函數(shù)與映射概念的理解

1、玩轉函數(shù)第一招 第1招：函數(shù)與映射概念的理解【知識點理解】映射.映射: AB的概念。對于兩個集合A，B如果按照某種對應法則f，對于集合A中的任何一個元素在集合B中都有唯一的元素和它對應，這樣的對應（包括A、B及f）叫做從集合A到集合B的映射.記作：f：AB.1A 2345 B65 B1A 23465 B5 B1A 2345 B61A 23465 B f f f f (1) (2) (3) (4)在以上的四種對應關系中，（1）（3）不是映射，（2）（4）是映射.對于映射這個概念，應明確以下幾點：映射中的兩個集合A和B可以是數(shù)集，點集或由圖形組成的集合以及其它元素的集合.映射是有方向的，A到B的映

2、射與B到A的映射往往是不相同的.映射要求對集合A中的每一個元素在集合B中都有象，而這個象是唯一確定的.這種集合A中元素的任意性和在集合B中對應的元素的唯一性構成了映射的核心.映射允許集合B中的某些元素在集合A中沒有原象，也就是由象組成的集合CB. 映射允許集合A中不同的元素在集合B中有相同的象，即映射只能是“多對一”或“一對一”，不能是“一對多”.一 一映射：設A，B是兩個集合，f：AB是從集合A到集合B的映射，如果在這個映射的作用下，對于集合A中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一元素都有原象，那么這個映射叫做從A到B上的一一映射.一一映射既是一對一又是B無余的映射.在理解映射概

3、念時要注意：A中元素必須都有象且唯一；B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。總結：取元任意性，成象唯一性?！揪珳视柧殹浚?）設是集合到的映射，下列說法正確的是A、中每一個元素在中必有象 B、中每一個元素在中必有原象C、中每一個元素在中的原象是唯一的 D、是中所在元素的象的集合（答：A）；（2）、若從集合A到集合B的映射f滿足B中的任何一個元素在A中都有原象，則稱映射f為從集合A到集合B的滿射，現(xiàn)集合A中有3個元素，集合B中有2個元素，則從集合A到集合B的滿射f的個數(shù)是： A、5 B、6 C、8 D、9（答：B）（3）點在映射的作用下的象是，則在作用下點的原象為點_（答：（2，1）；（4）a

4、、b為實數(shù)，集合表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍為x，則= A、1 B、0 C、1 D、±1（5）若，則到的映射有 個，到的映射有 個，到的函數(shù)有 個（答：81,64,81）；（6）設集合，映射滿足條件“對任意的，是奇數(shù)”，這樣的映射有_個（答：12）；（7）設是集合A到集合B的映射，若B=1,2，則一定是_（答：或1）.（8）、已知集合，則滿足條件的映射的個數(shù)是( )（A）2 （B）4 （C）5 （D）7（9）、從集合到的映射中滿足條件個數(shù)是( )（A）2 （B）3 （C）4 （D）6（10）、已知集合，在 的映射中滿足條件，個數(shù)是( )（11）、A=1，2，3，4，5，B=

5、6，7，8，從集合A到B的映射中滿足f（1）f（2）f（3）f（4）f（5）的映射有（ ）A、27 B、9 C、21 D、12解：（1）當一個不等號也沒有時，（即與B中的一個元素對應），則f有C個（2）有一個不等號時的映射（即與B中的兩個元素對應），f有C·C=12個（3）有二個不等號的映射，f有C·C=6個。所以共有3+12+6=21個，答案選C。（12）、已知映射，其中集合，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且對任意的，在B中和它對應的元素為，則集合B的真子集個數(shù)是。（13）、設集合， 是映射，且滿足條件，這樣的從自身的映射個數(shù)是（A）1 （B）2 （C）3 （

6、D）4（14）、已知集合，則滿足條件的映射的個數(shù)是（A）1 （B）5 （C）7 （D）10（15）、從任何一個正整數(shù)n出發(fā)，若n是偶數(shù)就除以2，若n是奇數(shù)就乘3再加1,如此繼續(xù)下去,現(xiàn)在你從正整數(shù)3出發(fā)，按以上的操作，你最終得到的數(shù)不可能是 A，10 B，4 C，2 D，1（16）、已知集合，則滿足條件：對每一個是偶數(shù)的映射的個數(shù)是（A）4 （B）7 （C）12 （D）非上述結果（17）、 由定義映射：，則的象是（ ）A 、 B、 C 、 D 、 （18）、定義運算，則，按照，稱點（x,y）映到點（x,y）的一次變換。把直線y=kx上的各點映到這點本身，而把直線y=mx上的各點映到這點關于原點

7、的對稱點。這時，k= m= p= q= 24，1，3，3，-2（19）設M平面內的點(a，b)，Nf(x)|f(x)acos2x+bsin2x，給出M到N的映射f：(a，b)f(x)acos2xbsin2x，則點(1，)的象f(x)的最小正周期為A B2 C D 函數(shù)：1函數(shù)定義a:傳統(tǒng)（古典）定義：如果在某變化過程中，有兩個變量x，y，并且對于x在某個范圍內的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值和它對應，那么y就是x的函數(shù).x叫做自變量，x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，和x的值對應的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域. b: 近代（映射）定義：設A，B都是解空的數(shù)的集

8、合，f是從A到B的一個對應法則，那么A到B的映射f：AB叫做A到B的函數(shù).記作y=f(x)，其中xA，yB. 原象的集合A叫做函數(shù)f(x)的定義域。 注：（1）兩種定義的比較： 相同點：1°實質一致 2°定義域，值域意義一致 3°對應法則一致不同點：1°傳統(tǒng)定義從運動變化觀點出發(fā)，對函數(shù)的描述直觀，具體生動. 2°近代定義從集合映射觀點出發(fā)，描述更廣泛，更具有一般性. （2）對函數(shù)定義的更深層次的思考： 映射與函數(shù)的關系：函數(shù)是一種特殊的映射f：AB，其特殊性表現(xiàn)為集合A，B均為非空的數(shù)集.函數(shù): AB是特殊的映射。特殊在定義域A和值域B都是非

9、空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖像與軸的垂線至多有一個公共點，但與軸垂線的公共點可能沒有，也可能有任意個。小結：函數(shù)概念8個字：非空數(shù)集上的映射。函數(shù)三要素1°核心 對應法則等式y(tǒng)=f(x)表明，對于定義域中的任意x，在“對應法則f”的作用下，即可得到y(tǒng).因此，f是使“對應”得以實現(xiàn)的方法和途徑.是聯(lián)系x與y的紐帶，從而是函數(shù)的核心.對于比較簡單的函數(shù)，對應法則可以用一個解析式來表示，但在不少較為復雜的問題中，函數(shù)的對應法則f也可以采用其他方式（如圖表或圖象等）.2°定義域定義域是自變量x的取值范圍，它是函數(shù)的一個不可缺少的組成部分，定義域不同而解析式相同的函數(shù)，應看作是兩個不同的函

10、數(shù).在中學階段所研究的函數(shù)通常都是能夠用解析式表示的.如果沒有特別說明，函數(shù)的定義域就是指能使這個式子有意義的所有實數(shù)x的集合.在實際問題中，還必須考慮自變量所代表的具體的量的允許取值范圍問題.3°值域值域是全體函數(shù)值所組成的集合.在一般情況下，一旦定義域和對應法則確定，函數(shù)的值域也就隨之確定.因此，判斷兩個函數(shù)是否相同，只要看其定義域與對應法則是否完全相同，若相同就是同一個函數(shù)，若定義域和對應法則中有一個不同，就不是同一個函數(shù). 同一函數(shù)概念。構成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對應法則。而值域可由定義域和對應法則唯一確定，因此當兩個函數(shù)的定義域和對應法則相同時，它們一定為同一函數(shù)。關

11、于函數(shù)符號y=f(x)1°、y=f(x) 即“y是x的函數(shù)”這句話的數(shù)學表示.僅僅是函數(shù)符號，不是表示“y等于f與x的乘積”.f(x)也不一定是解析式.2°、f(x)與f(a)的區(qū)別：f(x)是x的函數(shù)，在通常情況下，它是一個變量.f(a)表示自變量x=a時所得的函數(shù)值，它是一個常量即是一個數(shù)值.f(a)是f(x)的一個當x=a時的特殊值.3°如果兩個函數(shù)的定義域和對應法則相同雖然表示自變量的與函數(shù)的字母不相同，那么它們仍然是同一個函數(shù)，但是如果定義域與對應法則中至少有一個不相同，那么它們就不是同一個函數(shù).例：y=f(x)=ax2+bx+c，a，b，c為常量且x0

12、與S=g（t）=at2+bt+c、a，b，c為相同的常量且t0.則我們說這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)，對于它們的圖象是一個相同的曲線.4°有些函數(shù)在它的定義中，對于自變量x的不同的取值范圍，對應法則不相同，例如： x, x>0y=f(x)=|x|= 0, x=0 這樣的函數(shù)通常稱為分段函數(shù).注意，分段函數(shù)是一個函數(shù)， -x, x<0而不是幾個函數(shù).2函數(shù)的常用的表示法 （1）解析法：將兩個變量的函數(shù)關系用一個等式來表示. （2）列表法：利用表格來表示兩個變量的函數(shù)關系. （3）圖象法：用圖象來表示兩個變量的函數(shù)關系.3實數(shù)集的三種表示方法：集合表示法，不等式表示法，區(qū)間表示法.

13、這個問題實質上涉及到函數(shù)的定義域與值域的表示法，而定義域的確定和值域的確定是函數(shù)概念中兩個重要的問題.而區(qū)間的概念在函數(shù)的定義域中，顯得十分重要. 設a，bR且a<b，則下列的不等式表示的實數(shù)x的集合可分別表示為：ab （1）axb表示為閉區(qū)間a，b. 數(shù)軸表示為:（2）a<x<b表示為開區(qū)間（a，b）.ab數(shù)軸表示為ab （3）ax<b表示為左閉右開區(qū)間 a，b 數(shù)軸表示為: （4）a<xb表示為右閉左開區(qū)間（a，b數(shù)軸表示為 （5）xR表示為（-，+）0數(shù)軸表示為整個數(shù)軸（6）xa，表示為（-，aa數(shù)軸表示為a （7）xa表示為 a，+ 數(shù)軸表示為:【精準訓練

14、】（1）已知函數(shù),那么集合中所含元素的個數(shù)是 A. 0個 B. 1個 C. 0或1個 D. 0或1或無數(shù)個（2）若函數(shù)的定義域、值域都是閉區(qū)間，則 （答：2）（3）若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“天一函數(shù)”，那么解析式為，值域為4，1的“天一函數(shù)”共有_個（答：9）（4）若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為y=2x2+1，值域為5,19的“孿生函數(shù)”共有 A、10個 B、9個C、8個 D、7個（5）已知函數(shù),它的圖象與直線的交點的個數(shù)是（ ）（A）至少一個 （B）至多一個 （C）一個或兩個 （D）可能

15、有無數(shù)個（6）.已知兩個函數(shù)和的定義域和值域都是集合1,2,3,其定義如下表. x123f（x） 231x123g（x） 132 填寫下列的表格,其三個數(shù)依次為x123g (f（x）) A. 3,1,2 B . 2,1,3 C. 1,2,3 D. 3,2,1附： 趣說函數(shù) 函數(shù)是一種特殊的映射，當時非空的數(shù)的集合時，映射就叫做從到的函數(shù)，記作，其中. 解析式表示，對于集合中的任意一個，在對應法則的作用下，即可得到，因此，是使“對應”得以實現(xiàn)的方式和途徑，是聯(lián)系與的紐帶，從而是函數(shù)的核心. 可用一個或多個解析式來表示，也可以用數(shù)表或圖象等其他方式表示.原象集合叫函數(shù)的定義域，象集合叫函數(shù)的值域，

16、很明顯.“函數(shù)”概念是初中和高中階段的重點和難點，有不少的同學直到高三還不能深刻理解這一概念.原因在于這一概念的抽象性，如果把“函數(shù)”與我們實際生活結合起來，同學們學起來就會覺得既有意義又容易理解和運用.1 函數(shù)是個“信使”“函”字本身就有“信件”之意，每封信都是由郵遞員按地址投到不同的的地方，每封信上都寫有確定的地址，不能含混不清.同樣，“函數(shù)”也是這樣，每個自變量都要按一定的對應法則與確定的一一對應.自變量就是一封信，它被“對應法則”這個信使送到確定的“收信人”手里.2 函數(shù)是個“產品加工廠”工廠里把原料按規(guī)格加工成不同的產品.函數(shù)就是把自變量按規(guī)格“對應法則”“加工”成不同產品.它也象“

17、數(shù)字發(fā)生器”把原料自變量，投入不同的“數(shù)字發(fā)生器”“對應法則”就會得到不同的產物因變量.3函數(shù)是個“無能的射手”有本領的射手可以“一箭雙雕”，可函數(shù)不行，有可能射不中目標，但它能多箭一雕.正如，由數(shù)集到數(shù)集的映射中，中每個元素必有原象，也可有多個原象. 中元素在中可以沒有象.4函數(shù)是“封建社會的婚宴”在封建社會，流傳著“好女不嫁二夫”，但“一夫可多妻”.同樣函數(shù)中多個自變量可對應一個函數(shù)值，但是一個“婦女”自變量不能找多個“婆家”值.在現(xiàn)代社會是“一夫一妻”制，這正如有反函數(shù)的函數(shù)與之間必須是一一對應的.有了上面的解釋，你對“函數(shù)”這個概念是否更加了解了呢？其實，只要我們對數(shù)學產生了興趣，能經常和我們的生活聯(lián)系在一起，就易學多了.（7）設、為常數(shù)，：把平面上任意一點 （，）映射為函數(shù) （1）證明：不存在兩個不同點對應于同一個函