是每一項的構(gòu)成，二是每一項的符號。每一項的構(gòu)成是不同行不同列的n個元素構(gòu)成，一個n階行列式共有n!項。乘積項為aiji32j2.3njn的符號取決丁jl,j2,.jn的逆序數(shù)，即當(dāng)jl,j2,.jn為偶排列時取正號，當(dāng)jl,j2,.jn為奇排列時取負(fù)。例1行列式31，一一，D為二階行列式，每一項由2個兀素構(gòu)成，第一項為3*2,符號為22正，第二項為1*2,符號為負(fù)。余子式和代數(shù)余子式余子式和代數(shù)余子式的概念容易出錯，在計算中應(yīng)注意。代數(shù)余子式,其中Mj為余子式。一般這類題，重點考察對代數(shù)余子式的理解和其基所以考

2、Aj(1)ijMj本性質(zhì)的應(yīng)用,例2設(shè)行歹0式3200274202020則第4行元素余子式之和的值為【分析】A42A43A4430403402222(7)(1)3222207001111111部分考生答案為數(shù)余子式之和為0。0。原因是將余子式和代數(shù)余子式混淆了。本題中第四行元素的代因為.1A41A42A43A442(2A412A422A432A44)0。3、行列式按一行(列)展開設(shè)A(aij)nn,則2、28M41M42M44M432生一定要靈活掌握，掌握基本思想。下面請看一例:3注意：公式中使用的是代數(shù)余子式，而不是余子式。4、行列式的計算行列式的基本計算方法有三個：例21歸化利用行列式的性

3、質(zhì)將行列式化成較簡單且易丁計算的行列式(如三角行列例22降階利用行列式的展開定理，將高階行列式化成低階行列式進行計算。在實際計算過程中，往往兩種方法交替使用：先利用性質(zhì)將某行(列)化出盡可能多的零元素，再用按行(列)展開定理進行降階。注意，在化零元素的過程中，盡量不要出現(xiàn)分式，否則， 計算過程往往會變得相當(dāng)繁瑣例23遞推在降階中找出高階行列式Dn與低階行列式Dr(rn,通常是rn1)的關(guān)系，即遞推公式，利用遞推公式遞推求得D地認(rèn)為這樣的f(x)一定是4次多項式，其實適當(dāng)選系數(shù)可構(gòu)造出0至4任一次數(shù)的多ai1Aj1ai2Aj2-ainAjn|A|,ij0,ija/ja2iA2j-%氣|A|,ij

4、0,ijx2x1x2x2x22x12x22x3x33x24x53x4x4x35x 74x為f(x)，則方程f(x)0的根的個數(shù)解析問方程f(x)0有幾個根，也就是問f(x)是x的幾次多項式。不要錯誤項式。由丁行列式的每一個位置都含有性質(zhì)恒等變形消去一些x,若立即展開處理是不妥的，應(yīng)當(dāng)先利用將第1列的-1倍依次加至其余各列，有x2101x21002x21012x21003x31x223x31x214x3x734x3x76例3記行列式D335f(x)x再展開。x212x214f(x)是二次多項式。5abb.b例4Dbab.bbbb.a解析方法1Dabababb.b0.0a(n1)b0babb.0.

5、b.0baa(n01)b(a0abb)n1000. .ab方法21bb.b1bb.b1ab.b0ab0.0Da(n1)ba(n1)b1bb.a000.aba(n1)b(.xn1ab)解本例的方法有典型性，大家應(yīng)熟練掌握5、矩陣的概念矩陣的行數(shù)和列數(shù)不一定相等。行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣稱為方陣。B:矩陣A和矩陣B必須具有相同的行數(shù)和相同的列數(shù)，且對應(yīng)元素均相等。100只有兩個矩陣具有相同的行數(shù)和列數(shù)時，才能進行矩陣的加法運算。矩陣的數(shù)乘kA表示對矩陣A中的每一個元素都乘以k。注意：是每一個元素，而不是某一行或某一歹0。矩陣的乘法AB必須要求A的列數(shù)等丁B的行數(shù)。,AB與BA都有意義，但AB為11矩陣

6、，而BA為33矩陣，顯然不相等。矩陣的乘法一般不滿足交換律，即ABBA。例如：A,B00AB0BA對丁某些矩陣，即使AB與BA都有意義，它們?nèi)圆灰欢ㄏ嗟取Ｈ鏏6當(dāng)A和B均為nn矩陣時，|AB|A|gB|BA|。行列式是數(shù)，可以交換。有矩陣乘積AB0,不能推出A0或B0。等價地說，A0且B0,有可能使AB0,如上例。矩陣的乘法不滿足消去律，即A0時，有ABAC,但BC。只有當(dāng)A為非奇異矩陣，即|A|0時，若AB0,則必有B0。若ABAC,則必有BC。例5設(shè)4階矩陣A（,2,3,4）,B（,2,3,4）,其中，2,3,4是4維歹0向量，且|A|4,|B|1，貝U|AB|_o解析本題考查矩陣運算與行

7、列式的性質(zhì)。由丁AB（,2”,23,24）,所以|AB|2弓2r324|8|弓G山8（|234|234|）8（41）40部分考生將矩陣運算與行列式的性質(zhì)混淆，得出錯誤結(jié)論|AB|A|B|。1例6設(shè)A是3階萬陣，A是A的伴隨矩陣,A的行列式|A|1,求行列式|（3A）12A|2的值。解析本題同樣考查矩陣運算與行歹U式的性質(zhì)。由丁A1翥A*，故A*|A|A11A1，故1|(3A)2A1111|(3A)A|-A32A|A|(32318o)|A|”216不少27考生把|kA|kn|A|錯誤地寫成|kA|k|A|,把(kA)111A夸日坎地與成(kA)1kA1。6、關(guān)丁A0IA0是考研中常見的一種題型，

8、也是考生比較畏懼的一種題型。它的特點是題干簡單，已知較少，所以考生有時候覺得無從下手，其實所有的題都是由基本東西轉(zhuǎn)換而來的，考生要掌握其基本思路。下面舉兩例說明：例7設(shè)A是n階非0矩陣，滿足A2A,且AE,證明行列式|A?！咀C法一】(反證法)若|A|0,那么A可逆。用A1左乘A2A的兩端，得7AA1A2A1AE與AE矛盾，故|A|0?！咀C法二】(用秩)據(jù)已知有A(AE)0,那么r(A)r(AE)n因為AE,即AE0,那么秩r(AE)1從而秩r(A)n,故留0?！咀C法三】(用Ax0有非零解)據(jù)已知有A(AE)0，即AE的列向量是齊次方程組Ax0的解，乂因AE0,所以Ax0有非零解，從而|A0o注

9、解AB0是考研題中一個常見的已知條件，對丁AB0應(yīng)當(dāng)有兩種思路：設(shè)A是mn矩陣，B是ns矩陣，若AB0,貝U(1)B的列向量是齊次方程組Ax0的解(2)r(A)r(B)n例8設(shè)A為n階矩陣，滿足 AATE,|A0,證明|AE|0?！咀C明】因為|AE|AAAT|A(EAT)|A(EA)T|A|AE所以(1|A|)|AE|0乂因|A|0丁是1|A|0故必有|AE|07、伴隨矩陣伴隨矩陣是線代中比較重要的概念，也是一個常考的點，出題點多結(jié)合逆矩陣，所以考生在深刻掌握伴隨矩陣概念的同時，應(yīng)該熟記一些和伴隨有關(guān)的公式定理，這類型題一般解法較多比較靈活，考生應(yīng)熟記它的定義和基本性質(zhì)，以不變應(yīng)萬變。涉及伴隨

10、矩陣的計算或證明問題一般可從公式AA*A*A|A|E及伴隨矩陣的相關(guān)結(jié)論著手分析。以下結(jié)論可以直接使用：n若r(A)n,r(A)1若r(A)n1,0若r(A)n1.例9設(shè)A為n階非零矩陣，A*是A的伴隨矩陣，當(dāng) ATA*時，證明|A0。證明由AA*A*A|A|E，及 ATA*,有AA*AAT|A|E。8若|A|0,則AAT0，設(shè)A的行向量為i(i1,2,.,n)，貝Ui0(i1,2,.,n),即i0,丁是A0,與已知矛盾，故|A0。例10設(shè)矩陣A(aj)33滿足ATA*,其中A*是A的伴隨矩陣，若aii,ai2,ai3為三個相等的正數(shù)，則a11=_o解析題設(shè)與A的伴隨矩陣有關(guān)。由AA*A*A|

11、A|E，及 ATA*,有ajAj,i,j1,2,3,且AAT|A|E|A|12|A|3|A|0或|A|而|A|anA11a12A12a3A33an0,丁是|A|1,且a8、逆矩陣涉及兩個矩陣是否可交換，考慮用逆矩陣的定義進行分析。例11設(shè)n階方陣A,B,C滿足關(guān)系式ABCE，其中E是n階單位陣，則下列哪些正確？1、BCAE2、CABE3、CBAE4、BACE5、ACBE解析把題目和矩陣的逆矩陣聯(lián)系起來。若ABCE,貝U說明A1BC,(AB)1C,故BCAE,CABE。逆矩陣的計算一般有三種方法：1A1A*;|A|2通過恒等變形，利用定義進行計算；3用初等變換求逆矩陣。(AE)初等行變換(EA-

12、jA初等列變換EEA1在用初等變換法求逆矩陣的整個過程中，如果置E丁A之右(AE),則必須只用A.行初等變換，而不能用列初等變換。如果置E丁AZ下，則必須只用列初等變換，E9而不能用行初等變換。 這點務(wù)必注意例12設(shè)矩陣A滿足A2A4E0,其中E為單位矩陣， 則(A-E)1_。解析本題考查用定義求逆矩陣。題中給出了矩陣方程，需經(jīng)過恒等變形，得出10002300、A(AE)BE或B(AE)E的形式，確定AE的逆矩陣045000-67由丁A2A4E0,所以AA2A2E2E,丁是A(AE)2(A-E)(A2E)(AE)2E,題中沒有具體給出矩陣的元素，所以不能用初等變換或求伴隨矩陣的方法求逆矩陣，只

13、能用定義。從上面的解題過程可以看出，類似丁多項式的因式分解。我們配出了因式AE,不少考生正是忽視逆矩陣的定義而不知如何下手。202例13設(shè)A,B均為3階矩陣，E為3階單位矩陣，已知AB2AB,B040,202則(A-E)1_。解析本題考查求逆矩陣。先做恒等變形，設(shè)法分解出AE,再進行數(shù)值計算。由丁AB2AB,所以ABB2A2E2E,E)B2(AE)(AE)(B2E)2E,故(A-E)1(B2E)本題給出了具體的矩陣B,若先求矩陣A與A-E之后， 再求(A-E)1,計算量就比較大,費時也容易出錯。故(A-E)11(A2E(A故(A-E)-(A2E)210它可以簡化許多問題，但是考生在應(yīng)用初等變換

14、上還不是很熟練， 有時候根本就不知道初等變換是用來干什么的界活楚概念，它具有什么性質(zhì)。知道行變換就是左乘初等矩陣，陣，然后就可以化簡計算【分析】利用初等矩陣。矩陣列互換后再二、三兩列互換，即0 010 0110011001000 100 10,020020,3103101即00E.1ij1E .ij，0Ei01(k)0011Ei(),Ejj01(k)01Ej(k).00100111112初等矩陣均可逆，且其逆是同類型的初等矩陣。例如:例141、幾2設(shè)A003-400500,E為4階單位矩陣，且B(EA)1(EA)，則(EB)17解析對丁(EB)1沒有運算法則，通常用單位矩陣恒等變形的技巧化為乘

15、積的形式。1(EB)1E111(EA)1(EA)1(EA)1(EA)1(EA)1(E(E1A)1(EAEA)11112(EA)11A)11本題是考生失誤較多的一個考題, 這里涉及的思路方法應(yīng)很好體會09、初等變換初等變換是一個非常重要的概念,首先建議學(xué)員一定要列變換就是右乘初等矩例15,B33，貝UP1APB,其中PA的一、二兩行互換后再二、三兩行互換，然后一、二兩11是矩陣B,即121000100101 00001100A 1000 01B0100010010 10可見010100001100001100。00101001010、線性相關(guān)性線性相關(guān)性是考察的重點，同時也是考生的難點。多以選擇

16、題或證明題的形式出現(xiàn)。向量組的線性相關(guān)(無關(guān))是一個抽象概念，在理解時需仔細(xì)體會有一組”與任一組”。有一組”只要求存在，而任一組”要求全部，強調(diào)任意性。許多錯誤往往發(fā)生在此。對丁向量組1,2,.,s恒有0102-Os0,向量組1,2,.,s是否線性相關(guān)，其實就是問除上述情況之外，能否再找到另一組k1,k2,.,ks使得k1k22.kss0成AL。n維向量1,2,.,s線性相關(guān)存在不全為。的數(shù)k1,k2,.,ks使得k11k22.kss0成立；X齊次方程組(1,2,.,s)X20有非零解；.Xs向量組的秩r(1,2,.,s)0；向量組中某個向量i可以用其余向量1,2,.,i-1,i1,.,s線性

17、表出。例16設(shè)A是n階矩陣，是n維列向量，若Am10,Am0，證明向量組，A,A2,A2,L,Am1線性無關(guān)【證】(用定義、同乘)設(shè)k1k2AkaA2LkmAm10(1)13由丁Am0知Am10,Am20,L14用Am1左乘（1）式兩端，并把Am0,Am10,Am20,L代入，有kiAm10因為Am10,故k1=0。把k10代入（1）式，同理可知k2Am10從而k20。類似可得k30,L,km0,所以，A,A2,L,Am1線性無關(guān)。分析部分考生在設(shè)出k1k2Ak3A2LkmAm10之后，不知如何往下做，沒有想到可用Am1左乘等式的兩端，使問題得到解決例17設(shè)4維列向量1,2,3線性無關(guān)，且與4

18、維列向量1,2均正交，證明相關(guān)。【證】 （用秩）構(gòu)造矩陣A則矩陣A是秩為3的34矩陣，由丁T1ATAi2iT3所以1,2均是齊次方程組Ax0的解那么，r(1,2)nr(A)431從而1,2線性相關(guān)。11、線性表出1,2線性T1T2T300i1,2015線性表出也是?？嫉囊活愵}型，考察的形式多結(jié)合線性相關(guān)，線性無關(guān)。應(yīng)結(jié)合他們的定義與線性表出的概念，以及他們之間的聯(lián)系來解題。這類題多用反證法，考生應(yīng)熟練掌握這部分的題型，否則可能拿到手后根本沒有思路，當(dāng)遇到這種情況時，建議從最基本的定義和概念出發(fā)，一步步往結(jié)論處求證。有些題可以利用線性相關(guān)、無關(guān)、向量組的秩、極大線性無關(guān)組等概念之間的關(guān)系直觀的得

19、出結(jié)論。例18設(shè)1,2,L,s是n維向量組，r(1,2,L,s),則()不正確。(A)如果rn,則任何n維向量都可以用1,2,L,s線性表示；(B)如果任何n維向量都可以用1,2,L,s線性表示，則rn；(C)如果rs,則任何n維向量都可以用1,2,L,唯一線性表示；(D)如果rn,則存在n維向量不能用1,2,L,s線性表示?！痉治觥坷糜弥扰袛嗑€性表示”的有關(guān)性質(zhì)。當(dāng)rn時，任何n維向量添加進1,2,L,時，秩不會增大，從而(A)正確。如果(B)的條件成立，則任何n維向量組1,2,L,t都可以用1,2,L,s線性表示，從而r(1,2,L,t)r(1,2,L,s)n.如果取I,2,L,n是一個

20、n階可逆矩陣的列向量組，則得到nr(1,2,L,n)r(1,2,L,s)n,從而r(1,2,L,s)n,(B)正確。(D)是(B)的逆否命題，也正確。當(dāng)rs時，不能保證任何n維向量可用1,2,L,s線性表示(如rn時)，因此(C)不正確。例19設(shè)n維列向量組1,2,L,m(mn)線性無關(guān)，貝Un維列向量組1,2,L,m線性無關(guān)的充要條件為A向量組1,2,L,m可由向量組1,2,L,m線性表出B向量組1,2,L,m可由向量組1,2,L,m線性表出C向量組1,2,L,m與向量組1,2,L,m等價D矩陣A(1,2,L,m)與矩陣B(1,2,L,m)等價解析簡記向量組r(II)m1,2,L,m為I,向

21、量組1,2,L,m記為II,那么16II線性無關(guān)r(II)m,A若I可由II線性表出，則r(I)r(II)。乂I線性無關(guān)，有mr(I)r(II)m,與1,2均線性無關(guān)，但1,2不能由1,2線性表出，故A僅為充分條件，不是必要條件。B若 IIII 可由I線性表出，則r(II)r(I)m，即有r(1,2,L,m)m,1,2,L,m的線性無關(guān)性不能確定，故B不充分。而由A的反例可知B也不是必要條件。C由A,B知C只是充分條件。D如果矩陣A(1,2,L,m)與矩陣B(1,2,L,m)等價，則r(A)r(1,2,L,m)r(1,2,L,m)r(B),因為1,2,L,m線性無關(guān)，故r(1,2,L,m)m，

22、故r(1,2,L,m)m,故向量組1,2,L,m線性無關(guān)，充分性成立。反之，若向量組1,2,L,m與1,2,L,m均線性無關(guān)，故r(1,2,L,m)r(1,2,L,m)m，從而r(A)r(B)，即矩陣A,B等價，必要性成立，故選Do由丁兩個等價的概念不活，本題錯誤率很高。如果兩個向量組向量個數(shù)相同且等價，則可推知兩個矩陣等價。即1,2,L,m與1,2,L,m等價(1,2,L,m)與(1,2,L,m)等價但是1,2,L,s與1,2,L,t(St)等價時，矩陣(1,2,L,s)與(1,2,L,t)不等價。1010那么，當(dāng)mn時，條件必要嗎？設(shè)10，21,10,20,則1,20001從而r(II)m

23、,即II線性無關(guān)，充分性成立。17矩陣A與B等價是指經(jīng)初等變換矩陣A可轉(zhuǎn)換為矩陣B,A與B等價的充要條件是r(A)r(B)。12、向量組的秩與極大線性無關(guān)組向量組的極大線性無關(guān)組往往是不唯一的，其成員可以不一樣，但這些極大線性無關(guān)組是等價的，極大線性無關(guān)組中向量的個數(shù)是一樣的，由原向量組唯一確定，由此引出向量組秩的概念，向量組的秩為r就是指向量組的極大線性無關(guān)組有r個向量。18例20如果向量組I:ii,i2,.,ir與II：ji，j2,.,jt都是向量組1,2,L,s的極大線性無關(guān)組，證明rt。證明因為ii,i2,.,ir是1,2,L,s的極大線性無關(guān)組，所以i1,i2,.,ir,jk(k1,

24、2,.,t)線性相關(guān),丁是jk可由ii,i2,.,ir線性表出。從而向量組II：ji,j2,.,jt可由向量組I:i1,i2,.,ir線性表出。乂因向量組II是極大線性無關(guān)組，是線性無關(guān)的，所以tro同理rt,故rt。13、過渡矩陣過渡矩陣是考試所要求的考點之一，但不是每年都出題的?？忌趶?fù)習(xí)時容易忽略這個考點?！径x】設(shè)1,2,L,s和1,2,L,s都是V的基，并設(shè)i在1,2,L,s中的坐標(biāo)為(c1i,C2i,L,csi),稱矩陣為1,2,L,s到1,2,L,s的過渡矩陣。此時，如果V中的向量在1,2,L,s中的坐標(biāo)為x(X1,X2,L,Xs)T，在1,2,L,s中的坐標(biāo)為y(y1,y2,L

25、,ys)T,則有坐標(biāo)變換公式xCy.兩個規(guī)范正交基之間的過渡矩陣是正交矩陣14、矩陣方程對丁矩陣方程，經(jīng)恒等變形之后有三種可能的形式:AxB;xAB;AxCB,如果矩陣A,C是可逆的，則依次有xAB;xBA;xABC然后經(jīng)計算就可求出x。因為矩陣乘法沒有交換律，所以在恒等變形時，運算法則一定要正確G1C212022Mc1sC2；M19例21已知XXAB,其中B(EA)11011(EA)1B13這是一個特別要防止的錯誤。解析若先計算方程中的A*及A1,然后再解X,則計算過程會十分復(fù)雜。為了避免求AA|A|E，在等式兩邊同時左乘矩陣A進行化簡。AAXAA12AX,從而有一一1X(|A|E2A),1

26、2A211XAX(EA)因為E1一、，可逆，有10在本題中，不要把XAB錯誤地變形為(EA)XB,而得到例22設(shè)矩陣A1，矩陣X滿足A*XA12X,其中A*是A的伴隨矩陣,A*及A1,可利用|A|XE2AX，即(|A|E2A)XE|A|4,|A|E201-1故X1215、基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系的概念及求法是齊次線性方程組的核心問題，是線性代數(shù)中一個非常重要的概念，對丁這塊內(nèi)容的考察也是一個重點，但是我們在答疑或者是改卷過程中發(fā)現(xiàn)還是有很多同學(xué)概念混淆?！径x】設(shè)XI,X2,L,xp是Ax0的解向量，如果(1)XI,X2,L,xp線性無關(guān)；(2)Ax0的任一,個解向里可由XI,X2,L,Xp線性表小，

27、則稱XI,X2,L,Xp是 AX0的一個基礎(chǔ)解系例23x12X23X34X40齊次方程組2X13X24X35X4的基礎(chǔ)解系是_。3x14X25X36X404x15X26X37x40A(3,0,1,0)T,(2,3,0,1)TBki(1,2,1,0)Tk2(2,3,0,1)TT31TC(2,3,0,1),(1,一,0,一)22D(3,4,1,2)T,(3,5,1,1)T解析嚴(yán)格根據(jù)定義，判斷基礎(chǔ)解系要從是不是解，是否線性無關(guān)及解向量的個數(shù)三個方面來思考。16、如何確定自由變量并賦值？(求解基礎(chǔ)解系)很多考生在這塊也容易犯錯誤，因為不同的賦值方法可能得到不同的結(jié)果，所以考生只要概念理解活楚，按照步

28、驟就一定能得到正確答案，下面介紹確定自由變量并賦值的基本步驟：(1)對系數(shù)矩陣作初等行變換化其為階梯形(2)由秩r(A)確定自由變量的個數(shù)nr(A)(3)找出一個秩為r(A)的矩陣，貝U其余的nr(A)列對應(yīng)的就是自由變量(4)每次給一個自由變量賦值為1,其余的自由變量賦值為0(注意共需賦值nr(A)次)。21對階梯形方程組由下往上依次求解，就可以得到方程組的解。注意：對系數(shù)矩陣進行變形時，只能進行初等行變換。該方法是求解含參數(shù)線性方程組的最一般方法，不論方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)是否相同都可使用，應(yīng)熟練掌握。XIX23X4X50例24齊次方程組2X2X32X4X50的基礎(chǔ)解系是。2X2X33X

29、44X502211進行初等行變換化為階梯型02121,由0故基礎(chǔ)解系是1（2,?1,0,0）T,2齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系可以不唯17、特征向量與線性方程組的解矩陣的特征向量與解線性方程組似乎沒有直接聯(lián)系，其實兩者還是有關(guān)聯(lián)的。這就是是A的屆丁特征值0的特征向量是Ax0的非零解這是由特征向量的定義直接推過來的，大家容易忽略,應(yīng)熟練使用解析系數(shù)矩陣r(A)r(A)2。令X31,X50,0,X2令X30,X51,3,x212,為52,X1215(15,5,0,3,1)T。22但在考研題中會經(jīng)常用到，學(xué)員23例25設(shè)矩陣Aa21a31a22a323a23有特征向量1(1,2,1)Ta331,2,2）

30、T,求線性方程組解析AXb的通解，其中b（1,2,2）丁。由題設(shè)3均是A的特征向量，故有12 31112 3-1-1A1a21a22a23212(1),A2a21a22a23121(2),a31a32a3311a31a32a331112 3-1-1A3a21a22a23232(3)a31a32a3322由（2）解得即有A330,00OO21,2,0,即有A2即有A1由（3）解得31,由（1）解得124是Axb的一個特解。由Ai0,A20知i,2是Ax0的兩個解。由r(1,2)2知,1,2是Ax0的兩個線性無關(guān)的解。由A0知，r(A)1,故Ax0的基礎(chǔ)解系由r(A)2個線性無關(guān)的解向量組成?，F(xiàn)1

31、,2是Ax0的兩個線性無關(guān)的解向量，故1,2是Ax0的一個基礎(chǔ)解系。從而Axb的通解為3臨1k22,其中名代為任意常數(shù)。18、關(guān)丁公共解公共解也是一個考點， 公共解的求解一般有固定的方法， 考生針對題型掌握其中的一兩種就可以了。下面以例題的形式介紹公共解的幾種處理方法：例26設(shè)有兩個4元齊次線性方程組(5)求線性方程組(I)的基礎(chǔ)解系；(6)試問方程組(I)和(皿)是否有非零公共解？若有，則求出所有的非零公共解；若沒有，則說明理由。關(guān)于公共解，有以下幾種處理方法：(1)把(I)和(U)聯(lián)立起來直接求解；(2)通過(I)和(U)各自的通解，尋求公共解；(3)把(I)的通解代入(U)中，如仍是解，

32、則把(I)的通解代入(U)中尋求公共解。如：(I)的基礎(chǔ)解系為1(0,0,1,0)T,2(1,1,0,1)T,那么它的通解就是k22(k2,k2,k1,k2)T(U)的解，就因該滿足(U)的方程，故k2k2k1k2k1k2解出k12k2,所以其公共解是k2(1,1,0,1)Tk2(1,1,2,1)T例27A是mn階矩陣，證明齊次線性方程組(I)ATAx0和注意到方程組為Axb,其中b3,由A33可推出A(3)b,所以(Dxx20 x2x40(n)xx?x30 x3x40k112k2(0,0,1,0)T25（n）Ax0同解?！咀C】如果是（皿）的解，MA0,顯然ATA0即是（I）的解，故（U）的解

33、全是（I）的解。若是（I）的解，即ATA0,那么TATA0即(A)T(A)0即A20故A0所 以解。必是（U）的解，即 （I）的解全是（n）的解，從而方程組（I）與（U）同19、求A相似標(biāo)準(zhǔn)型的方法（對可對角化的矩陣）n階矩陣A可對角化的充要條件是n階矩陣有n個線性無關(guān)的特征向量。相似對角化是一個重要的考察點，這部分牽涉的計算量比較大，所以考生一定要細(xì)心?；静襟E如下：（1）求A的特征值1,2,L,s,設(shè)i是n重根；（2）對每個特征值i,求（iEA）x0的基礎(chǔ)解系，設(shè)為Xii,Xi2,L,Xini；（3）令p（Xii,Xi2,L,Xm，X2l,X22,L,X2n2，L,Xs1,Xs2,L,Xs

34、ns）,M1PAPdiag（L,1,2,L,2,L,s,Ls）,其中有ni個i（i1,2,L,s）。注意：對應(yīng)i的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)小丁i的重數(shù)，則A不可對角化。若每個i的重數(shù)與線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)相同，則A可對角化。例28判斷矩陣A是否與對角矩陣相似？320A131571解由特征方程320120IEA|131131(2)2(1)0,57117126得特征值122(二重根)，31對丁122,解方程12 0X1(1EA)x11 1x20,57 3X3因為r(2EA)2,故屆丁122的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)等丁對應(yīng)的齊次線性方程的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)即1,不等丁根的重數(shù)2,故A不可對

35、角化，即A不與對角形矩陣相似。20、矩陣的相似、合同、等價分析(1)等價：矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B,則稱A與B等價；矩陣等價的充要條件：ABA,B是同型矩陣且有相同的秩存在可逆矩陣P和Q,使PAQB【注意】矩陣的等價與向量組的等價是兩個不同的概念，若矩陣A(1,2,L,n)與B(1,2,L,n)等價，則PAQB,r(A)r(B),丁是r(1,2,L,n)r(1,2,L,n),而向量組的等價是指這兩個向量組可以互相線性表出。當(dāng)矩陣A與B等價時雖有這兩個向量組的秩相等，但作為向量組不一定能互相表出，因而不一定等價。例如：11,22與00但是矩陣等價。反之，若向量組1,2,L,n與向量組1,

36、2,Lr(1,2,L,n)r(1,2,L,n)， 從而r(A)r(B),故必有矩陣AB(2)相似：設(shè)A,B是n階矩陣，如果存在可逆矩陣P,使P1APB,則稱A與B相似,1021的秩相等，但不等價。n等價，則向量組秩2記為：AB相似矩陣的性質(zhì)：如ABEA|EB|,從而A,B有相同的特征值nnaHbh(A,B有相同的跡)i1i1r(A)r(B)A|B【注意】這些都是必要條件，可排除哪些矩陣不相似，亦可用來確定相似矩陣的一些參數(shù)。若其中有一個不成立，說明A與B不相似。例29已知A49,B2,若AB，則由跡相等知：4b2(1)，得b3.2b1由行列式相等知：122a2，得a-5。并且，由丁B是對角矩陣，2與-1就是B的特征值，則根據(jù)特征值相等知，2與-1也是A的特征值。(3)合同：兩個n階實對稱矩陣A和B,如存在可逆矩陣C，使得CTACB,貝U稱矩陣A和B合同。兩個實對稱矩陣合同的充要條件：二次型xTAx與xTBx有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)