(完整word版)高等代數(shù)II期末考試試卷及答案A卷

1、高等代數(shù)(II )期末考試試卷及答案(A卷)一、填空題(每小題3分，共15分)1、線性空間P x的兩個子空間的交L 1 x I L 1 x 2、設(shè)1, 2，n與1，2，n是n維線性空間V的兩個基，由1，2,，n到1，2，.，n的過渡矩陣是C,列向量X是V 中向量 在基1, 2，n下的坐標(biāo)，則 在基1 , 2，n下 的坐標(biāo)是3、設(shè)A、B是n維線性空間V的某一線性變換在不同基下的矩陣，則A與B的關(guān)系是 .2.4、設(shè)3階方陣A的3個行列式因子分別為：1, ,1 ,則其特征矩陣 E A的標(biāo)準(zhǔn)形是5、線性方程組AX B的最小二乘解所滿足的線性方程組是：二、單項選擇題(每小題3分，共15分)1、()復(fù)數(shù)域

2、C作為實數(shù)域R上的線性空間可與下列哪一個線性空間同構(gòu)：(A)數(shù)域P上所有二級對角矩陣作成的線性空間；(B)數(shù)域P上所有二級對稱矩陣作成的線性空間；(C)數(shù)域P上所有二級反對稱矩陣作成的線性空間；(D)復(fù)數(shù)域C作為復(fù)數(shù)域C上的線性空間。2、()設(shè)是非零線性空間 V的線性變換，則下列命題正確的是:(A) 的核是零子空間的充要條件是 是滿射；(B)的核是V的充要條件是 是滿射；（C） 的值域是零子空間的充要條件是 是滿射;（D） 的值域是V的充要條件是是滿射。3、（） 矩陣A 可逆的充要條件是：4、2 iyi5、0；是滿秩的;設(shè)實二次型22 y21；B全是正數(shù);是一個非零常數(shù);A是方陣。XAX （A

3、為對稱陣）經(jīng)正交變換后化為:則其中的1 , 2 ,. n是:C是A的所有特征值； D不確定。）設(shè)3階實對稱矩陣A有三重特征根2”，則A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是:2A 00D以上各情形皆有可能。三、是非題（每小題2分，共10分）（請在你認(rèn)為對的小題對應(yīng)的括號內(nèi)打 V,否則打1、（）設(shè)V1, V2均是n維線性空間V的子空間，且V1 I V2則 V V1 V202、（）n維線性空間的某一線性變換在由特征向量作成的基下的矩陣是一對角矩陣。3、（）同階方陣A與B相似的充要條件是 E A與 E B等價。4、（）n維歐氏空間的正交變換在任一基下的矩陣都是正交矩陣5、（）歐氏空間的內(nèi)積是一對稱的雙線性函數(shù)。解答題（每小

4、題10 分，共 30 分）1在線性空間P 4 中，定義線性變換：A a, b, c,d a, b, a c, b d a,b, c, d P4（ 1）求該線性變換在自然基：11,0,0,0 , 20,1,0,030,0,1,0 , 40,0,0,1 下的矩陣A；（ 2）求矩陣A 的所有特征值和特征向量。22、 （ 1）求線性空間P x 3 中從基 I : 1, x 1 , x 1 到基32II : 1, x 1 , x 1 的過渡矩陣；2（2）求線性空間P x Q中向量f x 1 2x 3x在基32I : 1, x 1 , x 1 下的坐標(biāo)。3、在R2中，ai,a2 ,5,3 ，規(guī)定二元函數(shù):

5、a1b1 a1b2 a2b1 4a2b21) 證明：這是R2 的一個內(nèi)積。(2)求R2的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。五、 證明題（每小題10分，共30分）1、設(shè)P3的兩個子空間分別為：W1x1, x2 , x3 x1x2 x3 0 ,W2x1 , X2 , X3x1X2X33證明：（i）pWi W2 ；（2） W1 W2不是直和2、設(shè) 是數(shù)域 P 上線性空間V 的線性變換，證明W L 1, 2是 的不變子空間的兗要條件是A i W i 1,2,., r3、已知A E 是 n 級正定矩陣，證明：（1） A是正定矩陣；（2） A 2E 3n答案一、填空題（每小題3分，共15分）1、線性空間P x的兩個子空間的

6、交L 1 x I L 1 x 02、設(shè)1, 2，n與1，2，n是n維線性空間V的兩個基，由1，2,，n到1，2，n的過渡矩陣是C,列向量X是V中向量 在基1, 2，n下的坐標(biāo)，則 在基1 , 2，n下1、，的坐標(biāo)是 C X3、設(shè)A、B是n維線性空間V的某一線性變換在不同基下的矩陣，則A與B的關(guān)系是 相似關(guān)系一 、. ,2,4、設(shè)3階方陣A的3個行列式因子分別為：1, ,1 ,1 00則其特征矩陣 E A的標(biāo)準(zhǔn)形是000 015、線性方程組AX B的最小二乘解所滿足的線性方程組是：AAX AB二、單項選擇題（每小題3分，共15分）2、 （ A ）復(fù)數(shù)域C作為實數(shù)域R上的線性空間可與下列哪一個線性

7、空間同構(gòu)：(A)數(shù)域P上所有二級對角矩陣作成的線性空間； (B)數(shù)域P上所有二級對稱矩陣作成的線性空間； (C)數(shù)域P上所有二級反對稱矩陣作成的線性空間;(D)復(fù)數(shù)域C作為復(fù)數(shù)域C上的線性空間。2、( D )設(shè)是非零線性空間 V的線性變換，則下列命題正確的是:(A) 的核是零子空間的充要條件是是滿射；(B)的核是V的充要條件是 是滿射；(C) 的值域是零子空間的充要條件是 是滿射;(D) 的值域是V的充要條件是是滿射。3、( B )矩P$ A可逆的充要條件是：A A 0； B A是一個非零常數(shù)；C A 是滿秩的；D A 是方陣。4、( C )設(shè)實二次型f XAX (A為對稱陣)經(jīng)正交變換后化為

8、: 2221火 2y2 .nyn , 則其中的 1, 2,n是：5、( AA 1； B全是正數(shù)；C是a的所有特征值；D不確定設(shè)3階實對稱矩陣A有三重特征根“2 ”，則A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是：200A 02 0002D以上各情形皆有可能 三、是非題(每小題2分，共10分)(請在你認(rèn)為對的小題對應(yīng)的括號內(nèi)打 V,否則打"")1、( X )設(shè)丫1、2均是n維線性空間V的子空間，且M I 50則 VV1V22、（，）n維線性空間的某一線性變換在由特征向量作成的基下 的矩陣是一對角矩陣。3、（，）同階方陣A與B相似的充要條件是 E A與 E B 等價。4、（ X ） n維歐氏空間的正交變換

9、在任一基下的矩陣都是正交矩陣 5、（，）歐氏空間的內(nèi)積是一對稱的雙線性函數(shù)。四、解答題（每小題10分，共30分） 1、在線性空間P4中，定義線性變換：A a,b,c,d a, b,a c,b d a,b,c,dP4（1）求該線性變換在自然基：1I,。,。,。, 20，1,O，030,0,1,0 , 40,0,0,1 下的矩陣 A；（2）求矩陣A的所有特征值和特征向量。10 0 0解：（1）線性變換 在自然基下的矩陣是A0 10 01 0 1 0(5分)0 10 1(2)因為 E所以夕1陣A的所有特征值是12解齊次線性方程組E A X 0得矩陣A的所有特征向量:k1 0,0,1,0k2 0,0,

10、0,1 ,其中 k1,k2不全為零。(5分)22、(1)求線性空間P x3中從基I : 1, x 1 , x 1到基 3(2)求線性空間P Xr中向量f x 1 2x 3x2在基32I : 1, x 1 , x 1 下的坐標(biāo)。11122解： （ 1）因為1, x 1 , x 11,x,x20 12001111221, x 1 , x 11, x, x 0 1 2001所以21, x 1 , x 1121, x 1 , x 1001111112012010011111112012010012414015 分)121, x 1 , x 100121, x 1 , x 100124014001111

11、222）因為1,x, x 1, x 1 , x 10 1 2001122故 f x 1 2x 3x 1,x, x 23111121, x 1 , x 10 1 22001322 4x13x12所以 f x 在基 I : 1, x 1 , x 1 2 下的坐標(biāo)是：435 分）3、在R2中,a1 , a2 ,b1 ,b2 ，規(guī)定二元函數(shù)：a1b1a1b2 a2b14a2b2（3）證明：這是R2的一個內(nèi)積。（ 4） 求 R2 的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。1b14b21）證明：,a1b1 a1b2 a2b1 4a2b21a1,a21111 4 是正定矩陣，所以這個二元函數(shù)是R2的一個內(nèi)積5 分）2）解：考察自然

12、基11,0 , 20,111它的度量矩陣正是令:111,0冉令:1111,2, 11,11,1則1,2是R2的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基（5分）（2）解法二：考察自然基11,0 ,0,11它的度量矩陣正是 d11 3 uuuuuuuLiur0 r2 r111 cuuuicr 001 0231 1 P c2 uu1, 2的度量矩陣是E,從而是R2的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。五、證明題（每小題10分,共30分）2、設(shè)P3的兩個子空間分別為:W1X1,x2,x3 X1 X2 X3 0 ,W2X1,X2,X3 X1X2 X30證明：（1）P3W1W2 ；2 2） W1 W2不是直和。證明：（1） W1的一個基是：11,1,

13、0 ,21,0,1W2的一個基是：11,1,0 , 21,0,1因為W W2 L 1, 2, 1，2其中1，2，1是W1 W2的生成元的一個極大無關(guān)組從而是W1 W2的一個基，所以 dim W1 W23P3 Wf W2（5分）（2）因 dimW12, dimW2 2, dim W1 W23即 dimW W4dimWJ dimW（5分）所以W1 W2不是直和（2）之證法二：因為 W1I W2 L 0, 1,10所以W W2不是直和。2、設(shè) 是數(shù)域P上線性空間V的線性變換，證明W L 1, 2,，r是 的不變子空間的兗要條件是 A i W i 1,2,., r證明：（充分性）設(shè)有A i W i 1,2,., rk1 1 k2 2 . kr r WA KA 1 k2A 2 . krA rWWL 1, 2,., r是 的不變子空間。 （5分）（必要性）設(shè)W L1, 2,., r是的不變子空間，由 i W, i 1,2,.,r A i W