1.3集合間的基本運(yùn)算

1、3集合的基本運(yùn)算 一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集.2.能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.3.能夠利用交集、并集的性質(zhì)解決有關(guān)問題.4.了解全集的意義和它的記法.理解補(bǔ)集的概念，能正確運(yùn)用補(bǔ)集的符號 和表示形式，會用圖形表示一個集合及其子集的補(bǔ)集.5.會求一個給定集合在全集中的補(bǔ)集，并能解答簡單的應(yīng)用題.二、知識梳理1 .并集和交集的概念及其表示類別概念自然語百符號語后圖形語百并集由所后屬于集合 A或者 屬于集合B的元素組成 的集合，稱為集合 A與B的并集，記作AUB（讀 作“A并B”）AUB=xXCA,或xC

2、B交集由屬于集合A且屬于集 合B的所后兀素組成的 集合，稱為A與B的交 集，記作AH B（讀作“A 交B” ）AAB=xXCA,且xC B殛）遹2 .并集與交集的運(yùn)算性質(zhì)并集的運(yùn)算性質(zhì)交集的運(yùn)算性質(zhì)AU B=BUAAn b = ba aAU A=AAn A= AAU ? = AAn ?= ?A? B? AUB=BA? B? An B = A3 .全集（1）定義：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素.那么就稱這個集合 為全集.（2）記法：全集通常記作 U.4 .補(bǔ)集文字語百對一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集，記作?u A符號語后

3、?u A= x|xC U,且 x?A圖形語百5.補(bǔ)集的性質(zhì)?uU = ?, ?u?=U, ?u(?uA) = A.三、典型例題知識點(diǎn)一集合并集的簡單運(yùn)算例 1(1)設(shè)集合 M = 4,5,6,8,集合 N = 3,5,7,8,那么 MUN 等于()A. 3,4,5,6,7,8 B. 5,8C. 3,5,7,8 D. 4,5,6,8(2)已知集合 P = x|xv3, Q = x|-1<x<4,那么 P U Q 等于()A. x|-1<x<3B. x|- 1<x<4C. x|x<4 D. x>- 1 答案(1)A(2)C解析 (1)由定義知 MUN

4、 = 3,4,5,6,7,8. (2)在數(shù)軸上表示兩個集合，如圖.: ，一13 44規(guī)律方法解決此類問題首先應(yīng)看清集合中元素的范圍，簡化集合，若是用列舉法表示的數(shù)集，可以根據(jù)并集的定義直接觀察或用Venn圖表示出集合運(yùn)算的結(jié)果；若是用描述法表示的數(shù)集，可借助數(shù)軸分析寫出結(jié)果，此時要注意當(dāng)端點(diǎn)不在集合中時，應(yīng)用“空心點(diǎn)”表示.跟蹤演練 1(1)已知集合 A = x|(x-1)(x+2)=0; B = x|(x+2)(x3)=0,則集合 AUB 是()A. -1,2,3 B. -1, -2,3C. 1 , -2,3 D. 1 , -2, - 3(2)若集合 M = x|3vxW5 , N = x|

5、x<- 5,或 x>5,則 M U N=. 答案 (1)C (2)x|xv 5,或 x>3解析 (1).力=1 , 2, B = -2,3, .AU B=1 , 2,3.(2)將一3vxW5, xv 5或x>5在數(shù)軸上表示出來.-5 -30則 M U N=x|x< 5,或 x>- 3.知識點(diǎn)二集合交集的簡單運(yùn)算例 2 (1)已知集合 A=0,2,4,6 , B= 2,4,8,16)，則 A n B 等于()A. 2 B. 4C. 0,2,4,6,8,16 D. 2,4(2)設(shè)集合 A=x|- 1<x<2, B = x|0<x< 4,則

6、 APB 等于()A. x|0<x<2 B, x|1<x< 2C. x|0<x< 4 D, x|1<x< 4答案(1)D(2)A解析(1)觀察集合A, B,可得集合A, B的全部公共元素是2,4,所以AAB=2,4.(2)在數(shù)軸上表示出集合A與B,如下圖.則由交集的定義可得AA B = x|0<x<2.規(guī)律方法求交集就是求兩集合的所有公共元素組成的集合，和求并集的解決方法類似.5跟蹤演練 2 已知集合 A= x|-1<x< 3, B = x|xW 0, x>-,求 AA B, AU B.5解A= x|- 1<

7、x< 3, B=x|xW 0,或 xR,把集合A與B表示在數(shù)軸上，如圖.八 5AA B= x| 1 <x<3 A x|x< 0,或 x2)5 一= x|1vxW0,或產(chǎn) x< 3;一一一 一八 5_AUB = x|- 1<x< 3 U x|x< 0 或 x>2)= R.知識點(diǎn)三已知集合交集、并集求參數(shù)例 3 已知 A= x|2a<x<a+ 3, B = x|x<- 1,或 x> 5,若 AAB = ?,求實(shí)數(shù) a 的取值范 圍.解由AA B=?,若 A = ?,有 2a>a+3,. a>3.(2)若Aw?

8、,如下圖：1 E I.-l 2a5J2a > 1,1a+3w 5,解得WaW2.2a w a + 3,1,、綜上所述，a的取值氾圍是a| pWaW2,或a>3.規(guī)律方法1.與不等式有關(guān)的集合的運(yùn)算，利用數(shù)軸分析法直觀清晰，易于理解.若出現(xiàn)參數(shù)應(yīng)注意分類討論，最后要?dú)w納總結(jié).2.建立不等式時，要特別注意端點(diǎn)值是否能取到，分類的標(biāo)準(zhǔn)取決于已知集合，最好是把端點(diǎn)值代入題目驗(yàn)證.跟蹤演練 3 設(shè)集合 A=x| ivxva, B = x|1vxv3且 AU B=x|1vxv3,求 a 的取 值范圍.解如下圖所示，liQQ .-1I。 3K由 AU B= x| 1vxv3知，1vaw3.知識點(diǎn)

9、四簡單的補(bǔ)集運(yùn)算例 4 (1)設(shè)全集 U = 1,2,3,4,5,集合 A=1,2，則？u A 等于()A. 1,2 B. 3,4,5C. 1,2,3,4,5 D. ?(2)若全集 U=R,集合 A=x|x>1,則？uA =.答案 (1)B(2) x|x<1解析 (1)U = 1,2,3,4,5 , A=1,2, . .?uA= 3,4,5.(2)由補(bǔ)集的定義，結(jié)合數(shù)軸可得？u A= xxv 1.規(guī)律方法1.根據(jù)補(bǔ)集定義，當(dāng)集合中元素離散時，可借助 Venn圖；當(dāng)集合中元素連續(xù)時，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解.2.解題時要注意使用補(bǔ)集的幾個性質(zhì)：？uU = ?, ?u?=U, A

10、U(?uA)=U.跟蹤演練1已知全集U = x|x>- 3,集合A=x|-3<x<4,則？uA =.答案x|x= 3,或 x>4解析 借助數(shù)軸得？uA=x|x= 3,或x> 4.知識點(diǎn)五交集、并集、補(bǔ)集的綜合運(yùn)算例5 (1)已知集合 A、B均為全集 U = 1,2,3,4的子集，且？u(AUB)=4 , B=1,2,則A H ?uB等于()A. 3 B. 4C. 3,4 D. ?（2）設(shè)集合 S=x|x>2, T=x|-4<x<1, 則（？RS）UT 等于（）A. x|-2<x< 1 B, x|x<- 4C. x|x< 1

11、 D. xx>1答案(1)A(2)C解析(1) " = 1,2,3,4 , ?u(AUB) = 4,.AU B= 1,2,3.又< B=1,2,. .3 ? A? 1,2,3.又？uB = 3,4,.An ?uB=3.(2)因?yàn)?S=x|x>2,所以？RS=x|xW 2.而 T = x|-4< x<1,所以(?rS) U T= x|x< -2 U x|-4< x< 1=x|x< 1.規(guī)律方法1.集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算是同級運(yùn)算，因此在進(jìn)行集合的混合運(yùn)算時，有括號的先算括號內(nèi)的，然后按照從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算.2.當(dāng)集合是用列舉法表示

12、時，如數(shù)集，可以通過列舉集合的元素分別得到所求的集合；當(dāng)集合是用描述法表示時，如不等式形式表示的集合，則可借助數(shù)軸求解.跟蹤演練 2 設(shè)全集為 R, A= x|3< x<7, B = x|2<x<10,求？r(A U B)及(?rA) n B.解 把全集R和集合A、B在數(shù)軸上表示如下：_ J - 丁工.2 37 It) Ji由圖知，AUB = x|2<x< 10, ?r(AU B) = x|x<2,或 x> 10. ?RA=x|x<3,或 x>7, (?rA)A B = x|2<x< 3,或 7Wx<10.要點(diǎn)六補(bǔ)集

13、的綜合應(yīng)用例 6 已知全集 U = R,集合 A=x|x< 1, B=x|2avxva+3,且 B? rA,求 a 的取值 范圍.解 由題意得？rA = x|x> 1.若 B = ?,則 a+3<2a,即 a>3,滿足 B? rA.(2)若 Bw?,則由 B? rA,得 2a> 1且 2a<a + 3,一 1即 一& a v 3.21綜上可得a",規(guī)律方法1.與集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算有關(guān)的求參數(shù)問題一般利用數(shù)軸求解，涉及集合間關(guān)系時不要忘掉空集的情況；2 .不等式中的等號在補(bǔ)集中能否取到，要引起重視，還要注意補(bǔ)集是全集的子集.跟蹤演練3 已知

14、集合 A= x|xv a, B=xv1,或x> 0,若AA（?rB）=?,求實(shí)數(shù)a的取 值范圍.解B= x|x< 1 ,或 x>0,?rB = x|- 1<x<0,因而要使AA（?rB）=?,結(jié)合數(shù)軸分析（如圖），可得a< - 1.a -L0 x四、課堂練習(xí)1 .若集合 A = 0,1,2,3 , B= 1,2,4,則集合 AUB 等于（）A. 0,1,2,3,4 B. 1,2,3,4C. 1,2 D. 0答案 A解析 集合A有4個元素，集合B有3個元素，它們都含有元素1和2,因此，AUB共含有5個元素.故選A.2,設(shè)A = xC N|1WxW 10, B

15、= xC Rx2 + x6=0,則如圖中陰影部分表示的集合為 （）A. 2 B. 3 C. -3,2 D. -2,3答案 A解析注意到集合 A中的元素為自然數(shù)，因此易知A= 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,而直接解集合B中的方程可知B = - 3,2,因此陰影部分顯然表示的是A A B= 2.3 .集合 P = xC Z|0<x<3, M = xC R |x2< 9,則 PAM 等于（）A. 1,2 B. 0,1,2C. x|0<x< 3 D. x|0<x< 3答案 B解析 由已知得 P= 0,1,2 , M = x|3WxW3,故 PA M

16、 = 0,1,2.4 .已知集合 A= xx>2,或 xv0 , B= x|-V5<x<V5,則（）A. AAB=? B. AU B= RC. B? A D. A? B答案 B解析A=x|x>2,或 xv 0, B= x|4vxv,. An B=x|# vxv 0,或 2vxv 版, AUB=R.故選 B.5 .設(shè)集合M = x|3Wxv7,N = x|2x+kw0,若M n Nw ?,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為 答案 k<6k斛析 因?yàn)?N=x|2x+ k< 0 = x|x< 2,k且 M n NW?,所以一2>- 3? k<6.6 .若全集

17、M =1,2,3,4,5 , N=2,4,則？mN 等于（）A. ? B. 1,3,5C. 2,4 D. 1,2,3,4,5答案 B解析？mN= 1,3,5,所以選B.7 .已知全集 U=1,2,3,4,5,集合 A =1,2 , B= 2,3,4,則 BA ?uA 等于（）A. 2 B. 3,4C. 1,4,5 D. 2,3,4,5答案 B解析 U=1,2,3,4,5 , A=1,2,. .?uA= 3,4,5, . BA ?uA= 2,3,4 A 3,4,5 = 3,4.8.已知 M = 0,1,2,3,4 , N= 1,3,5 , P= M n N,則 P 的子集共有（）A. 2個 B.

18、 4個C. 6個 D. 8個答案 B解析 .P=1,3 , 子集有22=4個.9 .已知全集U = Z,集合A=0,1 , B= 1,0,1,2,則圖中陰影部分所表示的集合為（）A. -1,2 B. -1,0C. 0,1 D. 1,2答案 A解析圖中陰影部分表示的集合為（？uA）AB,因?yàn)锳=0,1 , B = -1,0,1,2,所以（？uA）AB= -1,2.10 .若全集 U=R,集合 A=x|x> 1 Ux|x< 0,貝U?uA =.答案x0v x<1解析 A=x|x> 1 U x|x<0,?uA=x|0<x< 1.五、鞏固訓(xùn)練1 .已知集合 A

19、= xX>0 , B=x|-1<x< 2,則 AUB 等于（）A . x|x > - 1 B. x|x< 2C. x|0<x< 2 D, x|1<x< 2答案 A解析結(jié)合數(shù)軸得 AUB = x|x>-1.-1 （>2 x2,已知集合 M = x|（x1）2V4, xCR, N = 1,0,1,2,3,則 MA N等于（A, 0,1,2 B. 1,0,1,2C. -1,0,2,3 D. 0,1,2,3答案 A解析 集合 M = x|1vx<3, xC R , N = -1,0,1,2,3,則 M n N = 0,1,2,故選

20、 A.3.設(shè)集合 M=x|x2+2x=0, xC R, N = x|x2-2x=0, xCR,則 M U N 等于（）A. 0 B. 0,2C. -2.0 D. -2,0,2答案 D解析 集合 M = 0, 2, N=0,2,故 MUN = -2,0,2,選 D.4 .設(shè)集合 M=x|3vxv 2 , N=x|1<x< 3,則 M n N 等于（）A. x|1<x<2 B, x|1<x< 2C. x|2<x< 3D. x|2<x< 3答案 A解析 M = x|-3<x< 2且 N=x|1<x< 3,M n N=

21、x|1<x<2.b* p-3 I 23 J5 .設(shè) A=x|3WxW3, B=y|y=-x2 + t.若 AA B=?,則實(shí)數(shù) t 的取值范圍是（）A. tv 3 B. t<- 3C. t>3 D. t>3答案 A解析 B=y|ywt,結(jié)合數(shù)軸可知tv3.6.若集合 A = x|x< 2, B= x|x>a,滿足 AH B=2,則實(shí)數(shù) a =.答案 2解析 AnB = x|a<x<2 = 2,a = 2.7,已知集合 A=x|-1<x< 3, B=x|2x-4>x-2.求APB;(2)若集合C=x|2x+ a>0,滿

22、足BU C=C,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解 (1) /B=x|x>2, AH B=x|2<x<3.(2) / C = x|x>- | , BU C=C? B? C,. 一 1<2,a>- 4.8.集合 A =0,2 , a, B=1 , a?,若 AU B= 0,1,2,4,16,則 a 的值為()A. 0 B. 1 C. 2 D. 4答案 D解析/AUB = 0,1,2 , a, a2,又 AU B = 0,1,2,4,16, . .a, a2 =4,16 ,a=4.9 已知集合 A=x|-2<x< 7 , B=x|m + 1<x<2m

23、-1,且 Bw ?,若 A U B= A,則()A . 3< m< 4 B. 3< m< 4C. 2< m< 4 D. 2Vmw4答案 D解析 V AUB = A, .3?人.又8?,m+ 1 > 2, 2m- 1<7, IP 2<m<4.m+ 1< 2m- 1,10 .設(shè)集合 A=x|-1<x< 2 , B=x|-1<x<4, C = x|3<x<2且集合 AD (BUC)=x|a < x< b,則 a =, b =.答案 1 2解析 BUC = x|-3<x<4,

24、A (BU C).An (BU C) = A, 由題意x|axwb = x| 1< x<2. . . a = - 1, b= 2.11 .已知 A= x| 2< x< 4, B= x|x> a.(1) AAB A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若AABw?,且AABWA,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)如圖可得，在數(shù)軸上實(shí)數(shù)a在2的右邊，可得a>- 2;(2)由于AABW?,且AABWA,所以在數(shù)軸上，實(shí)數(shù) a在一2的右邊且在4的左邊，可得一212 .已知集合 A = x|-2<x<5, B=x|2a< x<a+3,若AUB = A,求實(shí)數(shù)a

25、的取值范圍. AU B= A, B? A.B=?時，2a>a+3,即 a>3;2a> -2,Bw?時，a+ 3<5, 2a w a + 3 ,解得1waW2, 綜上所述，a的取值范圍是a|1WaW2,或a>3.13 .已知集合 A=x|2a+1<x< 3a-5 , B=x|x< - 1,或x> 16,分別根據(jù)下列條件求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(1)AB=?; (2)A? (AA B).解 (1)若A=?,則An B=?成立.此時 2a+1>3a5,即 a<6.若Aw?,如圖所示，則2a+ K 3a-5,2a+ 1> - 1,3a

26、5W 16,-1 2a+l 兔-5 16解得6< a<7.綜上，滿足條件 AAB=?的實(shí)數(shù)a的取值范圍是a|a<7.(2)因?yàn)?A? (APB),且(APB)? A, 所以 An B= A,即 A? B.顯然A=?滿足條件，此時a<6.2a+1<3a-5, 若Aw?,如圖所示，則3a 5V 12a+1<3a-5, 或- 2a+1>16.解得a e ?;解得a>2a + 1 w 3a 5)由3a 5 V 12a + 1 w 3a 5, 由2a + 1 >16綜上，滿足條件 A? (APB)的實(shí)數(shù)a的取值范圍是a|a<6,或a>.1

27、3 .已知全集 U = 1,2,3,4,集合 A=1,2 , B=2,3,則？u(AUB)等于()A. 1,3,4 B. 3,4 C. 3 D. 4答案 D解析 -.=1,2 , B = 2,3 , a AUB = 1,2,3,?u(AU B) = 4.14 .已知 A = x|x+1>0, B=-2, - 1,0,1,則(7rA)AB 等于()A. -2, - 1 B. -2C. -1,0,1 D. 0,1答案 A解析因?yàn)榧螦=x|x>- 1,所以？rA = x|xW -1,貝U(?RA)nB = x|xW 1n2, - 1,0,1= -2, - 1.15 .設(shè) U = R,

28、A=xR>0 , B=x|x>1,則 AA(?uB)等于()A . x|0< x< 1 B . x|0< x< 1C. x|x< 0 D. xR>1答案 B解析?uB= x|x< 1AA (?uB)=x|0<x<1.16 .設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集R, M = x|x<- 2,或x>2, N= x|1 wx& 3.如圖所示，則陰影部 分所表示的集合為()A. x|-2<x< 1 B. x|-2<x<3C. x|x<2,或 x>3 D. x|-2<x<2答案 A解析 陰影

29、部分所表示的集合為 ？u(M U N)= (?uM) A (?uN) = x| 2W xw 2 n x|xV 1或x>3 = x|-2<x<1.故選 A.5.已知集合 A=x|(Kx<5, B = x|2<x<5,則？aB =.答案x0Vx<2,或 x=5解析如圖：PH丁025 Jr由數(shù)軸可知：？aB=x|0Wx<2,或 x=5.17 .設(shè)全集U=R,集合A=x|x>0 , B=y|y>1,則？u A與？uB的包含關(guān)系是 . 答案 ?uA ?u B解析 ?uA=x|x< 0, ?uB = y|y< 1 = x|x<1

30、.?uA ?uB.518 .已知全集 U = R, A=x|-4<x<2, B = x|-1<x<3 , P= x|x< 0,或 ,求APB;求(?uB)UP;(3)求(AH B) A (?uP).解 (1)AAB=x|1<xW2.(2) v ?uB=x|x< - 1,或 x>3,5 (?uB) U P= x|x< 0,或 .5(3) .- ?uP= x|0<x<- ，5 (AAB)n (?uP) = x|-1<x< 2 A x|0<x<- =x|0<x<2.19.已知集合 A=x|x<a, B = x|1<x< 2,且AU(?rB)=R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A . a< 1 B . a< 1C. a>2 D. a>2答案 C解析 如圖所示，若能保證并集為R,則只需實(shí)數(shù)a在數(shù)2的右邊(含端點(diǎn)2),所以a>2.1 2 a x20.如圖，I是全集，M、P、S是I的3個子集，則陰影部分所表示的集合是（）a.