既不離散也不連續(xù)的隨機變量

1、目錄中文摘要1英文摘要1一、引言2二、隨機變量及其分布2（一）隨機變量及其分布21隨機變量的概念22分布函數(shù)的定義33分布函數(shù)的性質(zhì)3（二）離散型隨機變量31離散型隨機變量及其分布的定義32分布列的基本性質(zhì)43用分布函數(shù)判別離散型隨機變量的一種方法6（三）非離散型隨機變量61連續(xù)型隨機變量及密度函數(shù)的定義72密度函數(shù)的性質(zhì)73連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的特征84。非離散非連續(xù)的隨機變量8三、既不離散也不連續(xù)的隨機變量及其判別9（一）隨機變量的判別9（二）既不離散也不連續(xù)的隨機變量的判別9（三）考研中常見的非離散非連續(xù)的隨機變量示例10四、結束語12參考文獻13 既不離散也不連續(xù)的隨機變量彭惠敏摘要

2、：通過對隨機變量進行分類，借助離散型、連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)、性質(zhì)、數(shù)字特征及其必要條件的討論，給出了判別既不離散也不連續(xù)的隨機變量的方法，即用離散型和連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)必要條件的逆否命題加以判別，文中給出了大量例證，并給出了近幾年考研中遇到的此類題目，使初學者對隨機變量的分類有更為深刻的理解。關鍵詞：離散型隨機變量；連續(xù)型隨機變量；既不離散也不連續(xù)的隨機變量；分布函數(shù)Neither Discrete Nor Continuous Random VariablePeng Hui-minAbstract: Through the study of the classification of

3、 random variables and the discussion of the distribution function, the nature, the digital characteristics, as well as the necessary conditions of both discrete and continuous random variable, this paper demonstrates the means of discriminating the neither discrete nor continuous random variable, th

4、at is, by virtue of the converse-negative proposition of the necessary conditions of the two variables distribution function. A large number of examples and examination questions of this kind appeared in the recent few years of postgraduate entrance exams are given so as to render an in-depth unders

5、tanding of the classification of the random variables to the beginners.Key words: discrete random variable; continuous random variable; neither discrete nor continuous random variable; distribution function一、引言除了離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量之外，還有既不離散也不連續(xù)的隨機變量，有的教科書上稱“由于這種情況比較復雜，一般不對這種情況加以討論”，所以很多教科書上根本不提及既不離散也不連續(xù)

6、的隨機變量，以至于初學者認為只有離散型和連續(xù)型兩類隨機變量，造成很大的誤解。應該說，隨機變量分為離散型和非離散型隨機變量，在非離散型隨機變量中有一類重要的隨機變量是連續(xù)型隨機變量，除此之外還有既不離散也不連續(xù)的隨機變量。在我們所研究的隨機變量中，主要有兩類，這就是離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量。二、隨機變量及其分布（一）隨機變量及其分布1隨機變量的概念設是隨機試驗，它的樣本空間是如果對于每一個都有一個實數(shù)和它相對應，這樣就得到一個上的實值函數(shù)，稱為隨機變量。隨機變量按其取值情況可分為兩類:離散型隨機變量和非離散型隨機量。如果隨機變量的所有可能取值為有限個或可列個，則稱為離散型隨機變量。非離散型

7、隨機變量的情況比較復雜，它的所有可能取值不能一一列舉出來，其中的一種對于實際應用最重要、最廣泛的稱為連續(xù)型隨機變量。 是一個隨機變量，如果存在上的非負可積函數(shù)，使的分布函數(shù)，則稱為連續(xù)型隨機變量， 是的概率密度函數(shù)。既不離散也不連續(xù)的隨機變量，一般教科書都不詳細介紹。這種隨機變量不常用，概率分布不易表達，用分布列只能表示其離散的部分，用密度函數(shù)只能表示其連續(xù)的部分，只有通過其分布函數(shù)才能將分布表達清楚，而分布函數(shù)是初學者的難點。2分布函數(shù)的定義設為隨機變量，對任意實數(shù)，稱為隨機變量的分布函數(shù)。3分布函數(shù)的性質(zhì)任意分布函數(shù)都有如下三條基本性質(zhì)：（1） 單調(diào)性 是定義在整個實軸上的單調(diào)非遞減函數(shù)，

8、即對任意的，有.（2） 有界性 對任意的，有，且,.（3） 右連續(xù)性 是的右連續(xù)函數(shù)，即對任意的，有即這三條基本性質(zhì)成為判別某個函數(shù)是否成為分布函數(shù)的充要條件。（二）離散型隨機變量1離散型隨機變量及其分布的定義假如一個隨機變量僅可能取有限個或可列個值，則稱其為離散隨機變量。設是一個離散隨機變量，如果的所有可能取值是則稱取的概率為的概率分布列或簡稱分布列，記為.分布列也可用如下列表方式來表示： 或記成2分布列的基本性質(zhì)（1）非負性 （2）正則性 .以上兩條基本性質(zhì)是分布列必須具有的性質(zhì)，也是判別某個數(shù)列是否能成為分布列的充要條件。由離散型隨機變量的分布列很容易寫出的分布函數(shù)它的圖形是有限級（或無

9、窮極）的階梯函數(shù)。是一個跳躍函數(shù)，它在處有跳躍度.可見可以唯一決定和例1、設隨機變量的分布列為試求的概率分布列及， ，并寫出的分布函數(shù)。解：，.的圖形如圖所示，它是一條階梯型的曲線，在可能取值-1，2，3處有右連續(xù)的跳躍點，其跳躍度分別為在其可能取值點的概率：0.25，0.5，0.25. y -1 0 1 2 3 特別，常量可看作僅取一個值的隨機變量，即.這個分布常稱為單點分布或退化分布，它的分布函數(shù)是 1 0 c 單點分布函數(shù)圖以上例子可以得出這樣一個結論：離散型隨機變量的分布函數(shù)總是階梯函數(shù)。結論1 若隨機變量為離散型，那么其分布函數(shù)為階梯函數(shù)。證明 為離散型隨機變量 的分布列為， （不妨

10、這里設） 下證（1）當時，； （2）當， 時，（常數(shù)），且. 事實上，（1）當時，;（2）當，時， . 這是取（有限）個值對應概率相加 其和一定存在，記為，即 當 時， 顯然，. 綜上可知，的分布函數(shù)為階梯函數(shù)。3用分布函數(shù)判別離散型隨機變量的一種方法 我們還可以借助分布函數(shù)來給出離散型隨機變量的判別條件。 結論2 設隨機變量的分布函數(shù)為.若是階梯型函數(shù)，則為離散型隨機變量。 證明 是的分布函數(shù) 一定是右連續(xù) 是階梯函數(shù) 是有有限個或可列個間斷點的分段函數(shù)不妨間斷點按由小到大的順序排列起來的順序為 則其中，為常數(shù)，下證， 為的分布列。（1）是單調(diào)不減的函數(shù) （2）綜合（1）、（2）可知： ，

11、是的分布列。（三）非離散型隨機變量由于非離散型隨機變量的情況比較復雜，它的所有可能取值不能一一列舉出來，但它總的情況可以分為連續(xù)型隨機變量和既不離散也不連續(xù)的隨機變量。1連續(xù)型隨機變量及密度函數(shù)的定義假如一個隨機變量的可能取值充滿數(shù)軸上的一個區(qū)間，則稱其為連續(xù)隨機變量。定義 設隨機變量的分布函數(shù)為，如果存在實軸上的一個非負可積函數(shù)，使得對任意實數(shù)有則稱為的概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)，或稱密度。2密度函數(shù)的性質(zhì)（1）非負性 （2）正則性 （含有的可積性）。以上兩條性質(zhì)是密度函數(shù)必須具備的基本性質(zhì)，也是確定或判別某個函數(shù)是否成為密度函數(shù)的充要條件。例：向區(qū)間上任意投點，用表示點的坐標。設這個點落在

12、中任意一個小區(qū)間的概率與這個小區(qū)間的長度成正比，而與小區(qū)間的位置無關。求得分布函數(shù)和密度函數(shù)。解：記的分布函數(shù)為，則當時，因為是不可能事件，所以；當時，因為是必然事件，所以；當時，有，其中為比例系數(shù)。因為，所以得.于是的分布函數(shù)為下面求的密度函數(shù).當或時，;當時，而在和處，可取任意值，一般就近取值為宜，這不會影響概率的計算，因為它們是幾乎處處相等的密度函數(shù)。于是的密度函數(shù)為這個分布就是區(qū)間上的均勻分布，記為，其密度函數(shù)和分布函數(shù)的圖形如下。 y y 0 0 的圖形 的圖形上的均勻分布3連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的特征 結論3 設為連續(xù)型隨機變量，是其分布函數(shù)，則是連續(xù)函數(shù)。 證明 是連續(xù)型隨機變量

13、的分布函數(shù) 由定義，存在非負可積函數(shù)，對有 又由變動積分上限函數(shù)的性質(zhì)可知，連續(xù) 故是上的連續(xù)函數(shù)。4.非離散非連續(xù)的隨機變量除了離散型和連續(xù)型分布之外，還有既非離散又非連續(xù)的分布，見下例。例：以下函數(shù)確是一個分布，它的圖形如圖所示。 y10.5 0 1 既非離散又非連續(xù)的分布函數(shù)示例從圖上看出，它既不是階梯函數(shù)，又不是連續(xù)函數(shù)，所以它既是非離散的又是非連續(xù)的分布。這類分布函數(shù)?？煞纸鉃閮蓚€分布函數(shù)的凸組合，如上例中的分布函數(shù)可分解為其中 而是（離散）單點分布函數(shù)， 是（連續(xù)）均勻分布的分布函數(shù)。三、既不離散也不連續(xù)的隨機變量及其判別（一）隨機變量的判別由結論1的逆否命題可得，結論4 若隨機變

14、量的分布函數(shù)不是階梯函數(shù)，則一定是非離散型隨機變量。由結論3的逆否命題可得， 結論5 若隨機變量的分布函數(shù)不是連續(xù)函數(shù)，則一定是非連續(xù)型隨機變量。 （二）既不離散也不連續(xù)的隨機變量的判別既非離散又非連續(xù)的隨機變量的分布函數(shù)具有不同于離散型、連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的特點。（1）分布函數(shù)是右連續(xù)，但卻不是在每一個分段區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)，這一點區(qū)別于離散型隨機變量的分布函數(shù)。（2）分布函數(shù)不是連續(xù)函數(shù)，在某些點處有跳躍性，這一點區(qū)別于連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)。綜上，我們可以得到一個既不離散也不連續(xù)隨機變量的判別條件。結論6 若隨機變量的分布函數(shù)既不是階梯函數(shù)又不是連續(xù)函數(shù)，則一定是既不離散也不連續(xù)的隨機

15、變量。例4 已知函數(shù) 證明：是既不離散也不連續(xù)的某個隨機變量的分布函數(shù)。 證: 先證是的分布函數(shù)。(1)單調(diào)性：設，若，則 ;若，則;若，則，故;若，則，故;若，則;綜上，. (2)有界性： (3)右連續(xù)性：只需考慮間斷點處的連續(xù)性。 ，故右連續(xù)。 可作為某隨機變量的分布函數(shù)。再證是非離散非連續(xù)隨機變量的分布函數(shù)。易見是以為間斷點的非連續(xù)函數(shù)，同時也非階梯函數(shù)。故由結論6， 是既不離散也不連續(xù)的隨機變量。 例5設隨機變量的分布函數(shù)為問隨機變量是離散型，還是連續(xù)型？證：利用分布函數(shù)的性質(zhì)來判斷此函數(shù)在處不連續(xù)，不是連續(xù)型隨機變量。此分布函數(shù)在區(qū)間上不是常函數(shù)，不是離散型隨機變量，故為既非離散又非

16、連續(xù)的隨機變量。（三）考研中常見的非離散非連續(xù)的隨機變量示例在研究生入學考試中，對單純的連續(xù)性和離散型隨機變量的考查越來越少，反而對這種既不離散也不連續(xù)的隨機變量考察加重，更注重考生們對知識點綜合應用的能力，下面給出幾個近幾年考研中出現(xiàn)的此種類型的例子。1.（1997，11）：假設隨機變量的絕對值不大于1，在事件 出現(xiàn)的條件下， 在內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間的長度成正比。試求（1）的分布函數(shù);(2) 取負值的概率.由于在和這兩點可以作為離散型的情況來處理。在其它情況下可作為連續(xù)型的情況來處理，且在內(nèi)服從均勻分布， 在此區(qū)間內(nèi)取值的概率為.因此，X的分布函數(shù)為易見，既非階梯函數(shù)又不是

17、連續(xù)函數(shù)，所以由結論6可知，是既不離散也不連續(xù)的隨機變量。2.（2002）假設以設備開機后無故障工作的時間服從指數(shù)分布，平均無故障工作的時間（）為5小時。設備定時開機，出現(xiàn)故障時自動關機，而在無故障的情況下工作兩小時便關機。試求該設備每次開機無故障工作的時間的分布函數(shù).解：設的分布參數(shù)為，由于，可知.易見.當時，；當時，;當時，.的分布函數(shù)3.（99，4，3分）假設隨機變量服從指數(shù)分布，則隨機變量的分布函數(shù)（ ）（A）是連續(xù)函數(shù) （B）至少有兩個間斷點（C）是階梯函數(shù) （D）恰好有一個間斷點【分析】首先求出的分布函數(shù)為（參見上題）由于的分布函數(shù)恰好在處有一個間斷點，因此應選（D）.4.設隨機變

18、量的絕對值不大于1，且，已知當時， 在其他取值范圍內(nèi)服從均勻分布，求分布函數(shù).證：寫出已知條件的數(shù)量關系。依題意， =，又除0點外， 在其他取值范圍內(nèi)服從均勻分布，其落在不包含0點的子區(qū)間內(nèi)的概率與該子區(qū)間的長度成正比，比例常數(shù)，故有當時；當時，；當時；當時，=綜上得5.設隨機變量的分布函數(shù)則（ ）（A） 0. （B） (C) (D)【分析】 故應選（C）.的分布函數(shù)在處有分別有一個間斷點，并且不是常函數(shù)，所以是既不離散也不連續(xù)的隨機變量。考研中常遇到已知一個隨機變量的分布，又知另一個隨機變量與的函數(shù)關系，求隨機變量的分布。這屬于求隨機變量函數(shù)的分布問題。如果是既不離散也不連續(xù)的隨機變量混合型隨機變量，則一般是求其分布函數(shù)。既不離散也不連續(xù)的隨機變量是一類特殊的隨機變量，一般形式比較復雜，但只要對其正確理解，求出其分布也就不難了。四、結束語本文總結了分布函數(shù)和離散型及連續(xù)型隨機變量的相關知識，給出離散型和連續(xù)型隨機變量的判別方法并證明，在此基礎上討論